人教版八年级下学期数学知识点总结

人教版八年级第二学期数学知识点

二次根式

1.二次根式：一般地，式子VI,(a20)叫做二次根式.

注意：(1)若aNO这个条件不成立，则VT不是二次根式；(2)VT是一个重要的非负数，即；VT20.

2.重要公式：⑴(Va)2=a(a>0),(2)=IaI=了?；注意使用a=(V^)2(a>0).

।1[—a(a<0)

3.积的算术平方根：V^b=VI-Vb(a>0,b>0),积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本

章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.

4.二次根式的乘法法则：V7-Vb=Vab(a>0,b>0).

5.二次根式比较大小的方法：

(1)利用近似值比大小；

(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;

(3)分别平方，然后比大小.

6.商的算术平方根:1宗(a>0,b>0),商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

7.二次根式的除法法则:

(1),(a>0,b>0)；

(2)Va+Vb=Ja+b(a>0,b>0)；

(3)分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使

分母变为整式.

8.常用分母有理化因式：品与,4-瓜与五+R,+11而与,它们也叫互为有理化

因式.

9.最简二次根式：

(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中

不含能开的尽的因数或因式；

(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2,且不含分母；

(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10.二次根式化简题的几种类型：(1)明显条件题；(2)隐含条件题；(3)讨论条件题.

11.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

12.二次根式的混合运算：

(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公

式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为

分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

勾股定理

1.勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为。，b,斜边为C,那么/+廿=。2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角

边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学________〃.

家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现'—，片一［I

并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方:\\|

2.勾股定理的证明4\

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法一

用拼图的方法验证勾股定理的思路是A〃D

②图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变/V1D

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理/Xr

常见方法如下：BbC

22222

方法~4sA+§正方形EPG”=S正方形ABCD，—ab+(b—a)=c?化间可证•a+b=c

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

S=4x—tzZ?+c2=2ab+c2大正方形面积为S=(a+bf=a1+lab+b2所以

2

222

方法三：S梯形=g(a+6>(a+Z?)，S梯形=25皿++9,化简得证：a+b=c

3.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形

的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在A/WC中，ZC=90°,则c=,b=ylc2-a2,

aNd②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题

5.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长b,c满足片+尸=02,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的

可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a?+〃与较长边的平方,?作比较，若它们相等时，以a,b,c

为三边的三角形是直角三角形；若"+/<02,时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；若"+/>c2,时，

以°,b,c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a,b,c及/+62=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足

a2+c2=b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是匕为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角

三角形

6.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即标+匕2=°2中，*b,c为正整数时，称a,b,c

为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

7.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定

理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,

应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.

8..勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程

中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到

错误的结论.

9.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定

一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：

ADB

10、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个

叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

四边形

1.四边形的内角和与外角和定理:

(1)四边形的内角和等于360°；

(2)四边形的外角和等于360。.

2.多边形的内角和与外角和定理:

(1)n边形的内角和等于(n-2)180°；

(2)任意多边形的外角和等于360°.

3.平行四边形的性质:

‘⑴两组对边分别平行;

(2)两组对边分别相等;

因为ABCD是平行四边形n《3)两组对角分别相等;

(4)对角线互相平分；

(5)邻角互补.

4.平行四边形的判定：

(1)两组对边分别平行'

(2)两组对边分别相等

⑶两组对角分别相等ABCD是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等

(5)对角线互相平分

5.矩形的性质：

(1)具有平行四边形的所有通性;

因为ABCD是矩形(2)四个角都是直角；

A

(3)对角线相等.D

6.矩形的判定:

(1)平行四边形+一个直角'

(2)三个角都是直角四边形ABCD是矩形.

(3)对角线相等的平行四边形

A

D

7.菱形的性质：

因为ABCD是菱形

乜)具有平行四边形的所有通性;

=><(2)四个边都相等；

(3)对角线垂直且平分对角.

8.菱形的判定：

(1)平行四边形+一组邻边等

(2)四个边都相等=>四边形四边形ABCD是菱形.

(3)对角线垂直的平行四边形

9.正方形的性质：

因为ABCD是正方形

'⑴具有平行四边形的所有通性；

n(2)四个边都相等，四个角都是直角;

(3)对角线相等垂直且平分对角.

10.正方形的判定:

(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角'

(2)菱形+一个直角n四边形ABCD是正方形.

⑶矩形+一组邻边等

(3)VABCD是矩形

又：AD=AB

，四边形ABCD是正方形

11.等腰梯形的性质:

‘⑴两底平行，两腰相等;

因为ABCD是等腰梯形n(2)同一底上的底角相等;

(3)对角线相等.

12.等腰梯形的判定:

(1)梯形+两腰相等

(2)梯形+底角相等四边形ABCD是等腰梯形

(3)梯形+对角线相等.

⑶：ABCD是梯形且AD/7BC

,/AC=BD

.'.ABCD四边形是等腰梯形

13.三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且

等于它的一半.

14.梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等

于两底和的一半.

基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正

方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二定理：中心对称的有关定理

XL关于中心对称的两个图形是全等形.

X2.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

X3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

三公式：

1.S菱形=-ab=ch.（a、b为菱形的对角线，c为菱形的边长，h为c边上的高）

2

2.S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）

3.S梯形=-（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）

2

四常识：

XI.若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：如曰

2

2.规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

3.如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

4.常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称

图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意：线

段有两条对称轴.

X5.梯形中常见的辅助线：

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就

说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

(3)图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y=(k,b是常数，k，0),那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数y=kx+Z?中的b

为。时，y=kx(k为常数，k/0)这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线。

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数丁=匕+人的图像是经过点(0,b)的直线；正比例函数y=%c的图像是经过原点(0,0)的直线。(如下

图)

4.正比例函数的性质

一般地，正比例函数y=%c有下列性质：

(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

(2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数,=h+人有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大

(2)当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=(k*0)中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一

次函数定义式y=kx+)(k/0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

k的符号b的符号函数图像图像特征

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而

b>0一

增大。

k>0

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而

b<0一

增大。

图像经过一、二、四象限，y随x的增

b>0

大而减小

K<0

y

图像经过二、三、四象限，y随x的增

b<0

大而减小。

\-------$

\

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

方差与频数分布

知识框架图数

据

的

波用计算器计算

动比较事物的有关性质

方用样本估计总体的有关特征

差

与

数

频

据

数

的

分

分

布

布频数分布表

频数分布图

数据的波动

一、极差

1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差；

2、极差=数据中的最大值一数据中的最小值。

二、方差

1、在一组数据事,》2,，/，…，居中，各数据与他们的平均数元的差的平方的平均数，叫做这组数据