2024年中考数学高频考点突破-圆的综合

2024年中考数学高频考点突破—圆的综合

1.如图，在Rt^ABC中，ABAC=90°,以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于

点、D,交AB于点E,连接OE.

(1)若/4BC=20。，求NDE4的度数；

(2)若AC=3,AB=4,求CZ)的长.

2.如图，。。是AABC的外接圆，AE切。。于点A,AE与直径8。的延长线相交于点

E.

(1)如图①，若NC=71。，求NE的大小；

(2)如图②，当AE=AB,OE=2时，求NE的大小和。。的半径.

3.如图，点C在以为直径的。上，ZC4B=3O,点。在48上由点8开始向点A

运动，点E与点。关于AC对称，DFLDE于点。，并交EC的延长线于点

⑴求证：CE=CF-

⑵如果CDLAB,求证：E尸为的切线.

4.如图所示，在..ASC中，ABAC=90°,点E在8c边上，S.CA=CE,过A、C、E三

点的。交于另一点歹，作直径A£),连接DE并延长交A3于点G,连接CD,CF.

⑴求证：四边形。CfG是平行四边形.

3

(2)当3E=4,CD=-AB^,求」。的直径长.

8

5.如图，AB,AC分别是一。的直径和弦，半径0E4AC于点。.过点A作。O的切

线与0E的延长线交于点尸，PC,AB的延长线交于点

⑴求证：PC是「：O的切线;

⑵若PC=2AD,AB=10,求图中阴影部分的面积.

6.如图，ASC是；O的内接三角形，ZBAC=75°,^ABC=45°,连接AO,并延长

交(。于点。，过点C作。的切线，与BA的延长线交于点E.

⑴求证：AD//EC；

⑵若AD=4,求线段AE的长.

7.如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的。。，点P在圆弧上以2倍速度从8

向A运动，点。在圆弧2C上以1倍速度从C向3运动，当点尸，0,。三点处于同一

条直线时，停止运动.

试卷第2页，共6页

A

⑴求点。的运动总长度；

(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值.

8.如图，。是ASC的外接圆，是•O的直径，点。为AC的中点，。的切线

OE交0C延长线于点E.

⑴求证：DE//AC；

4

⑵连接8。交AC于点尸，若AC=8,cosA=-,求。E和BP的长.

9.如图，B4切。于点A,PC交「。于C,D两点，且与直径48交于点Q.

⑴求证：AQBQ=CQDQ.

(2)若CQ=2,QD=3,BQ=L5,求线段尸。的长.

10.如图，。。是△ABC的外接圆，为直径，/BAC的平分线交。。于点。，过点

D的切线分别交AB,AC的延长线于E,F,连接8D

(1)求证：AFLEF-,

(2)若AC=6,CF=2,求。。的半径.

A

FDE

11.已知.ABC内接于O,AB=AC,ZBAC=42(,，点。是上一点.

a

图①图②E

(I)如图①，若BD为:。的直径,连接CD,求—nec和/ACD的大小；

(II)如图②，若CDHBA,连接，过点。作。的切线，与OC的延长线交于点E,

求NE的大小.

12.如图,在「ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点。，延长CA交。。

于点E.连接皮＞交A8于点足

(1)求证：.CDE是等腰三角形.

,AF

(2)当CDAC=2：石时，求丁的彳‘直.

2T.Cz

E

13.如图，在RtAABC中，ZACB=90。，点D是AB边上一点，以BD为直径的。O

与边AC相切于点E,连接DE并延长，交BC的延长线于点F.

1

B

试卷第4页，共6页

（1）求证：BD=BF；

（2）若BC=6,AD=4,求。。的半径.

14.如图，直线。为垂足.以。圆心，G的半径作圆，交4于点N,交4

于点P,Q.在。上任取一点A,作：ABC,使NA=90。，ZACB=30°,顶点A,B,

C按顺时针方向分布，点C落在射线ON上，且不在。内.若ASC的某一边所在直

（1）如图1,C4为O的“相伴切边”，C4平分N0C3.求0C的长；

（2）是否存在ABC三边中两边都是t。的“相伴切边”的情形？若存在，请求出AC的

长；若不存在，请说明理由.

15.如图，在中，ZC=90°,以BC为直径的。。交斜边AB于点若H是

AC的中点，连接MH.

（1）求证：为。。的切线.

（2）若MH=2,—求。。的半径.

2BC4

（3）在（2）的条件下分别过点A、8作。。的切线，两切线交于点DA。与。。相切

于N点，过N点作NQLBC,垂足为E,且交。。于。点，求线段NQ的长度.

16.如图，已知CE是圆0的直径，点B在圆0上由点E顺时针向点C运动（点8不与

点E,C重合），弦BD交CE于点、F,S.BD=BC,过点8作弦CO的平行线与CE的延长

线交于点A.

BB

O

DD

备用图

(1)若圆。的半径为2,且点。为弧EC的中点时，求圆心。到弦CD的距离;

(2)在(1)的条件下，当=时，求NCBO的大小;

(3)若=且CD=12,求△BCD的面积.

17.如图1,。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，且BQ=a).连接AC并延长,

与8。的延长线相交于点E.

(2)AO与OC,BC分别交于点F,H.

①若CF=CH,如图2,求证：CFAF=FOAH-,

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

18.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且/PDA=/PBD.延

长PD交圆的切线BE于点E.

(1)证明：直线PD是。O的切线；

(2)如果NBED=60。，PD=73,求PA的长；

(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆0上，如图2,求

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.(1)65°

(2)CD=y

【分析】本题主要考等腰三角形，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定

理，等面积法求高等知识是解题的关键.

(1)如图所示，连接AD,可得"。，八位汨是等腰三角形，根据直角三角形可求出NAC3

的度数，根据等腰三角形的性质可求出NC4D,4DAE的度数，由此即可求解；

(2)如图所示，过点A作AF43c与点尸，根据等面积法可求出AF的值，根据勾股定理，

等腰三角形的性质即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，连接AO,

•.•点C2E在圆上，

AAC=AD=AE,即△ACD,是等腰三角形，

:在RtZvlBC中，ABAC=9Q°,ZABC=20°,

：.ZACB=90°—20°=70°,

NACO=/ADC=70。，

ZCAD=180°-ZACD-ZADC=180°-70°-70°=40°,

Z.DAE=ABAC-ACAD=90°-40°=50°,

：.ZADE=ZAED=1(180°-ZDAE)=1x(180°-50°)=65°,

的度数为65。.

(2)解：如图所示，过点A作AblBC与点e，

答案第1页，共37页

.•.在RtZXABC中，BC=>]AC2+AB2=A/32+42=5-

••15AABC=|AC.AB=|JBC.AF,

AT3x412

•.・AF±CD,ACD是等腰三角形,

:.CD=2CF=2DF,

9

在RtACF中,CF=YIAC2-AF2=

5

•••32x|=g即

2.(1)52°；

(2)30°,2.

【分析】（1）连接。4,先由切线的性质得/AOE的度数，求出NAQ3=2/0=142。，进而

得/49E,则可求出答案；

（2）连接，4,由等腰三角形的性质求出4=30。，根据含30。解的直角三角形的性质求解

即可.

【详解】（1）解：连接，4.

TA石切。于点A,

OALAE,

：.NQ4E=90。，

ZC=71°,

・•・ZAOB=2ZC=2x71。=142°,

又•:ZAOB+ZAOE=180°,

：.NAO石=38。，

答案第2页，共37页

ZAOE+ZE=90°,

图①

连接。4,

设NE=x.

AB=AE,

ZABE=ZE=x,

OA=OB,

Z.OAB=ZABO=x,

ZAOE=ZABO+ZBAO=2x

AE是。的切线，

/.OA_LAE,即ZOAE=90°,

在ZiOAE1中，ZAOE+ZE=90°,

即2x+x=90°,

解得％=30?,

.•.NE=30。.

在及OAE中，OA=^OE,

QOA=OD,

：.OA=OD=DE,

DE=2,

.•.OA=2,即。的半径为2；

答案第3页，共37页

A

【点睛】

C

图②

本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含

30。角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质.

3.(1)答案见详解

(2)答案见详解

【分析】(1)由轴对称的性质得出，CE=CD,再求出/。汗=/尸，得出CD=C「，即可

得出结论.

(2)连接OC,先证出BOC是等边三角形，得出ZOCB=60°再求出ZOCD=ZDCB=30°,

由轴对称的性质得出，ZECA=ZDCA=6O°.求出NECO=90。，即可得出结论.

【详解】(1)证明：•・•点七与点。关于AC对称，

・.CE=CD,

..ZECA=ZDCA,

又•・,DF工DE,

・•.ZCDF=90。—ZCDE=90。—ZE=ZF,

；,CD=CF,

:,CE=CF,

(2)证明：连接OC,

•••ZACB=90°,ZC4B=30°,

.-.ZCBA=60°,

答案第4页，共37页

•；OB=OC,

・•・5OC是等边三角形，

ZOCB=60°,

•.CD_LAB,

・•.NOCD=NDCB=30。,

•・•点七与点。关于AC对称，

CE=CD,

ZECA=ZDCA=60°f

・•・/ECO=ZECA+ZOCA=600+30°=90°,

EF为，、。的切线.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，等边

三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并运用是解题的关键.

4.（1）见解析

⑵3百

【分析】（1）如图所示，连接AE,由/WC=90。，得到CP是二。的直径，根据圆周角定

理得至U/A£D=90。，即，推出CF〃DG,推出ABCD,于是得到结论;

(2)设CD=3x,AB=Sx,得到Cr>=fU=3x,于是得到AF=CD=3x,求得

BG=8x-3x-3x=2x,求得8C=6+4=10,根据勾股定理，^AB=V102-62=8=8%-求

得x=l,在RJACF中，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】（1）证明：如图所示，连接AE,

:.CF是.。的直径,

答案第5页，共37页

AC=EC,

.CFLAE,

AD是.。的直径,

.ZAED=90°,

:.CFDG.

AD是。的直径，

ZACD=9Q,

:.ZACD+ZBAC=180°,

:.AB//CD,

，四边形。。尸G是平行四边形；

3

(2)解：由CO=—A5,设CD=3x,AB=8x,

8

.\CD=FG=3x.

ZAOF=ZCODf

AF=CD—3x,

/.BG=8x—3x—3x=2x,

AB//CD,

;.NB=NECD,

ZGEB=ZCEDf

BEGs,CED,

BEBG

,~CE~~CD9

.BEBG_2

*EC-GF-3*

BE=4,

:.AC=CE=6f

.-.BC=6+4=10,

:.AB=y/BC2-AC2=V102-62=8，

♦.%=1.

答案第6页，共37页

在RfACF中，AF=3,AC=6,

CF=y]AF2+AC2=V32+62=375，

即的直径长为3百.

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆

周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

5.⑴见解析

0、25邪25万

~26~

【分析】（1）连接0C,可以证得△AO/WACOP,根据全等三角形的性质以及切线的性质

定理可以得到NOCP=90。，即OC_LPC,即可证得PC是的切线；

（2）根据垂径定理得到AD=8==AC,根据切线的性质得到R4=PC,求得

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,根据等腰三角形的性质得到NC4F=NACO=30。，根据勾股

定理得到CF=J。产—OG=而=7=5指，根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】（1）证明：连接OC,

“是O的切线，AB是。的直径,

.•.々40=90。，

。石，4。于点。，

•*-AE=CE,

.\ZAOE=ZCOE,

在AAOP和ACO尸中，

AO=CO

<ZAOP=/COP,

OP=OP

答案第7页，共37页

:.AAOP^ACOP(SAS),

ZPCO=ZPAO=90°,

OCLPC,

OC是。的半径，

...尸。是。的切线.

(2)解：O£_LAC于点。，

/.AD=CD=-AC,

2

PA,PC是。的切线，

:.PA=PC,

PC=2AD,

..PA=PC=AC,

.•.NR4c=60。，

/.ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

OA=OC,

:.ZCAF=ZACO=30°9

ZCOF=2ZCAF=60°,

/.NF=90。—ZCOF=30°,

.\OF=2OC=10,

在M0c尸中，CF=y/OF2-OC2=7102-52=5^，

.ss_1Vw«63加S_25#2571

••J阴影—"C0F-J扇形BOC--XD---~•

故答案为：.

26

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形

的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

6.(1)见解析

(2)AE=4

【分析】(1)连接OC,根据CE是。。的切线，可得NOCE=90。，根据圆周角定理，可得

ZAOC=90°,从而得到/AOC+/OCE=180。，即可求证；

(2)过点A作AFLEC交EC于点由NAOC=90。，OA^OC,可得N。4c=45。，从而

答案第8页，共37页

得到NR4Q=30。，再由A0〃EC,可得NE=30。，然后证得四边形04尸。是正方形，可得

AF=OA,从而得到AQ3,再由直角三角形的性质，即可求解.

【详解】（1）证明：连接0C,

・・,CE是的切线,

ZOCE=90°,

・「AC=AC，WE,

・•・ZAOC=2ZABC=90°f

•・•ZAOC+ZOCE=180°,

・•・AD//EC.

(2)解：过点A作AFLEC交EC于点孔

^AOC=90°,OA=OC,

JZOAC=45°f

•・・ABAC=75。,

：.ABAD=ABAC-ZOAC=75°-45°=30°,

AD//EC,

：.ZE=ZBAD=30°,

VZOCE=90°,^AOC=90°,OA=OC,

二・四边形OAFC是正方形，

：.AF=OAf

AD=4,

答案第9页，共37页

AF^-AD^2,

2

在RtAFE1中，

.■PAF1

AE2

/•AE=4.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性

质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

2

7.⑴丁

(2)"+1.

【分析】⑴如图，设？C。。a,结合题意可得：?BOP2a,结合正三角形的性质求解

a=60?,再利用弧长公式进行计算即可；

(2)解：如图，取08的中点N,连接NM,NC,MC,过N作NK,3c于K,过。作OE,3c

于£,证明M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，可得当C,N,M三点共线时，CM

最大，从而可得答案.

【详解】(1)解：如图，设？COQa,结合题意可得：?BOP2a,

ABC为等边三角形,

360°

\1BOC------=120?,

3

\1BOQ120?a,

而尸。三点共线，

\1BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：a=60°,

答案第10页，共37页

.•.2运动的总长度为：黑"=%•

1803

(2)解：如图，取08的中点N,连接NM,NC,MC,过N作NK,3c于K,过。作OE,3c

于E,

M为尸8的中点，

\NM=-OP=l,

2

在以N为圆心，半径为1的圆N上运动,

...当C,N,M三点共线时，CM最大,

Q?BOC120?,08OC,

\?OBC30?,

\NK=-BN=-,BK=—,

222

同理可得：BE=®则BC=2百，

\CM=CN+NM=77+1,

CN的最大值为：V7+1.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质,

勾股定理的应用，熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键.

8.(1)见解析

(2)DE=y,BP=3也

答案第11页，共37页

【分析】(1)连接0。，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；

(2)设。。与AC交点为尸，连接AD,根据NA4C的余弦值和勾股定理求出AS5c的长，

证明NE=NA4C,ZEDO=ZACBf根据相似比求出OE的长；根据三

角形中位线定理求出的长，得到。尸的长，用勾股定理求出AD的长，最后用

ZCAD=ZCBD的余弦值求出BP的长

【详解】(1)连接。。，

•・•点。是AC的中点，

JODLAC,

〈DE是。0切线,

:.DE10D,

J.DE//AC

(2)设0。与AC交点为产，连接AD,则NC4O=NC8Q,

\'DE//AC,

：.ZE=Z0CAf

9

：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZOAC=ZE,

・・・A5是。。的直径，

・•・ZACB=90°,

・•・ZACB=ZEDO=90°,

bABCsAEOD,

.0DDE

**BC-AC)

Ar4

VcosABAC=——=-,AC=8,

AB5

：.AB=10,

答案第12页，共37页

・BC=1AB2—AC2=6,00=5,

5DE

6~~S~

-D£=T

*OF=-BC=3

2f

：.DF=OD-OF=5-3=2,

•：AF=-AC=4,

2

；•AD=ylAF2+DF2=2A/5，

AF4_2

cosZCAD=

AD一2小一小

62

.cosZCBD=—

BP一而一F

：.BP=3非

【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似

三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接

OD,AD,熟练运用上述性质和判定定理解答

9.(1)证明见解析

(2)线段PD的长为7.

【分析】⑴连接AC,由同弧所对的圆周角相等得到再由

可证△BQCsADQA,由相似三角形的对应边成比例即可得证；

(2)由切线性质得到/2”=/54£>+/必。=90。，由直径所对的圆周角为90。，得

ZABD+ZBAD=90°,ZPAD=ZABD=ZACD,从而APD4s△必c,由相似三角形的性质得

到Ap2=p£).pc,BPAP2=PD-(PD+5)在MAAPQ中，由勾股定理得尸②+人。?“。，即可求

解.

答案第13页，共37页

【详解】（1）证明：连接AC

：/ABC和NAOC所对的圆弧都为4c，

ZABC=ZADC,

'：ZBQC=ZDQA,

.♦.△BQCSADQA,

.BQ=CQ

''DQ~AQ)

：.AQBQ=CQDQ

解：由(1)知：AQBQ=CQDQ,且CQ=2,QD=3,BQ=L5,

；.AQ=4,

切于点A,

ZBAP=ZBAD+ZRiD=90°,

为直径，

/.ZBDA=90°,ZABD+ZBAD=9Q°,

ZPAD=ZABD=ZACD,

\"ZP=ZP,

：SBC

.△P£(A2\4,

pnPA

：.——=——，BPAP2=PDPC,BPAP2=PD-(P£>+5)

APPC

在RfAAPQ中，AP2+AQ2=PQ2,

：.PD-(PD+5)+42=(PD+3)2,

解得：PD=7,

答案第14页，共37页

即线段PD的长为7.

【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形判定和性质等，解题关键正确添加辅

助线构造相似三角形.

10.(1)见解析；(2)5

【分析】(1)连接0。，由切线的性质和已知条件可证得8〃M，则可证得结论；

(2)过。作DGJ_AE于点G,连接CD,则可证得AAD尸会A4DG、NCDF^^BDG,则可求得

A3的长，可求得圆的半径.

【详解】(1)证明：如图1,连接OO,

FDE

图1

是。的切线，且点。在。上，

：.OD.LEFf

OA=OD9

.•.NDAB=ZADO,

AD平分/B4C,

.\ZDAB=ZDAC,

:.ZADO=ZDAC,

:.AF//OD,

:.AF±EF；

仁(2)解：如图2,过。作于点G,连接co,

FDE

图2

ZBAD=ZDAF,AFLEF,DGLAE,

答案第15页，共37页

:.BD=CD,DG=DF,

在HADF®RtAOG中

[AD=AD

[DF=DG

RtADF^RtADG(HL),

同理可得MCDF^RtBDG,

：.BG=CF=2,AG=AF=AC+CF=6+2=8,

AB=AG+BG=8+2=10,

,0的半径OA=』AB=5.

2

【点睛】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是掌握过切点的半径与切线垂

直，注意全等三角形的应用.

11.(I)ZDBC=48°,ZACD=21°；(II)ZE=36°.

【分析】(I)由圆周角定理的推论可知/BCD=90。，ZBDC=ZBAC=42°,即可推出

NDBC=90°-NBDC=48°；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出

ZABC=ZACB=69°,从而求出NACD=N3CE>—NACB=21。.

(H)连接0D,由平行线的性质可知NACD=NBAC=42。.由圆内接四边形的性质可求出

ZADC=180°-ZABC=lll0.再由三角形内角和定理可求出〃4C=27。.从而由圆周角定

理求出NOOC=2NfiAC=54。.由切线的性质可知NODE=90。.即可求出

ZE=90°-ZDOE=36°.

【详解】(I)BD为:。的直径，

/BCD=90°.

:在O中，NBDC=ABAC=42°,

ZDBC=90°-Z.BDC=48°；

VAB=AC,ABAC=42°,

答案第16页，共37页

ZABC=ZACB=^(180°-ABAC)=69°.

ZACD=ZBCD-ZACB=21°.

(II)如图，连接oo.

CDBA,

：.ZACD=ZBAC=42°.

:四边形ABCD是圆内接四边形，ZABC=69°,

：.ZADC=180°-ZABC=111°.

ZDAC=180°-ZACD-ZADC=27°.

ZDOC=1ZDAC=54°.

。后是iO的切线，

DEAOD,即“DE=90°.

NE=90°-NDOE=36°.

【点睛】本题为圆的综合题.考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和

定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质.利用数形结合的思想以及连

接常用的辅助线是解答本题的关键.

3

12.（1）见解析；（2）-

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出/ABC=NC,由圆周角定理得出证

出即可得出结论；

（2）连接A。，过点。作OHLAE于点H,设CZ）=2x,AC=&,则由三角形

AOC的面积可得出QH的长，求出AE,则可得出答案.

【详解】解：（1）证明：；AB=AC,

ZABC=ZC,

答案第17页，共37页

,?/AED=NABC,

:.NC=/AED,

...△CZ)E是等腰三角形；

(2)如图，连接AD,过点。作。HLAE于点

；A3是直径，

ZA£)C=90°,

11

'-AD=AC-CD二为

SAADC=^AD>DC=\AC'DH,

.ADCD2逐

••L)ri-------------------x,

AC5

•:DE=CD,

CH=EH=-JDC2-HD2=~Y~X,

：.AE=2CH-AC=述无一氐=述x.

55

3A/5

AE^Tx_3.

~AC~yf5x~~5

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知

识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

13.(1)见解析；(2)。。半径为4.

【分析】(1)连接OE,如图，利用切线的性质得OE1_AC,再证明OE〃:BF得到NDEO=

NF,然后利用/ODE=NOED得到NOED=NF,从而根据等腰三角形的判定得到结论；

(2)设。O的半径为r,证明AAOEs^ABC,利用相似比列解方程解答即可.

【详解】(1)证明：如图所示，连接OE

答案第18页，共37页

A

D

〈AC与。O相切与点E,

AOEXAC,

又・・・NACB=90。，

・・・NOEA=NACB=90。，

・・・OE〃BF,

.*.ZF=ZOED,

又・.，OE=OD,

.\ZBDF=ZOED,

即NF=NBDF,故BD=BF.

(2)设。O半径为，由OE〃BC得NOEA=NACB=90。，

NOAE=NBAC,贝必AOEs-BC,

.AOOE目口4+rr

..---=---，即-----=—，

ABBC4+2r6

Ar-r-12=0-

解得r=4,r=-3(舍去)，

经检验，r=4是原分式的解.

所以，。。半径为4.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了相似三角形的判定与性质.

14.(1)26；(2)百或3百或26-3.

【分析】(1)如图(见解析)，先根据圆的切线的性质可得。4AC,再根据角平分线的性

质可得ZOCA=ZACB=30°,然后根据直角三角形的性质即可得；

(2)如图(见解析)，分①边AB、BC都是《。的“相伴切边”，②边AC、BC都是二。的“相

伴切边”，③边AC、AB都是〈O的“相伴切边”三种情况，再分别根据圆的切线的性质、直

角三角形的性质、相似三角形的性质求解即可得.

答案第19页，共37页

【详解】(1)如图，连接OA,则04=6,

C4为。的“相伴切边”，

:.OA1AC,即4c=90。，

NACB=30。，C4平分/OCB,

:.ZOCA=ZACB=30°,

则在心"OC中，OC=2OA=26；

(2)存在，求解过程如下：

由题意，分以下三种情况：

①当边AB、BC都是。的“相伴切边”时，则Q4J_A3,

ABAC=90°,即AC_LAB,

.,.点O、A、C共线，

又.点C落在射线ON上，且不在内，

二点A只能在点M或点N处，

如图2-1,当点A在点N处时，

设BC与〈。相切于点D,连接OD,则ODLCD,

ZACB=30°,

OC=2OD=26，

AC=OC-OA=^；

答案第20页，共37页

如图2-2,当点A在点M处时，

设BC与iO相切于点D,连接0D,则ODLCD,

NACB=30。，

OC=2OD=26，

AC=OC+OA=3>/3；

②当边AC、BC都是。的“相伴切边''时，贝"041.AC,

ZBAC^90°,

：.ZOAB=180°,即点0、A、B共线，

如图2-3,设BC与，。相切于点D,连接OD,则ODLCD,

设=则BC=2x,AC=JBC?—AB?=辰,

OB=OA+AB=A/3+x，

答案第21页，共37页

ZBAC=ZBDO=90°

在ABC和DBO中,

NB=NB

ABC〜DBO,

ACBCp1nV3x2X

~~=~~,即7=~——i=,

ODOBV3V3+x

解得x=2-若或x=0(舍去),

经检验，1=2-a是所列方程的解,

则AC="i=2百-3；

图2-3

③当边AC、AB都是：＞O的“相伴切边”时，

AC是。的“相伴切边”，

:.OA1AC,即NQ4C=90。，

ZfiL4c=90。，

：.ZOAB=180°,即点0、A、B共线，

AB不可能是。的“相伴切边”，

则边AC、AB不能同时是＜。的“相伴切边”；

综上，AC的长为G或或2百-3.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与

性质等知识点，较难的是题(2),正确分三种情况讨论，并画出图形是解题关键.

48

15.(1)证明见解析；(2)2；(3)—.

【分析】(1)连接OM,易证。”是AABC的中位线，利用中位线的性质可证明

答案第22页，共37页

△COH丝/\MOH,所以ZHCO=ZHMO=90°,从而可知MH是。。的切线；

(2)由切线长定理可知：MH=HC,再由点M是AC的中点可知AC=3,由所以

BC4

BC=4,从而可知。。的半径为2；

(3)连接CMAO,CN与49相交于/,由AC、AN是。。的切线可知AOLCN,利用等

面积可求出可求得C/的长度，设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径

定理即可求得NQ.

【详解】解：(1)连接。/、0M,

\•”是AC的中点，。是8c的中点

是AABC的中位线,

：.OH//AB,

：.ZCOH=ZABC,ZMOH=ZOMB

又,：OB=OM,

：.ZOMB=ZMBO,

：.ZCOH=ZMOH,

在4COH与4A/OH■中，

,?OC=OM,ZCOH=ZMOH,OH=OH

:.△COH沿LMOH(SAS),

ZHCO=ZHMO=90°,

.,.MH是。。的切线；

(2);MH、AC是。。的切线，

3

：.HC=MH=~,

2

：.AC=2.HC=3,

答案第23页，共37页

..AC_3

・BCF

：.BC=4,

・・・。0的半径为2；

(3)连接04、CN、ON,。4与CN相交于点/,

•「AC与AN都是。0的切线,

.\AC=ANfA0平分NCA。,

：.AO±CN,

VAC=3,OC=2,

...由勾股定理可求得：A0=^3,

V|AC-OC=1-AO-C/,

._6y/13

•r•rLx/----,

13

由垂径定理可求得：CN=@叵，

13

设0E=无，由勾股定理可得：CN2-CE2=ON2-OE2,

—-(2+X)2=4-X2,

13

•.•_X1-2f

13

••一,

13

94

由勾股定理可求得：EN=W，

48

由垂径定理可知：NQ=2EN=—.

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切

线的判定等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

答案第24页，共37页

16.(1)；(2)45°；(3)72

【分析】(1)过。作于H,根据点。为弧EC的中点，可得/OC"=45。，进而得

出OH=C〃，再根据圆。的半径为2,即可得至l」OH=0；

(2)先判定ACD/SMDC,可得NDCF=/D3C,再根据=45。，即可得出

ZDBC=45°；

(3)连接BE,BO,DO,并延长8。至H点，依据ZABE=NOBC=NOCB,N4=NA,

Aft2

判定AAB石sAACB,即可得到AC=——,设=再根据AAC«sACO//,可得

AE

33

会=黑=£，即^^=扁=?，解得了=5,OH=45,08=7.5,即可得至!JABCD的

COHOCH±xOH6

2

面积=LX12X12=72.

2

【详解】解：(1)如图，过。作OH_LCD于H,

D

点。为弧EC的中点,

，弧££)=弧8,

:.ZOCH=45°,

OH=CH,

圆。的半径为2,即OC=2,

:.OH=旧

(2)；当Z)F.08=052时，坦=乌，

CDBD

又、NCDF=ZBDC,

:.ACDF^ABDC,

:.ZDCF=ZDBC,

由(1)可得/DCF=45。，

.-.ZDBC=45°；

(3)如图，连接BE,BO,DO,并延长2。至H点,

BD=BC,OD=OC,

答案第25页，共37页

.•.5"垂直平分8,民三点共线,

又ABHCD,

ZABO=ZCHO=90°,

二ZABO=90。=NEBC,

ZABE+ZOBE=90°=/OBE+NOBC,

;./ABE=/OBC,

OB=OC,

ZOBC=NOCB,

ZABE=ZOBC=ZOCB,

又ZA=ZA,

AABEs故CB,

AEAB口口。

••----------，即AB2=AExAC，

ABAC

“四，

AE

设AE=x,由A5=2AE,则AB=2%,

AC=4x,EC=3x,

3

OE=OB=OC=—x,

2

CD=12,

:.CH=6,

AB//CH,

.•.AAO3sAeOH,

33

X+XX

.AOBOABm222x

COHOCHOH6

2

解得x=5,OH=4.5,OB=7.5,

:.BH=BO+OH=12,

ABCD的面积=-xl2xl2=72.

2

答案第26页，共37页

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理以及等腰三

角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对

应边成比例得到方程得出结论.在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、

公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行

线构造相似三角形.

7

17.（1）见解析；（2）①见解析；②47=彳

2

【分析】（1）连接3C,根据NACB=N3CE=90。，/£18+/58=90。且3。=。），贝U

NE=/ECD,即可推导出CD=ED；

（2）@CF=CH,则=又BD=CD，ZCAD=ZBAD,则AAFOSAAHC,

进而推导出C?AF=FO•AH;

②连接0。交BC于G,设OG=x,则DG=2-x,根据在Rtz\0G3和Rtz\BGD中

列式2?-尤2=I2-（2-X）2,进而求得犬的值，再根据中位线定理求出AC的长.

【详解】证明：（1）连接BC,

：48为直径

ZACB=ZBCE=90°

ZECD+ZBCD=90°

BD=CD

NEBC=/BCD

：.ZE=ZECD

：.CD=ED.

答案第27页，共37页

E

：.ZCFH=ZCHF

又•・,ZAFO=ZCFH

：.ZAFO=ZCHF

又•：BD=CD

：.ZCAD=ZBAD

：.AAFO^AAHC

.AFOF

**AH-CH

.AFOF

**AH-CF

:.CFAF=OFAH

E

②连接。。交3C于G.

设OG=x,贝UDG=2—x

*.*CD=BD

：./COD=/BOD

XVOC=OB

：.ODLBC,CG=BG

在RtAOGB和RtABGD中

2222

2-X=1-(2-X)

答案第28页，共37页

7r7

x=—即OG=—

44

OA=OB

・・・OG是一ABC的中位线

OG=-AC

2

E

【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综

合题型，借助辅助线是解决这类问题的关键.

18.(1)见解析；(2)1；(3)见解析

【分析】(1)连接0D,由AB是圆0的直径可得NADB=90。，再利用角度的相互转换求得

ZADO+ZPDA=90°,即可得出直线PD为。O的切线；

(2)求出NP=30。，解直角三角形求出OD,结合勾股定理可得出PO,最后根据PA=PO-AO

可得出结果；

(3)根据折叠和已知求出/P=/PBF,根据平行线的判定推出DE〃:BF,求出DFLAB,

BE±AB,推出DF〃:BE,求出ED=EB,根据菱形的判定推出即可.

.•.ZADO+ZBDO=90°,

XVDO=BO,.*.ZBDO=ZPBD,

VZPDA=ZPBD,/.ZBDO=ZPDA,

ZADO+ZPDA=90°,即PD_LOD,

:点D在。O上，

答案第29页，共37页

，直线PD为。O的切线.

(2)解：：BE是。O的切线，；./EBA=90。，

：/BED=60。，AZP=30°,

VPD为。O的切线，；.ZPDO=90°,

在RSPDO中，NP=30。，PD=6,

.tan30°=「口，解得OD=1,

PO=yJPD2+OD2=2，

/.PA=PO-AO=2-1=1.

(3)证明：如图2中，依题意得：NADF=/PDA,NAPD=/AFD,

VZPDA=ZPBD,ZADF=ZABF,/AFD=/PBD,

/.ZADF=ZAFD=ZAPD=ZABF,

；.AD=AF,BF〃PD,即BF〃DE.

又/DAB+/DBA=90°,；.ZDAB+ZADF=90°,

；.DF_LPB.

：BE为切线，

；.BE_LPB,

；.DF〃BE,

四边形DF