2023-2024学年上海市高二年级下学期开学数学考试卷含答案

2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期

初态考试数学试卷

2024.3

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

L空间中二面角的平面角的取值范围是.

2.若（1,^）是直线I的一个法向量，则直线I的倾斜角的大小为.

3.已知一个圆锥的底面半径为6,其侧面积为60万，则该圆锥的体积为.

4.某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29,30,39,25,37,41,42,32,

那么这组数据的第75百分位数为.

5.在四面体尸-ABC中，若底面ABC的一个法向量为〃=（1,-1,0）,且CP=（2,4,-1）,则顶点

P到底面ABC的距离为.

6.现利用随机数表发从编号为00,01,02,,18,19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从

下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水

笔的编号为.

952260004984012866175168396820274377236627096623

925808564389099006482834597418582977814964608925

7.已知直线/:（机+2）x-（m+l）y-"Ll=0,若直线/与连接4（-1,0）,8（2,1）两点的线段总有

公共点，则直线/的倾斜角范围是.

2

8.已知耳，工为椭圆C:2+丁=1的两个焦点，P,。为椭圆C上关于坐标原点对称的两点,

且归。|=|耳闾，则四边形尸耳。鸟的面积为.

9.若对任意实数左，直线Ax+y—左+1=0与圆x2+y?+nu+2y+m+4=0至少有一个交

点，则实数冽的取值范围是.

10.己知一个正四面体的棱长为4,则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形

成的交线的长度为.

22

11.在椭圆下5=1上任意一点尸，。与P关于X轴对称，若有6P刈尸41,则6P与马。

的夹角范围为.

12.已知过原点的动直线/与圆C:/+9一i2x+20=0相交于不同的两点AB,线段AB的中

点M的轨迹记为曲线「，若经过点卜手］的直线加与曲线「只有一个交点，则直线机的

倾斜角的取值范围是.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知名6表示两个不同的平面，机是一条直线且7“uc,则是。的）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.下列说法中错误的是（）

A.一组数据的平均数、中位数可能相同

B.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多

C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量

D.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量

15.已知点A是椭圆C+卓=l（a>b>0）的左顶点，过点A且斜率为5的直线/与椭圆C

交于另一点尸（点尸在第一象限）.以原点。为圆心，|。尸|为半径的圆在点尸处的切线与x

轴交于点。.若则椭圆C离心率的取值范围是（）

16.如图，点N分别是正四面体ABCD棱XB,CD上的点，设3M=x,直线肱V与直线5C

所成的角为。，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（）

①当ND=2QV时，。随着x的增大而减小；

②当。V=2ND时，，随着x的增大而增大

A.①②都是真命题B.①是假命题，②是真命题

C.①是真命题，②是假命题D.①②都是假命题

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，在四棱锥P-A5CD中，底面A3CD是边长为a的正方形，侧面底面A3CD,

且尸4=尸。=正〃，设£、厂分别为尸C、的中点.

2

（1）证明：直线Eb〃平面MD；

（2）求直线PB与平面ABC。所成的角的正切值.

18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图.

频率

（1）若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180

厘米的概率;

（2）现从身高在区间［170,190）的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区

间［170,180）中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间［180,190）中样本的均值

为184厘米，方差为16,试求这80人的方差

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在£处按EP方向释

放机器人甲，同时在/处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在0处成功拦截机器人甲.若

点0在矩形区域5内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.

己知/$=24米，£为那中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人

均按匀速直线运动方式行进，记E户与EB的夹角为

（1）若6=45,足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到

0.1°)

（2）如何设计矩形区域/6切的宽/，的长度，才能确保无论e的值为多少，总可以通过设

置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域46切内成功拦截机器人甲？

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

椭圆r的左、右焦点分别为片(—1,0)、经过点片(—i,o)且倾斜角为

60＜。＜3的直线/与椭圆r交于4方两点(其中点/在X轴上方)，ABg的周长

为8.

(1)求椭圆「的标准方程;

(2)如图，把平面x0y沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负

半轴和x轴所确定的半平面互相垂直：

①若。=§,求异面直线A片和B居所成角的大小；

②若折叠后.ABg的周长为求夕的大小.

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

X2y2

如图，是椭圆。:一+乙=：!长轴的两个端点，是椭圆上与A,8均不重合的相

43

异两点，设直线AM,BN,AN的斜率分别是匕,网,&

(1)求左2匕的值

(2)若直线过点(1,0),求证：41%为定值；

(3)设直线"N与x轴的交点为(7,0),(为常数且f/0),试探究直线AM与直线6N的

交点。是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期

初态考试数学试卷

2024.3

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.空间中二面角的平面角的取值范围是.

【答案】[0,司

【解析】略

2.若（1,拓）是直线/的一个法向量，则直线/的倾斜角的大小为.

【答案】—

6

【解析】（1,后）是直线/的一个法向量，则斜率为-]

则直线/的倾斜角的大小为区

6

3.已知一个圆锥的底面半径为6,其侧面积为60万，则该圆锥的体积为.

【答案】96万

【解析】设圆锥的母线为/,高为/7

贝1|60/r="x6x/n/=10n〃=J产一产=，10。-36=8

则该圆锥的体积为工仃2/2=』万x6?x8=96万

33

4.某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29,30,39,25,37,41,42,32,

那么这组数据的第75百分位数为.

【答案】40

【解析】8x75%=6

则这组数据的第75百分位数39为+41^=40

2

5.在四面体尸-ABC中，若底面ABC的一个法向量为〃=（1,TO）,且C尸=（2,4,-1）,则顶点

P到底面ABC的距离为.

【答案】72

_\n-cp\|2-4|L

【解析】点P到底面ABC的距离为="=应

|«|72

6.现利用随机数表发从编号为00,01,02,,18,19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从

下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水

笔的编号为.

952260004984012866175168396820274377236627096623

925808564389099006482834597418582977814964608925

【答案】18

【解析】依次选出的编号为：01,17,09,08,06,18

则选出来的第6支水笔的编号为18

7.已知直线/:（»7+2）尤-（%+1）>-%-1=0,若直线/与连接8（2,1）两点的线段总有

公共点，则直线/的倾斜角范围是

兀3万

【答案】

了7

【解析】如下图，由题意，直线方程/：（根+2）》-（机+1）、-"2-1=。可化为

77i(x+y+1)+2x—y—1=0

则直线/过定点C（O,-1）

又=告勺=-1,而c=罟；=1

—1—uz—u

则由直线I与连接A（-1,O）,5（2,1）两点的线段总有公共点知直线I的斜率满足k<-l^k>l

则直线/的倾斜角为£<戊4号或f

2442

又々=巴也符合题意

2

则直线/的倾斜角范围是「工，留

8.已知耳，工为椭圆C:?+/=l的两个焦点，P,Q为椭圆。上关于坐标原点对称的两点,

且归。|=|甲讣则四边形尸耳。鸟的面积为.

【答案】2

【解析】由椭圆定义可知|P£|+|P闾=2a=4,c=/7万=J==6

有（附|+归用）2=电「+归可2+2阀便可=16

由|Pq=|耳四，P,Q关于坐标原点对称，故四边形尸耳Q玛为矩形,

则有|尸耳「+|尸片「=(2#『=12,故归国归周=352=2,

四边形尸耳QK的面积S=|P即尸闾=2.

9.若对任意实数%,直线米+y-k+1=0与圆］2+/+/知；+2丁+"7+4=0至少有一个交

点，则实数冽的取值范围是.

【答案】(—8,—2］

【解析】由题意可知直线区+y—左+1=0经过的定点为(1,—1)

则定点在圆内或者圆上的时候满足题意，则F+(—1)2+机—2+m+4W0nn7W—2

10.己知一个正四面体的棱长为4,则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形

成的交线的长度为.

,A/30^-

【答案］七一

【解析】设外接球半径为心外接球球心到底面的距离为展

则〃+厂=生色=层+3,所以厂="，两球相交形成形成的图形为圆,

33

如图，在APDO中，cosZDP0=2+6~^=—,sinZDPO=

2x2xV666

ho

所以交线所在圆的半径为早，

6

所以交线长度为"粤=半

22

n.在椭圆?+]=i上任意一点尸，。与尸关于x轴对称，若有RP/PWI,则片P与尸2。

的夹角范围为.

【答案】^--arccos-,^-

_3_

22

【解析】设尸（x,y）,因为弓尸刈尸41,贝鼠2一2+/力，与：+]=1结合，可得/41,2],

cos。=RPF2Q=/一2一。

\FA\FA,+同+y2刖可+y2k+2+疔_（2而）2

22

（与二+匕=1结合，消去X）

42

所以6ez-arccos-,万

_3_

12.已知过原点的动直线/与圆ui+y2T2x+20=0相交于不同的两点A,3,线段A3的中

点、M的轨迹记为曲线「，若经过点的直线山与曲线「只有一个交点，则直线“2的

倾斜角的取值范围是.

【答案】（0,arctanA/5）

【解析】因为CMLO修，所以M的轨迹「为圆（x-3『+y2=9（在圆C内部，不含两圆

交点），求得交点的坐标为印土笔

7

所以当斜率为（0,⑹时或者与「相切时符合要求，故答案为倒,arctan国L

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知名/表示两个不同的平面，机是一条直线且c,则是。J_尸的）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，机为平面a内的一条直线，如果则

aL/3■,

反过来加为平面a内的一条直线，则”可能有机///,m/3=p,可能有机，万

三种情况.

所以“加工，”是“。”的充分非必要条件.

故选：A.

14.下列说法中错误的是（）

A.一组数据的平均数、中位数可能相同

B.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多

C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量

D.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量

【答案】B

【解析】中位数指的是一组数据按从小到大排列最中间的那一个数字或最中间两个数字的

平均数，并不能说明中位数对应的数字在这组数字只出现一次，所以错误，故选B.

22[

15.已知点A是椭圆C:―+%=1（。>b>0）的左顶点，过点A且斜率为5的直线/与椭圆C

交于另一点尸（点尸在第一象限）.以原点。为圆心，|。尸|为半径的圆在点尸处的切线与x

轴交于点。若|尸4|可尸Q|,则椭圆C离心率的取值范围是（）

【答案】B

【解析】要使|尸H2|尸@,只要NPQANN"。，只要-MQNMA，

因为直线/的斜率为5,

即只要—,

设直线AP方程为：y=：（x+。），

联立,整理可得：（〃+462）尤2+2/》+/—4/廿=o,（*）

._...、­,,,,„..〃2+4〃2—/+4Z72a1,、4ab2

因为西=~a为方程(*)的一个根，故%,=a+4"_=_----—,y2=-(x,+a)=-----y

-aa+4b2a~+4h

所以点P

a2+4b2a~+4b~

由于OPJ.PQ

■-4b21

令-kpQ上3，可得y

4b2-2

可得房＜/4助2,可得离心率e=£=1--

所以离心率的取值范围是0,*.

I2」

故选：B.

16.如图，点MN分别是正四面体MCD棱AB,CD上的点，设=x，直线与直线6C

所成的角为。，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（）

①当ND=2CV时，。随着x的增大而减小；

②当CV=2ND时，。随着x的增大而增大

A.①②都是真命题B.①是假命题，②是真命题

C.①是真命题，②是假命题D.①②都是假命题

N

【答案】B

【解析】当ND=2OV时，作NF//BC交BD于F点、,如图所示,

直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NF所成的角，即ZMNF=0,

设正四面体的棱长为3,则CN=3歹=1,FN=2

在尸中，由余弦定理可得

M尸2=8加2+8/2—2BM-NP-cos/AffiF=a2+i—2xcos60=x2+l-x

MF=Jx2-x+l

同理在AfiQV中，由余弦定理可得3N=A/7,.•.⑷V=BN=J7

AB?+BN?-AN?BM?+BN?-MH

在AABN中,由余弦定理可得cos/ABN=

2ABBNIBM-BN

化简可得MN=Jx?-3x+7,

所以在XFMN中，有cos6=/I=gji+(xe[0,3])

2&_3x+72』尤2_3X+7、〃

18-7元

令〃%)=则，

—3x+7

7P_QAr_|_5

当xe[0,3]时，f'(x)=---------才有正有负，函数有增有减,

卜2-3x+7)

所以①错误,

当CN=2ND时,作NE//BC交BD千E点、,如图所示,

直线MN与直线5c所成的角即为直线MN与直线NE所成的角，即ZMNE=e,

同样设正四面体的棱长为3,则CN=M=2,/W=2

可求得ME=J尤2_2尤+4,AN=BN=币

在AABN中，有cosNABN=---------==一产

2x2xV72V7

所以AW?=尤2+7一2*彳*屿*^^=尤2一3元+7,即MN=&2-3X+7,

2手

所以在^MNE中，有cos8=—/4'=+(xe[。，3])

26-3X+72VX2-3X+7[」'

9—5x5x2-18x-8

令『（尤）=，则尸（x）=<0,

f—3%+7(X2-3X+7)2

所以/（x）在定义域内单调递减，即X增大，/（X）减小，即cos。减小，从而。增大,

故②正确，

故选B

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面底面ABCZ）,

且A4=PD=Ja,设石、厂分别为PC、6。的中点.

2

（1）证明：直线防〃平面MD；

（2）求直线P5与平面A3CD所成的角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）与

【解析】（1）连接AC,•A5CD为正方形且产为5。的中点，

.・./为AC的中点，又E为PC中点，

:.EF//PA.

又,EF不在平面上4。上，Q4u平面加D,

.•.EF〃平面QAO.

(2)PA=PD=-^^a,AD=a,:.PAVPD,

2

△24。为等腰直角三角形，

取AO中点由等腰三角形性质可知？

文平面平面ABCD,平面平面ABCD=AD,

PM±平面ABCD,

连接BM,则ZPBM为直线PB与平面ABCD所成的角，

由PM，a,BM=^a,PM，MB可得tanNPBM=好,

225

直线PB与平面A5CD所成的角的正切值为手

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.

频率

(1)若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180

厘米的概率;

(2)现从身高在区间［170,190)的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区

间［170,180)中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间［180,190)中样本的均值

为184厘米，方差为16,试求这80人的方差

【答案】(1)0.26；(2)27.25

【解析】

(1)由于(0.022+0.027+0.025+X+0.01+0.001)x10=1,解得x=0.015

则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为

(0.015+0.01+0.001)xl0=0.26

(2)由于身高在区间口70,180),［180,190)的人数之比为5:3,所以分层抽样抽取80人,区

间［170,180),［180,190)内抽取的人数分别为50人与30人.

在区间［170,180）中抽取的50个样本记为否,％2，，，/0,其均值为176,方差为10,即

x=176,s；=10.

在区间［180,190）中抽取的30个样本记为其,%,•,加•其均值为184,方差为20,即

y=184,4=16;

bi、、,6q_50x176+30x184

所以这80人身IWJ的均值为z=------------------------=179.

80

从而这80人身高的方差为

1r5030_11r50___30___

S2=—-z)2+-z)2=­£(X,.-J;+x-z)2+2(y,,-y+y-zY

xu,=ii=iJKU[_三iz=i

=占卜05；+50(%-z)2+301+30(y-z)2]=27.25.

因此，这80人身高的方差为27.25

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在£处按EP方向释

放机器人甲，同时在/处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在。处成功拦截机器人甲.若

点0在矩形区域465内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.

已知AB=24米，£为加中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人

均按匀速直线运动方式行进，记"与£5的夹角为，.

（1）若6=45,4?足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到

0.1°）

（2）如何设计矩形区域40的宽力?的长度，才能确保无论e的值为多少，总可以通过设

置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域力8切内成功拦截机器人甲？

【答案】（1）按照与A3夹角为20.7。的向量AQ方向释放机器人乙，才能挑战成功;

(2)AD>4A/2

【解析】(1)—AEQ中，AQ=2EQ,ZAEQ=135°

由正弦定理，得:EQAQ

sin/QAEsinNAEQ

所以sinNQAE=」^

一4

所以ZQAE=arcsin—仪20.7°

一4

所以应在矩形区域ABC。内，按照与A3夹角为20.7。的向量AQ方向释放机器人乙，才能

挑战成功

(2)以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系,

设。0y)(yN0)

由题意，知AQ=2EQ,所以5(尤+12)2+丁=2旧十y

所以(x—4了+；/=32(^20)

即点。的轨迹是以(4,0)为圆心，4形为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分

所以当AD»4后米时，能确保无论6的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使

机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲。

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

椭圆「的左、右焦点分别为片(—1,0)、&0,0).经过点6(—1,0)且倾斜角为

d[o<6<f)的直线/与椭圆「交于'、6两点(其中点4在x轴上方)，AB"的周长

为&

(2)如图，把平面xOy沿X轴折起来，使y轴正半轴和X轴所确定的半平面，与y轴负

半轴和x轴所确定的半平面互相垂直：

7T

①若£=求异面直线时和切所成角的大小；

②若折叠后..A3鸟的周长为求夕的大小.

【答案】(1)—+21=1；(2)©arccos—；②arctan^L

432814

【解析】(1)因为A3月的周长为8,所以4a=8,。=2.由题意得

c=1Z72=a2—c2=3;

22

所以椭圆「的方程为±+±=1.

43

22

(2)①由直线/:y—0=百(x+1)与\+、=1联立求得人(0,、/§),(因为点/在x轴

上方)以及8)

再以0为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x,y,z轴

建立空间直角坐标系，则

7^（0,-1,0）,A（O,O,A/3）.BRA-pOj,K（0,1,0）,4A=,l,省）,

%=1|五。，。］.

F}ABF21313

异面直线和所成角为e,贝Ucos8=^_-—；所求角为arccos；^；

2828

^FABF2

②由|A阅+忸闾+|AB[=T，|A闾+忸闾+|AB|=8,故|AB|—WB[=g

由|A阅+忸£|+|A2[=T，M闾+忸闻+|A5|=8,故IABHAB卜;

设折叠前4（%,X），

my=x+1

直线/与椭圆「联立方程《Y/得（3i,/772+4）V-6my-9=0。

----1------1

[43

6m

X+%=—；——，=-9——

123m2+4123m2+4

在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原X轴仍然为X轴，原y轴正半轴为

y轴，原y轴负半轴为z轴）:

设/,6在新图形中对应点记为4,B',8'卜：2,0，—%）；

|AB|=J(X「％『+才+(一%『，|AB|=X2p+(x—%)2；

|明TA'B'\=J(X]-%)2+(%一%)2-J(X]―工2)2+y：+y；=1(7)

一22」

J(x「々J+(%-%『+J(「—zj+y；+/5，

所以J(X「々y+Gi-%)2+J(X「zf+l+n=—4乂%Qii)

由Qi)(//)可得,(石一々)2+(%_%)2=：—27%；

(王一々)2+(X—为丫=(1+mBQ]—%)2=[；—2%%]；

(1+也141+4]=4+4：1441/]、。+41

v'{3m2+4J3m2+4(43m2+4J+4j(43m2+4J

12+12"/118]c，1c311o

-------=一+------,12m-+12=-m2+1+18,

3m2+443m1+44

解得加2=E，0<6)<—,所以，=arctan^^^

45214

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

V2V2

如图，4,8是椭圆。：一+2-=1长轴的两个端点，M,N是椭圆上与A,3均不重合的相

43

异两点，设直线AM,BN,AN的斜率分别是匕,42,与

(1)求42&的值

(2)若直线MN过点(1,0),求证：人人为定值；

(3)设直线MN与x轴的交点为(/,0),(为常数且7W0),试探究直线AM与直线6N的

交点。是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

314

【答案】(1)--；(2)--；(3)直线AM与直线5N的交点。落在定直线x=