人教版高中数学选修二第四章 数列（能力测评卷）

章末检测（四)数列能力测评卷姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间12分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2021·江西高三其他模拟（文））设等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝()A．10 B．20C．16 D．12【答案】D【解析】∵{an}是等差数列，∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.2．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高三期末（文））在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于()A．－ D．C．－ D．【答案】B【解析】∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.3．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3【答案】A【解析】在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.4．（2021·江西吉安市·高二期末（文））在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为()A．－1 B．1C．5 D．－5【答案】【解析】因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.5．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二期末）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的()A．第8项 B．第10项C．第12项 D．第14项【答案】D【解析】当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.6．（2021·江西高二期末（文））已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝()A．2 D．C．3 D．【答案】C【解析】∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＝.∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故选C.7．（2021·浙江丽水市·高二月考）如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，那么an＝()A. D．C. D．【答案】A【解析】由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×n－1.设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝＝，∴an＝.8．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二期末）若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{bn}是项数不超过2m(m＞1，m∈N*)的对称数列，且1,2,4，…，2m－1是数列{bn}的前m项，则当m＞1200时，数列{bn}的前2019项和S2019的值不可能为()A．2m－2m－2009 B．22019－1C．2m＋1－22m－2019－1 D．3·2m－1－22m－2020－1【答案】A【解析】若数列{bn}的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，当m≥2019时，S2019＝＝22019－1，故B可能．当1200＜m＜2019时，S2019＝2×－＝2m＋1－22m－2019－1，故C可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，当m≥2019时，S2019＝＝22019－1.当1200＜m＜2019时，S2019＝2×－＋2m－1＝3·2m－1－22m－2020－1，故D可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．（2021山东省淄博市实验中学高二期末考试）已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有()A．a9·a10<0 B．a9>a10C．b10>0 D．b9>b10【答案】AD【解析】∵等比数列{an}的公比q＝－，∴a9和a10异号，∴a9a10＝<0，故A正确；但不能确定a9和a10的大小关系，故B不正确；∵a9和a10异号，且a9>b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一个数是负数，又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故D正确；∴b10一定是负数，即b10<0，故C不正确．故选A、D.10．（2021山东省潍坊一中高二期末考试）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是()A．若S5＝S9，则必有S14＝0B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项C．若S6＞S7，则必有S7＞S8D．若S6＞S7，则必有S5＞S6【答案】ABC【解析】∵等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋，若S5＝S9，则5a1＋10d＝9a1＋36d，∴2a1＋13d＝0，∴a1＝－，∵a1＞0，∴d＜0，∴a1＋a14＝0，∴S14＝7(a1＋a14)＝0，A对；又∵Sn＝na1＋＝－＋＝，由二次函数的性质知S7是Sn中最大的项，B对；若S6＞S7，则a7＝a1＋6d＜0，∴a1＜－6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴a6＝a1＋5d＜－6d＋5d＝－d，a8＝a7＋d＜a7＜0，S7＞S8＝S7＋a8，C对；由a6＜－d不能确定a6的符号，所以S5＞S6不一定成立，D错．故选A、B、C.11．（2021·江苏盐城市·高二期末）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】ABD【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．所以S6＝，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正确，由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正确．a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5＜96，所以C不正确．a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D正确．故选A、B、D.12．（2021·湖北高二期末）若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有()A．an＝3n B．an＝n2＋1C．an＝ D．an＝ln【答案】CD【解析】对A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；对C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)递减，所以数列{an＋1－an}为递减数列，故D正确．故选C、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．（2021·江西高三其他模拟（文））已知数列{an}的通项公式为an＝2020－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．【答案】673【解析】由an＝2020－3n>0，得n<＝673，又∵n∈N*，∴n的最大值为673.14．（2021·河南高二月考（理））已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则an＝________，S10＝________.【答案】22－2n110【解析】设{an}的首项，公差分别是a1，d，则解得a1＝20，d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n.S10＝10×20＋×(－2)＝110.15．（2021·辽宁大连市·高二期末）已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则＝________.【答案】【解析】因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b2＝3，则＝.16．（2021·江苏高三一模）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.【答案】【解析】设{an}的公比为q，q>0，且＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)（2021·山东济南市·高二期末）已知等比数列中，，．（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得：解得所以（2）所以数列为等差数列，所以．18．(本小题满分12分)（2020·山东省济南第十一中学高二期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，.(1)求等比数列{an}的公比q；(2)求.【解析】(1)由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝，q＝－.(2)由(1)，得an＝(－1)×，所以＝n－1，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故＝＝.19．(本小题满分12分)（2021·江苏高三一模）已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以即解得，所以.经检验，符合题设，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，，所以.，∴，因为，，所以，即.因为为偶数，所以.20．(本小题满分12分)（2021·安徽滁州市·高二期末（理））已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，则a2＝q，a3＝q2，因为S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，则Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，两式相减，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化简得Tn＝(2n－3)×2n＋3.21．(本小题满分12分)（2021·安徽高二期末考试（文））在①；②为等差数列，其中成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列中，______.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）若选条件①，，，又，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以；若选择②，设数列的公差为d，则，因为成等比数列，，解得或；当时，，此时不能构成等比数列，所以，所以，若选择③，由得，当时，，两式相减得，所以，当时，也适合上式，所以，（2）由（1）得，所以，故22．(本小题满分12分)（2021年山东省淄博实验中学高二期末考试）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成