2024届上海高中数学高三年级上册期末监测模拟试题含解析

2024届上海高中数学高三上期末监测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一

幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”

这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：

小明说：“鸿福齐天”是我制作的；

小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；

小金说：“兴国之路”不是我制作的，

若三人的说法有且仅有一人是正确的，贝心鸿福齐天”的制作者是（）

A.小明B.小红C.小金D.小金或小明

2.已知正项等比数5川｛q｝的前〃项和为S,„s2=^,s3=—,则4,的最小值为（)

A.（―）2B.（―）3c.(—)4D.瑶)5

27272727

3.设复数z满足z-（l+i）=2i+l（i为虚数单位），则复数z的共扼复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

a\x<\

4.已知实数。>0,函数/(X)=-、4在上单调递增，则实数。的取值范围是（）

X4--4-6?InX,X>1

A.1<«<2B.a<5C.3<a<5D,2<a<5

5.某程序框图如图所示，若输出的S=12（）,则判断框内为（）

开始

A.左>7?B.k>6?C.k>52D.k>4?

6.已知正方体ABCD-AgCQ的棱长为1,平面a与此正方体相交.对于实数"(0<d<@,如果正方体

ABC。-A4GA的八个顶点中恰好有加个点到平面。的距离等于d,那么下列结论中，一定正确的是

A.m丰6B.m丰5

C.m^4D.

7.设等差数列｛4｝的前〃项和为S"，若S?=3,54=10,则56=()

A.21B.22C.11D.12

8.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则(),

俯视图

A.26.生S，且2&eSB.2夜任S，且2石wS

C.2V2GS«且26任5D.2V2eS.且2gwS

9.在AABC中，BD=^DC,则册=（）

1391

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

4433

C.-AB+-ACD.-AB--AC

3333

10.复数z的共轨复数记作已知复数4对应复平面上的点（一1,一1）,复数Z2：满足,/2=-2.则22|等于（）

A.72B.2C.V1OD.10

11.若数列｛风｝满足q=15且3aM=34-2,则使WHIVO的攵的值为（）

A.21B.22C.23D.24

22________

12.已知点P是双曲线。：「一当=1（4>0,匕〉0"=，02+/）上一点,若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之

ab~

积为一。2,则双曲线。的离心率为（）

4

A.0B.当C.73D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候

选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比

值）最高可能为百分之.

“我身边的榜样”评选选票

候选人符号

甲注：

1.同意回“。”，不同意画“X”.

乙2.每张选票“。”的个数不超过2时才为有双累.

丙

14.函数/（月=字》一sinx

在0卷上的最小值和最大值分别是

15.已知平面向量a=（根,2）,力=（1,3）,且则向量4与8的夹角的大小为

16.某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为.

侧（左）视图

俯视图

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程

x=2cos。

已知曲线G的参数方程是=夕（。为参数）,以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G

的极坐标方程是。=2sine.

（1）写出G的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）已知点A/2的极坐标分别为和（2,0）,直线与曲线G相交于「，。两点，射线QP与曲线

\2）

c相交于点A,射线°。与曲线G相交于点B,求总产+看的值•

18.（12分）如图，在棱长为20的正方形ABCD中，E,尸分别为CO,8C边上的中点，现以防为折痕将点C

旋转至点P的位置，使得「一EF—A为直二面角.

（1）证明：EF±PA；

（2）求PO与面A3尸所成角的正弦值.

19.（12分）已知函数f（x）=|x+l|-|x-2|.

（1）解不等式〃x）Wl；

222222

⑵记函数/(X)的最大值为S,若a+b+c=s(a,b,c>0),证明：ab+bc+ca>3abc.

x=l+2cosa

20.(12分)在直角坐标系中，圆。的参数方程为：\(a为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.

(1)求圆C的极坐标方程；

X=tCO^(pL

(2)若直线/：,"a为参数)被圆。截得的弦长为2百，求直线/的倾斜角.

y-tsm(p

2L(12分)设函数/(x)=|x-l|+|x-a|(a£R).

(D当a=4时，求不等式/(x)35的解集；

(2)若/(x"4对xeR恒成立，求。的取值范围.

22.(10分)如图，三棱锥P—ABC中，PA^PC,AB=BC,ZAPC=120\ZABC=9O°，AC=6PB.

(1)求证：ACIPBi

(2)求直线AC与平面246所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【解题分析】

将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.

【题目详解】

依题意，三个人制作的所有情况如下所示:

123456

鸿福齐天小明小明小红小红小金小金

国富民强小红小金小金小明小红小明

兴国之路小金小红小明小金小明小红

若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作

者是小红，

故选：B.

【题目点拨】

本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.

2、D

【解题分析】

177"_]

由52=工5=：^，可求出等比数列｛凡｝的通项公式%=上一，进而可知当时，4,<1；当〃26时，

92727

从而可知a”的最小值为qa2a34%，求解即可.

【题目详解】

设等比数列｛4｝的公比为4,则4>（）,

24

1

一，4=—

a41

由题意得，3=S3-S2=—,得<q+qq=x，解得27,

4=2

夕〉0

当14及<5时，an<\.当力26时，an>\9

4

则4a24的最小值为qa2a3a4%=（4）'=（―）5•

故选：D.

【题目点拨】

本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

3、D

【解题分析】

先把z-(l+i)=2i+l变形为z=篙'然后利用复数代数形式的乘除运算化简'求出得到其坐标可得答案.

【题目详解】

2z+l(2z+l)(l-z)3+z31.

解：由z-(l+i)=2i+l,得2=~-+-i,

1+z(l+z)(l-z)222

所以z=5-彳i,其在复平面内对应的点为5，-5,在第四象限

LL;乙乙)

故选：D

【题目点拨】

此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

4,D

【解题分析】

根据题意，对于函数分2段分析：当x<l,/(x)=a',由指数函数的性质分析可得①，当

x>l,f(x)=x2+-+a]nx,由导数与函数单调性的关系可得/'(为=2%-3+320,在口,~)上恒成立，变形

XXX

可得a22②，再结合函数的单调性，分析可得a«1+4③，联立三个式子，分析可得答案.

【题目详解】

ax,x<1

解：根据题意，函数,f(x)=,4在R上单调递增，

XH---F6ZInX,X>1

、X

当》<1,/*)=屋，若/(X)为增函数，贝儿>1①，

94

当X2l"(x)=厂H--FaInX,

X

若/(x)为增函数，必有/(X)=2X-4+-^0在工”)上恒成立，

XX

4o

变形可得：a>——2x2,

X

/、4c4o4

又由xNl,可得g(x)=――2/在11,y)上单调递减，则二一2/4一一2=2,

XX1

若。之刍―2/在[1,一)上恒成立，则有aN2②，

X

若函数/(x)在R上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值,

则需有aWl+4=5,③

联立①②③可得：2«a«5.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.

5、C

【解题分析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表：

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

6、B

【解题分析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.

【题目详解】

如图（1）恰好有3个点到平面a的距离为d；如图（2）恰好有4个点到平面a的距离为d；如图（3）恰好有6个

点到平面a的距离为d.

所以本题答案为B.

【题目点拨】

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力

和知识方法的迁移能力，属于难题.

7,A

【解题分析】

由题意知52,54-52,56-04成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出§6的值.

【题目详解】

解：由｛4｝为等差数列，可知Sz'S'-Sz.Se-Sq也成等差数列，

所以2（S4-S2）=S2+S6-S,，即2x（10—3）=3+56—10,解得S$=21.

故选:A.

【题目点拨】

本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和

公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

8、D

【解题分析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.

【题目详解】

根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，

如图所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=2O,BE=7（2A/2）2+22=273•

故选：D.

E

【题目点拨】

本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

9、B

【解题分析】

在AB,AC上分别取点E、E,使得AE=2EB,AF=^FC,

21

可知血历'为平行四边形，从而可得到AO=AE+AF=-AB+—AC,即可得到答案.

33

【题目详解】

如下图，BD=LDC,在AB,AC上分别取点E、尸，使得AE=2EB,AF=」FC,

22

21

则AEDF为平行四边形，故AO=AE+AF=]AB+§AC,故答案为B.

【题目点拨】

本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题.

10、A

【解题分析】

__2

根据复数4的几何意义得出复数4,进而得出Z1,由4/2=-2得出Z2=-=可计算出Z2,由此可计算出任21

Z]

【题目详解】

由于复数4对应复平面上的点(一则£=—1+"

i----------厂

_222(l+z)+

•••4%=-2,+因此，㈤=>/^=血.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轨复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.

11、C

【解题分析】

因为--4='2，所以｛叫是等差数列2，且公差"=4=125,则4=125、475-1）=\〃+£，所

2472454547

以由题设如q+a。可得（工〃+7）（一4〃+不）<00万"<〃〈彳，则1〃=23,应选答案c.

12、A

【解题分析】

设点P的坐标为（利,〃），代入椭圆方程可得〃加之-/〃2=/从，然后分别求出点p到两条渐近线的距离，由距离之

积为%、并结合。"-八一生，可得到—的齐次方程'进而可求出离心率的值.

【题目详解】

n2

设点尸的坐标为（机,〃），有与=1,得b2m2—A，22

记ab.

双曲线的两条渐近线方程为法-缈=。和法+〃y=。，则点尸到双曲线C的两条渐近线的距离之积为

\hm-an\\hm+an\\h2m2-a2n2\^b1

所以空t=、2,则4a2g2—/）=c4,即（/一2/）2=0,故°2一2。2=0,即e2=；=2,所以e=垃.

c4、/a

故选：A.

【题目点拨】

本题考查双曲线的离心率，构造a,〃,c的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、91

【解题分析】

设共有选票100张，且1,2,3票对应张数为羽％2,由此可构造不等式组化简得到z=x+9,由投票有效率越高二越小,

可知zmin=9,由此计算可得投票有效率.

【题目详解】

不妨设共有选票10()张，投1票的有X,2票的有y,3票的有z,则由题意可得:

x+2y+3z=88+75+46=209

<x+y+z=100,化简得：z—x—9)即z=x+9,

x,y,ze.N

投票有效率越高，z越小，则x=0,z=9,

100-9

故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为一小xl00%=91%.

故答案为：91%.

【题目点拨】

本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.

4171V2近兀

JL4、----------------1

824

【解题分析】

求导，研究函数单调性，分析，即得解

【题目详解】

由题意得，/(x)=—1-cosx.

TT7T

令人X)〉。，解得

jr

令八x)(°'解得

71](兀九

"⑶在%上递漏在7万递增•

故/(X)在区间0，W上的最小值和最大值分别是叵—也，叵—1.

12」824

故答案为:牛-冬冬一

【题目点拨】

本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题

71

15、

4

【解题分析】

由办仅叫，解得机=4,进而求出cos(a&=等，即可得出结果.

【题目详解】

(4,2)-(13)_V2

解：因为b_L(a-〃)，所以(1,3>(加一1,-1)=加一1-3=0,解得〃?=4,所以cos(a©

“A.#”一

IT

所以向量“与人的夹角的大小为“

7T

都答案为：

【题目点拨】

本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题.

4

16、-

3

【解题分析】

利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.

【题目详解】

如图:

2

此四棱锥的高为0,底面是长为五，宽为2的矩形,

所以体积V=,x2x及x&=3.

33

4

所以本题答案为

【题目点拨】

本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确

理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1*2115

17、(1)线G的普通方程为、+y2=l,曲线G的直角坐标方程为V+—1)2=1；(2).+而F=U

【解题分析】

x=pcosO

试题分析：(1)(1)利用cos2O+sin20=l,即可曲线G的参数方程化为普通方程，进而利用<".八即可化为极坐

y=psinu

标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；

(2)由过f+(y—1)2=]的圆心，得OP'OQ得设A(g,e),+

两1r两1r方1+后1代入0—2cos2。+闷，a，=1中即可得解•

试题解析：

(1)曲线G的普通方程为二+>2=1,化成极坐标方程为°cos“+22sin2。=]

44

曲线G的直角坐标方程为/+(丁_1)2=1

(2)在直角坐标系下，M(0,l),M(2,0),MtM2-.x+2y-2=0

恰好过f+(y_i)2=i的圆心，

2

.•./20。=90。由0?，0。得。4_103A,8是椭圆工+V=i上的两点,

4

在极坐标下，设Ag,e),,22，，+3分别代入任严+2落而。=1中,

有江誓+夕；a2。=1和上

2•2

+p2sin

4

1COS?。,2c1sin?。2c

-7=------Fsin09——=------Fcos0

P；4p24

115115

Ap}4H|0A|2\OB\24

18、(1)证明见详解；(2)逅

6

【解题分析】

(1)在折叠前的正方形43。中，作出对角线AC,BD,由正方形性质知AC,6。，又EF"BD,则ACJ_E尸于

点”，则由直二面角可知P”上面ABEED,故PHLEF.又AHLEF,则EE_L面PAH,故命题得证；

(2)作出线面角NP/汨，在直角三角形中求解该角的正弦值.

【题目详解】

解：(1)证明：在正方形ABC。中，连结AC交EF于，.

因为ACLBD,EF//BD,故可得ACJ_EF,

即EF_LAH,EE_LC〃

又旋转不改变上述垂直关系,

且A〃,C”u平面PA”，

.•.斯上面PAH,

又B4u面Q4”，所以所

(2)因为「一ER—A为直二面角，故平面PEEL平面AEE,

又其交线为E/，且PH±EF,PHu平面PEF,

故可得尸归J_底面AB尸，

连结则NPE归即为PO与面A3尸所成角，连结8。交AH于。,

在RtAODH中,

DH=^DOr+OH2=y/5»PH=CH=1

在RMHD中

DP=ylDH2+PH2=V6，

PH_146

sin4PDH

所以PD与面ABF所成角的正弦值为&.

6

【题目点拨】

本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题.

19、(1)(-0),1]；(2)证明见解析

【解题分析】

-3,1—1

(1)将函数整理为分段函数形式可得/(x)=2x-l,-l<x<2,进而分类讨论求解不等式即可;

3,x>2

(2)先利用绝对值不等式的性质得到/(x)的最大值为3,再利用均值定理证明即可.

【题目详解】

(1)/U)=|x+l|-|x-2|

—3,xW—1

/(x)=<2x-l,-1<x<2

3,x>2

①当x<—l时，一341恒成立，

**•xW—1；

②当-lvxv2时，2x—1<1,即

*,•-1V1<1;

③当X22时，3<1显然不成立，不合题意；

综上所述，不等式的解集为(-8』.

(2)由⑴知/("ax=3=$,

于是Q+/7+C=3

由基本不等式可得a2b2+b2c2>2y[aW=2cMe(当且仅当。。时取等号)

b2c2+c2a2>2yla2b2c4^2abc2（当且仅当8=a时取等号）

c2a2+a2h2>24aW=2a2hc(当且仅当c=b时取等号)

上述三式相加可得

2(a2b2+b2c2+c2a2)>2at>c(a+b+c)(当且仅当a=h=c时取等号)

a+b+c=3,

'''a2b2+b2c2+c2a2N3abe,故得证.

【题目点拨】

本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式，考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决

带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

20、(1)/7=4cos(e—g)；(2)乙或5

【解题分析】

(1)消去参数。可得圆C的直角坐标方程，再根据夕2=/+y2,夕cos。，y=psin。即可得极坐标方程；(2)

写出直线/的极坐标方程为。=。，代入圆C的极坐标方程，根据极坐标的意义列出等式解出即可.

【题目详解】

x=l+2cosa..l_\2

，

(1)圆C：|v-73+2sin«消去参数夕得：(%-1)一+(/-6)=4,

即：x2+y2-2x-2\f3y=0,Vp2=x2+y2,x=pcos®,y=psin。.

:.p1一2/?cos6-26/7sin6=0,

X