2024届上海市联考数学高三年级上册期末检测试题含解析

2024届上海市12校联考数学高三上期末检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.双曲线C：^-21=1（«>0,。>0）的离心率是3,焦点到渐近线的距离为则双曲线C的焦距为（）

cTh2

A.3B.372C.6D.6>/2

2.已知一*—=a+2i（aeR）,i为虚数单位，则。=（）

l-2i

A.6B.3C.1D.5

3.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各

边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少

是（）

71

A.8B.7C.6D.4

4.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时

中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不

同的阅读计划共有（）

A.120种B.240种C.480种D.600种

5.执行如图所示的程序框图，若输入的7=3,则输出的i=（）

开始

/=0

结束

A.9B.31C.15D.63

6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

2

1

-

正（主）视图侧（左）视图

7,若复数z=t以（匕wRi为虚数单位）的实部与虚部相等，则。的值为（）

2+i

A.3B.±3C.-3D.+73

8.如图，正三棱柱ABC-44G各条棱的长度均相等，。为人4的中点，M,N分别是线段和线段CC的动点

（含端点），且满足BM=GN,当M,N运动时，下列结论中不正确的是

A.在ADMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DMN_L平面BCC&I

C.三棱锥OMN的体积为定值

D.ADMN可能为直角三角形

9.在平面直角坐标系X0V中，已知点4（0,-2）,N（l,0）,若动点M满足瑞1=e,则OMON的取值范围是

（）

A.[0,2]

C.[-2,2]D.[-2V2,2V2]

10.将函数/（x）=cosx的图象先向右平移*万个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,

6co

7734

纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在（代,J）上没有零点，则切的取值范围是（）

22

77Q

A.

2Q

(。目53』]D.(0,1]

r2

11.双曲线上—y2=l的渐近线方程是（)

4

B.>=±逑'x

A.y=±『C.y=±-D.y=±2x

32

12.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，4=7,S3=9,贝!）4=（）

A.25B.32C.35D.40

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2x-球的展开式中X?的系数为（用具体数据作答）.

14.已知数列｛an｝满足a,+2a2+3%+…+nan=2",则an=.

/\3x2F1,x<0,«,、

15.已知函数/（x）=X,若关于》的方程/（力+/（—力=0恰有四个不同的解，则实数”的取值范

21nx-6x,x>0

围是.

16.已知三棱锥尸—ABC的四个顶点都在球。的球面上，PA=PB=PC,A3=2,BC=y[5,AC=3,E,F

3

分别为AC,/归的中点，EF=g则球。的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米〃卜时、120千米

/小时、600千米/小时，修干年的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为元（相>0）,

运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为y（元）、

y2（元"%（元）.

（1）请分别写出月、%、%的表达式；

（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.

18.（12分）已知ab€R,设函数=/-ox-byjx2+1

（/）若6=0,求户短的单调区间：

（〃）当xW时，/㈤的最小值为0,求a+的最大值.注：e=2.7/82&..为自然对数的底数.

19.（12分）如图，在四棱锥P-A3C。中，侧面P4O为等边三角形，且垂直于底面ABC。，

AB=BC=\,ABAD=ZABC=9Q,ZADC=45，”,N分别是AD,P。的中点.

BAC

(1)证明：平面。MN//平面Q4B；

2

(2)已知点E在棱PC上且CE=§CP,求直线NE与平面Q钻所成角的余弦值.

20.(12分)已知顶点是坐标原点的抛物线r的焦点F在)'轴正半轴上，圆心在直线y=上的圆E与X轴相切，

且E,尸关于点M(—1,0)对称.

(1)求E和『的标准方程；

(2)过点M的直线/与E交于AB,与「交于C,D,求证：|CD|＞五|AB].

21.(12分)如图，在四棱锥中，底面ABC。为菱形，料，底面ABC。，NRW=60。，AB=PA=4,E是

帖的中点，AC,80交于点O.

(1)求证：OE〃平面尸8C；

(2)求三棱锥E-PBD的体积.

22.(10分)数列｛4｝的前〃项和为S“，且S-2.数列也｝满足a=log24,其前“项和为a

(1)求数列&｝与也｝的通项公式；

(2)设%=«„+—,求数列｛g｝的前n项和C,,,

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】

根据焦点到渐近线的距离，可得〃，然后根据。2=。2-。2"=£,可得结果.

a

【题目详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为云士ay=0

取右焦点尸(c,0),一条渐近线/：法一ay=0

则点/到/的距离为一=近,由y+/=。2

y/b2+a2

所以b=6,，则c。—a?=2

cc22c2

又v一=3n—v=Q9=>a-=——

aa~9

2

r3

所以c?---=2=>c=—

92

所以焦距为：2c=3

故选：A

【题目点拨】

本题考查双曲线渐近线方程，以及a,4c,e之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为〃，属基础题.

2、C

【解题分析】

利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.

【题目详解】

由----=a+2i,得1+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故选:C.

【题目点拨】

本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题.

3、A

【解题分析】

则从下往上第二层正方体的棱长为：行不二4上，从下往上第三层正方体的棱长为：42何+(2厨=4,

从下往上第四层正方体的棱长为：亚7万=2啦，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形

中正方体的个数的最小值的求法.

【题目详解】

最底层正方体的棱长为8,

则从下往上第二层正方体的棱长为："+42=472，

从下往上第三层正方体的棱长为：J(2忘了+(2夜了=4，

从下往上第四层正方体的棱长为：万=2血，

从下往上第五层正方体的棱长为:

从下往上第六层正方体的棱长为:Jf+F=0,

从下往上第七层正方体的棱长为:

从下往上第八层正方体的棱长为:

•••改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.

故选：A.

【题目点拨】

本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.

4、B

【解题分析】

首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.

【题目详解】

^^=10种分组方法;

将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有:

将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：父=24种分配方法；

由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：10x24=240种

本题正确选项：B

【题目点拨】

本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.

5、B

【解题分析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【题目详解】

执行程序框f=3,i=0；f=8,i=l；f=23,i=3；

t~68,z=7；f=203,i=15；t=608,Z=31,

满足。＞606,退出循环，因此输出i=31,

故选:B.

【题目点拨】

本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

6、A

【解题分析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.

【题目详解】

由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：

可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4,

故V=；X（4X4）X4=F.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.

7、C

【解题分析】

利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.

【题目详解】

z=l-bi=2-b-（2b+｝）i又z的实部与虚部相等，

2+z5

:.b-2=2b+l,解得力=—3.

故选:c

【题目点拨】

本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.

8、D

【解题分析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；

B项利用线面垂直的判定定理；

C项三棱锥A-DMN的体积与三棱锥N-A.DM体积相等，三棱锥N-AtDM的底面积是定值，高也是定值，则

体积是定值；

D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.

【题目详解】

A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确；

B项，如图：

当M、N分别在BBi、CG上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCCiB,的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面平面8。£片，故正确；

C项，当M、N分别在BBi、CCi上运动时,△AiDM的面积不变,N到平面AiDM的距离不变，所以棱锥N-AiDM的体积

不变，即三棱锥A「DMN的体积为定值，故正确；

D项，若△DMN为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BG,而此时DM,DN的长大于

BBi,所以△DMN不可能为直角三角形，故错误.

故选D

【题目点拨】

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性

质的应用，是中档题.

9、D

【解题分析】

设出"的坐标为(x,y),依据题目条件，求出点”的轨迹方程V+(y—2f=8,

写出点M的参数方程，贝iJ0M-0N=2及cos。，根据余弦函数自身的范围，可求得OMON结果.

【题目详解】

设例(x,y),则

愣MA（°，—2）

vx7（＞，+2）2-^

旧+y2

...f+（y+2）2=2,+y2）

:.x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程

x=2无cos。

...点"的参数方程为厂(。为参数)

y-2+242sin0

则由向量的坐标表达式有：

OM-ON=242cos0

又•.•cosee[—l,l]

AOMON=2V2cos6e[-2夜,242]

故选：D

【题目点拨】

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

10、A

【解题分析】

5万

根据尸Acos(ox+0)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，根据定义域求出0犬-丁的范围，再利用余弦函数的

图象和性质，求得”的取值范围.

【题目详解】

函数/(X)=COSX的图象先向右平移!■7个单位长度，

54

可得y=cos|x-的图象,

6

再将图象上每个点的横坐标变为原来的-(^>0)倍(纵坐标不变),

0)

5万

得到函数g(x)=cos|cox的图象,

6

…2万

，周期7=——,

CD

TT37r

若函数g(x)在(y,y)上没有零点,

CO715万5万?)a)7r5万

--------<CDX---------<

26626

3(0715万0)7157T7T

<—

26262co

<1>解得0<。41,

n,,CD7T5万

-------\-K71<---------~6

22解得一]_

又?4"/

71,、3(0715不3

—+k7T>

[2~6

28

当k=0时，解一4①4—,

39

2

当《=-1时，可得0<<y«—,

故答案为：A.

【题目点拨】

本题考查函数产Acos(«zr+0)的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可

得，属于较难题.

11、C

【解题分析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.

【题目详解】

1*2X

由题意可知，双曲线、-丁2=1的渐近线方程是y=±].

故选：C.

【题目点拨】

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用.

12、C

【解题分析】

设出等差数列｛%｝的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得力。.

【题目详解】

设等差数列｛q｝的首项为年公差为d,则

d=a1+2d=7

«；°,c,解得q=-1,4=4,=4〃-5,即有q。=4x10-5=35.

S3—3a｝+3d=9

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前〃项和公式的应用，属于容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、60

【解题分析】

利用二项展开式的通项公式可求f的系数.

【题目详解】

（2x7）6的展开式的通项公式为加=Cr（2x）6-（_］），•,

令6—r=2,故r=4,故V的系数为（一1?煤乂2?=60.

故答案为：60.

【题目点拨】

本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.

2,H=1

14、«„=\2"~'

-------->2

、n

【解题分析】

项和转化可得=2〃-2〃T=2'I（〃N2）,讨论〃=1是否满足，分段表示即得解

【题目详解】

当〃=1时，由已知，可得％=21二2,

%+2%+3a3+…+=2"9①

故q+2a2+3%+...+(〃—1)%_]=2"।22),②

由①・②得=2"-2"1=21,

n

显然当〃=1时不满足上式，

2,〃二1

・・・%=<2〃7

------,〃22

、n

2,n=1

n-1

故答案为：an=\2、

---，〃22

、n

【题目点拨】

本题考查了利用S〃求为,考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.

15、(-2,0)

【解题分析】

设g(x)=/(x)+/(—X),判断g(x)为偶函数，考虑X>0时，g(x)的解析式和零点个数，利用导数分析函数的单

调性，作函数大致图象，即可得到。的范围.

【题目详解】

设g(x)=/(x)+/(-x),

则g(x)在(YO,0)50,4W)是偶函数，

当x〉0时，g(x)=2Inx-6x+3》2----1-1,

由g(x)=。得。=2xlnx—6x2+3尤3+%,

ifi/z(x)=2xlnx-6x2+3x?+x,

2

/2'(x)=21nx—12x+9f+3,^(x)=-+18x-12>0,

故函数〃(X)在(O,+8)增，而"(1)=0,

所以力⑴在(0,1)减，在(1,田)增,妆1)=一2,

当时，A(x)->+oo,当x30”时，〃(x)r(T,

因此g(x)的图象为

因此实数«的取值范围是(-2,0).

【题目点拨】

本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合

思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.

16、4信

【解题分析】

可证NABC=90°,则E为A4BC的外心，又Q4=PB=P。则PEL平面4BC

即可求出m，PE的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.

【题目详解】

解：AB=2,BC=y/^，AC=3

AB2+BC2=AC2

；.ZABC=90。,因为E为AC的中点，所以E为AABC的外心，

13

:.BE=-AC=-

22

B

因为PA=PB=PC,所以点P在AABC内的投影为AA8C的外心E,

所以尸E_L平面ABC,

BEu平面ABC

:.PE上BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=y/PB2-BE2=二百，

2

(a八Y,a、24

又球心。在PE上，设PO=r,贝!I*—r+=/，所以r=有，所以球0体积，V=q兀户=44＞兀.

故答案为：46兀

【题目点拨】

本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一，、c侬mS「ccmS

17、(1)X=20sH---,%-10SH----＞y-,-50sH----.

160120600

(2)当机＜6000时，此时选择火车运输费最省；

当机＞6000时，此时选择飞机运输费用最省；

当m=6(XX)时，此时选择火车或飞机运输费用最省.

【解题分析】

(1)将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.

(2)作差比较为、%的大小关系得出结论•

【题目详解】

(1)弘=205+器，

%=1。5+鲁，必=505+怒.

(2)m>0,5>0,

故须＞］。喏啮,

.•.X＞力恒成立，故只需比较为与%的大小关系即可，

令/"(5)=%_%=405--^-=|40--^-[5,

v73-150I150J

Hl

故当40——->0,即加<6000时，

150

/(S)>0,即当<为，此时选择火车运输费最省,

当40-1<0,即加>6000时，

/(S)<0,即%>%，此时选择飞机运输费用最省.

当40-布=0,即加=6000时，

f(s)=0,%=%，

此时选择火车或飞机运输费用最省.

【题目点拨】

本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

18、⑺详见解析；(〃)2&

【解题分析】

⑺求导得到片切=/-°，讨论aS丽a>。两种情况，得到答案.

(〃)监)=&-夕-备之。，故“+/S2&，取"斗，“当，求导得到单调性，得到危)min=Xj)=0,得到答案.

【题目详解】

(/)f(x)=e-axff(x)=e-Q，

当QWO时，/7短=/一盘演成立，函数单调递增；

当a>0时，f(x)=ex-a=0,x=Ina,当x*-oojna)时,/&)<0函数单调递减；

当x£(Ina,+8)时，fix)>。函数单调递增.

综上所述：aS0时，&)在R上单调递增；时，心)在(-8,Ina)上单调递减，在(lna,+8)上单调递增.

(II)f(x)=e-ax-by/x2+1>磕xE\-0,+oo)上恒成立；

a=也-^a-yb>0,故a+

现在证明存在qb,a+®=2&，使/G)的最小值为0.

取a=¥，b=与,(此时可使/,Q=。)，

44

「㈤=e、-a-是#x)=e、(八£?+/,b=^<l,

故当x可0,+8)上时，(？+/)&2+/>l,e>1,故『(x)>0,

小)在x可。,+8)上单调递增，rg)=4

故心)在I。，9上单调递减，在&+8)上单调递增，故&)min=/(9=Q

综上所述：a+的最大值为24・

【题目点拨】

本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19、(1)证明见解析；(2)

2

【解题分析】

(1)由平面几何知识可得出四边形ABCM是平行四边形，可得CM//48nCW〃面加5,再由面面平行的判定

可证得面面平行；

(2)由(1)可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面的法向量，再运用线面角的向

量求法，可求得直线NE与平面R钻所成角的余弦值.

【题目详解】

(1)NB4O=NABC=90，..AD//6C,又NAOC=45。，AB=BC=1,:.AD=2,

而"、N分别是A。、PD的中点，,MN//PA,故MN//面PAB,

又AM//BC且AM=8C,故四边形ABCM是平行四边形,.,.。0///30。0//面245,

又MN,CM是面CMN内的两条相交直线，故面CMN//面

(2)由(1)可知，两两垂直，故建系如图所示，则

A(0,-1,0),B(l,-l,0),C(l,0,0),D(0,l,0),P(0,0,石),N(0,；0,

AB=(1,0,0),PA=(0,—1L6),CE=]CP,:.E),0,平，NE=

3(33)326

x=0

设〃=(x,y,z)是平面PAB的法向量,.J

-y-yf3z=0

令z=l,则〃=(0,-6,1),.二cos(NE,〃)旦,

了‘

・,・直线NE与平面抬6所成角的余弦值为

B

X

【题目点拨】

本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.

20、(1)(x+2)2+(y+l)2=l,x2=4y；(2)证明见解析.

【解题分析】

分析：(D设厂的标准方程为f=2py,由题意可设E(2a,a).结合中点坐标公式计算可得「的标准方程为

x2=4y.半径r=时=1,则£的标准方程为(x+2『+(y+l)2=l.

(2)设/的斜率为左，则其方程为y=Z(x+l),由弦长公式可得=联立直线与抛物线的方程有

x2-4kx-4k=0.设。(%,,),。(々，必)，利用韦达定理结合弦长公式可得|。＞|=而］1%一到

=4尿不.尿F贝！1里=2(炉+1|(F+。〉华=？.即|3＞0|钻|.

\AB\'kk

2tz+0

=-1,

因为E,尸关于M(—1,O)对称，所以，

—+a

2_=0,

2

所以『的标准方程为f=4y.

因为£与x轴相切，故半径「=时=1,所以E的标准方程为(x+2)2+(y+l『=l.

(2)设/的斜率为那么其方程为＞=左(》+1),

/、bt-1

贝UE（-2,-1）至！|/的距离d=1,所以IA8|=2JT彳=2、偿-

A/K+1V+1

x2=4y,

由，工碎+1）消去3并整理得T-4&4%=。.

设0（4，）1）,£）（%2，%），则百+4=4%,王马=_44，

那勾C£>|=收+11%!-x2\=jG+l-Ja+zf-4X/2=4〃2+I.正+卜.

\CDf16（k2+l）（k2+k）2（公+1『俨+%）2k_

所以丽=一三—=%>三.

k2+