福建省福州市六校2022-2023学年高二年级下册期末联考数学试题（解析版）

福建省福州市六校2022-2023学年高二下学期

期末联考数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

]已知集合A={—1，°，1，2,3},8={x|x?—3x<0},则AB=（）

A.{-1}B.{1,2}

C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2}

K答案XB

KMB={x\x1-3x<0}={x\0<x<3],由A={T,0,l,2,3}得AB={1,2}

故选：B

2.下列函数中，在区间（0,+8）上为增函数的是（）

A.y=—|x|B.y=x2-2x

1

C.y=sinxD.y=x——

x

K答案XD

（解析U对于A选项，当x>0时，y=-|x|=-%,则y=一|x|在（0,+司上单调递减；

对于B选项，函数y=k-2x在区间（0,+。）上不单调；

对于C选项，函数y=sinx在（0,+“）上不单调；

对于D选项，因为函数丁=%、y=—工在（0,+。）上均为增函数，

X

所以，函数丁=%一!在（0,+8）上为增函数.故选：D.

X

3.设"=1g2,b=cos2,c=2°,，贝IJ（）

A.b<c<aB.c<b<a

Cb<a<cD.a<b<c

K答案1c

（解析》根据对数函数y=lgx在定义域内为单调递增可知0=lglvlg2<Igl0=l,

即Q£（0,l）；

TT

由三角函数y=cosx单调性可知b=cos2<cos—=0；

2

利用指数函数,=2工单调递增可得C=2°-2〉2°=1;所以6<a<c.故选：C

4.已知边长为1的正方形ABCD，设AB=a，AD=b，AC=c，贝||k一6+。|=（）

A.1B.2C.3D.4

（答案》B

K解析?因为ABC。是边长为1的正方形，AB=a,AD=b,AC=c,

所以a—b+c=AB—AD+AC=AB—AD+^AB+AD）=2AB

uun।।।।

又A3=l,所以b+c|=|2叫=2,故选：B

5.函数/'（x）=sin2x-tanx是（）

A.奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2

C.偶函数，且最小值为0D.偶函数，且最大值为2

［答案XC

（解析X由题可知，/（x）=sin2x-tanx的定义域为卜+,关于原点对称,

且/（X）=sin2x-tanx=2sinxcosx•纱"=2sin2x,

cosx

/（-x）=2sin2（-x）=2sin2x=f（x）,即函数八元）为偶函数；

所以/(%)=2sin2%=l-cos2x,%wT+E,%£Z,又COS2%E(-L1],

即/(x)=1-cos2xG[0,2),可得函数人尤）最小值为0,无最大值.故选：C

x-c.x>0,

6.设ccR,函数/(%)=<2c八若AX）恰有一个零点，则。的取值范围是（）

2x-2c,x<0.

A.(0,1)B.{0}U[l,+8)

C.(0,1)D.{0}呜,+8)

［答案』D

x,x>0

K解析H画出函数g（九）=2八的图象如下图所示:

2x,x<0

x-c,x>0,x,x>Q,

函数/（尤）=<可由g(x)=<2八分段平移得到,

2—2c,x<0.2x,x<0.

易知当C=0时，函数/（x）恰有一个零点，满足题意；

当c<0时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；

当c>0时，图象往下平移，当0<2c<l时，函数有两个零点;

当2c21时，/（幻恰有一个零点，满足题意，即c2,；

2

综上可得c的取值范围是{0}ug,+"）.

故选：D

7.已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则“C的离心率为2”是"C的一条渐近

线为y=的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［答案XD

212

K解析?若双曲线。的离心率为2,则e?=鼻=1+4=4,

aa

所以4_=3,若双曲线。的焦点在x轴上，则渐近线方程为y==

aa

若双曲线。的焦点在y轴上，则渐近线方程为y=±-x^±—x；

b3

所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为y=gx”的充分条件；

反之，双曲线。的一条渐近线为丁=岛，

若双曲线。的焦点在x轴上，则渐近线方程为'=±2工=±&，所以2=百,

aa

离心率e=Ji+(=2;

Va

若双曲线。的焦点在x轴上，则渐近线方程为y=±fx=±A，所以2=立,

ba3

所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为y=后”的必要

条件;

综上：“C的离心率为2”是“。的一条渐近线为y=的既不充分也不必要条件,

故选：D.

兀

8.已知△ABC中，角A,5满足sinA-cos3+A+3<—,则下列结论一定正确的是（）

2

AsinA<cosCB.sinA>cosB

C.sinB<cosAD.sinC<sinB

K答案1c

71

K解析U.sinA-cosB+A+B<—,

2

TTfTTA7T

/.sinA+A<COSBH-----B=sin-----BH------B,

2^2)2

设函数/(x)=sinx+x,上面不等式即为3

X/(x)=l+cosx>0,\/(x)是R上的增函数，

JT

A<——B,而A,3是三角形内角,

2

八.7L_7t.__7t_,7C

0<A<-B<一,即A+a5rI<—,/.C>一,

2222

.\sinA>0,cosC<0,故A错误；

/.sinA<sin^-1-B^=cosB,故B错误；

r.cosA〉cos[]—BjusinB,故C正确；

由C>8,c>b,

由正弦定理可得sinC>sin6,故D错误.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是（）

A.将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍

B.一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同

C.一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的90%分位数为5

D.若甲组数据的方差为5,乙组数据的方差为4.7,则这两组数据中较稳定的是甲

（答案』AB

k解析』对于A中，根据数据的平均数的计算公式.=a十二十+/

n

若将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍，所以A正确;

对于B中，数据1,2,3,3,4,5的平均数为x=-----------------------=3,

6

3+3

由众数和中位数的概念，可得数据的众数为3,中位数为——=3,

2

所以数据的平均数、众数和中位数都相同，所以B正确；

对于C中，将数据从小到大排序，可得1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,

因为10x90%=9,所以90%分位数为"9=5.5,所以C错误；

2

对于D中，若甲组数据的方差为5,乙组数据的方差为4.7,

根据方差的概念，可得这两组数据中较稳定的是乙，所以D错误.

故选：AB.

10.已知a>0,b>0,且a+b+2"—4=0,贝U()

A.a+Z?的最大值为2B.a+b的最小值为2

C.ab的最大值是1D.ab的最小值是1

K答案XBC

K解析X因为a+》+2a。一4=0,所以a+b=4—2ab24—，当且仅当。=b

时等号成立，所以(a+b)2+2(tz+Z?)-8>0,解得a+bV或a+2.因为〃>0,〃>0,

所以a+Z?22,故A错误，3正确；

因为a+/?+2a/?—4=0,所以2az>=4—(。+》)<4—2而，当且仅当。=》时等号成立，

所以2a6+2J茄—4V0,因为必>0,所以解得而W1，所以故C正确，。错

误.

故选：BC.

11.在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是正方形，平面ABC。，点E是棱PC的

中点，PD=AB，贝I()

A.AC1PB

B.直线AE与平面所成角的正弦值是正

6

7T

C.异面直线A。与PB所成的角是一

4

D.四棱锥P-ABCD的体积与其外接球的体积的比值是拽

27万

(答案UAB

(解析1如图，连接3D.

因为底面ABC。是正方形，所以J.AC,

因为？平面ABC。，所以LAC,

所以AC,平面PfiO,则AC_LPB,故A正确.

由题意易证AD，CD,PZ)两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系。-孙z.

设AB=2,则4(2,0,0),5(2,2,0),0(0,0,0),£(0,1,1),尸(0,0,2),

从而AD=(—2,0,0),AB=(0,2,0),AE=(-2,1,1),PB=(2,2,-2).

n-AB=2y=0

设平面RW的法向量"=(九,y,z)则

n•PB=2%+2y-2z=0

令x=l,得”=(1,0,1).设直线AE与平面B钻所成的角为e,

-2+1=昱

则sin。=cos(AE,n,故B正确.

岳义拒~~6

I-2x2IV3

设异面直线AD与PB所成的角为戊，则cosa=cos(AD,PB

\2xjn\3

7T

从而。w一,故c错误.

4

Q

四棱锥尸—A5CD的体积h=-,

3

PBi-

由题意可知四棱锥P-A5CD外接球的半径R=——=6

2

则其体积K=-TZ-7?3=-TZ-X(73)3=4^,

'33

从而四棱锥P-ABCD的体积与其外接球的体积的比值是匕=空，故D错误.

匕9万

故选：AB.

S28

12.己知S”为等差数列｛%｝的前几项和，q=1,(■=不，记々=(—1)"a：，c”=[1g%],

1D

其中国是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg0.9]=0,[lg99]=l,则下列说法

正确的是（）

111n

A.a=nB--1---1--1--=---

n,耳邑n+1

C.a+b2T---FA]。。—5050D.q++。3---1~q()o0=1893

K答案』ACD

(q+%)x7

S17〃A28

k解析》由s.为等差数列｛%｝的前几项和，所以U=7—V^=-=—,即

['S5(〃i+%)x55a315

2

4

a33'

,、a,a+3d4

又4=1,设等差数列｛4｝的公差为d,所以在=4+2“=”所以d=l，

所以a“=〃，故A正确;

,(1+n\n12

由选项A可知S“=^^——所以丁=兀一]

2S，,。+5

1

所以—I---1---1---=2

Si邑Snn+1

=24-In

故B错误;

I«+lJn+1

由选项A可知2=（—1）”所以％,=4/,%1=_（2"—1）2,

所以%+%1=4/—（2〃—1）2=4〃—1,即数列｛2"+伪“一]｝是首项为3,公差为4的等

差数列,

・

所以a+b2+---+bl00=3+&)+(4+d)+一+仅99+4oo)

=(3+4x50—1)x50=5050，故C正确；

2

由选项A可知%=[lg«„]=[lg«]>

当〃«1,9]且〃eN*时,G=0；

当〃e[10,99]且“eN*时，J=l；

当〃e[100,999]且〃cN*时，%=2；

当”=1000时,C„=3；

所以G+02+C3"I---1-Cjooo=9x0+90x1+900x2+3=1893,故D正确.

故选:ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

0•

13.复数z=」，则目=.

1+z

（答粒0

（解析Xz=^7=J'，，）,、=’（1_i）=]+7,因此，|z|=712+l2=72.

1+z+11

故（答案』为：V2.

14.已知抛物线,2=2勿5>0）的顶点为。，且过点A5.若乙。钻是边长为4百的等

边三角形，则夕=.

K答案H1

K解析H设4&,%）,3（孙%），则|。4|=|0目，

2

即X：+yj_*羡+乂？nX：+2pX1=x2+2px2,

所以（%—%）（毛+々+2p）=0,由于/>0,々>0,二>0,又2P>0,所以

xl+x2+2pj^0,因此不一々=0,故A,3关于x轴对称，

由3=4g,?AQx30得A（6,2g,将A（6,2码代入抛物线中得12=12p,所以

。=1,故（答案』为：1

15,设A（cos（z,sina）,3（2cosP，2sin/7）,其中当e=兀,时，|A8|=；当

|AB|=J5时，£一分的一个取值为一.

K答案》①括②答案》不唯一）

（解析I根据题意可得当&=兀,/?=]时，可得4（—1,0）,6（0,2）,

所以|=,/(-l-O)2+(O-2)2=y/5;

SIAS!时，即(0050-2(：05尸)2+卜m0-25垣/)2=3,

整理可得5—4(cos<zcos夕一sin(zsin")=3,即cos

可得。―分=±§TT+2依，所以£一，的一个取值为T;T.

故K答案U为：

16.若不等式—2K%2—2公+〃4_1有唯一解，则〃的值为.

k答案』上好

2

K解析X由题意可知，不等式—2<炉—2ax+a<—1有唯一解，

令〃x)=%2—2依+/要使T有唯一解，

只需使/(%)与y=T有一个交点，即方程了2-2ax+々=一1有唯一解，

即方程/_2℃+4+1=0有唯一实数根，

.•.A=4a2-4(a+l)=0,即4a4a—4=0,解得：^=1^.

故(答案》为：又回.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在JRC中，NA=g,AC=O,CD平分/ACB交A3于点。，CD=6

(1)求/ADC的值；

(2)求△BCD的面积.

ACCD

解：(1)在zwc中，由正弦定理得二--------=-——

sinZADCsinZA

砥.271

所以sinZADC=A，,sin.4=——_i_=变,

CD#12

jr

因为0</ADC<—,

3

71

所以

27rTTIT

（2）由（1）得/ACD=/BCD=TI---------=—,

3412

JT

由题设，NB=ZACB=7,即ABC为等腰三角形,

6

所以BC=2xACxcos工=用，

6

.「兀兀、百81V2V6-V2

S1D-----------=——X-------------------X=-------------------,

（34）22224

所以△BCD的面积SVBCD=BC-CD-sinZBCD=^xy/6xy/3sin-^=^^^.

18.如图，在多面体ABCDEE中，四边形ABC。是边长为2的正方形，四边形A即是直

角梯形，其中NABE=90。，AF//BE,且。£=AF=35£=3.

（1）证明：平面A3EF，平面ABCD；

（2）求平面CDE和平面DEF夹角的余弦值.

连接50.因为ABC。是边长为2正方形，所以3。=20，

因为DE=3BE=3,所以BE=1>DE=3,

所以BE?+BD?=DE?，则5石_L5D.

因为NABE=90。，所以

因为AB,8£＞u平面ABC。，所以BE,平面ABC。,

因为5Eu平面筋防，所以平面AMFJ_平面ABCD.

（2）由（1）知AB，AF-两两垂直，故以A为坐标原点，以射线A5，AF-AD

分别为x轴，＞轴，z轴的正半轴

建立如图所示的空问直角坐标系A-xyz.

UUUL

则。（0,0,2）,F（0,3,0）,£（2,1,0）,C（2,0,2）,故。£=（2,1,-2）,DC=（2,0,0）,

m-DE-2%+%-24=0

FD=（0,-3,2）.设平面DEF的法向量为m=（xi,yl,zi）,则＜

m-FD=-3%+2zj=0

令4=3,则加=（2,2,3）

n-DE-2X+yN2-2z2=0

设平面的法向量为〃=（X2，%，Z2），则,2

n•DC=2X2=0

令Z2=1,则几=（0,2,1）.

/\m-n4+37A/§5

记平面CQE和平面。£方夹角为夕，贝hos6=宣空.

85

19.在递增的等比数列｛%｝中，a2a5=32,a3+a4=12.

（1）求｛a“｝的通项公式；

（2）若a=（—I）%.*],求数列｛2｝的前〃项和5“.

a3a4=%%―32

解：（1）由题意可得＜%+。4=12,

%＜/

解得%=4,a4=8,则q=1,q=2.

故a“=aq"T=2"T.

(2)由⑴可得4+i=2",则/=(—

23

故篦=4+打+a++bn=-2+2-?+.+(—1)〃2"

_-2x[l-(-2)n](—2严+2

=1-(-2)=3'

20.已知函数/(x)=e*—cosx.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=^/'(x)-/O),证明：g(x)在(0,+8)上单调递增;

⑶判断与的大小关系，并加以证明.

解：(1)/'(x)=e*+sinx,所以/(0)=。，/'(0)=1.

所以曲线y=/(x)在点(o,/(O))处的切线方程为y=X.

(2)由题设,=x(ex+sinx)—(ex—cosx)=(x—l)ex+xsin%+cosx.

所以g'(x)=x(ex+cosx).

当尤>0时，因为e"+cosx>e°+cosx=l+cosx》0,所以g'(九)>。.

所以g(X)在(0,+8)上单调递增.

⑶3小40

证明如下：

设h(x)=73,xG(0,+QO).

X

贝频)=必？3=w

XX

由(2)知g(尤)在(0,+8)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0.

所以，(x)>0,即以x)在(0,+8)上单调递增.

所以咽>*)，即3佃

2

21.已知椭圆C：二+y1(〃>6〉0)的离心率为3,且椭圆C上的点到右焦点F的距

ab2

离最长为3.

(1)求椭圆C的标准方程.

AB

(2)过点歹的直线,与椭圆C交于A3两点，45的中垂线4与x轴交于点G,试问后

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

〃+c=3

解：（1）设椭圆的半焦距为c,由题意可得：〈，解得：4=2,b=^/3，c=1,

a~2

a1=Z?2+c2

22

•••椭圆C的标准方程为L+2L=1.

43

（2）当直线/斜率不为0时，设直线/的方程为％=阳+1,A（玉,yj,B（x2,y2）,AB

的中点为

x=my+1

联立ify2整理得:（3m2+4）V+6zny-9=0,

—+—=1

143

由题意可知5"则乂+%=一藐二，%%=一藐节

12（苏+i

：.\AB\

3m°+4

-3m4

H为AB的中点，；・%=x=my+1=