湖北省蕲春县2024年高考数学三模试卷含解析

湖北省新春县2024年高考数学三模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.正三棱柱ABC—AgG中，AAl=4iAB,。是的中点，则异面直线AD与4。所成的角为（）

,ABAC、

2.。是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点P满足。。=。4+彳（年--+H7L：-

AB-cosBAC?cosC

4G（0,8）,则动点尸的轨迹一定经过AA5C的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+?）上单调递增的是（）

A.y=4xB./（x）=xsinxC./（x）=x2+|x|D.y=|x+l|

4.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）

分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：〃=2及〃=3时，如图：

记S”为每个序列中最后一列数之和，则臬为（）

A.147B.294C.882D.1764

X3+ei.nx

5.已知函数/(%)=三~~-——-~-一为奇函数，则机=()

(1+x)(m-x)+e+e

1

A.-B.1C.2D.3

2

6.已知椭圆C的中心为原点。，/（-26,0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|。。|=|。p|且|。R|=4,则椭圆

C的方程为（）

22.2,,2X2y2%V2

A.-%--1--y--11C.一+匕=1D.——+匕=1

25530104525

7.已知函数/(x)=sin(ox+0)(o>O,|9|wTT]),x=—TT；为/(x)的零点，x=TT了为y=/(%)图象的对称轴，且/(%)

在区呜至上单调，则。的最大值是，）

A.12B.11C.10D.9

8.已知COS(20197+a)=，贝!)sine-2a)=()

7557

B.-C.——D.

9999

9.方程/（x）=/（X）的实数根X。叫作函数/（X）的“新驻点”，如果函数g（x）=lnx的，，新驻点”为。，那么。满足（）

A.CL=1B.0<〃<1C.2<a<3D.l<a<2

10.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为可，大圆柱底面半径为马，如图1放置

h

容器时，液面以上空余部分的高为片,如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为生，则7r=（）

&

■胸I9RS2

、2\3

4

A.B.4C.4D.

3J

11.在AABC中,ZE4C=60°,AB=39AC=4,点Af满足BM=2MC，则等于（）

A.10B.9C.8D.7

12.已知集合A={0,1,2,3},3={x|-2<xW2},则A8等于()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-2-1,0,1,2,3}D.{112}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在边长为4的菱形ABC。中，A=60。,点P在菱形所在的平面内.若PA=3,PC=01,贝!J

PBPD=-

14.已知椭圆。：与+"=1（。〉6〉0）的离心率是手，若以N（0,2）为圆心且与椭圆。有公共点的圆的最大半径为

圆，此时椭圆C的方程是—.

15.正项等比数列|｛。“｝满足4+%='|，且2。2,9%，。3成等差数列，则•（44+1）取得最小值时”的

值为_____

16.如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且。-c=.Q,那么椭圆

的方程是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们

雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图

如图所示：

B3代救”尊

■眼”次

（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；

（2）根据统计数据建立一个2x2列联表；

（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

2

P(K)>k00.100.050.0100.005

k°2.7063.8416.6357.879

18.(12分)已知函数/(x)=f-6x+41nx

(1)求单调区间和极值；

(2)若存在实数a,0,c(O<a<b<c),使得了(。)=/(。)=/(c),求证：c-a<2

19.(12分)数列｛。“｝满足a“*0,%=1且。“+1+3a“+q=0.

(1)证明：数列F是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛an-a.｝的前n项和Sn.

20.(12分)如图，在直角梯形A3CD中，AB//DC,ZABC=9Q°,AB=2DC=2BC,E为A6的中点，沿DE

将AADE折起，使得点A到点尸位置，且PE工EB,M为PB的中点，N是上的动点(与点B,C不重合).

(I)证明：平面£W_L平面尸5c垂直；

(II)是否存在点N,使得二面角8-EN-M的余弦值逅？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.

6

21.(12分)图1是由矩形AOE3,R3A3C和菱形3尸GC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=6Q°,

将其沿A3,BC折起使得BE与5尸重合，连结OG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC,平面5CGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

22.(10分)己知等差数列｛%｝的公差dwO,卬=25,且％,an,八成等比数列•

(1)求使不等式为20成立的最大自然数”;

(2)记数列1」一|的前“项和为北，求证:

(anan+lJ

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,C

【解析】

取耳。中点E,连接AE,CE,根据正棱柱的结构性质，得出A|E〃A£),则NC4E即为异面直线A£)与4。所

CE

成角，求出tanNCAE=丁高，即可得出结果.

AE

【详解】

解：如图，取用G中点E,连接4E,CE,

由于正三棱柱ABC-A与G，则BB]1底面451G，

而AEu底面45JG，所以

由正三棱柱的性质可知，J4G为等边三角形，

所以AE，用C，且AEBG=E,

所以平面5月GC,

而ECU平面551clC,则AEJLEC,

则4E〃皿N4EC=90°,

，ZCA,E即为异面直线AD与4。所成角，

设AB=2,则A4,=2应，帖=6,CE=3,

CE_3

则tanZCAjE==6,

4E-^3

7T

：.ZCAlE=-.

故选：C.

【点睛】

本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.

2、B

【解析】

解出AP，计算AP-BC并化简可得出结论.

【详解】

A3AC

AP=OP-OA=^\AB\COSBIACI-CO5C)

AB.BC!AC.BC

/.AP.BC=A=2(-|BC|+|BC|)=O,

AB\'cosB|AC|-craC

AP±BC'即点p在3c边的高上，即点尸的轨迹经过△ABC的垂心.

故选反

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算APBC是关键.

3、C

【解析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.

【详解】

A：y=正为非奇非偶函数，不符合题意；

B：/（%）=心近%在（0,+8）上不单调，不符合题意；

C：y=d+|%|为偶函数，且在（0,+。）上单调递增，符合题意；

D：y=|x+l|为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.

4、A

【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得色的值.

【详解】

依题意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

j_

31530

2

1

21020

3

j_215

15

42~2

]_6

612

55

1

1510

6

所以$6=60+30+20+15+12+10=147.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

5、B

【解析】

根据/(%)整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出机的值.

【详解】

依题意〃尤)是奇函数.而丁=三+5也》为奇函数，'="+二为偶函数，所以g(%)=(l+H(加一X)为偶函数，故

g（%）—g（-%）=。，也即（1+尤）（祖-尤）_（1-尤）（m+%）=0,化简得（2冽-2）%=0,所以加=1.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.

6、B

【解析】

由题意可得c=26,设右焦点为F。由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFFr=ZFPO,ZOFT=ZOPFr,

所以NPFF，+NOFP=NFPO+NOPF。

由NPFF，+NOF，P+NFPO+NOPF，=180。知，

NFPO+NOPFTO。，即PF±PF,.

在RtAPFF，中，由勾股定理，得|PF'|=jEb'2_pF2=«4布丫—42=8,

由椭圆定义，得PF|+|PF，|=2a=4+8=12,从而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-C2=36-（2A/5）"=16,

22

所以椭圆的方程为L+2L=I.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

7、B

【解析】

由题意可得加（-£）+°=林，且。・£+夕=〃"+9故有0=2（〃-幻+1①，再根据占二.W一二，求得q,12②，

4422G34

由①②可得。的最大值，检验。的这个值满足条件.

【详解】

解：函数/（x）=sin（。尤+。）（。>。，\（p\„,

%=-f7T为/（X）的零点，元=:77为丁=/（%）图象的对称轴，

44

（/）•（-—）+（/）=k7i,K+（p=v7i+—,k>左yz,/.0=2（〃一左）+1,即①为奇数①.

442

/(x)在弓，今单调，.•二.竺.",12②.

432。34

由①②可得。的最大值为L

7TJTJT

当69=11时，由％=—为y=/(%)图象的对称轴，可得llx：+9=Qr+7，keZ,

442

故有e=-右，。.(_£)+0=.，满足x=-生为/(X)的零点，

444

(n乃)

同时也满足满足了⑺在I，W上单调，

故a>=n为。的最大值，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

8、C

【解析】

7T

利用诱导公式得cos(2019/+a)=-cosa,sin(—-2«)=cos2«,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【详解】

由cos(2019万+«)=可得cos(乃+(7)=**,costz=，

sin(--2a)=cos2a=2cos2a-l=2x--l=.

299

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时

注意三角函数的符号.

9、D

【解析】

由题设中所给的定义，方程/(X)=/(X)的实数根X。叫做函数/(X)的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出。的大致

范围

【详解】

解：由题意方程/(X)=f'(x)的实数根X。叫做函数〃尤)的“新驻点”，

对于函数g(x)=/依，由于g'(X)=L

X

71

:.lnx=—,

x

设/?(*)=垢-工，该函数在(0,+8)为增函数，

X

."./?(1)=-l<0,/?(2)=ln2—^=ln2—hisfe>0,

;/(x)在(1,2)上有零点，

故函数8(彳)=圆的“新驻点”为。，那么l<a<2

故选：D.

【点睛】

本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出。存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于

基础题..

10、B

【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.

【详解】

在图1中，液面以上空余部分的体积为他“；在图2中，液面以上空余部分的体积为不々也.因为2=万碎生，所

%UJ

故选：B

【点睛】

本题考查圆柱的体积，属于基础题.

11、D

【解析】

利用已知条件，表示出向量AM，然后求解向量的数量积.

【详解】

_-----1一2-

在AABC中，Z&4C=6O°,AB=3,AC=4,点M满足BM=2MC，可得AM=-A3+—AC.

33

12-1-2221

则AB-AM=AB+-AC)=-AB+-AB-AC=3+-x3x4x-=7.

333332

【点睛】

本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量.

12、A

【解析】

进行交集的运算即可.

【详解】

A={0,1,2,3},B={%|-2>2],

AfB=[0,i,2）.

故选：A-

【点睛】

本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-1

【解析】

以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，再设P（x,y），根据PA=3,PC=J五求出P的坐标，进而求得PB-PD

即可.

【详解】

解：连接AC设AC,交于点0,以点。为原点，

分别以直线0co。为轴,建立如图所示的平面直角坐标系，

则：A(-273,0),C(2V3,0),B(0,-2),0(0,2),

设P(x,y)

PA=3,PC=V21,

1+2南+丁=9

(%-273)2+/=21

①-②得,8氐=-12,

解得X=_@,

2

--'y=±p

f63VJ_V33'

:.P一~丁，)或产

\227\22J

显然得出的.PD是定值,

、

[32

•••取p一

7

则尸3,PD=

37

:.PBPD=-----=—1.

44

故答案为：-1.

【点睛】

本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.

22

14、土+乙=1

189

【解析】

根据题意设)为椭圆上任意一点,表达出『，再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.

P(x0,y0|PN

【详解】

因为椭圆的离心率是正,4=62+02,所以“2=2/,故椭圆方程为二+}=1.

22〃b2

因为以N(0,2)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为后，所以椭圆C上的点到点N(0,2)的距离的最大值为

V26.

22

设P(X0,%)为椭圆上任意一点，则奈+*=1・

所以IPN「=婷+(%—2)2=2b2—X)(%—2)2

=-为2-4%+2b2+4(-Z?<y0<&)

2

因为/(%)=*-4%+2b+4(-Z?<y0<b)的对称轴为为=-2.

⑴当b>2时,/(%)在［—d—2］上单调递增，在［-2,b］上单调递减.

此时九x(y°)=/(-2)=8+2廿=26,解得〃=%

(ii)当0<bW2时，/(%)在［―4句上单调递减.

此时以x(%)=/(")=加+4)+4=26,解得力=而_2〉2舍去.

22

综上〃=9,椭圆方程为土+匕=1.

189

22

故答案为：土+匕=1

189

【点睛】

本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点，再求出距离，根据二次函数的对称轴与

区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.

15、2

【解析】

先由题意列出关于q,q的方程，求得｛4｝的通项公式，再表示出即可求解.

【详解】

解：设｛4｝公比为彘且q>0,

2

a3—a^q，%=a?q

2cx—1Q4=2Ca2+%

2x—a2/~2az+a?q

q2—^—2=0

q>0

q—2

A5

/.ax+4%=i

1

：.a=』X2"T=2'T

"4

3225

•■•^=«A+I=2"-X2"-=2--

.•.姑2bn=2-3X2-1XX22，，-5

_2-3+(-1)++(2n-5)

_2层-4〃

=2(〃-2)2-4

.•・“=2时，上式有最小值2一4=_1,

16

故答案为：2.

【点睛】

本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.

16、±14-='11

：B睥

【解析】

由题意可设椭圆方程为：-=1U；：>??-I

(r夕

・・•短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在X轴上

/.—=tan60=A/3

c

又(7-C二V)，〃•=L-厂

・“『二】为Q=樱，

22

.•.椭圆的方程为土+工=1,

129

22

故答案为二+乙=1.

129

考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)图形见解析，理由见解析；(2)见解析；(3)犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口

罩有关系

【解析】

(1)利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；

(2)填写2x2列联表即可；

(3)由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论.

【详解】

解：(1)在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的

高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天

外出带口罩有关系.

(2)2x2列联表如下：

戴口罩不戴口罩合计

女性422870

男性203050

合计6258120

⑶由⑵中数据可得：-2。彩峰言；8):4.672〉3.841.

所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.

【点睛】

本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题.

18、(1)xe(0,l)u(2,+8)时，函数单调递增，%e(l,2),,函数单调递减，/(%)^4^2-8;/(%)_-5；(2)见

解析

【解析】

(1)求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；

(2)易得机e(41n2—8,—5)且0<0<1<〃<2<0,要证明0—。<2,即证0<2+。，即证/(。)=/9)</(4+2),

即/(«+2)—/(〃+2)>0对V。e(0,1)恒成立，构造函数

g(x)=/(x+2)—/(无)，%e(O,l),利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证;

【详解】

解：(1)因为/0)=12-6工+4111%定义域为(0,+8),

所以/'(x)=2(x—DQ—0

.•.xe(0,l)u(2,+8)时，尸。)>。，即/(%)在(0,1)和(2,小)上单调递增，当xe(l,2)时，尸。)<0,即函数

/(九)在(1,2)单调递减，

所以/(%)在％=2处取得极小值，在x=l处取得极大值；

•••Ax)极小值=/(2)=41n2-8,7(x)极大值=/(D=-5；

(2)易得根£(41n2—8,—5),。VQ〈lvbv2<c,

要证明c—Q<2,即证CV2+〃，即证/(C)=/3)V/3+2)

即证f(a+2)—/(a+2)>0对V。e(0,1)恒成立，

令g(x)=/(x+2)—/(x),xe(0,l),

贝！Ig'(x)=/'(x+2)—/'(x)="R-刃〉0

x~+2x

令g'(x)>0,解得l〉x>6—1，即g(x)在(班—U)上单调递增；

令g'(x)<0,解得0<x<6—1,即g(x)在(0,百—1)上单调递减；

则g(x)在％=君-1取得极小值，也就是最小值，

g(x)1njn=—1)=4,\/3—12+41n(-\/3+1)—41n(-\/3—1)>4-^/3—12+4Ine—4(\^-2)=0从而结论得证.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于

中档题.

]TI

19、(1)证明见解析，an=-~-；(2)——-

3/1-23n+l

【解析】

11c

(1)利用4+1-+3。〃+14=0,推出--------=3,然后利用等差数列的通项公式，即可求解；

a”

(2)由(1)知4.4+]=5(」-—利用裂项法，即可求解数列的前〃项和.

33n—23n+l

【详解】

(1)由题意，数列｛%｝满足巧产o且4+1-an+3an+1an=0

11cc11c

可得--------+3=0,即---------=3,

aaa

nn+ln+l%

111,

所以数列一是公差d=3,首项一=7=1的等差数列,

4,41

故^-=1+3(〃-1)=3〃-2,所以为=—i—.

«„3/1-2

1111、

⑵由⑴知)z"⑶，

所以数列｛%.4+J的前〃项和:

1

3

:_Q_)_

33n+l3〃+1

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前〃项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公

式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

20、(I)见解析(II)存在，此时N为的中点.

【解析】

(I)证明PE_L平面£BCZ),得到平面平面EBCD,故平面PBC_L平面PEB,EM_L平面P5C,得到

答案.

(II)假设存在点N满足题意，过M作于。，平面EBCD,过Q作QRLEN于R,连接"R,

则过Q作QALEN于R,连接MR,NMR。是二面角3—EN—M的平面角，设PE=EB=BC=2,

BN=x,计算得到答案.

【详解】

(I)YPEJLEB,PE1ED,EBED=E,；.PE工平面EBCD.

又PEu平面PEB，二平面PEB，平面EBCD,

而BCu平面£BC£>,BCLEB,.,.平面平面PEB,

由PE=EB,。河=43知石"_1_依，可知上70，平面尸5C,

又EMu平面EMN,.•.平面J_平面P5c.

(II)假设存在点N满足题意，过M作M0LE5于。，由PELEB知PE//MQ,

易证PE，平面EBCD,所以M2，平面EBCD,

过。作QALEV于R,连接"R,则ENJ_MR(三垂线定理)，

即NMR。是二面角3-£/V-"的平面角，

不妨设PE=EB=BC=2,则MQ=L

BNEN

在RtAEBN中，设:BN=x(0<%<2),由RtAEBN~RtAERQ得，—=—

RQEQ

MQ正+4

即上=Jt+Y,得RQ=1；.tanZMRQ=

RQ1V22+x2RQx

依题意知COSNMRQ=45，即tanNMRQ=''+4=石,解得x=le(0,2),

6x

此时N为BC的中点.

综上知，存在点N,使得二面角5-EN-M的余弦值逅，此时N为的中点.

6

【点睛】

本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐

标系解得答案.

21、(1)见详解；(2)30.

【解析】

(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED,RtABC和菱形BFGC内部的夹角，所