山西省运城市2024届高三第二次模拟调研测试数学试题A（含答案）

运城市2024年高三第二次模拟调研测试

数学试卷类型：A

考生注总：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔修密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作

答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高身范围。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知复数z满足（4-31）2=1+2口则|z|=

751「2275

AA.pD.—U.nU.~-

5555

2.已知圆锥的侧面积为12兀，它的侧面展开图是圆心角为富的扇形，则此圆锥的体积为

A.6V2KB.史守C.6V3KD.当舐

3.已知向量Q和b满足|a|=3,|b\=2,|a+b\=疗，则向量匕在向量a上的投影向量为

A.iB.—aC.~^aD.a

22

4.已知双曲线a一*=l（a>0">0）的两条渐近线均和圆C：/+V+8彳+7=0相切，且双曲线的左焦

点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

5.将函数/（z）=2sin卜z+g）的图象向右平移火（火>0）个单位长度，得到函数g（z）的图象，若函数

g（Z）在区间（0〜）上恰有两个零点，则<p的取值范围是

6.“五一”假期将至,某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游

线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额,其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、

小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的

报名情况总共有

A.360种B.316种C.288种D.216种

【数学试卷A第1页（共4页）】

7.已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，若$5>0,$6<0,则独的取值范围是

Q1

A.（XB.（|?||）

8.已知正方形ABCD的边长为2,点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则|PB|2+|pc|2+|PD〃的

最小值为

A.18-872B.18-8V3C.19-873D.19-872

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基

地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连

续试验5次，水稻的产量如下：

甲（单位:kg）250240240200270

乙（单位:kg）250210280240220

则下列说法正确的是

A.甲种水稻产量的极差为70

B.乙种水稻产量的中位数为240

C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数

D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

10.已知函数/（%）的定义域为R,且对任意的都有“工，）="（？）+"（①），若/（2）=2,则下

列说法正确的是

A./(l)=0B.yo）的图象关于、轴对称

20242024

C.S/(2!)=2023X22025+2D.2/(2,)=2024X22026+2

i=l2=1

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBCA中，点P是侧面ADQAi内的

一点，点E是线段CCi上的一点,则下列说法正确的是

A.当点P是线段AD的中点时,存在点E,使得AiE,平面PBQ

B.当点E为线段CQ的中点时，过点A,E，A的平面截该正方体所得的截面

的面积为《

C.点E到直线BDj的距离的最小值为点

D.当点E为棱CQ的中点且PE=2印寸，则点P的轨迹长度为学

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合人=%GN卜8=｛了|/—37+租=0｝,若IGAPB,则AUB的子集的个数

为.

13.已知tana=2tan0,sin（a+0）=],则sin（0—a）=.

14.已知椭圆C：1J+£=l（a〉6>0）的左、右焦点分别为6，K，过F2的直线与C交于A,B两点，且

|AFJ=|AB|,若△0AB的面积为据其中。为坐标原点，则/券4的值为.

0I白1?2|

【数学试卷A第2页（共4页）】

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,csintC=16sin2C+与csinCeosB.

(1)求sinA的值;

（2）如图,a=6痣，点D为边AC上一点，且2DC=5DB,/ABD=手，求△ABC的面积.

16.（本小题满分15分）

长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能,较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸

收氧气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌

供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某

学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到以下2X2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

（1）试根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？

（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽

取9人,再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求

X的分布列；

（3）将频率视为概率，用样本估计总体,从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为

Y,求丫的数学期望.

it(ad—6c¥

附〃，其中〃=a+6+c+<7.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.1000.0500.0250.0100.001

*2.7063.8415.0246.63510.828

【数学试卷A第3页（共4页）】

17.（本小题满分15分）

如图1,在△ABC中,AC=BC=4,AB=4畲，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且

DE±AB,将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置,使得PE±BD，连接PB,PC,如图2所示，点F是

线段PB上的一点.

AF.

（1）若BF=2PF,求证:CF〃平面PDE；

⑵若直线CF与平面PBD所成角的正弦值为求线段BF的长.

18.（本小题满分17分）

已知抛物线Cyz=2/工（0>0）的准线与圆O：^2+y=l相切.

（D求C的方程；

（2）设点P是C上的一点，点A,B是C的准线上两个不同的点，且圆。是APAB的内切圆.

①若|AB|=2痣，求点P的横坐标；

②求△PAB面积的最小值.

19.（本小题满分17分）

已知函数/（久）=（re—（2）e-z+zr+a（（1GR）.

（1）若Q=4,求/（久）的图象在久=0处的切线方程；

（2）若/（力）>0对于任意的xG[0,+8）恒成立，求a的取值范围；

（3）若数列｛a.｝满足a1=1且a“+i=/枭（"GN*）,记数列｛a"的前"项和为S“，求证:S”+《V

【数学试卷A第4页（共4页）】

运城市2024年高三第二次模拟调研测试-数学

参考答案、提示及评分细则

I.A因为复数z满足（4—3i〉z=i+2i,所以三=耳=/用m——卷+崇,所以3=j（-,y+（,y

=§.故选A.

2.B设圆锥的底面半径为r,母线长为/,贝IJ仃/=12小答=学,解得r=2,/=6,所以此圆锥的高h=MF¥=4其所

以此圆锥的体积V=*7tX22X47I=喏2故选B.

3.A因为|a+b|=41，所以|a12+2a•b+|b|2=7,又|0|=3,|b\=2,所以9+2a•b+4=7,解得a•b=-3,设a

与b的夹角为。，则cos。=|=引言=—4~，所以向量b在向量a上的投影向量为|b\cos0•4=一故

\Cl\\0\oAZc,\a\o

选A.

4.D双曲线的一条渐近线方程为》=，工,所以放一ay=0.圆C：/十式十酸+7=0的标准方程为〈z+4）。+，?=9,所

以圆心为C〈一4,0〉，r=3,所以」^1^=3,又a?+62=16,解得。=",6=3,所以双曲线的方程为差一』=1.故选D.

5.C将函数/（%）=2sin（3Z+g）的图象向右平移个单位长度，得到N=2sin［3（z—中）+于］=

2sin（3%—3gH■■，所以g（%）=2sin（3］—3?+今），当zG（0,平）时，31—3少+eG（―3g+g,£），又函数

g（%）在区间（0,中）上恰有两个零点,所以一2冗忘-3少+1~<一冗,解得缪<中<苧,即（p的取值范围是（缪,粤］故

T：LClTCXClTC―I

选c.

6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有©XAl=144种.若小张、小胡、小

李、小郭这四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则报名情况有Q（0义g）=144种.所以不同的报名的情况总共有

144+144=288种.故选C.

7.B由题意知$5=15yl5）=15as>0,所以as>0,又S16=>（呼科）=8〈愈+到）（0,所以+您<0,所以a9V

一蔗<0.设等差数列｛&｝的公差为“，则"=函一W<0,所以ai>0.所以产］。，—八所以

｛as十怒—<2i十/d十勾十十

—4■（且<一条,所以殁=色辿=1+26（冬即空的取值范围是降，鼻）.故选B.

I<2115<21a\<2iv/157<2i'/J.5/

8.D以A为坐标原点,AB.AD所在的直线分别为处y轴建立平面直角坐标系，如图所

示.设P〈z,y），所以/+/2=1,又B（2,0）,C（2,2〉，D〈0,2），所以|PB|2+IPC-+

|PD|2=（z—2）2+/+<N—2）z+〈y—2—（，—2）2=19—8〈z+y），令工+y

一，即l+y—1=0,所以直线工+厂/=0与圆d+y2=l有公共点，所以丁累&1,解

得一看WKv%所以C\PB\2+\PC\2+\PD\2〉3=19—8废故选D.

9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270—200=70,故A正确；由表中数据可

知，乙种水稻产量从小到大排列为210,220,240,250,280,所以乙种水稻产量的中位数为

240,故B正确；对于C,甲种水稻产量的平均数为4X（250+240+2404200+270）=

240,乙种水稻产量的平均数为2X<250+210+280+240+220）=240,所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产

量的平均数，故C错误；甲种水稻产量的方差为4X［（250—240）叶（240—240"+<240—240）—<200—240）叶

22

（270—240）21=520,乙种水稻产量的方差为看X［（250—240）2+（210-240）+（280—240）。+（240-240）+

（220—240〉z］=600,所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.故选ABD.

io.AC令z=i,»=i,得/<1）=/<1）+/<1），解得y（i）=o,故A正确;令工=—1,»=—1.所以

一/（—1）=0,解得/■〈一1）=0,令y=T,所以八一z）=z/（一1）一/〈z）=一/（z），所以工）是奇函数,所以

y9的图象关于原点对称，故B错误；因为/（2»）=/（2T义2）=2"一"〈2）+2/〈2"T），令a”=/C2"）（wGN*）,

贝IJa„=2&T+2""）2,〃CN*），所以2一”a“=2-51>a“—i+1,令4=2一"a"，贝lj"=4-+1,又仇=2-1X2=1,所以

【数学试卷A参考答案第1页（共4页）】

{b„}是首项为1,公差为1的等差数列，所以6”=仇+<"—1）=",所以a”=〃•2",令S”=Z/（2*）=Za*=ai+az

4=1k=A

+,—=1X2+2X22+3X23+…+"•2",贝lj2S„=1X2?+2X2,+3X24+,■•+（”―1）"2"+〃"2"+1，所以一S„

23n+l]

=2+2+2HF2"—〃•2=2'人二2"）一〃.2«+=（1—2""一2,所以S„=（»-l）•2"+】+2,所以

2024

./（2D=2023X2?侬+2,故C正确*D错误.故选AC.

11.ACD以。为坐标原点,DA,DC,DA所在的直线分别为£轴,y轴,z轴，建立空间直

角坐标系，如图所示.则DC0,0,0）,Dj（0,0,2）»Ai（2,0,2）,B（2,2,2），当点P是线

段4中的中点时甘〈1,0,1），设七<0,2,°）〈041忘2），所以百才=（一1,0,1）,拓=

（1,2,1）,无方=6—2,2,。一2），假设存在点后,使得4后_1_平面PB1A，则百文•A^E

=2+a—2=0,PBi-AiE=-2+4+a—2=0,解得a=0,所以存在点E,使得AiE_L

平面PB1D1，此时点E与点C重合，故A正确;取BC的中点F,连接BQ,EF,FA,

AD,DiE,如图所示.则EF//BC!,ADj〃BG，所以AA〃EF,又易得AR=2/2,EF

H

=7I,AF=DIE="，所以梯形ADjEF的面积为A»2丁尸•JA*（也产

=（2气-叼-=3,所以过A,E,D1点的平面截该正方体所得的截面的面积为V，故B错误;又

8（2,2,0），设七（0,2,加）<01?»其2），所以而芽=（一2,—2,2〉，选=（一2,0,"2），所以点£到直线8口1的距离”=

22

\BE\sin<m.BE>=\BE\-71-cos<BL>T,BE>=/BE一（唱普$）"=J~|■（加—3+2,所以1m；.=成■，此

7

V\|DL）\Ivo

时机=1,所以点E到直线BDi的距离的最小值为故C正确;取DD的中点G,连接EG,EP,GP,易得GE_L平面

AADiD,又GPU平面AA1AD,所以GE^GP,所以GP=/PE2—GE2=，（2畲）？一2?=2,则点P在侧面

AAiDiD内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，分别交ADMD1于马，Pi,则/PiGR=NRGD=*，则

/「心「2=学■，所以点P的轨迹长度为*X2=筝故D正确.故选ACD.

12.8由题意知A={zCN[<3，+1<27}={0,1},又leAfM所以1CB,所以V—3+"?=0,解得以=2,所以B=

{了|二—3工+2=0}=门，2},所以41^={0,1,2},所以4118的子集的个数为23=8.

13.因为tana=2tanR,即；=2;胃%所以sinacos/3=2sin/?cosa,因为sin=sinacosg+cosasin/?=---,

所以3cosasin，解得cosasin0=*?sinacos0=卷，所以sin(/5-a)=sin£cosa—cos£sina==—

14.等因为△OAF1的面积为g",所以s△%F?=2义叫在△入后尸？中，:々

222

设/F]AF2=8,8£(0,TT),由余弦定理可得|HF?|=|AB|+|AF2|—

2—

21AFi||AF2Icos8,即4c2=(|AFi|+|AF2\)21AFi\\AF2\~2\ABIIAF2|cosQ--F—----下---j—

=4/+(—2—2cos9)|AB||ABI,则(2+2cos0)\AF,\\AF21=4〃一£=4/，所以Jx

△RA”的面积S=4lAFiI|AF2|sin。=岸送R=0虫，所以痣sinLcos9=1,

LiJL~~I—COS\ju

即sin(e—*)=4,由于d—(一，所以《=千.又|AF1|=|AB|.所以AAFiB是等边三角形，即IAB|

0乙000o

=\BF1\=\AB\,由椭圆的定义可得|AF"+|BFi\+\AB\=4a,所以|AF"=告0,则|AFZ|=三，1BF2I=警，所

以AB±FIF2，则

|I|白122IO

15.解：⑴因为csinB)C=哼。sin2C+咚csinCeosB,由正弦定理得sinCsin旦J^=gsinBsin2C+^ysin2CeosB=

乙4乙乙4乙

哼sinBsinCeosC+哼sir?CeosB=^-sinC(sinBcosC+sinCeosB)=^sinCsinCB+C),...............2分

又sinCW。，所以sin'sin(B+C)，所以sin7T2A=^^sin(7t—A),

所以cos3=gsinA="sin^cos9,...................................................................4分

【数学试卷A参考答案第2页（共4页）】

乂(0,号)，cos毋W0,所以sin亨，cos年=J—sir?毋一二^^，

所以sinA=2sin攵-cos1-=至..................................................................6分

⑵设DB=2zJ〉。)，又2DC=5DB,所以DC=5z,cos/BDC=cos(A+})=—sinA=—卷............8分

%人小•…丽阳/DMOB2+DC2-BC24^2+25^-(675)24,

在△BDC中，由余弦7E理得cosNBDC=2DB•DC-=2•2r.5r=一"5''...............................1nZ分

解得工=2,所以BD=4,DC=10,又sinA=^=盒=~|■.所以DA=5,AC=DA+DC=15,

又AB2+BD2=AD2，所以AB=3,

所以aABC的面积2^AB-ACsinA=yX3X15Xy=18................................................................................13分

16.解：(1)零假设为Ht,:学生对长跑的喜欢情况与性别无关联..........................................1分

用亚方”除主小v将加以斗智阳刈400义(120X100—80X100*«

根据列联表中1的l数据，经计算得到％2=200X200X220X180=函400心4.040>3.841="().050,...................3分

根据小概率值a=0.050的独立性检验，我们推断H)不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯

错误的概率不大于0.050................................................................................................................................................4分

(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为：9X的普福=4人，

女生人数为：9义80+]00=5人....................................................................5分

X的所有可能取值为0,1,2,3,.......................................................................................................................................6分

所以P(X=0)=条=J,P(X=1)=以，=鲁,P(X=2)=7：=辞,P(X=3)=条=得'

X的分布列为：

X0123

P15105

21142142

...........................................................................................................................................................................................10分

(3)由题意知,任抽1人喜欢长跑的概率。=/，.....................................................12分

所以Y〜B(12,耳)，所以E(Y)=12X^=a............................................................................................................15分

乙U乙U。

17.⑴证明：过点C作CH_LED,垂足为H,在PE上取一点M,使得PM=(PE,连接如图所示.因为PM-

4PE,PF=4PB,所以FA%EB且FM=+EB,

因为D是AC的中点*且DE_LAB,所以CH//EBS.CH=~EB,

所以CH〃FM且CH=FM,所以四边形CFMH是平行四边形，所以CF〃HM,...................................................3分

又CFU平面PDE,HMU平面PDE,所以CF〃平面PDE........................................................................................5分

(2)解：因为PE_LED,PE_LBD,EDnBD=D,ED,BDU平面BCDE,所以PE_L平面BCDE................................6分

又BEU平面BCDE,所以PE±BE,PB=VPe+BE1=275....................................................................................7分

又EB_LED,所以EB,ED,EP两两垂直，故以E为坐标原点,EB,ED,EP所在的直

线分别为z轴，'轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以B(3盒,0,0),

D(0,y2,0)-F(0,0,72)，C(72,2y2,0).

设平面PBD的一个法向量n=Cx,y,z^，又加=(—372,0,72),BD=

/I—1—、己Ll、r•BP=-z=0人r

(―3及\9,0)，所以fLL令1=1,解得ZF4y=3,Z=3,

\n・BD=-342x-\-j2y=Q,

所以平面PBQ的一个法向量〃=(1,3,3)....................................................................................................................9分

设BF=XBP=(―3y2A,0,V2A)<OCA<1)，所以GF=CB+BF=(2-/2,-2-72,0)+(—372A,0,72A)

(2A/2^—3^/ZXJ—2-7^,A/2^A)，

设直线CF与平面PBD所成角的大小为6,

/38

分

5711

【数学试卷A参考答案第3页(共4页)】

解得;1=9或L需，所以BF=^BP=伺或BF=^BP=警......................................15分

18.解:⑴由题意知C的准线为i=一g,又。的准线与圆O：/+y2=i相切，所以|一胤=i,.............2分

解得夕=2,所以C的方程为丁=丘................................................................3分

（2）设点P（死，）o），点A（—l,m）,点B（—l,n）,直线PA方程为y—m=y°（1+1），化简得（州一根）久一

Xo~r1

（我+1）,+（了。—m）+加（10+1）=0.

又圆。是APAB的内切圆，所以圆心0〈0,0）到直线PA的距离为1,即4f+尸+1）1=］,

，〈/o一—）2+（“1〉2

故（）o—m）2+（1o+l）2=（了0-my2-\-2mCyo—m）（%o+l）+/（1o+l）2,

易知力0〉1,上式化简得，（2（）—1）根2+2）0机一（20+1）=0............................................5分

2

同理有（io-1）w+2yon—（jco+1）—0,...........................................................6分

所以m,n是关于，的方程（数一1+2yoL（2o+l）=O的两个不同的根，

所以加+/=—,mn=-..............................................................7分

B—110—1

所以|AB|2=Qm-Ti>2=<im-\-ny2—^mn=~~~4叱+‘尤°弋】'.

又点p是c上的一点，所以受=4m，所以IAB\=J（:竺；）2+4；'，=2...........8分

①若|AB|=2痣，则痣，........................................................9分

解得我=3或必=3（舍），所以点P的横坐标为3..................................................10分

②因为点P（10，、0）到直线1=-1的距离d=io+L...............................................11分

所以APAB的面积S=；|AB|•公月+?；［［（加+］）=/^^，，（臂料》,....12分

乙乙Y（SCQ1）VK元。1）

1/、八rniiQ/(於+4+4力(产+4+6x)LIAI16I

令A死―1=力(方〉0)，贝US=7---------------------=A^J/r2+_10^+—+-^+320Q,

=8,10-半>2J10L邛=40,当且仅当t=2时等号成立，所以5^78+40+32=4/5,

即△PAB面积的最小值为4祈；.................................................................17分

19.（1）解:若。=4,则/（1）=（1—4）^+1+4,所以/=4）^+^+1=（1—3）^+1,..............1分