2024年高考数学双曲线的定点问题讲义

双曲线的定点问题

22

1.已知双曲线C：台方=1(。〉0/〉0)的右焦点为尸，半焦距0=2,

点歹到右准线x=^的距离为,，过点e作双曲线C的两条互相垂

c2

直的弦AB,CD,设AB,8的中点分别为N.

(1)求双曲线。的标准方程；

(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.

2.已知动圆尸过点1(2,0),并且与圆6：(x+2)2+y2=4相外切，

设动圆的圆心P的轨迹为C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过动点尸作直线与曲线次.9点交于A3两点，当尸为A6的

中点时,求侬的值;

(3)过点工的直线4与曲线。交于E，尸两点，设直线/:x=；,点

。(-1，0),直线功交/于点求证：直线E”经过定点，并求出

该定点的坐标.

3.已知离心率为2的双曲线C的一个焦点Ac,0)到一条渐近线的

距离为

(1)求双曲线。的方程；

(2)设4A分别为。的左右顶点，P为c异于4A一点，直线AP

与4P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆。经

过两个定点.

4.已知动圆尸过点6(2,0)并且与圆片:(x+2『+y2=4相外切，动圆

圆心P的轨迹为C.

(1)求曲线C的轨迹方程；

（2）过点鸟（2,0）的直线4与轨迹。交于A、3两点,设直线=

点0（-1,0）,直线AZ）交/于求证：直线经过定点。,0）.

5.已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在工轴上，离心率6=乎，

虚轴长为2.

（1）求双曲线。的标准方程；

（2）若直线/：y=kx+m与双曲线c相交于A，B两点（AB均异于左、

右顶点），且以为直径的圆过双曲线C的左顶点。，求证：直线

/过定点，并求出定点的坐标.

22

6.已知双曲线c・-当=1（。>0,6>0）,点A（2四,0）在曲线C上，曲线

ab

c的离心率为半，点P、。为曲线。上易于点A的任意两点,。为坐

标原点.

（1）求曲线。上方程；

（2）若耳、8为曲线二的焦点，求空料最大值；

（3）若以P。为直径的圆过点A,求证：直线PQ过定点，并求出

定点坐标.

22

7.已知曲线。：千-卷=1,。为曲线C上一动点，过。作两条渐近

3o

线的垂线，垂足分别是［和尸2.

（1）当。运动到（3,2如时，求露淀的值；

（2）设直线/（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴

正半轴交于丁点，与，轴交于s点，若疆=1MT,SN=滞,且

之+〃=1,求证T为定点.

22

8.双曲线方=1经过点⑵3）,两条渐近线的夹角为鼻，直线

/交双曲线于A、B.

（1）求双曲线。的方程；

（2）若/过原点，P为双曲线上异于4、3的一点，且直线9、PB

的斜率为％、kpB,证明：以•%为定值；

（3）若/过双曲线的右焦点耳，是否存在x轴上的点M（加,0）,使得

直线/绕点耳无论怎样转动，都有=0成立？若存在，求出M

的坐标，若不存在，请说明理由.

二、填空题

丫2

9.已知双曲线C直线/：y=H+77i与双曲线。相

交于45两点（A,5均异于左、右顶点），且以线段A3为直径的

圆过双曲线。的左顶点。，则直线/所过定点为.

2

10.已知双曲线》2一5=1,点A（TO）,在双曲线上任取两点八Q

满足APLAQ,则直线PQ恒过定点;

参考答案

2

1.(I)y-y2=l(2)证明见解析；定点(3,0)

【分析】(I)由题意可得C的值，再由点口到直线户《的距离为:，

c2

可得。的值，再由明C之间的关系求出双曲线的方程；

(2)设弦A3所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进

而可得A5的中点M的坐标，再由椭圆可得弦8的中点N的坐标，分

别讨论当的斜率存在和不存在两种情况可得直线MN恒过定点.

21

【解析】(1)由题设可得。-幺=二c=2,所以/=3,〃=c2_〃=i

c2

r2

所以双曲线的标准方程为十丁=i

(2)证明：点打2,0),设过点口的弦A5所在的直线方程为了=@+2,

4(”)，咐，％),

则有+宁］.

(2

二—2_1

联立§7-,可得(r-3)y2+40+l=O.

x=ky+2

因为弦A3与双曲线C有两个交点，所以左2-3/0,

所以％+%=占，所以

(1)当k=0时，M点即是尸点，此时，直线MN为X轴.

(2)当左W0时，将上式M点坐标中的人换成-；，同理可得

k

(6k22k)

N--------------------

(3人2—1'3公一

①当直线MN不垂直于x轴时，

2k2k

直线的斜率2片三=泮，

3-F3左2—1

其方程，一4=可31-金］,化简得y=^Q(x—3),

所以直线MN过定点(3,0)；

②当直线MN垂直于％轴时,占=—，此时，人士"直线"N也

过定点(3,0).

综上所述，直线MN过定点(3,0).

【点评】本题主要考查双曲线的标准方程及性质、定点问题等知识以

及逻辑思维与运算求解能力，考查了学生的计算能力，属于难题.

2

2.(1)x2-^-=l(x>0)；(2)4；(3)证明见解析，定点的坐标为(1,0).

【分析】(1)利用动圆经过的点及外切关系可求；

(2)设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到0403,进

而可求侬.侬；

(3)设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线襁经过

/E•点.

【解析】(1)设动圆的圆心y),半径为厂，则由题意可得

即|「耳|-|尸周=2,

因为用闾=4>2,所以点P的轨迹是以用耳为焦点的双曲线的右支,

且a=l,c=2

2

所以曲线C的方程为V—3=1(X〉O).

(2)当直线的斜率不存在时，尸(1,0),4(1,我,8(1,-我,此时|。4卜|郎=4；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+m,,

_,[y=kx+m,

联五二22八得(3-F»2_2①u-/=0,

3x-y=0

2

?2kmm

3-kwO,再+%2=^7^，为X2=一^7，

2

36%，必%=Ex'X?+初i(玉+x)+m23m

%+%=左(玉+%)+2m2

因为P为AB的中点，所以尸(二，$),代入曲线方程得

j—K5—K

k2ml3m2

---------------------------1

(3-42)2(3-42了；

整理可得病=左2_3；

—m23m22m2.

OA-OB=玉4+%%------T+------7=------7=-2,

3-k23-423-k2

因为3炉_V=0恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线v=氐的倾

斜角为60。,

所以OA.03=|OA||OB\COS120°=-1J6>A|J6>B|=-2,所以|。闻0q=4.

综上可得倒烟=4.

13

(3)证明：当直线4的斜率不存在时，£(2,3),F(2,-3),M(-,|),直线

FM：3尤+y-3=0经过点(1,0).

当直线4的斜率存在时，设直线/Q-2),与4%),"%%),

直线E»y=七(x+1),当X=；时，加=谭周,

人1IJ.

M，2(：；°),联立,得(3-廿)/+442*―©+442)=0,

4k23+止

3-kwO,x+x=-----7，X1X=-----z-,

'12，3—公-23—42'

下面证明直线FM经过点。(LO),即证含=4，

A|+1%2—1

把％=%(%-2),%=左(%一2)代入整理得4%%-5(内+X2)+4=0,

口山(3+442、(442)12+16左2―20公

即4x------——5x------+4=-----；-------+4=—4+4=0,

1(3-k-)(3-k-)k2-35

所以直线9经过点(LO).

【点评】本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联

立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素

养.

2

3.(1)%2-^-=1；(2)详见解析.

【分析】(1)根据离心率求得。，仇。的关系式，利用焦点到渐近线的距

离列方程，解方程求得“也。的值，进而求得双曲线方程.(2)设出P

点的坐标，根据点斜式求得AP和4P的方程，进而求得股,N两点的

坐标，根据中点坐标和直径长求得圆。的方程.令y=0求得两个定点的

坐标.

22

【解析】(1)设C：——yr-1(^>0,Z?>0),

ab

因为离心率为2,所以C=2Q,b=y/3a.

所以。的渐近线为氐土y=o,

|A/3C-0|

于是。=1,b=布,

故C的方程为必-==1.

（2）设尸（如为）（无0#±1）,

因为A（TO）,A（1,0）,

可得直线4P与方程为丁=出（》+1）,

AQ_T1AQ_1

由题设,所以叩看,\MN\=，4W中点坐标

1-X：,

于是圆。的方程为f+9-差）=百广

因为片-1=1,所以圆。的方程可化为好+/+口-3=0.

3为

当y=o时，％=土百，因此。经过两个定点卜"。）和（百，。）.

【点评】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的渐近

线，考查直线的点斜式方程和圆的标准方程的求法，考查化归与转化

的数学思想方法，属于中档题.

2

4.（1）^2-2_=I（X>0）；（2）证明见解析.

【解析】⑴由已知得1尸£|=1%|+2,即|尸耳|-|尸闾=2,

所以P的轨迹。为双曲线的右支，且2a=2,a="I片司=2c=4,c=2,

b=y/c1-cT=G,

2

，曲线C的标准方程为f—1_=1(尤〉0).

(2)当直线4的斜率不存在时，4(2,3),网2,-3),Mlplj,则直线

所经过点/1，。)；

当直线4的斜率存在时，不妨设直线4：y=Mx-2),4(%,K),B(x2,y2),

13%'

则直线AD：(当时,

y=/x+i),x=4%=2«+1)M

七十12[2'2国+1)/

y=k(x-2)

由得(3—左2)工2+4左2X一(4左2+3)=0

3x2-/=3

-4左2止+3

所以石+%2=XX=-5-----

3-左212k22-3

下面证明直线经过点用L0),即证心亡总，即三+37，

A|+1%2—1

即-+3%=%为+%,由％=@-2左,%二仇-2左，

整理得，4%%-5(%+/)+4=0,即4.上上—5・当♦+-*―3)=o恒成

P-3lc-3k2-3

立.

即kEM=kEB,即BM经过点E(l,0),

故直线过定点(1,0).

【点评】本题考查了利用定义求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的

位置关系，直线过定点问题,综合性强，需要很好的思维和计算能力，

属于难题.

(1)根据题意，判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支，然后根据

定义即可求得双曲线的方程.

(2)讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题.当斜

率不存在时，易得直线过定点的坐标为E(LO);当斜率存在时，设出

直线方程，联立曲线方程，消y得到关于％的一元二次方程，利用根

与系数的关系表示出两个交点横坐标间的关系；利用七再证

明直线5M经过E(LO).

5.(1)＞2=1⑵证明见解析，定点坐标为H，oj

【分析】(1)求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题

意列出两个独立条件：、且,26=2,,解方程组得a=2/=1(2)以AS

a2

为直径的圆过双曲线C的左顶点。(-2,0),等价于AD.8。=0,根据向量

数量积得X%+旺＜2+2(%+々)+4=0,结合直线l-y^kx+m方程得

(@+㈤例+㈤+巧+2(%+々)+4=0,利用直线方程与双曲线方程联立

方程组，消y得。-4左2卜2―8〃依—4(疗+1)=0,再利用韦达定理代入等

式整理得3〉-16根+20k2—o,因此加二2人或加=不-.逐一代入得当

m=当时，/的方程为,，=./犷:，直线过定点

3工?;”\5)

22

【解析】⑴设双曲线的标准方程为收-方=1程＞0力＞0),由已知得

£=q,26=2a42+^=02^^”2力=1,所以双曲线的标准方程为

a2

X22

=i.

y=kx+m

⑵设人（%,%）,5（%,%）,联立｛-2_J得（1-4灯炉-8〃心-4（〃/+1）=0,

「二1

A=64m2P+16(l-4F)(m2+l)>0

r8mk.

-t-{x+x9=-------<0

有I21-4左2

一4仇2+1)

=——-----i>0

121—4左2

m2—4k2

yy=(g+m)(fcv+m)=k2xx+mk^x+x)+m2，以AB为直径的

x22x2x21—4/

圆过双曲线C的左顶点£>(-2,0),：•m％=-1，即

%为一1.VT|It)”_0./一4*一4"+1)16L

西+2小一ij%+3+25+々)+4—++U0

,3m2—16mk+20k2=0,解得切=2左或一=不一.当加=2左时，/的万程为

y=M%+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾；当机=一时，/的方程为

直线过定点经检验符合已知条件，所以直线/过

工WI3)

定点，定点坐标为［一与可•

考点：双曲线标准方程，直线过定点

【点评】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”

是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或

三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在

求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，

到最后必定参数统消，定点、定值显现.

22

6.(1)方程为£-号=1⑵V6(3)证明见解析；PQ过定点(660)

o4

【分析】(1)根据离心率得双曲线中a、b的关系，代入点的坐标，解

方程组即可求得双曲线方程.

(2)设点P(x。%),根据焦半径公式表示出|咫|,|9|代入表达式,

转化为关于横坐标的表达式，根据横坐标的取值范围即可求得最大值.

(3)设出点P、Q的坐标和直线PQ的方程为，联立双曲线方程可得

P、Q两点纵坐标的关系;根据以PQ为直径的圆过点A,化为APAQ=O,

代入坐标化简即可求得过定点的坐标.

【解析】(1)离心率为e，=逅所以

a22

即a^+b-=|/

b2=-a2

2

因为点420,0)在双曲线上，所以

/=8

解得

Z?2=4

22

所以双曲线方程为卜卜

(2)由双曲线的对称性知,不妨设P在左支上，设？(%%)

由焦半径得：|也|=-气-%\PF2\=-ex0+a^x0<-2^2j

而"明+熙L—2%

所以|0尸|.

附|+归叫＜「

=屈

当其时取等号.

所以\0P\"3_45=8

2-8

党料的最大值是指.

(3)设。。：％=冲+〃,。(%,%),。(%2，%),联立直线PQ和双曲线方程,

化简得

{rn—2）y2+2mny+T?2—8=0

所以由/>0得痴2/一4（祖2一2）（/一8）>。

2mnn2-8r-

yi+y2=~—r，%%且n根w±V2

2—mm—2

由题知APAQ=0

所以（X「20）（X2-2拒）+x%=0

（加/+n—2y/2^my2+n—2y/2^+yvy2=0

2

（1+根2）%%+相（〃一2A/^）（X+y2）+（zz—2A/2）=0

代入得（1+m2）-^—―+m（n-2后）2nmz+5_2^2）2=0

'7m-22—m

解得〃=6夜或〃=20（舍去），所以PQ方程为％=的+60

即得PQ过定点（60.0）

【点评】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线焦半径公式的应

用，直线过定点的求法，综合性强，属于难题.

7.（1）j；（2）证明见解析；

【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点。到两条渐近线的距离,

再计算正与谓夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结

论.

（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利

用向量式疆=AMT,SN=juNT,将尢〃表示出来，代入九+〃=1化简即

可证得T为定点.

22_

【解析】解：（1）由曲线C：♦-2=1,得渐近线方程为土&—=0,

3O

作示意图如图所示:

cos20-sin201-tan201

设tan0=\/2,则cos26=

cos20+sin201+tan203

贝IjcosZF\QP2=一cos28=:,

|3A/2-2^|_3A/2-2^“_|-372-2^|_372+273

3~~V352忑V3

UUULUUU18-1212

043=.QEcosN《Q2=

厂.§一§

(2)设>(%,%),阳々,%),T(m,O),S(O,n),m>0,设直线/的斜率为左,

贝lJ/:y=A（x-m）,又^-一匕=1,得（2—左2）/+2左之加彳一左2加一6=。

36

2l

ZB2kmk2m+6

信%+%2=一5^记，再々=--

2_k2

,uuuUUU.再二2（加一匹）

由SM=XMT,则（石，%-X],-乂）即’

[另一〃="-％）

得x=一^,同理，由SN=NNT=N=,

m-xxm-x2

则2+〃=4+^=丁区+々）-=I

m-xxm-x2m-+x2）m+xtx2

22

4曰C/,、Q2rill2m-2k2m3-（km+6）

得2侬X]+%）-=m,贝I——+'~-=",2

2-左22-k2

得裙=9,又加＞0,得根=3,即T为定点（3,。）.

【点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义,

设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力

较强的题目.

2

8.(1)x2-^=l

3

(2)证明见解析

(3)存在，”(-1,0).

【分析】(1)根据双曲线所过的点和渐近线的夹角可得关于。力的方

程组，解该方程组后可得双曲线的标准方程.

(2)设A(%，x),P(x0,y0),用三点的坐标表示即次依，再

利用点满足的方程化简前者可得所求的定值.

(3)设直线/为丁=左(％-2),W9，%),根据M4A«=O可得恒

等式(1+公居%-(〃2+2左2)(石+/)+川+4左2=0,联立直线方程和双曲线

方程后利用韦达定理化简前者可得加=-1,从而得到所求的定点.

h

【解析】(1)双曲线的渐近线方程为'=±9/

a

因为两条渐近线的夹角为7,故渐近线y=-x的倾斜角为擀或？，

3a63

所以2=6或2=坐.

aa3

b=y/3a

故1491(无解)，故＜

b=®

丁一声

所以双曲线*-==L

(2)设A(/K),5(-%,-为),尸(如为),

222222

因为焉一甘=1片苫=1,所以焉"普告即H

所以孰%为定值;.

（3）双曲线的右焦点为马（2,0）,

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为：y=k（x-2）,设4（/%）,

3（%2,丁2）9

因为M4M5=0,所以（％-加）（%2-m）+%%=。，

2

整理得到（1+左2）玉%2-（根+2公）（％+x2）+m+4左之=0①，

由可以得到（3一左2卜2+4女,-4左2—3=0,

、尤y

因为直线/与双曲线有两个不同的交点，

故A=16左，+4（3—左2）（4左2+3）=36+45左2>0且3—左2/0,

所以4/±^3.

由题设有①对任意的女片土也总成立，

m4k24k~+3

因石+々=一1记石―一三石'

所以①可转化为-（1+/）兰胃+（〃，+2/）若+府+4公=0,

3—K3—K

整理得到3（疗T）+（5+4w-疗）r=o对任意的心±6总成立,

故［I：.=0,故加=-1即所求的定点M的坐标为（TO）.

当直线/的斜率不存在时，则箕=2,此时A~3）斜（2,-3）或

B（2,3）,A（2,-3）,

止匕时跖=—3+3=0.

综上，定点〃的坐标为（T。）.

【点评】求双曲线的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系

数法、定义法等.直线与双曲线的位置关系中的定点、定值问题，一

般可通过联立方程组并消元得到关于X或y的一元二次方程，再把要

求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该

关系中含有石々,%1+々或%+丁2,最后利用韦达定理把关系式转化

为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.

9.辛

【分析】联立直线与双曲线求出韦达定理，由题知鼬•^BD=-1,结合

斜率公式和韦达定理即可求解

【解析】设A(%i,yi),Bg,y2),

y=kx+m

联立x22得(1—4Q)%2—4(4+1)=0,

『二i