海南省部分学校2024届高三年级下册高考全真模拟卷（六）数学试题（解析版）

海南省部分学校2024届高三下学期高考全真模拟卷（六）

数学试题

一、选择题

1.已知复数z满足（3+41”=51,则z的共轨复数Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

K答案XD

（解析H•••（3+4i）z=5i,

.5i_（3-4i）-5i43.

,•z―3+4「（3+4i）（3-4i）一丁引

.__43.

・・z--------i,

55

在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

2.已知集合4={%|2<%<切2-〃2+7,%€?4*},B={%|4<%<7},若中恰有两

个元素，则实数机的取值范围为（）

A.（-1,0）B,（0,1）C.[0,1]D.R

K答案工D

（解析》由中恰有两个元素，可知Ac3={5,6},

故根2+7>6，即〃，一+1>0.

因为z\<0,

故〃/-+1>0在R上恒成立，

故实数机的取值范围为R.

故选：D.

3.已知x>。，贝『七=1”是“2x+亍]的二项展开式中常数项为60”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

（答案』B

r6r

（解析》2x+亍］的展开式的通项为&=G（2x）61［亍］=C6a2-'-x^.

令6—5厂=0,得厂=4,贝彳2x+亍1的常数项为C>/.22=60a4=60,则。=±1,

•..“。=1”是，2%+亍］的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.

故选:B.

4.如图，点P,A,B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则2pA）=（）

A.-8B.-4C.OD.4

［答案XA

K解析改口图，以点尸为坐标原点，建立平面直角坐标系，则24=（1,-3）,。3=（6,-2,）：,

.-.PB-2PA=（6,-2）-（2,-6）=（4,4）,

PA(PB-2PA)=(1,—3)•(4,4)=—8,

故选:A.

5.等差数列｛g｝的前〃项和为5〃，已知％0=7百0=4。，则｛〃〃｝的前100项中，。〃为整

数的各项之和为（）

A.1089B.1099C.1156D.1166

K答案』c

［解析］设等差数列｛4｝公差为d,

「q+9d=7N=1

由％o=7,S|o=4O,,解得：s2>

10q+45d=40J=—

”-122〃+l

所以4=l+（n—l）x—=--—.

要使4为整数，则2"+l是3的倍数，又l<“<l00,〃eN*,

所以可令“=3k—2（1<女<34,左eN*）.

记｛%,｝的前100项中的整数项构成的数列为｛d｝,

则4=2（3/［2）+1=2/_1（］«］434,左eN*）,

所以｛4｝的前34项的和%=34*：+⑺=1156

故选：C.

6.在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形A8CD沿对角线AC

进行翻折，使得。到达DC的位置，此时平面O'AC，平面B4C，连接应）'，得到四面体

ABCD',记四面体ABCD'的外接球球心为O,则点。到平面A5D'的距离为（）

A.班B.垣C.76D.出

33

K答案XA

（解析》根据题意作出图形如图所示，连接。8,OD',

则。4=O8=OC=O£>'=2后，显然四面体ABCD'的外接球球心。为AC的中点.

由于平面DAC±平面BAC,且交线为AC,OD'LAC,OB±AC,

所以OD'_LOB,

又A。'=3。'==4,S人4的，=走X42=4百•

7

▼Z\ADU4▼

设点o到平面ABiy的距离为h,则由VO_ABD,=VD._AB0,

R1^-XAX4V3=-X2V2X-X2V2X2A/2,解得八=岖,

3323

故选:A.

7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线。：炉=2px(p>0)的焦点为尸，过点尸且倾斜

角为120。的直线/与抛物线C交于A,8两点，其中点A在第一象限，若|A到=8,则OBF

的面积为()

A373R9后「373973

\_X.-----

442

K答案XB

K解析》根据题意得直线/：y=-V3|x

设A（』,％）,B（X2,%）,%>0,为<°，则X+%2=gP，

8

故IAB|=玉+々+P=§P=8,

19

解得p=3,代入（*）式，解得芯

9

将9=2代入直线/的方程中，

解得为=-3后,

故SMBF=9"3yB='

故选:B.

8.若a=ln-,/?=—,c=《e—l,则”,仇c的大小关系为()

34

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

K答案1c

k解析H设〃x)=ln(x+l)—号,

Ji\L

11x

则尸(x)=」-----1=^^,

人JJx+1(x+1)2(x+1)2

.,.尤>0时，f'{x}>0,/(X)在(0,+CO)上单调递增.

〉/(0),即Ing—)>0,

.।41

・・In——>——,a>b.

34

设g(x)=e*-1-ln(x+1),则g'(x)=eT———,

x+1

.•.当x>0时，g'(x)>o,即g(x)在(0,+8)上单调递增.

g(0)，Ve-l-ln1>0,

/.y/c—1>In—,即c>a..

3

综上，c>a>b.

故选：C.

二、选择题

9.下列说法正确的是（）

A.68,60,62,78,70,84,74,46,73,81这组数据的第80百分位数是78

B.若一组数据石,•，%,的方差为0.2,则5为,5々，・,5x”的方差为1

C,样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性

D,若变量JA^（172,o-2）,P（172<^<180）=0.4,则P（J<164）=0.1

（答案］CD

(解析力对于A,这组数据从小到大排列为：46,60,62,68,70,73,74,78,81,

又10x80%=8,第8位数字是78,第9位数字是81,

78+8]

故这组数据的第80百分位数是------=79.5,故A错误；

2

对于B,5%,5々,,5x”的方差为5?><0.2=5，故B错误;

对于C,样本相关系数厂的符号反映了相关关系的正负性，当/•>()时，成对样本数据正相

关，当厂<0时，成对样本数据负相关，故C正确；

对于D,：J~N(172,b2),尸(172<J<180)=0.4,

/.P化<164)=P记>180)=0.5-P(172<^<180)=0.5-0.4=0.1,

故D正确，

故选：CD

10.己知函数/(x)=Asin(0x+。"A〉0,o>0,解的部分图象如图所示，下列说法

A./(x)=2sin^2x+jj

B.直线x=q是函数/(力的一条对称轴

C.当时，x的取值范围为[防t,防t+m]

D.若方程/(力=相在-上有两个不相等的实数根，则机的取值范围为卜2,-

(答案』AD

32兀

K解析》对于A,由图可知A=2,7至

CD=2,

/(x)=2sin(2x+。).

又方+臼=2,

即sin1《+°)=l,

兀兀

—(D——\-C27kli，左7£Z~,

62

71

(p=—+2hi,kcZ.

•：|^|<p.-.^=j,Z./(x)=2sinf2x+-|1,故A正确;

对于B,/=2sin]—,故B错误;

对于C,/(x)>1,即sin[2x+1]〉g,

jrjr5IE

：.-+2kn<2x+-<—+2hi,k^Z,

636

jrjr

解得----Hku<X<—Fku,左£Z,故C错误；

124

,7t„,兀27r7T

对于D,当工£-—,0时,2%+§£—--,J.

JT2兀71

当2%飞-5时，/（“）单调递减;

兀，717r

当2x+§e—万,§时，Ax）单调递增.

jr

...要使方程〃X）=7律在-于。上有两个不相等的实数根,

则加式一2,—Q],故D正确.

故选：AD.

11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是

其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为必+：/+今=

ajx2+y2,a>0>图形如图所示.当。=1时，点《（玉,%）,在这条心形线C

上，且为々/0,则下列说法正确的是（）

A.若0片〃0鸟，则出国=2

B.若0PJ/0P。,贝制闾=1

C.|0制+|0闾<4

D.C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

（答案1ACD

K解析》依题意，心形线C的直角坐标方程为f+/+y=，肥+/，

过原点0（0,0），由OPX//OP2,可知斗鸟三点共线，

可设直线*「比，由卜2+y2+y=7^7，

y-tx

消去y,得（1+一）%2一J1+/2国+比=0.

不妨设再＞。,％2＜。，

则丫_J1+＞t_-71+r2-t

%—1+7必一FP—.

|=J1+/2.|/_勺1=Jl+1.^^=2,故A正确;

|o^|.|0^1=7177.

当20时，I。用故B错误；

设点P(x,y)在心形线C上，ZPOx=a,角。以x轴非负半轴为起始边，

则心形线C方程转化为|OPF+1OP|sina=\OP\,

gp|OP|-(|OP|+sin«-l)=0,

|(?P|=l-sina<2,又玉/彳0,

.•.|Q制+|0闾<4,故C正确；

由|0尸|=商+/《2,可知一2.yW2.

2

令t=7%+/(?>0)，则心形线C的方程可化为——r+y=0,A=l—4y20：,

C1

—2WyW—,

4

当y=0,r—r=0,.」=0或t=l,进而可得％=±1或。，

当y=-1时，方程无整数解；

当y——2时，t2—2——2,故尤=0

二C上有4个整点(―1,0),(1,0),(0,0),(0,—2),故D正确,

故选:ACD.

三、填空题

12.已知函数/(x)=alnMawO),过原点作曲线y=/(%)的切线/,则切线/的斜率为

k答案》-

e

K解析』根据题意得，f'(x)=~,设切点坐标为(％,阳)，则/'(/)=’■，

XX0

a/、

所以切线/的方程为〉=一(》一%)+为，

%

将点（0,0）代入，可得0=色（0-%）+%,整理得%=a，

故aln/=〃，解得与=e,

故/@）=处,

e

即切线/的斜率为q.

e

故［答案U为：一.

e

2

13.设耳，鸟分别为椭圆C：土+/=1的左、右焦点，。为坐标原点，点P在C上，若

4-

\PO\=43,则心的内切圆的面积为.

K答案X（7-43）兀

K解析I不妨设/可「工=”,归国=私归月|=”，

则加+〃=4.

在例中，由余弦定理得，222

△P/（IFXF2|）=12=m+n-2mncos0.

由PO2=PF1+PF2,且|尸@=百，

<2J

—r-c加2+/+2mncos6

可得3二-------------------，

4

即m2+n2+2mmcos8=12,

所以cos6=0,N4尸耳=90。，

所以内切圆半径为此包孚二L出J二2一6，

所以心的内切圆的面积为（7—4』卜.故（答案》为：（7-473）71

14.己知数列｛4｝是递减数列，且乙=£--“«力0）,则实数r的取值范围为.

K答案U|,+°0|

K解析》•••数列｛%｝是递减数列,

an<a『i("22),即。_一片,

44

,1

化简得〃-2«—1)〉—.

4

当r<o时，r—Ivo,/-的值有正有负，

,—1)>—1不恒成立；

4

当0<fWl时，/-1<0,〃-2>0，

.."0-2(/—1)〉—不成立；

4

当f>l时,r-l>0,tn-2>0

由题意得，［/"2Q—1)］.>—.

注意到函数/(力=f2(r-l)在［2,+8)上单调递增,

故当〃=2时，1)取得最小值，

即有7—1>—,解得t>—,

44

••.实数/的取值范围为[i+s].故K答案》为：

四、解答题

A+C

15.已知二ABC的内角A,B,。所对的边分别为mb,c,且bsin(5+C)=asin―-一

(1)求&

(2)若点。在AC上，且人£>=5£)=2£>。，求色.

C

,A+C.TI—B

解：(1)VA+B+C=71,Asin(B+C)=sinA,sin------sin-----

22

.A+C7.Ti-BB

V/?sin(B+C)=asin-----,..bsmA=asm-----—ClCOS—,

222

B

由正弦定理得，siiiBsinA=sinAcos—,

2

B

*.*0<A<TI,sinAwO,即sinB=cos—,

2

BBB

由倍角公式得2sin—cos—=cos—.

222

.cBTIB；.sin心则有0=5.

*.*0<—<一,<*.cos—wM0,

2222226

故

(2)•：AD=BD=2DC,

：.BD=AD=-b,

3

221.2

BD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC,

3333

A

4/

=曰朋1+：朋,3。卜053+1,。]，即=（c2+.cax；+[a2,

整理得82=7。2+;ca+a?,又由余弦定理，b2-a2+c2-2accosB>

42

・2,212,1,2

・♦a+c—ac——cH—ca+a,

42

口323a1

Bpn——c———etcf—————.

42c2

16.2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委

会代表参会.某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内

采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽

毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图.

□不喜欢□喜欢

（1）根据等高堆积条形图，填写下列2x2列联表，并依据。=0.010的独立性检验，推断

是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；

是否喜欢羽毛球运动

性别合计

是否

男生

女生

合计

（2）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30

名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X,求P（X=。取得最大值时的左（keN*）

值.

附：

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

参考公式：

2n(ad-bc\廿上7,

Z—、/「、，其中77—Q++C+

(za+b)(c+d)(c+c)(b+d)

解：（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成2x2列联表如下:

是否喜欢羽毛球运动

性别合计

是否

男生7525100

女生5545100

合计13070200

零假设为

：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联.

200x(75>45-55x25)2

x8.791>6.635=x

100x100x130x700010

••・依据小概率值a=0.010的独立性检验,

我们推断“°不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联.

13013

(2)由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为一=—

20020

•.5eN*，，当左=20时,尸(X=@取得最大值.

17.如图，在四棱柱ABC。-中，四边形为菱形，四边形ABCD为矩形,

AB=4,BC=254招用=60。，二面角R-CD-A的大小为60。，M,N分别为

BC,G。的中点.

(1)求证：ZNMC=90°；

(2)求直线A4与平面3CN所成角的正弦值.

(1)证明：取AD的中点O,连接OM,ON,AN,DN,

四边形ABB^为菱形,A3=4,4相用=60°.

••・由棱柱的性质可得：四边形DCGA是菱形，边长为4，/。。1£=60。.

又点N为GA的中点，.[DN=2Q，且。N_LCD.

又'四边形ABC。为矩形，BC=2B

AD±CD,AD!IBC,AD=273，

故NMM即为二面角2—CD—A的平面角，则NNZM=60°,

所以△ADN为等边三角形，ONJ_A£),

又：在矩形ABC。中，点M为8C的中点，点。为AD的中点，・•.ADLOM,

又:OMON=O,QVu平面MON,OMu平面MON,,AD_L平面MON,

又，跖Vu平面MON,，AD_LACV,

又•.AD//BC,-BCLMN,故ZWC=90°.

(2)解:由(1)可知，ADICD,DNVCD,

ADcDN=D,ADu平面ADN,NDu平面A£W,CD_L平面ADN,

又】CDu平面ABC。，二平面AOVJ_平面ABC。，

又；平面ADNI平面ABCD=AD,ONu平面ADN,且ON_LAD,

，QV_L平面ABC。，故OA,OM,ON两两相互垂直，

以。为原点，以OA,OM,ON所在直线分别为尤，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则6(百,4,0),C(-V3,4,0),N(0,0,3),£(0,2,3),

故CB=(2百,0,0),CN=(省,—4,3),AAl=CC1=(73,-2,3),

r,、CB-n=2yf3x=0

设平面BCN的法向量〃=(%,%z),贝叫广，

CN•〃=A/3X-4^+3Z=0

取z=4,则〃=(0,3,4),

记直线A4与平面BCN所成角为0,

|A4j-n|

|-6+12|3

则sin6=cos(A4j,n

|A41HH—V3+4+9xV9+16.10

3

故直线AA,与平面BCN所成角的正弦值为一.

10

18.已知双曲线C：=—==1缶＞04＞0）的一条渐近线方程为y=右焦点为

ab

F（AO）.

（1）求C的标准方程；

（2）过点尸且相互垂直的两条直线/和/'分别与C交于点A,8和点尸，Q,记A5PQ的

中点分别为M，N,求证：直线过定点.

解：（1）设双曲线C的半焦距为c,

—=v212

ClCl—1

根据题意得＜C=G,解得=2,

a2+b2=c2卜=

3

2

所以c的标准方程为V-乙=1；

2

（2）当直线/和/'斜率均存在时，

1

设直线/的方程为x=my+g（m?0；),A(&yJ,B(x2,y2),中点〃(x0,九)，

x=my+y/3

由],丫2,消去X,得（2疗一

)y2+46my+4=0,加w±—^-,

V—匕=1\

[2

26m_r-_G

贝|」八=16。/+1）＞0,为=----9—‘九o—+73=------—，

2m2-1002/n2-l

,,V326m'

故M—c-二一chI；

、2m2—12m2-1,

设直线/'的方程为x=〃y+6(〃W土孝且"0),「(父，4),°(",为')，中点

同理可得N

V3m22^/3m、

因为加〃二一1,所以根12—加2，2—加2)

当％0=/0'时,m=±l,此时/0=/0'=—百'直线MN的方程为