专题27.3 位似（解析版）

10/10专题27.3位似1.位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。2.位似图形性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。3.由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。【例题1】如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为．【答案】18【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），∴A′（4，4），C′（12，2），∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．【点拨】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．【例题2】△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3B．6C．9D．12【答案】D． 【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．【点拨】利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．【例题3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为1/3，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D.【解析】方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ABO∽△A′B′O且EQ\F(OA′,OA)＝EQ\F(1,3).∴EQ\F(A′E,AD)＝EQ\F(OE,OD)＝EQ\F(1,3).∴A′E＝EQ\F(1,3)AD＝2，OE＝EQ\F(1,3)OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为EQ\F(1,3)，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×EQ\F(1,3)，6×EQ\F(1,3)），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.【点拨】每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形．位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比．注意：本题中，△ABO以原点O为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解.一、选择题1.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）【答案】A． 【解析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的坐标为：（3，3）．2．如图在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）

A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【答案】D．【解析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【答案】A．【解析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2）4．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9【答案】D【解析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（） ABCD【答案】B．【解析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．二、填空题6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的3/2倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大3/2倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为．【答案】（﹣3n/2n,3n/2n+1） 【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的3/2倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×3/2，1×3/2），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大3/2倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2×3/2×3/2，1×3/2×3/2），∴Bn（﹣2×3n/2n，1×3n/2n），∵矩形AnOCnBn的对角线交点（﹣2×3n/2n×1/2,1×3n/2n×1/2）故答案为：（﹣3n/2n,3n/2n+1） 7.如图，在△ABC中，∠C＝90o，D是AC上一点，DE⊥AB于E，若AB＝10，BC＝6，DE＝2，则四边形DEBC的面积为_______。【答案】【解析】由∠A=∠A,∠AED=∠ACB=900,故△ADE∽△ABC.又AB＝10，BC=6,∠C=900,由勾股定理可得AC＝8，从而S△ABC＝BC×AC=24,又==,有=()2==,故S△ADE＝。从而S四边形DEBC=24－＝三、解答题8.已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

【答案】见解析。【解析】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．9.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．【答案】见解析。【解析】此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键．利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；（2）以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△AB2C2，请在第二象限内画出△AB2C2；（3）直接写出以点A1，B1，C1为顶点，以A1B1为的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】见解析。【解析】（1）根据关于原点对称的点坐标特征写出A、B、C关于原点的