天津市津南区2022年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案

天津市津南区2022年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P的坐标是（）A.（3，1） B.（﹣3，﹣1）C.（﹣3，1） D.（﹣1，3）【答案】C【详解】点P（3，-1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标为（-3，1），故选：C．2.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个【答案】B【详解】第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选B．3.一元二次方程根的情况是（）A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根C.无法判断 D.有两个相等的实数根【答案】B【详解】∵，∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×1=13>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．4.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A.有最大值4 B.有最小值4C.有最大值6 D.有最小值6【答案】D【详解】∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D．5.如图，四边形为的内接四边形，若，则等于（）A B.C. D.【答案】C【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠C=180°．

∵∠A=60°，

∴∠C=180°-60°=120°．

故选C．6.如图，是⊙上的两个点，是弦，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【详解】，，，，．故选B．7.如图，为⊙O的直径，，，则的长度为（）A. B.C. D.【答案】C【详解】连接，是的直径，，，，，，，又，，，，故选：．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'．若∠CC'B'＝32°，则∠B的大小是（）A.32° B.64°C.77° D.87°【答案】C【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'，∴，，，∴，∴，∴．故选：C9.已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（）A.⊙O的内部 B.⊙O的外部C.⊙O上或⊙O的内部 D.⊙O上或⊙O的外部【答案】B【详解】原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），∴d=5，∵d=5﹥4，∴点P在⊙O的外部，故选：B．10.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（）A. B.C.D.【答案】C【详解】如图，设小道的宽为，则种植部分的长为，宽为由题意得：．故选C．11.如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A.（0，2） B.（0，3）C.（﹣2，0） D.（﹣3，0）【答案】D【详解】连接AQ、PA，如图，∵PQ切⊙A于点Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ＝，当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，∵A（﹣3，2），∴此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．12.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：…-2013……6-4-6-4…下列各选项中，正确的是A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当时，y的值随x值的增大而增大【答案】C【详解】设二次函数的解析式为，依题意得：，解得：，∴二次函数的解析式为=，∵，∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；∵，∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)，∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；故选：C．二、填空题本大题共6小题，每小题3分，共18分．13.已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是___．【答案】2【详解】∵关于的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1∴解得：a=2故答案为：2．14.如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A'BC'，若∠A＝100°，∠C＝45°，则∠A'BC的度数为___度．【答案】10【详解】∵将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A′BC'，∴∠ABA′＝45°，∵∠A＝100°，∠C＝25°，∴∠ABC＝180°−∠A−∠C＝180°−100°−45°＝35°，∴∠A′BC＝∠ABA'−∠ABC＝45°−35°＝10°．故答案为：10．15.已知抛物线与x轴只有一个交点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，请写出一个满足条件的抛物线的解析式___．【答案】（答案不唯一）【详解】设抛物线解析式，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴，设，则，抛物线与x轴只有一个交点可以令c得1，则抛物线解析式为，故答案为：（答案不唯一）16.抛物线向上平移1个单位后，再向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为__________．【答案】【详解】将函数向上平移1个单位向，再右平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式：y＝-2（x-1-2）2+3＋1，即，故答案为：．17.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是___．【答案】【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，由即可算出BH的长度．【详解】连接BD，取AD的中点E，连接BE，如下图：∵DH⊥AC∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值∵AB是直径∴在中，AB=13，AD=5由勾股定理得：即：∵∴∵E为AD的中点∴在中，，由勾股定理得：即：∵∴又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点，∴∴，故答案为：18.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，4），C（6，2）．（Ⅰ）若经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心为M，点M的坐标为___；⊙M的半径为___；（Ⅱ）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过___个格点．【答案】①.（2，0）②.2③.8【详解】（Ⅰ）如图，点M即为所求．M（2，0），MA＝．故答案为：（2，0），2．（Ⅱ）如图，满足条件的点有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．三、解答题本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。19.解一元二次方程（Ⅰ）x2﹣4x＝0；（Ⅱ）3x2﹣x﹣1＝0．【答案】（Ⅰ）x1＝0，x2＝4；（Ⅱ）x1＝，x2＝【详解】（1）x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，解得：x1＝0，x2＝4；（2）3x2﹣x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×3×（﹣1）＝13，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．20.已知关于x的方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【答案】（1）且；（2）【详解】（1）∵关于x的方程有两个实数根，∴且．．∴且．∴且．（2）当k取最大整数时，，此时，方程为，解得．∴当时，方程的根为．21.已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（Ⅰ）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：；（Ⅱ）抛物线与x轴交点坐标为；（Ⅲ）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是；（Ⅴ）当0＜x＜3时，y的取值范围是．【答案】（Ⅰ）y＝（x﹣2）2﹣1；（Ⅱ）（1，0）或（3，0）；（Ⅲ）详见解析；（Ⅳ）；（Ⅴ）﹣1＜y＜3【详解】（Ⅰ）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1；（Ⅱ）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知，该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；（Ⅲ）当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝3，用上述五点描点连线得到函数图象如下：（Ⅳ）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足时，y＜0．故答案是：；（Ⅴ）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3．故答案是：﹣1＜y＜3．22.已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝8，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．（Ⅰ）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；（Ⅱ）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．【答案】（Ⅰ）BD＝8,CD＝8；（Ⅱ）BD＝4,CD＝4【详解】（Ⅰ）∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°，∵AB⊥AC，且AB＝AC＝8，∴四边形ABCD为正方形，∴BD＝CD＝AB＝AC＝8；（Ⅱ）连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD垂足为E，∵AB⊥AC，AB＝AC＝8，∴BC为直径，∴BC＝8，∴BO＝CO＝DO＝BC＝4，∵∠BAD＝2∠DAC，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝120°，∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，∴CD＝CO＝DO＝4，在直角三角形CDB中，BD＝CD＝4，23.某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元．（Ⅰ）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（Ⅱ）若按现售价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，利用函数关系式求出每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）5；（3）每千克水果涨价元时，超市每天可获得最大利润最大利润是6125元【详解】设每次下降的百分率为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：每次下降的百分率为；（2）设每千克应涨价元，根据题意得：，整理，得：，解得：，∵超市规定每千克涨价不能超过8元，∴，答：现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元；（3）设每千克水果涨价元，超市每天可获得利润为元，根据题意得：∵，∴当时，最大，最大值为，∵，∴每千克水果涨价元时，超市每天可获得最大利润最大利润是6125元．24.把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝度，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是；（Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；（Ⅲ）当旋转角α＝时，△ABD的面积最大．【答案】（Ⅰ）；垂直；平行；（Ⅱ）；（Ⅲ）或【详解】（Ⅰ）如图所示，∵为等腰直角三角形∴∵∴∴∵为等腰直角三角形∴，∴∴旋转角∵，∴∴∴与的位置关系是垂直∵,∴∴∴∥（Ⅱ）如图所示∵，∴∵与为等腰直角三角形∴在与中∴≌∴∵∴∴（Ⅲ）如图3、图4所示∵绕点按逆时针方向旋转∴点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动∴当以为底边，点到的距离最大时，的面积最大∴当时的面积最大∴旋转角或时的面积最大25.如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．【答案】（1）y＝−x2＋6x−8；（2）S＝x−3；（3）F（1，-3）【详解】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），代入得，解得，∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；（2）如图1中，连接OD．∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1∴顶点D坐标（3，1），∵A（2，0）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）把A（2，0），（3，1）代入得解得∴直线AD的解析式为y=x-2，令x=0，解