2023-2024学年江苏百校大联考高考模拟卷数学试题含解析

2023-2024学年江苏百校大联考高考卷数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义在R上的偶函数/（%）满足，（x+l）=-}j（〃x）w0）,且在区间（2017,2018）上单调递减，已知。，，是

锐角三角形的两个内角，则/（sin/?）,/（cos夕）的大小关系是（）

A./(sin/?)</(coscr)B./(sin/?)>/(cose)

C./(sin/5)=/(costz)D.以上情况均有可能

2.已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）

△也

«—272-<VFf

△

A.2血B.2月C.4D.2网

3."a丰是cosawcos0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为血：1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和

建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台

到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度

差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）

A.400米B.480米

C.520米D.600米

5.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂

口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%）,根据该图，以下结论一定正确的是（）

A.2019年该工厂的棉签产量最少

B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显

C.三年累计下来产量最多的是口罩

D.口罩的产量逐年增加

已知函数，(x)=3x+2cosx,若。=/(3&)，人=/(2),

6.c=/(log27),则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.已知复数々=(l+2i)(1+ai)(aGZ?),若zCR,则实数。=)

D.-2

)

D.242

9.如图，平面四边形ACB。中，AB±BC,AB=6,BC=2,AABD为等边三角形，现将△ABD沿AB翻

折，使点。移动至点尸，且则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()

p

A.8"B.6TTC.4万D--------TC

3

10.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()

A.16B.48C.96D.128

11.已知向量a,8满足仍1=2,且a与匕的夹角为120。，则b-34=()

A.而B.后C.2A/10D.743

12.已知向量a*满足|a|=l,|〃|=/，且a与人的夹角为J,则-力=()

6

1313

A.-B.一一C.一一D.-

2222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在ABC中，2Afi=3AC,AO是41c的角平分线，设AD=〃zAC,则实数〃？的取值范围是.

14.如图，为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得4点的仰角NM4N=60°，C

点的仰角NCAB=45°以及NMAC=75°;从C点测得N/C4=60°.已知山高5。=100〃?，则山高

MN=m.

15.在边长为2的正三角形ABC中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=l,则的取值范围为.

16.设S,,为数列｛a,J的前九项和，若a=>0,q=l,且25“=%（%+力，nwN*，贝U=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥P—A3C£>中，四边形A3CZ>为平行四边形，BD±DC,APCD为正三角形，平面PC。，

平面ABC。，E为PC的中点.

（1）证明：AP〃平面E3。；

（2）证明：BELPC.

18.（12分）已知函数/（尤）=瞳03%

（1）若x<0,求证：/（%）<|；

（2）若尤>0,恒有左+3）x+21nx+l,求实数左的取值范围.

X—t

19.（12分）已知直线/的参数方程：\C为参数）和圆。的极坐标方程：夕=2sin，

y=l+2t

（1）将直线/的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知点M（l,3）,直线/与圆C相交于A、B两点,求的值.

20.（12分）已知函数/（x）=lnx-nu-m2X2（^R）.

（1）讨论函数/（尤）的极值；

⑵记关于x的方程/（1）+疗f=o的两根分别为p,g（p<q）,求证：lnp+lnq>2.

21.（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名

222I

同学答对的概率都是彳，乙班三名同学答对的概率分别是彳，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.

3332

（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A,求事件A发生的概率；

（2）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望.

22.（10分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，

未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开

学季进了160盒该产品，以x（单位：盒，lOOWxW200）表示这个开学季内的市场需求量，V（单位：元）表示这

个开学季内经销该产品的利润.

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；

（2）将V表示为x的函数；

（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求/（x）在（0,1）上的单调性，结合三角函数的性质即可比较.

【详解】

由f(x+1)=可得于(x+2)=/[(%+1)+1]=-/八=/(X),即函数的周期T=2,

/⑺/(x+1)

因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(-1,0)上单调递减，

根据偶函数的对称性可知，Ax)在(0』)上单调递增，

因为c,夕是锐角三角形的两个内角，

所以外万6(0,;乃)且1+夕>3"即1>3"一夕，

所以costz<cos(5»—/?)即0<cos。<sin/?<1,

/(costz)</(sin/7).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.

2、B

【解析】

由三视图可知，该三棱锥如图，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,结合三视图求出每个面的面积即

可.

【详解】

由三视图可知，该三棱锥如图所示：

其中底面ABC是等腰直角三角形，PC,平面ABC,

由三视图知，PC=2,AB=2叵

因为PC，8C,PC，AC,AC=5C,AC，C6,

所以AC=BC=2,PA=尸8=AB=2夜，

所以SAPAC=3Ape5=S0CB=]X2X2=2，

因为AE4B为等边三角形，

所以SAPAB=¥A§2=¥X（2忘）=2百,

所以该三棱锥的四个面中，最大面积为26.

故选：B

【点睛】

本题考查三视图还原几何体并求其面积；考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关

键;属于中档题、常考题型.

3、B

【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

«=/7=>cosa=cos/3所以cosa丰cos/30a手B（逆否命题）必要性成立

当a=-Bncosa=cos0,不充分

故是必要不充分条件，答案选B

【点睛】

本题考查了充分必要条件，属于简单题.

4、B

【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实

际高度.

【详解】

设第一展望台到塔底的高度为x米，塔的实际高度为y米，几何关系如下图所示：

y700

X

由题意可得也宁=0,解得x=100(应+1)；

且满足一三=行，

%+100

故解得塔高y=(x+100)V2=200(V2+11480米，即塔高约为480米.

故选：B

【点睛】

本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.

5、C

【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的

正误.综合可得出结论.

【详解】

由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法

比较，故A、B、D选项错误；

由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最

多的是口罩，C选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

6、D

【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/(x)在R上为增函数，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数/(x)=3x+2cosx,其导数函数/v)=3-2sinx,

则有广(尤)=3-2sinx>0在R上恒成立，

则在R上为增函数；

又由2=log24<log27<3<3^,

则b<c<a；

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题.

7、D

【解析】

化简z=(1+2Z)(1+ai)=(1—2a)+(a+2)i,再根据zWR求解.

【详解】

因为z=(l+2i)(1+ai)=(1—2a)+(a+2)i,

又因为ZWR,

所以a+2=0,

解得a=-2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8、D

【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.

【详解】

根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：

B

ED

由三视图知：|AD|=2,\CE\=V3,\SD\=2,

所以|SC|=\DC\=2,

所以恸=+⑷?=2y[2,\SB\=Jscf+附=2亚,

所以该几何体的最长棱的长为20

故选：D

【点睛】

本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

9、A

【解析】

将三棱锥P-A8C补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角

形的外心连线上，在RfOBE中,计算半径03即可.

【详解】

由PB1BC,可知平面？AB.

将三棱锥P-ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,

记△ABP的外心为E,由"BD为等边三角形，

可得班=1.又0E=H=1,故在RtOBE中,OB=应,

此即为外接球半径，从而外接球表面积为8〃.

故选：A

【点睛】

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

10、B

【解析】

列出每一次循环，直到计数变量i满足，〉3退出循环.

【详解】

第一次循环：S=21(l+l)=4,z=2；第二次循环：5=4+22(1+2)=16,7=3；

第三次循环：5=16+23(1+3)=48,，=4,退出循环，输出的S为48.

故选：B.

【点睛】

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.

11、D

【解析】

先计算。力，然后将卜-进行平方,，可得结果.

【详解】

由题意可得：

a-b=|a||z?|cosl20=1x2x]—g)=—l

.♦.(a-36)-a-6a-b+9b=1+6+36=43

贝(]-3Z?|=J43.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

12、A

【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.

【详解】

(a+V)•(2ci—b)—2a—b+a，b=2—3+1x-\/3x~~~=5,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查数量积的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、巧

【解析】

设AB=3f,AC=2t,ZBAD=ACAD=tz,由SABAD+SACAD=SABAC,用面积公式表示面积可得到m=geosa,

利用即得解.

【详解】

设AB=3f,AC=2t,ZBAD=ZCAD=a,

由^^BAD十^ACAD=SABAC得：

—•3t-2mt•sin。+工•2%•2mt-sinor=—•-sin2a,

222

化简得根=(cos。，

由于(Ze]。,?],

故加

故答案为：[o,g]

【点睛】

本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.

14、1

【解析】

试题分析：在ABC中，^BAC=45°,ZABC=90°,BC=100,AC==10072,在AMC中，

sin45°

-ZMAC=75°,ZMCA=60°,/.ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———，即四="迪，解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

得AM=IO。6,在Rt.AMN中，MN=AM-sinZMAN=10073xsin600

=150(m).

故答案为1.

考点：正弦定理的应用.

3

15、(-2,--]

【解析】

建立直角坐标系，依题意可求得。£>-8力=2肛+2x+2y—4,而x>0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe(0,l),由此构造函数/(x)=—2/+2x—2,0<x<l,利用二次函数的性质即可求得取值范围.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(—l,0),2(1,0),c(0,V3),设。(占，0),E(X2,%)，

根据3D=x3A，即(七一1，0)=%(一2,0),则X]=l—2x,

CE—yCA,即(x2,%—=y(—1,—A/3)>贝!J%=~y>%=—+,\/3，

所以CD-BE=(石g)•(%T,%)，

=xl(x2-l)-s/3y2=(l-2x)(-y-l)-3(-y+l)=2xy+2x+2y-4,

-x>0,y>0,x+y^l,

.-.y=l-x,且xe(0,l),

^CD-BE=2X(1-X)+2X+2(1-X)-4=-2X2+2X-2,

设/(x)=—2必+2%—2,0<%<1,易知二次函数/(x)的对称轴为x=3，

故函数”x)在[0,1]上的最大值为/(；)=—g,最小值为/(0)=/(1)=-2,

3

椒CDBE的取值范围为(-2,--].

3

故答案为：(—2,——].

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力,

求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题.

16、55

【解析】

由题可得=%(%+f)=2%,解得f=l,所以2S,="“(%+1),2sI=凡+](%+1+1),

上述两式相减可得2s-2Sn=2an+l=an+l(an+1+V)-an(a„+1),BR(an+l+an)(a„+1--1)=0,

因为。“〉0,所以凡+|-a,-1=。，BP«„+1~an=l,

所以数列｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

10x9

所以Ho=10xl+^^xl=55.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)连结AC交RD于点O,连结OE,利用三角形中位线可得A尸〃OE,从而可证AP〃平面E5O；

(2)先证明BO_L平面PC。，再证明PCJ_平面BOE,从而可证3E_LPC.

【详解】

证明：(1)连结AC交5。于点0,连结。E

因为四边形ABCD为平行四边形

.•.0为AC中点，

又E为PC中点，

故AP〃0E,

又AP<Z平面E3D,OEu平面E5O

所以AP〃平面EBD；

(2)•.'△PC。为正三角形，E为PC中点

所以PC_LOE

因为平面PC£)_L平面ABCD,

平面PCD平面ABCD=CD,

又BDu平面ABC。，BD±CD

.*.3O_L平面PCD

又PCu平面PCD,故PCLBD

又BDDE=D,3。u平面BOE,OEu平面BOE

故PC_L平面BDE

又BEu平面BDE,

所以BE±PC.

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行

证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.

18、(1)见解析；(2)(-oo,0]

【解析】

(1)利用导数求x<°时'<)的极大值为(』=底，即证/⑴行⑵等价于七一--

x?/%—一21nx—1

x>0,令g(x)=——\x>0,再求函数g(x)的最小值得解.

X

【详解】

(1),函数f(x)=x2e3x,/.fr(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.

22

由r(x)>o,得xv--或x>o；由r(x)<o,得一一<%<0,

33

22

/•f(x)在(-8,--)内递增，在(-—,0)内递减，在(0,+oo)内递增,

33

・・・f(X)的极大值为了

4x.x2/%_3%—2\nx—1

z(2)x.x2?e3x>(zk+3)x+21nx+l,..k<-----------------，x>0,

X

2X

A/、X,€^—3x—2IriX—1rmi,/、/(I+3%)/，+21〃%—1

令g(x)=-----------------，x>0,则gr(x)=一-------------------，

XX

令h(x)=x2(l+3x)e3x+21nx-1,则h(x)在(0,+co)上单调递增,

且x―0+时，h(x)--oo,h(1)=4e3-1>0,

工存在xo£(0,1),使得h(xo)=0,

・••当(0,xo)时，gr(x)<0,g(x)单调递减，

当x£(xo,+co)时，gr(x)>0,g(x)单调递增，

-3XQ-2InXQ-1

.*.g(X)在(0,+oo)上的最小值是g(xo)

%

1-2In/

Vh(xo)=x；(l+3%o)e*°+2Inxo-1=0,所以、e3&=

l+3x0

令入；/殉=1,21nx0+3x0=0,

l-21nxn1clc八

令^----=1,21nx0+3x0=0

所以端-J}}。：1,21nx0=-3x0,

XQ—3%Q—21nXg—11—3x)+3x)—1

.,.g(xo)=-------------------=-------------=0

xoxo

实数k的取值范围是(-8,0].

【点睛】

本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平和分析推理能力.

19、(1)I：y=2x+l,C：/+(y-l)2=l；(2)2亚

【解析】

(1)消去参数/求得直线/的普通方程，将夕=2sin，两边同乘以夕，化简求得圆C的直角坐标方程.

(2)求得直线/的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得

|舷4|+|闻8|的值.

【详解】

(1)消去参数/,得直线/的普通方程为y=2x+l,

将夕=2sind两边同乘以「得"=2psin6,x2+(y-l)2=1,

.•.圆C的直角坐标方程为V+(y-=1；

E+g

X—t

(2)经检验点”(1,3)在直线/上一,c可转化为＜5①,

[y=i+2t

y=3+巫t

-5

将①式代入圆C的直角坐标方程为尤2+(y-=1得，+半f

二1,

化简得产+26+4=0,

设％,12是方程/+2^/5Z+4=0的两根，则:+,2=—2^/^,=4,

•.*—4>0,.•.%与%2同号，

由/的几何意义得|八例+。叫=网+回=,+胃=2石.

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,

属于中档题.

20、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)对函数求导，对参数m讨论，得函数单调区间，进而求出极值；

(2)，4是方程/(%)+加2%2=0的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.

【详解】

/«、./、1c21-mx-2m~x~

(1)依题意，f(x)=--m-2mx=--------------------

xxx

若加=0,则/'(x)=L>0,则函数/(九)在(0,+。)上单调递增,

此时函数/(尤)既无极大值，也无极小值；

若机>0,贝Ul+mx>0,令/'(x)=。，解得x=^—,

2m

故当xe(0,二一)时，尸(幻>0,/(九)单调递增；

2m

当xe(2-,+s)时，ruxo,/(九)单调递减，

2m

此时函数/(x)有极大值A?—)=InM•，一—(，_)2=lnJ__3无极小值；

2m2m2m2m2m4

若相<0,则l-2mx>0,令/'(x)=。，解得%=--,

m

故当元£(0,-,)时，r(x)>o,单调递增；

m

当xe(—',+(»)时，/(%)<0,/(尤)单调递减，

m

此时函数f(x)有极大值/[--Uln(--),无极小值；

mJmmmm

(2)依题意，lnx—〃ir=O,贝!|lnp=7%p,lnq=mg,

故Inq-lnp=,Inp+lnq=m(p+q)；

要证：ln〃+Inq>2,即证7律(p+q)>2,

In«-Inp、-,q2(q-p)

即证：———~(zp+q)>2,即证In，〉i',

q—pPP+Q

设旦只需证：hn>跑二D«>1),

Pt+1

设g«)=lnf—则g'Q)=^^〉O，

t+it(t+iy

故g。)在。,+⑹上单调递增，故g(/)>g(l)=O,

即Inf〉20°,故In夕+Inq>2.

%+1

【点睛】

本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.

证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本

方法：

⑴若fM与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明/。篇>g。).；

⑵若八无)与g(无)的最值不易求出，可构造函数〃(x)="x)—g(x),然后根据函数以幻的单调性或最值，证明

/z(x)>0

21、(1)或(2)分布列见解析，期望为20

243

【解析】

(1)利用相互独立事件概率公式求解即可;

(2)由题意知，随机变量X可能的取值为0,10,20,30,分别求出对应的概率，列出分布列并代入数学期望公式求解即

可.

【详解】

(1)由相互