九师联盟2024届高三12月质量检测巩固卷 数学试题含答案

九师联盟2024届高三12月质量检

测巩固卷数学试题

局二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合“小限”。｝,8=川"2丑则5"()

A.(-*2)B.(-1,0]C.(-1,2)D.[-1,0]U[1,2]

2.已知复数4=l-i,?2=a+i，若422为纯虚数，则实数。的值为()

A.-2B.2C.-1D.1

3.函数/(%)=丑群的图象大致为()

e11

A.若加//a,nil(3,且加〃〃，则a〃尸

B.若加//a,nilf3,且加J_〃，则夕，〃

C.若加J_a,nil(3,且加J_〃，则。_L〃

D.若加J_a,nL/3,且加_L〃，则。_L〃

5.已知角。的始边为x轴非负半轴，终边经过点(3,G),将角。的终边顺时针旋转]后得到角尸，则

tan6=()

D.-V3

6.已知抛物线E:/=2px(P〉0)的焦点为歹，准线为/,过E上的一点A作/的垂线，垂足为B,若

[48|=3]。尸|(。为坐标原点)，且△4BE的面积为12/，则E的方程为()

A.y=4xB.y2=4A/3XC.y=8xD.「=80

7.一个轴截面是边长为2G的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球。后，再放入一个

球利，则球02的表面积与容器表面积之比的最大值为（）

41J3V3

A—B.一C.—D.—

■8127273

（3兀3兀）八/、fsin2x,sinx<cosx

8.已知函数的定义域为一下，:，且/（x）=<..，若关于x的方程/（x）=a有

I44J[smx?smx>cosx

4个不同实根西,马，》3，》4（玉<X2<%3<%），则/（xjsinX+X4的取值范围是（）

j_V2

c.(1,V2)D.(-V2,l)

2，-T

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1,2,3,4分别为2023年中国乡村旅游消费者年

龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（）

/qKKMMI,

、15000](

200001|71；I

兀以300元以下

5000/L1141.K%

A.2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19〜50岁之间的男性占比超过工

3

B.2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%

C.2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%

D.2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用

其中间值作代表）

10.若矩形的所有顶点都在椭圆E:=+匕=1伍〉0）上，且[48|=2行，|/。|=2百，点尸是

a2

E上与4民。,。不重合的动点，则（）

一一►1

A.£的长轴长为4B.存在点尸，使得R4,PC=—二

2

C.直线PA,PB的斜率之积恒为D.直线尸4PC的斜率之积恒为

22

11.已知正数x，y，z满足5工=9"=15"则（

A.xz-\-2yz-2xy=0B.5x<9y<15zC.xy<2z2D.9x+2y<16z

12.在棱长为1的正方体/BCD-481GA中，点尸满足屈=4而+〃兀，其中无€[0,1],

[0,1],则下列说法正确的是（）

A.若〃=g,则尸点轨迹所在直线与平面AXCD平行

B.若文+〃=1,则4。_L8P

C.若x=〃，则|赤|+14Al的最小值为■+>

D.若AP与平面CG3。所成角的大小为殳，则2〃的最大值为:

42

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/（x）=f—3x,则曲线V=/（x）在点（1,—2）处的切线方程为.

14.（V—/一2y—l）5的展开式中的系数为.（用数字作答）

15.求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法

国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规

作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立

方体的边长为。，作两条互相垂直的直线，相交于点。，在一条直线上截取。/=a,在另一条直线上截取

08=2a,在直线。5,CM上分别取点C,。，使NNCD=N5QC=90°（只要移动两个直角尺，使一个

直角尺的边缘通过点A,另一个直角尺的边缘通过点B,并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角

顶点即为C。），则线段OC即为所求立方体的一边.以直线。4、OC分别为x轴、了轴建立直角坐标

系，若圆E经过点4C。，则圆E的方程为

y

16.已知数列｛%｝满足4+i=a“+吃，集合5=卜也口“卜eN*｝,若S恰有4个子集，则5=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

17.记S”为数列｛%｝的前〃项和，若q=3,(«+l)an+1+(2«+l)5„=2.

(1)求；

71Z、

(2)若“=卞_B,求数列也｝的前〃项和北.

n(2〃-1电

18.已知△45C的内角45c的对边分别为。也。，A为锐角，44B。的面积为S,

4bS=a(b2+c2-a2\

C

(1)判断A48C的形状，并说明理由；

7T37r

(2)如图，若NABC=—,BC=M，。为AA8C内一点，且0c=1,ZAOC=—,求03的长.

44

19.如图，在三棱柱48C-48cl中，幺/=4。=6,4G=60，平面45CL平面441℃.

(2)若45,4。，三棱锥4一48。的体积为18,点。在棱ZC上，且求平面4。巴与

平面48c夹角的余弦值.

20.2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞

机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中2、B、C、D、E、E等高校为C919大飞机做出了

重要贡献，如N高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：

气动总结构强航飞液

项目

体度电控压

参与人

55343

数

3高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表:

气动总气动外

结构强航电设液压系起落架

设计论体形

度计统的

证设计论设计论

论证论证论证论证

证证

参与教

ab,cde,fgh

师

(1)某科普博主准备从幺、B、C、D、E、E共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的

贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校(3天将选中的3所高校全部介绍完)，求

C、。被选到，且C在第2天被介绍的概率；

(2)若从/高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人

员的概率；

(3)若从2高校参与的6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中8高校参与教师人数为X,

求X的分布列与期望.

21.已知双曲线「：g.=l(a〉0,b〉0),4,4为「的左、右顶点，P为「上一点，

abI2,

04的斜率与04的斜率之积为;.过点2(3,0)且不垂直于x轴的直线/与「交于N两点.

(1)求「的方程；

(2)若点、E,尸为直线x=3上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME,NF的交点在定直线上.

1

29

22已知函数f(x)=—ax-[2a+l)x+2Inx{aGR).

，2

(1)若/(%)有唯一极值，求。的取值范围；

(2)当aWO时，若/(再)=/(>2)，/。工2，求证：<4.

局二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合/={印2<°},――2叫,则()

A.(一小2)B.(-1,0]C.(-1,2)D.[-l,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】

【分析】解对数不等式、一元二次不等式求集合，再应用补运算求集合.

【详解】由题设2={x[0<x<l},8={x|(x+l)(x—2）<0}={x|-l<x<2},

所以即4=[—1,0川口,2]

故选：D

2.已知复数Z1=l—i,z2=a+i,若z/z?为纯虚数，则实数。的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】c

【解析】

【分析】应用复数乘法及纯虚数定义列方程求参数.

【详解】=。—i)(a+i)=a+l+(l—a)i为纯虚数J

。+1=0

所以.=>«=-1.

1—t7H0

故选：C

3.函数/("=।,的图象大致为()

e11

%

'EC^\一

-暴3V”

%、一小/,

苫\9口]

【答案】B

【解析】

7T

【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当xe(O,Q)时，函数值的正负即可判断作

答.

【详解】函数/("=个浮的定义域为R,/(—X)=X：sJ-%)=即函数/(x)是

eee

奇函数，排除CD；

当xe(O,])时，=即当xe(O,])时，函数/⑴的图象在x轴的上方，显然A不满

足，B满足.

故选：B

4.已知a,A是空间两个不同的平面，机,〃是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是()

A.若m//a,nilP,JImlIn,贝!]a〃6

B.若心〃a,nilP,且m_L〃，则

C.若阳_La,nilP,且m_L〃，则

D.若加J_a,nL/3,且m_L〃，则

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分别分析各个选项可得解.

【详解】对于A,若根//a,〃〃尸，且加〃〃，则a,尸可能相交或平行，故A错误；

对于B,若mlla,nll/3,且相，〃，则a,6可能相交或平行，故B错误；

对于C,若加，a,nll/3,且切，〃，则a,4可能相交或平行，故C错误；

对于D,若加J_a,mLn,则〃在平面a内或〃//a,又〃_!_，，所以故D正确.

故选：D.

5.已知角。的始边为x轴非负半轴，终边经过点(3,6)，将角。的终边顺时针旋转1后得到角"，则

tan尸=()

A.—B.--C.6D.-V3

33

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函数的定义可得tan，=弓，依题意得尸=9-三，结合两角差的正切公式运算求值.

【详解】因角。的终边经过点（3,百），由三角函数的定义可得tan，=£，

/\tan6八,-tan—兀同

又依题意得尸=9—乌，所以tan£=tan=-----------=，

3''1+tan6^-tan—

3

故选：B.

6.已知抛物线£:/=2川（夕〉0）的焦点为歹，准线为/,过E上的一点A作/的垂线，垂足为B,若

\AB\=3\0F\（。为坐标原点），且△4BE的面积为12血，则£的方程为（）

A.j2=4xB.j2=4&C.j2=8xD./=8氐

【答案】C

【解析】

【分析】表达出|48|和点A坐标，利用△4BE的面积求出P,即可得出E的方程.

【详解】由题意，

在抛物线E=2.（夕>0）中=3]。耳,

焦点尸准线/：》=一^

：.\OF\=^,\AB\=^p,则N（p,土亚p）

四位|=>]•，行P|=12后，解得：p=4

•••£的方程为：/=8x.

故选：C.

7.一个轴截面是边长为2G的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球。后，再放入一个

球则球仪的表面积与容器表面积之比的最大值为（）

41V3

---B.—

8127§

【答案】A

【解析】

【分析】由题设易知放入一个半径为1的小球o后，圆锥轴截面中小球。的截面圆为内切圆，要使比值最

大，球2的半径々最大，利用内切圆性质求与，进而求球体、圆锥表面积，即可得比值.

16

【详解】由边长为2G的正三角形的内切圆半径为4=-Lx2V3x—=1，

32

即轴截面是边长为2G的正三角形的圆锥内切球半径为1，

所以放入一个半径为1的小球a后，再放一个球如下图,

要使球。2的表面积与容器表面积之比的最大，即球。2的半径々最大,

所以只需球。2与球0、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时々=；x（2Gx等—2八）=；，

所以球。2的表面积为4尾=—,圆锥表面积为3兀+jx2Gx2百兀=9兀,

92

4

所以球。2的表面积与容器表面积之比的最大值为—.

81

故选：A

（3兀3兀।sinsinx<cosx

8.已知函数，（x）的定义域为］I,且/（》）=<..，若关于％的方程/(%)=。有

smx,sinx>cosx

现+毛+毛+匕的取值范围是（

4个不R］头根玉,%，%3，*4(%!<x2<x3<x4),则/(xjsin

2

A.仕叵IB.c.(1,V2)D.(-72,1)

【答案】A

【解析】

【分析】利用辅助角公式得sinx-cosx=J5sin（x-；）,讨论其符号求x范围，进而写出了⑴解析式并画

出草图，数形结合得玉+%=—］,迎+%=兀、¥</（西）<1，即可得答案.

【详解】由$111%一（：0$%=亚5亩（％-巴），

4

兀7C

若sinxvcosx,则5由（％—1）<0,可得（2E+1）兀<、一］<2（左+1）兀，左£Z,

Sir97r

所以2左兀H---<X<2左兀H---，左£Z,

44

兀7C

若sinxNcosx,则sin（x—a）20，可得2EV、一^V（2左+1）兀，左£Z,

jrSir

所以2左兀+—<X<24兀H---，左£Z,

44

要使/（%）=。有4个不同实根国,、2，、3，%4（玉<X2<%3<%4），则注，

,E心兀JMMM+%4兀L行

由图知：x2=——,X3+x4=71,故-------------=—,且一^―</（%］）<1,

所以/（xjsin土土强手上的范围为辛.

2122）

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出，（x）的图象为关键.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1,2,3,4分别为2023年中国乡村旅游消费者年

根据该图，下列结论错误的是（）

I

Xlioooo,、

[15000.

f60U,

I5IK）（小几）/900]时梵!R

20000几以二-300疝以卜

X.//o/3,9%

[300.600*元）

）

\44.6%\'5000斤以卜

田4

A.2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19〜50岁之间的男性占比超过,

3

B.2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%

C.2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%

D.2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用

其中间值作代表）

【答案】BC

【解析】

【分析】由图1和图2可判断A选项，由图3可判断B选项，由图4可判断C、D选项

【详解】由图1和图2可知，2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19〜50岁之间的男性占比为

97.6%x37.2%«36.3%,故A正确;

由图3可知，2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比为60%,故B错误;

由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为

23.7%+30.6%=27^5%^故c错误;

2

由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为

150x3.9%+450x41.8%+750x30.6%+1050x23.7%=672.3，故D正确.

故选：BC

22_—

10.若矩形4BCO的所有顶点都在椭圆E:=+匕=1伍〉0）上，且［48|=2行，以。|=2百，点尸是

a2

E上与4民。,。不重合的动点，则（）

——-1

A.E的长轴长为4B.存在点尸，使得尸幺•尸C=——

2

C.直线p4PB的斜率之积恒为-LD.直线尸4尸。的斜率之积恒为

22

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,根据椭圆的对称性结合|/回=2也可判断椭圆焦点在x轴上，由此求得4瓦。,。坐标，

代入椭圆方程求得。=2,得解；对B、D,设点尸（X,#代入运算可判断得解；对C,举反例可判断.

【详解】因为矩形4SC。的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得4c关于原点对称，瓦。关于原点

对称，

由:+匕=1,|46|=2夜，可得/〉2,即椭圆焦点在x轴上，

a2

如图所示,又"=26，忸C|=2,易得z（万l）,5（-V2,l）,C（-V2,-l）,D（V2,-1）.

对于A,将点2（、历,司代入椭圆方程可得指+。=1,解得。=2,椭圆的方程为9+9=1,所以椭圆

的长轴长为4,故A正确；

对于B,设点尸（xj）,且x?+2y2=4,x手士母，则尸Z=（正―x,l—了），尸C=（—正—羽―1—y）,

所以尸PC=^V2-xj^-V2-xj+（l-j）=x2+y2-3=1-j2,X-72<y<42,

即当y=土逅时，PA-PC=--,故B正确；

-22

尸（—2,0）,则即/=£+2，1

对于c,当点尸是左顶点时,

-V2+2'

,,111

所汝kpA-kpB=m^F^=3,故C错误;

对于D,设点尸（X/）,且/+2/=4,xW±C，

7V—17V+1

则kpA=~~7=，kpc=7=，

x—V2x+A/2

)21_J/]

所以原-k一,故D正确.

pcx2-22-2y22

故选：ABD.

11.已知正数x/，z满足5、=9"=15=，则（）

A.xz+lyz-2xy=0B.5x<9y<15zC.xy<2z2D.9x+2y<16z

【答案】AB

【解析】

【分析】设5工=9'=15'=//〉1,求出x，N，z,利用对数的运算及换底公式计算判断A；利用作商法计算

判断B；利用作差法计算判断CD.

【详解】依题意，设5'=y=15=则xlog,5=ylog/9=zlog/5=l,

111

x—9y~,z=

log,5"log,9log/5

[2252x9

对于A,xz+2yz-2xy=xyz(—+------)=xyz(2log,5+log,9-2logJ5)=xyzlog———=0,A正确；

yxzz15

对于B而艮…",则…’

125o

-^<1,即有Iogg5：l53<l,贝19y<15z,

*ms,9

243x9

所以5x<9y<15z,B正确;

122八，2xy

对于C,由选项A知，—I--------=0,得2=-------,

yxzx+2y

则——xy{x-2y')-

>0,C错误;

(x+2y)2

„c,,0c32孙(9x+2v)(x+2y)-32xy(3x-2y)2

对于D,9x+2y-16z=9x+2y-------=-------------------------=-------->0,

x+2yx+2yx+2y

因此9x+2y〉16z,D错误.

故选：AB

12.在棱长为1的正方体4BCD—481GA中，点尸满足而=彳而+〃西，其中沈

[0,1],则下列说法正确的是()

A.若〃=工，则尸点轨迹所在直线与平面4CD平行

2

B,若彳+〃=1,则&C_LAP

c若几=〃，则|赤卜|府|的最小值为6丁

7T1

D.若8P与平面CG2。所成角的大小为则4〃的最大值为:

42

【答案】ABD

【解析】

【分析】A、B、C根据条件确定尸点轨迹，结合线面平行判定、线面垂直的判定及性质、平面上两点距离

z、TT

最短判断；D由条件得尸在线段G。上运动，令NDC尸=9e[0,Q],则4=cosd〃=sine,结合三角

恒等变换及正弦型函数性质求最值判断.

【详解】A：若及尸为CG，OR中点，当〃=；时尸在线段E尸上运动，而EF//CD,

面4CD,CDu面4C。，则£尸//面4。。，A对；

B：由彳+〃=1,则尸在线段G。上运动；在正方体中易知gCL8G，

且451±面BCC[B[,8Gu面BCC[Bi，则A1B}±BC〉

B[Cn4e=B[,BXC,A[B]<z面&B]C,则g1面4gC,&Cu面A^C,

所以8G，4C,同理可证AD工4C，又BC[CBD=B,BC[,BDu面BC]D,

所以4CL面Bq。，APu面BG。，则4C_L5尸，B对；

将面CDC｛翻折至与面5004共面，如下图，=44=135°,

所以。,P,4共线时|。尸|+，尸|的最小值为DAl=Vl+l-2cosl35°=,2+以，C错;

7T

D：若AP与平面CG2。所成角的大小为彳，连接5G，AD,又面S)〃G，

结合正方体性质ZCC.B=ZCDB=:TT,要使线面角NCPB恒为7T:，

只需尸在面CDD£中以C为圆心，CC,为半径的圆弧G。上运动；

TV

如上图，令NDC尸=9e[0,—],则2=cos仇〃=sin。，

11兀

所以即=sin9cos9=—sin2e4—,当且仅当6=—时取等号,

224

所以彳〃的最大值为D对.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：根据条件确定尸点运动轨迹为关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)=f—3x,则曲线＞=/(x)在点(1,—2)处的切线方程为.

【答案】x+y+l=0

【解析】

【分析】应用导数几何意义求切线方程即可.

【详解】由题设/'(x)=2x-3,贝1]/")=-1,故点(1,一2)处的切线方程为y+2=-(x-l),

所以x+y+1=0.

故答案为：x+y+l=0

14.(Y—2y—1)5的展开式中/的系数为.(用数字作答)

【答案】140

【解析】

【分析】要产生//可能是1个1个一3个_1或1个，，2个-2,2个-1,分别进行计算求解

即可.

【详解】(——/—2了—1丫的展开式中要产生//可能是1个了2,1个—3个t或1个，，2个

-2j,2个-1,

故展开式中含/项为C；雇C；[-y2)C；(-1)3+C；雇C；(—24c；(-1)2=140//,

即展开式中//的系数为140.

故答案为：140.

15.求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法

国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规

作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立

方体的边长为。，作两条互相垂直的直线，相交于点0,在一条直线上截取。/=。，在另一条直线上截取

OB=2a,在直线。瓦CM上分别取点C,Q,使NNCD=NRDC=90。（只要移动两个直角尺，使一个

直角尺的边缘通过点A,另一个直角尺的边缘通过点8,并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角

顶点即为C。），则线段OC即为所求立方体的一边.以直线。4、0c分别为x轴、了轴建立直角坐标

系，若圆E经过点4G。，则圆E的方程为.

|(9C|2=|0^|.|(9£)|

【分析】根据题设有<求。C、OD,再求出£坐标和圆的半径，进而写出圆的方程.

\OD^=\OC\-\OB\

\OCf=\O^-\OD\=a\OD\

【详解】由题设,则=2叫oq=>\OC\=6a,

|(9£>|2=\OC\-\OB\=2a\OC\

所以|。必=吹口,

由NNCZ>90。，要使圆£经过点4G。，则圆心E为中点,

所以£（号4%0）且半径为兽a,

故圆£的方程为（x—1=（1+，）

痂型安%/1—V?22（1+V?）22

故答案为：（%-----——a）+y--------a

16.已知数列｛4｝满足a.=4+事，集合5=上吊％,€>1*｝,若S恰有4个子集，则5=.

【答案】｛-1,万｝或｛-万,1｝

【解析】

2%冗27r

【分析】根据题设sin%有且仅有2个对应值，结合等差数列定义得%=亍+%-丁，〃eN*，根据正

弦型函数周期性，只需研究sin外,sin%,sin%是否相等，应用分类讨论求对应集合S.

【详解】由S恰有4个子集，故集合S共有2个元素，即sin%有且仅有2个对应值，

27T27r2777T27T

由。“+1-即｛a”｝是公差为的等差数列，则％=一^——~>〃eN*,

所以%的最小正周期为T=3,则角%必与q,或，色中的一个终边相同，

所以S中有且仅有sina”sina2,sina3且必有两个相等，

若sin%=sin的Hsin%,则sinq=sin（g+aj,整理得百cos（q+三）=0,

兀兀711

所以％+—=收+一,左eZ,则％=析+一,左eZ,故sin%=sin%=±—，

3262

]_7i5兀3兀1

当sinq=sin%=一时，不妨取q=—，则g=—，%=—，此时S—｛-1,一｝满足；

26622

.1一5兀7[711

当sin%=sina?~—时，不妨取q—---，则a?——，%=一，此时S=｛—,1｝满足；

26622

若sin%=sin%wsin%，则sin%=sin（如+aj,整理得Gsin（q+乌）=0,

36

兀71]

所以％+—二左兀,左£Z,贝i]%=析——,keZ,故sinq=sin的=土一，

662

15兀3兀13兀1

当sin%=sin%=一时，不妨取卬=——，则。2=——，/=---，此时S=｛-1,一｝满足；

26262

]兀717兀]

当sin%=sin%=—时，不妨取％=—,则%=—，%=—，此时S=｛—,1）满足；

26262

若sing=sin%。sinq,则sing=$山（&+。2），整理得+乌）=0，

36

兀兀]

所以。2+—=析，左£Z,贝|。2=左兀——，左eZ,故sin%=sin%=±-，

662

[5TC7i3兀1

当sina?—sin/=一时，不妨取a?=—，则出=一，%=—，此时8~｛-1,一｝满足；

26622

I_兀5兀兀]

当sing=sin/=—时，不妨取出=—，贝----，%=—，此时S=｛—,1｝满足；

26622

综上,s=｛T；｝或｛—；」｝.

故答案为：｛—1,万｝或｛—『I｝

【点睛】关键点点睛：利用集合子集个数得sin4有且仅有2个对应值，根据等差数列定义、正弦型函数

的周期性，转化为研究sinq,sin外,sin%且必有两个相等为关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.记S"为数列｛%｝的前〃项和，若4=3,(〃+1)2%用+(2〃+1)5“=2.

(1)求S”；

⑵若a=F―B,求数列也｝的前"项和1.

n(2〃―1电

【答案】(1)5“=丝工；

n

(2)n.

2〃+1

【解析】

【分析】(1)由题设及。“,5"关系得(〃+1)21+1-〃2y=2,构造新数列并结合等差数列定义写出通项公

式，进而可得s“；

(2)应用裂项相消法求前"项和.

【小问1详解】

由题设(〃+1)2(S〃M—S.)+(2〃+1)S〃=2,则(〃+1)2S〃+1—/s“=2,

又12义岳=%=3,故｛/SJ是首项为3,公差为2的等差数列，

。I1

所以〃为“=3+2(〃-1)=2〃+1,则S“=.

优

【小问2详解】

,1111、

由m得％=7^^