江苏省南京市2023-2024学年高一年级上册期末预测数学试题（含答案解析）

江苏省南京市2023-2024学年高一上学期期末预测数学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合河={-1,1,3,5}小={-2,1,2,3,5},则McN=()

A.{-1,1,3}B.{1,2,5)C.{1,3,5}D.。

2.“x>3”是“x>l”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数y=loga(x-l)+4的图像恒过定点p,点P在塞函数y=/⑺的图像上,则/(4)=

（）

A.16B.8C.4D.2

4.函数/（x）=i_的图象大致为（）

e+/

对称，则夕的最小值为()

6.己知函数/（上产户对，则了（-外的值为（）

/（x+2）,x<012）

A.--B.1C.亘D.&

2222

7.已知a=sin36°,b=log?1.41,c=；,贝Ua，b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

8.已知函数/。)=2，+2一，，g(无)=M/(2X)+2/(X)+%.若对于VX]e[0,+oo),3x2e[O,l],

使得/(%)+g(2>7成立，则实数机的取值范围是()

A.(-<®,0)B.(0,+oo)C.(-oo,-l)D.

二、多选题

9.已知正数MV满足无+>=2,则下列选项正确的是（）

A.，+工的最小值是4B.」二一>最小值为-1

c.f+）2的最小值是2D.x（y+l）的最大值是3

74

10.已知函数/（%）=32+以％+3加+〃是偶函数，且其定义域为[机-1,2回，则（）

A.m=3B.n=Q

C.函数“X）的定义域为D.函数“X）的最大值为六

11.有以下判断，其中是正确判断的有（）

A.〃同=忖与8（元）=[]尤一：表示同一函数

x\-L%<u

B.函数y=/（x）的图象与直线x=l的交点最多有1个

C.若=此则人

D.函数/1（尤）=2一+总工的最小值为2夜-2

12.函数〃x）=，lj[,则下列结论正确的是（）

-x2+2x+l,x>a

A.当。=0时，函数/*）的单调递增区间为（0,1）

B.不论。为何值，函数/（无）既没有最小值，也没有最大值

C.不论。为何值，函数/（X）的图象与x轴都有交点

D.存在实数a,使得函数/（尤）为R上的减函数

三、填空题

_|_1

13.已知“（％-m）（％-*2）<0”是“上不<0”的必要非充分条件，则实数机的取值范围

x-1

是.

试卷第2页，共6页

14.已知幕函数〃x)的图象过点(64,4),则(，的值为..

15.将函数/(x)=sin/x+胃(oeR且。*0)的图象上所有点的横坐标变为原来的

2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数g(x)=cos(x+9)(0<9<7r)的图象重

合,则tan［：0+e)=.

16.已知〃x)=(：一?+1关于x的方程产(x)_3〃x)+a—l=O(aeR)有

-x-2x+l(xW。)

8个不等的实数根，则。的取值范围为.

四、解答题

17.若不等式(1-4x+6>0的解集是3-3<x<l}.

⑴解不等式2Y+(2-a)x-a>0；

⑵若关于x的一元二次不等式近2—女+化4o的解集为R,求实数k的取值范围.

JTl,,

18.已知函数/⑶=2COS(5+0)(G>0,|0|<5)的部分图象如图所示.

⑴求函数”无)的解析式：

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移B个单位后，得到函数y=g。)的图象，求函数g(x)

在［0,兀］上的单调减区间.

19.已知正数无，y满足孙-4=x+y.

（1）将y表示为尤的函数y=/（X）,并证明了（X）在其定义域内单调递减；

⑵求2尤+y的最小值.

20.已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点/。，2）,5（-2.-4）,当%＞。

时，=ax~H-----1.

⑴求。，6的值及〃x）在R上的解析式；

⑵请在区间（­，-1）和（0,1）中选择一个判断了（X）的单调性，并证明.

试卷第4页，共6页

21.某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收

入为10万元.为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将x(104xW32,xeN*)

个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜.经测算，调整种植方案后，种植普

通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5%%,种植速生蔬菜的每个大棚年收入为

制万元.

m—

(1)当加=20时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,求x的取值范围

(2)当22＜机＜23时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值.

22.已知函数〃力=一匚赭(司=22-1

2—1

(1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数/(X)在区间(o,+。)上的单调性;

⑵若存在实数冷尤2e(0,+oo)且不＜%，使得“X)在区间［芯,9］上的值域为

mm

,求实数机的取值范围.

g（z）'ga）

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】根据交集的定义，直接运算求解即可.

【详解】M={-1,1,3,5},A^={-2,1,2,3,5},

McN={1,3,5}

故选：C

2.A

【分析】判断。>3"和“x>l”之间的逻辑推理关系，可得答案.

【详解】当x>3时，必有x>l；

当x>l时，比如取x=2,推不出x>3,

故“x>3”是“x>1”成立的充分不必要条件，

故选：A

3.A

【分析】利用恒等式log,l=0可得定点P,代入累函数可得解析式，然后可得.

【详解】当工=2时，y=logal+4=4,

所以函数，=1。8“(》—1)+4的图像恒过定点(2,4)

记/(x)=x"，则有2'"=4,解得根=2

所以"4)=42=16.

故选：A

4.A

【分析】先判断〃x)的奇偶性，排除B；再由x>0得/(力>0,排除C,再取特殊点法推

得了(%)在(0,+8)上并不单调递增，从而排除D；再分析A中的图像性质，满足/(x)的性

质，从而得解.

【详解】因为了(幻=1;，所以/J)的定义域为R,关于原点对称，

e+e

又因为f(-x)=<J=——T7=-fM,

e+ee+e

所以函数/(x)是奇函数,

答案第1页，共14页

所以/'（门的图象关于原点对称，故B错误;

X

当x>0时，因为eX>0,er>0,所以/（%）=1—>0,故C错误；

e+e-7

⑵

因为/⑴=—1^，fM；=-e2+-e-2=-e2_,

e+e—+——

22

1722-2

又e?—2e=e（e—2）>±xe>l>±=2eT,所以Jp〉e+eL则±+J>e+eT,

''2e222

所以〃1）一/（2）=£^_£^>0,即〃l）>/（2）,

所以f（x）在（0,+s）上并不单调递增，故D错误；

由于排除了选项BCD,而且选项A中的图像满足上述八月的性质，故A正确.

故选：A.

5.C

【分析】首先得到平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性得到2。-1=]+也，keN,

即可求出夕的取值，从而得解.

【详解】将函数>=的图象向左平移>0）个单位长度后得到

_y=cos2（x+夕）一方=cos12x+2夕一]],

因为>=8$[2X+2夕-1]关于原点对称，

TT7T

所以20一百二,+而，keNf

所以e=居+今，左eN,

所以。的最小值为工5兀.

故选：C

6.D

【分析】根据分段函数解析式计算可得.

■1

【详解】因为『（尤,

/（x+2）,x<0

答案第2页，共14页

故选：D

7.C

【分析】根据三角函数、对数函数的知识求得正确答案.

【详解】o=sin36°>sin30°=L

11

r2

b=log21.41<log2\J2=log22=—,

所以b<c<a.

故选：C

8.B

【分析】把％川目0,1],/(%)+g(W)>7成劭转化为g(%)曰>[7-/(%)]111ax,

逐步求解，即可得到本题答案.

【详解】因为/(%)=2'+2T,所以/(2%)=22,+*=(2工+2-)-2=/2(%)-2,

所以g(无)=帆,/(2x)+2f(x)+租=加[r(x)—2]+2f(x)+m=mf2(x)+2f(x)-m.

_Ox2\.(?Xi+X2-B

设0工药<々，因为/(%)_/(%2)=2*+2一』_(2%2+2一巧)=1---------芦---------^<0,即

/(%)</(动

所以〃幻在[0,+8)单调递增，最小值为/(0)=2,

因为％e[0,+oo),3X2e[0,l],因%)+g(/)>7,即为％)>7-/(再),

所以g(%)a>[7—八为)1_=5,

令t=f(xj,易得te2,3,所以(加>5,即机,

L2J/maxI厂T/„in

5-为「5"

显然/⑺在2,-的最小值为0,所以5〉0,即，"的取值范围为(0,+").

故选：B

9.CD

【分析】A利用“1”代换求最值，B因为x+y=2,所以y=2-x,

且0<x<2,代入」一-y中化简构造基本不等式验证即可，

X+1

C先把式子变形，再运用基本不等式，

D先构造x+(y+l)=3,再运用基本不等式.

答案第3页，共14页

【详解】A.因为正数羽y满足x+y=2,即g=1

所以出=

1yx1,yx-

=—+—+——+—>1+2—........=2,

22x2y2N2x2y

yx

当且仅当系二丁，即尤=y=i时等号成立,

2x2y

故选项A不正确.

B.因为x+y=2,所以y=2-%,

且。<工<2,

所以」~7一>=」"7一(2-%)=」■7+%—2

x+1x+lX+1

=士+口+1)-3T高.(X+1)-3i

当且仅当^~7=x+ln%=。或％=—2,不满足

x+l

故取不到最小值-1,故B选项不正确.

C.x2+y2=(x+y)2—2xy

2

“x+y)2-2x+y

2

当且仅当％=y=i时等号成立，故选项c正确.

D.因为％+y=2,所以x+(y+l)=3,

则x(y+i)«—，

3

当且仅当兀=丁+1=5时等号成立，故选项D正确.

故选：CD.

10.BCD

【分析】根据偶函数定义域关于原点对称，/(r)=/(x)求得加=；,〃=0即可解决.

【详解】因为函数/(X)=皿2+〃X+3W7+7Z是偶函数，

所以函数的定义域关于原点对称.

答案第4页，共14页

又因为函数/⑺的定义域为m-1,2刈,

所以m-1+2机=0,解得根=；.故A错误；

又因为函数/(九)是偶函数，

所以/(--X)=mx2-nx+3m+n=/(x)=mx2+nx+3m+n,解得〃=0.

所以函数的解析式为〃尤)=g/+l.

"92~

定义域为-，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，

931

所以当尤=±§时，/⑴取得最大值方.故BCD正确；

故选：BCD

11.BC

【分析】A根据相等函数的概念来判断；B根据函数的定义来判断；C直接带值计算；D基

本不等式求最值时的适用条件来判断.

【详解】对于A,“X)的定义域为(-8,0)_(0,—),g(x)的定义域为R,故不是相等函数,

A错误；

对于B,根据函数的定义可知，当y=的定义域中含有1时，函数y=/(x)与x=l有一

个交点

当y=/(x)的定义域中不含1时，函数y=/(x)与x=l没有交点，故B正确；

对于c,因为-此则吗)=o,所以/[/即=1,故c正确.

对于D,函数/(尤)=2(尤+—-2>2,2(X2+1)X-^——2=2忘一2,

\7X+1vX+1

21

当且仅当(无2+1)一=已时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故D错误；

故选：BC.

12.ABD

【分析】对于A,根据指数函数和二次函数的单调性可知A正确；对于B,根据指数函数

与二次函数的图象可知B正确；对于C,根据函数/(尤)=[1的图象与x轴没有交点，当

“21+0时，函数〃x)=-f+2x+l(x>l+0)的图象与x轴没有交点，可知C不正确；

答案第5页，共14页

对于D,当aZl+0时，可判断出函数/(x)为R上的减函数，可知D正确.

【详解】对于A,当。=。时，函数=,当xWO时，/(尤)=[1]为减

-/+2x+1,x>0

函数，当x>0时，/(%)=-炉+2%+1的单调递增区间为(0,1),故A正确；

对于B,当xWa时，=为减函数，所以不论。为何值，当x趋近于负无穷时，以x)

趋近于正无穷，即没有最大值；当x>a时，/(乃=-/+2彳+1的图象是开口向下的抛

物线的一部分，所以不论。为何值，当x趋近于正无穷时，/(无)趋近于负无穷，即〃盼没有

最小值；故B正确；

对于C,当xWa时，函数=的图象与x轴没有交点，

当x>a时，由一f+2元+1=0得％=1+应或x=l-&,所以当+应时，函数

〃力=-/+2*+心>1+&)的图象与工轴没有交点，故C不正确；

对于D,当心1+夜时，函数=在(-j上为减函数，函数/'(x)=f2+2x+l在

(a,+co)上为减函数，且>0,—t/2+2a+1=—(<2—I)2+2<0,>—/+24+1,所以止匕

时函数/(X)为R上的减函数，故D正确.

故选：ABD.

【分析】分别求解不等式，结合必要非充分条件的取值范围包含关系判断即可.

【详解】(x-m)(x-m-2)<0^m<x<m+2,二^<0解得一一<x<l.

x-12

由必要非充分条件的取值范围包含关系可得加<x<m+2包含-;<%<1,故加工-；且

为+221,解得加

2

故答案为：

14.—/0.5

2

答案第6页，共14页

【分析】设〃»=/，根据函数过点（64,4）求出。，即可得到函数解析式，再代入计算可

得.

【详解】解：设/'（力=产，则〃64）=64"=4,所以a=；,

所以〃力=炉,所以

故答案为：

15.-V3

【分析】先求出变换之后的函数解析式,然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得公。，

然后可解.

【详解】将函数/■（x）=sin（s+。（oeR且。W0）的图象上所有点的横坐标变为原来的

2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为y=sin（£x+£）,

所以8（%）=3（%+0）（0</<兀）与>=$缶忤%+、］=<;05白一会一'］为同一函数，

故一色=1,0=四一/，即。=一2,0=纭

2263

以tan（0+夕）=tan（——-■—）=tan（——）=—tan—=~y/3

故答案为：-石

【分析】令/（力=乙结合的图象将问题转化为“方程/—3/+a-1=0在（L2）上有两不

等实根”，利用韦达定理结合二次函数性质求解出。的取值范围.

【详解】作的图象如下图所示，

令/⑺一，因为关于无的方程r（x）-3/（x）+a-1=0有8个不等的实数根,

结合图象可知，关于f的方程--3r+a-1=0有两不等实根，记为％,%且%必41,2）,

答案第7页，共14页

因为，I+，2=3,t也=a-1,所以a-l=4(3—一：］+：，

又因为0«1,2),…,即%r3,所以一，一|)+：的取值范围是(2。

所以°的取值范围是「中

故答案为：

3

17.(I){x|x<-1或x>R

3

(2)k<--

【分析】(1)由题干条件可得方程(1-。)尤2-4x+6=0的两个根为-3,1,结合韦达定理可得

。=3,代入不等式，结合二次函数的性质，求解即可；

(2)分左=0,左W0两种情况讨论，当上W0,利用开口和判别式控制，即得解

【详解】(1)由题意，方程(1-a)/-4x+6=0的两个根为-3,1

-3+1=—

1丁，解得。=3

-3x1」

、1—(2

此时方程为-2Y-4x+6=0,D=(-4)2+8?6。成立

不等式2_?+(2-。)尤-。>0即为2尤2-尤-3>0?(x1)(2%-3)>0

3

解得：x<-l^x>-

故不等式的解集为：{x1x<T或x>|}

(2)由题意，关于工的一元二次不等式近2一分+左<0的解集为R

当左=0时，-3x<0,不恒成立；

当左。0时

左<03

解得&1

A=9-4^2<0

3

故实数人的取值范围是左

答案第8页，共14页

18.(1)/W=2cosl2x--^

八5兀11K

⑵院’---，兀

12

【分析】（1）由图象可得T,则可得。，再将点代入解析式中可求出。的值，从而可

求得函数/（元）的解析式；

⑵利用函数图象变换求得g（x）=2cos12x+",求出函数g（x）在R上的单调递减区间,

再与［0,汨取交集可得结果.

5兀71

【详解】（1）由图可得函数/（x）的最小正周期为T=2x=71

~6~3

所以，。=半=2,

2%+夕]=0,则cos(g+0]=0,

2cos

•.•帽即一卜吟贝吟吟+。吟，•答+。修则。Y

所以，（尤）=2cos12尤

(2)由题意可得g(x)=2cos2卜+1)—%=2cosf2x+—

TTTT3兀

令2fal<2x+—<7i+2fal,kEZ,得----\-kn<x<-----卜ku,左eZ,

61212

、.7L57r/j_\.._r„1„5兀11兀

l己A=一r+左兀,+T左兀(左£Z),贝[JA[0,7ij=0,121_‘]5,兀.

因此，函数g(x)在[0,可上的减区间是o,1|,詈，兀

Y-I-4

19.(1)3；=--,证明见解析

x-1

(2)2A/10+3

【分析】（1）先求得了（X）的解析式，然后根据函数单调性的定义证得结论成立.

（2）利用基本不等式求得2x+y的最小值.

Y4-4

【详解】（1）因为孙-4=x+y,所以>=宁，

x-1

答案第9页，共14页

x>0

又X,y为正数，故<x+4>0,解得x>l,

从而xe（l,-H»）,

x—1

任取X],赴e（l,+co）且王，

为+4x+4_5（々-5）

〃王）-■/'（%）=2

%—1%2—1（占-1）（尤2-1）

因为X],吃e（1,+oo）且见<马，所以毛>°，,^1-1>0,x2-1>0,

从而了(%)一〃/)>。，即/(%)>/(马),

故/(x)在其定义域(1，+8)上单调递减.

Y+4

（2）由（1）得y=—,%>1,

x-l

所以2%+/=2%+^^=2（无-1）+工+3229+3,

x-1x-l

（当且仅当2（尤-1）=三，即+®时取等号）

x-l2

所以当x=l+%时，2x+y取得最小值2加+3.

2

2

—X9~\----F1,%<0,

X

4Z—1

20.（1）b=2；小）=0,x=0,

2

X~9H-----1,X>0.

X

⑵答案不唯一，具体见解析

【分析】(1)由〃-2)=T可得八2)=4,结合41)=2列方程可求a,6的值，再利用对称

性求在R上的解析式；

(2)利用单调性的定义：取值、作差、判断符号，逐步计算判断证明即可.

【详解】⑴因为“X)的图象经过点4(1，2),巩-2,-4),所以/(D=2,f(-2)=~4.

因为是定义在R上的奇函数，所以〃-0)=-〃0),/(-2)=-#2),

所以/(0)=0,/⑵=4.

答案第10页，共14页

Q+Z?—1=2,

4=1,

所以,1,,〃解得

4。+一匕-1=4,b=2.

2

2

所以当%>0时，/(x)=x2+—1.

X

7?

当％v0时，—%>0,所以/(—%)=(―%)?H1=—/(X),所以=---1-1.

-XX

2

—X9-\-----bl,%<0,

X

所以，“X）在R上的解析式为/（》）=<0,x=0,

2

x9------1,x>0.

x

（2）①若选择区间（口，-1）,则在区间上是单调递增.

证明：设玉，巧为区间（-°0，-1）上的任意两个实数，且%1<%2.

、

则/(玉)—/(%2)=]-其+—+1

Y+—-+i

I玉7,\

=—%)+言9

/\(%2+玉)%％2+2

=")-—

因为玉所以再+%<-2,玉%2>1，x2-xi>0,

于是（W+玉）石马+2<。，^/（^）-/（A-2）<0,即/（石）</（彳2）,

所以在区间（3,-1）上是单调递增；

②若选择区间（0,1）,则“力在区间（0,1）上是单调递减.

证明：设4，4为区间（0,1）上的任意两个实数，且%<%.

（2W2、

则•/'（占）-/'（%2）=X；H------bl-X；H------Hl

I）IX2）

=（L）（i）+""

2—(石+%2)%142

=(%-玉)•

石马

答案第11页，共14页

因为0<西〈九2<1，所以0<%+%2<2,0<石工2<1，%2一%1>0，

于是2-（芯+%2）不吃>。，故，（⑼一/5）〉。，即〃占）>/（々）,

所以“X）在区间（0,1）上是单调递减.

21.（l）16<x<32,xeN*

（2）887.5+30/71

【分析】（1）当加=20时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为其，%，表示出％，必，

要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,即乂+必'100x10x140%,解不等式结

合10Wx432,xeN*,即可得出答案.

（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为Z万元，可得Z=x加-+(100-尤)(10+0.25x),由

二次函数的性质结合22〈根<23,即可得出答案.

【详解】（1）当机=20时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为%,%，

20-gx

则％=(10<x<32,%eN*),

y2=(100-^)(10+10x0.025%)=(100-^)(10+0.25%)

=-0.25x2+15x+1000,

要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，

贝1]%+%2100x10x140%,

所以«20一|x

-0.25x2+15%+1000>1400

化简得：/_56x+640VO,BP(x—40)(x—16)<0,

解得：16<x<40,又因为10VxV32,xeN*,

所以16Wx<32,无eN*.

（2