2024年新高考数学九省联考新题型-综合能力题（九省联考模式）

2024年新高考九省联考新题型--综合能力题

题目0（2024.全国.校联考模拟预测）若项数为MKCN*,3）的有穷数列｛七｝满足：OWaiVo2V为〈…

〈领,且对任意的「，（1<1<，&劝，%+5或%—%是数列｛%｝中的项，则称数列｛册｝具有性质P.

（1）判断数列0,1,2是否具有性质P,并说明理由；

（2）设数歹IJ｛〃｝具有性质P,%（i=1,2,…，乃是｛册｝中的任意一项,证明：a*—%一定是｛%｝中的项；

（3）若数列｛a„｝具有性质P,证明：当后>5时，数列｛%｝是等差数列.

题目团（2024.全国•校联考一模）关于。的函数/㈤=In。+2x-b（b>2）,我们曾在必修一中学习过“二分

法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”

（1）证明：/Q）有唯一零点a,且ae（Lb）；

（2）现在,我们任取gC（La）开始,实施如下步骤：

在（a?i，y（a?i））处作曲线/3）的切线，交⑦轴于点3,0）;

在但,/（珀）处作曲线/Q）的切线，交刀轴于点（的,0）；

在（4,/（4））处作曲线/（。）的切线，交。轴于点3»1,0）；

可以得到一个数列｛4｝,它的各项都是/Q）不同程度的零点近似值.

⑴设xn+1=g3n）,求g（xn）的解析式（用如表示xn+1）；

（疯）证明：当ge（l,a）,总有xn<4+iVa.

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题目团(2024.全国.校联考模拟预测)“让式子丢掉次数”:伯努利不等式

伯努利不等式(Berno加勿如)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不

等式,由瑞士数学家雅各布・伯努利提出：对实数me(—l,+8),在me口,+8)时，有不等式(1+。)”>

1+侬C成立;在ne(0,1)时，有不等式(l+z)yl+nm成立.

(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；

(2)当外>1时,对伯努利不等式进行证明；

(3)考虑对多个变量的不等式问题.己知的,。2-、/(代€丛)是大于一1的实数(全部同号),证明

(1+Oj)(1+02),•,(1+a”)>1+01+(12+--Fein

®1,1®1,2"•ai,m

值(2024•江苏南通・模拟预测)己知4=02,1°2,2包"2)是77?个正整数组成的小行

m列的数表，当l&iVs<m,l时，记4(4,,%£)=\aitj—aSij\+|asj—a5,t|.设九EN*,若小满

足如下两个性质：

②对任意kE{1,2,3,…m},存在ie{1,2,…,鬲,，£{1,2,…,m},使得外产配则称4n为「n数表.

123、

⑴判断4=231是否为「3数表，并求或以1，02,2)+或02,2，。3,3)的值；

<312,

(2)若一数表4满足或心力生+必+1)=16=1,2,3;彳=1,2,3),求44中各数之和的最小值；

⑶证明：对任意「4数表4o,存在l&iVs《10,1V±&10,使得“气力—)=0.

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题目可（2024•全国•校联考模拟预测）设正整数数列Ag,的，…，aN（N>3）满足其中1&i

如果存在A;C{2,3,…，N},使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数,则称A为”阶平衡数列”

⑴判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”?

（2）若N为偶数，证明:数列A1,2,3,…，N不是”阶平衡数列”，其中KC{2,3,…,N}

（3）如果«2019,且对于任意ke{2,3,…,N},数列月均为”阶平衡数列”，求数列月中所有元素之和的

最大值.

题目立（2024.江苏・徐州市第一中学校联考模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦

有应用.设A,3,C,D是直线Z上互异且非无穷远的四点,则称奈•g（分式中各项均为有向线段长

度，例如AB=—A4）为A,B,C,。四点的交比，记为（ABC,。）.

⑴证明⑷

（2）若小」2/3」4为平面上过定点。且互异的四条直线，上1，%为不过点P且互异的两条直线，区与儿的

13,。的交点分别为4,Bi，G，功,42与21/2/3」4的交点分别为42,耳，G，。2,证明：（4B；G,Di）=

（4,玛；&,。2）:

（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明:若尸G与△£'尸G的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点,

则ZXE尸G与△£'尸'G对应边的交点在一条直线上.

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题目?(2024.河北.校联考一模)已知定义域为R的函数拉3)满足:对于任意的。CR,都有何。+2兀)=

人3)+九(2兀)，则称函数ZiQ)具有性质P.

(1)判断函数/3)=2i,gQ)=cose是否具有性质「；(直接写出结论)

(2)已知函数f(x)=sinQ。+⑼怎V3V期V都判断是否存在孙伊,使函数f㈤具有性质P?若存

在，求出3夕的值;若不存在，说明理由；

(3)设函数/Q)具有性质P,且在区间［0,2兀］上的值域为［/(0),62兀)］.函数gQ)=sin(/Q)),满足

gQ+2兀)=g(cc),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求证：/(2兀)=2兀.

题目瓦(2024.江西吉安・吉安一中校考一模)对于无穷数列｛册｝，“若存在am—ak=t(mfkEN*、m>1c)，必有

^Wi-i-ak+l=产,则称数列｛3｝具有尸㈤性质.

(1)若数列｛册｝满足册9”*、，判断数列｛册｝是否具有HD性质？是否具有尸Q)性

质？

(2)对于无穷数列｛册｝,设T=｛引0=出一丽iV，｝,求证:若数列｛厮｝具有P(O)性质，则T必为有限集；

(3)己知｛册｝是各项均为正整数的数列，且｛册｝既具有尸(2)性质，又具有P(3)性质，是否存在正整数N,

上使得小，aN+1,aN+2,-,aN+k,-成等差数列.若存在,请加以证明；若不存在，说明理由.

・A

题目回(2024.全国•校联考模拟预测)已知有穷数列A%,02,-,an(n>3)中的每一项都是不大于n的正整

数.对于满足1的整数令集合月(馆)=｛上限=??1,k=l,2,…，灯｝.记集合47To中元素的个

数为s(m)(约定空集的元素个数为0).

⑴若A:6,3,2,5,3,7,5,5,求力(5)及s(5)；

(2)若J4--^―H--1--J=九，求证：…,an互不相同；

s(%)s(a2)s(an)

(3)己知。1=。,02=6,若对任意的正整数力，(1金，，i+J<n)都有i+j€A(4)或i+,EA(%),求5+02

+…+an的值.

题目回(2024.河南郑州.郑州外国语学校校考模拟预测)记U=｛1,2,…,100｝.对数列｛4｝("eN*)和U的

子集T，若7=0,定义ST=0；若T=｛友也,…，4｝，定义SLA+ot/l-F%.例如：T=｛1,3,66｝时，ST=

ai+a3+a66.现设｛4｝("eN*)是公比为3的等比数列，且当T=｛2,4｝时，ST=30.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)对任意正整数Ml100),若TG｛1,2,…,日,求证：SrV4+1；

⑶设。7[7,。^。,5(7〉52，求证：SC+SCQ2SD.

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题目叵(2024.江西南昌・南昌二中校联考模拟预测)若存在的e。使得对任意06。恒成立，

则称为为函数/3)在。上的最大值点,记函数,3)在。上的所有最大值点所构成的集合为加

(1)若f(c)——X2+2X+1,O=R,求集合A/；

(2)若f(s)=C=求集合八八

(3)设a为大于1的常数，若/侬)=a+asinx,D=[0,6]，证明，若集合A/中有且仅有两个元素,则所有满足

条件的b从小到大排列构成一个等差数列.

题目|1g1(2021江西抚州•临川一中校考一模)若各项为正的无穷数列｛6｝满足:对于WmCN*,温i—涌=

d,其中d为非零常数,则称数列｛aj为。数列.记bn=an+1-an.

(1)判断无穷数列a“=5/万和0n=2”是否是。数列，并说明理由；

(2)若｛5｝是。数列，证明：数列｛bj中存在小于1的项；

(3)若｛a„｝是。数列，证明：存在正整数门,使得Z—>2024.

i=l°»

题目叵］(2021江西南昌.南昌二中校考一模)若一个两位正整数rn的个位数为4,则称m为“好数”.

(1)求证:对任意“好数”一定为20的倍数；

(2)若m且pq为正整数,则称数对(p)g)为“友好数对”，规定：H(m)=义,例如24=52-俨,称数

P

对(5,1)为“友好数对”,则H(24)=”,求小于70的“好数”中,所有“友好数对”的H(m)的最大值.

0

题目AA(2024•全国•校联考模拟预测)已知无穷数列｛aj满足%=maxfon+i，a^｝—minfan+i.a^｝^=1.

2,3,…)，其中max｛a;,t/｝表示叫y中最大的数，min｛s,y｝表示了，y中最小的数.

(1)当4=1,3=2时，写出a4的所有可能值；

(2)若数列｛七｝中的项存在最大值，证明：0为数列｛%｝中的项；

(3)若%>0(门=1,2,3,…)，是否存在正实数使得对任意的正整数n,都有0n4河？如果存在，写出一个

满足条件的八/;如果不存在，说明理由.

题目(2024.河南.统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用.设P是素数，集合x=

{1,2,…,p—1},若叫"€X,mEN,记”e0为MO除以p的余数，“叫”为尸除以p的余数;设aEX,l,a,

弋…,产2何两两不同，若不何=6(九£{0,1,…乎—2}),则称口是以a为底b的离散对数,记为灯=log(p)a

b.

(1)若p=ll,a=2,求

(2)对rriym^E{0,1,…,p—2},记人④s为仍+S除以p—1的余数(当仍十皿能被p—1整除时，7nl④

m2=0).证明：k>g(p)a(b®c)=log(p)ofe©log(p)oc，其中b,c£X：

(p2),0

(3)已知九=log(p)ab,对{1,2,…,p—2},令yi=a&®,的=1®心”.证明：x=y2®yi~.

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题目@（2024上.浙江宁波.高三镇海中学校考期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需

要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段卷，其弧长为As,当动点从

4沿曲线段助运动到B点时，A点的切线U也随着转动到B点的切线G，记这两条切线之间的夹角为A8

（它等于S的倾斜角与心的倾斜角之差）•显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角

固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义衣=|瑞|为曲线段益的平均曲率;显然当B越接近4,

即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点力处的弯曲程度，因此定义K=lim|年=―回:（若极限存

判Asi（1+/户

在）为曲线C在点A处的曲率.（其中d，/'分别表示y=/3）在点A处的一阶、二阶导数）

（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

（2）求椭圆亍+y2=1在处的曲率；

（3）定义双y）=羊咽为曲线y=/Q）的“柯西曲率”.己知在曲线fQ）=x\nx-2。上存在两点

（1+娟）

J3i））和Q（物,/（的）），且尸，Q处的“柯西曲率”相同，求强十强的取值范围.

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题目叵(2024上.山东潍坊•高一统考期末)己知函数/3)=0(a>0且a¥1)为奇函数,

且9(。)=1/3儿

(1)求实数m的值；

(2)若对于函数？/=m(a;),。e［p,q］，用a;,(i=0,l,2,…,n,p=as()Va：i<…V%=q)将区间［p,g］任意划分成

n个小区间，若存在常数入/>0,使得和式£|m(S)-7n3i)|&M对任意的划分恒成立，则称函数m(0)

为［p,g］上的有界变差函数.判断函数g3)是否为［一］10go2|,110go4］］上的有界变差函数？若是，求A/的最

小值;若不是，请说明理由.

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2024年新高考九省联考新题型--综合能力题

题目0(2024.全国.校联考模拟预测)若项数为MKCN*,3)的有穷数列｛七｝满足：OWaiVo2V为〈…

V3,且对任意的彳<k),%+&或是数列｛%｝中的项，则称数列｛aj具有性质P

(1)判断数列0,1,2是否具有性质P并说明理由；

(2)设数歹IJ｛%｝具有性质尸,q(i=L2,…，劝是｛册｝中的任意一项，证明：％—%一定是｛5｝中的项；

(3)若数列｛%｝具有性质P证明：当k*5时，数列｛%｝是等差数列.

【答案】(1)数列0,1,2具有性质P,理由见解析；

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】⑴由数列0,1,2中，得到出一小,一定是数列｛%｝中的项，即可求解；

(2)根据题意，得到在十出一定不是数列｛%｝中的项，进而证得在一4一定是数列｛而｝中的项；

(3)根据题意得到耿+a工｛册｝,且出一a户｛aj,进而得到5=0,得到砥一&£｛an｝,当证得出

—〃T=4+1，当3<i&k—2,得到ajb-i—aj=%,由k>5时，得到ak_1—ak_i=%(14i&k—1),两式相减得

出朝一ai=0f+i—4(1—1),结合等差中项公式，即可求解.

【详解】(1)解:数列0,1,2具有性质P.

理由：根据有穷数列｛aj满足：0<ar<a2Va3V…V且对任意的i,j(l%+5或a「w是数

列｛5｝中的项,则称数列｛%｝具有性质P,

对于数列0,1,2中，若对任意的切(1<1&，&劝，可得为—见=0或1或2,

可得%一优一定是数列｛%｝中的项，所以数列0,1,2具有性质P.

(2)证明：由a/i=1,2,…，乃是数列｛aj中的任意一项，

因为数列｛aj具有性质P,即%+4或%—4是数列｛%｝中的项，

令，=k，可得依+&或在一a是数列｛%｝中的项，

又因为0Vaf<a2V…V4,可得磔+4一定不是数列｛aj中的项,

所以生一久一定是数列｛诙｝中的项.

(3)解：由数列｛aj具有性质P,可得4+a*｛册｝,所以念一a代｛6｝,

则0e｛an｝,且ai=0,

又由4+a*｛an｝,所以a左一｛an｝,

又由0=01k—a^Va七一a%—iV一2V…V3—02Va左一的,

①设2&i4附因为04aiVa2V…〈你

可得ak~ak=0，在一afc-l=<^2,ak~ak-2=03»,,•，%—a2=ak-Vak~al=akf

当k>5时，可得纵一a»+i(l—1),(*)

②设34i&k-2,则^-1+02=",所以%_1+。仔｛an｝,

由0=ak-l—a-fc-1一3一2<…Vak-l-a3Vak-a3=ak-29

又由0&a】Va2V***V_3Va为—2,

可得(lk-1-%_1=Gi，ak-i-CLk-2=3…Vdh-X-O-3»ak-l~a3=%-39

所以Qfc-i—aj=4(14i&k-3),

因为k>5,由以上可知：CLk-l~ak-l=ai且为_1—弥_2=S,

所以ak-1—a1=afe_i且ak_1—a2=a—,所以“_1—aj=%(1—1),(**)

由(木)知，。1=&+i(l&i&k-1)

两式相减，可得ai=4+1—4(1—1),•••

所以当k>5时，数列｛%｝为等差数列.

题目团(2024•全国•校联考一模)关于a的函数fQ)=ln0+2e—b(b>2),我们曾在必修一中学习过“二分

法”求其零点近似值.现结合导函数,介绍另一种求零点近似值的方法一一“牛顿切线法

(1)证明：/(0有唯一零点a,且aC(1,6)：

(2)现在,我们任取的C(l,a)开始，实施如下步骤：

在3/31))处作曲线/3)的切线，交。轴于点(曲,0)；

在(附人的))处作曲线/3)的切线，交0轴于点(。3,0)；

在(%,/(%))处作曲线/(。)的切线，交0轴于点3n+1,0)；

可以得到一个数列｛0｝,它的各项都是/(。)不同程度的零点近似值.

⑴设。„+1=9(伤>)，求g(4)的解析式(用/表示a:*)；

(通)证明：当a：iG(l,a),总有xn<0fH4Va.

【答案】(1)证明见解析；

⑵(说3“)=—吗*+1)%；(词证明见解析

1十Zxn

【分析】(1)根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可：

14-

(2)(i)由导数的几何意义得曲线/3)在(4,/(4))处的切线方程为3/=nx+lnx-b—1,进而得

%n

/、-x^nxn+(b+l)a;„

g®)=—i+2^—:

(洲令h(x)=1*%①+lnxn—b—1,进而构造函数F[x)—f(x)—h｛x)=Inx-x—lnccn+l，结合函数

xnxn

单调性证明用iVa,再根据f㈤)>0,f(Xn)<f(a)=0证明产4-等g>%即可得答案.

【详解】(1)证明：/3)=Ina;+2x—b(b>2),定义域为(0,+8),

所以，尸3)=工+2>0在(0,4-00)上恒成立，

x

所以函数/Q)在(0,+8)上单调递增,

因为/(I)=Inl+2—b=2—bV0(6>2),/(b)=Inb+2b—b=Inb+b>0(6>2),

所以，存在唯一aE(l,b),使得/(a)=0,即：f(x)有唯一零点a,JLaG(l,b).

(2)解：⑴由(1)知fQ)=工+2,

X

所以，曲线/3)在(5,/(4))处的切线斜率为鼠=」-+2,

Xn

1J-9T

所以，曲线/Q)在(4,/(g))处的切线方程为u—/(g)=f(%)3一g)，即4=———+lnxn-b-1

xn

—rclna?+(6+l)a?

令g=0得c=nnn

1+2%

所以，切线与0轴的交点(7；设+1)%,0),即0计产一弋;；：+1)4,

_一媪11%+(6+1)与

所以，g(%)

1+2%

(洲对任意的xnE(0,4-oo)，由⑴知，曲线/(①)在(%,/(%))处的切线方程为：

y=1+2，"⑦+lnxn—b—1,故令h{x)=]十⑦+\nxn—b—1,

%xn•••

令尸(])=f(x)—h(x)=Inx-x—lna?n+l.

所以，F'3)=上一工=

Xxnx„x

所以，当8w(0,4)时，R®>0,尸㈤单调递增，当(%,+8)时，尸Q)VO,尸3)单调递减；

所以，恒有尸(1)&尸(。n)=o,即/3)恒成立，当且仅当/=为时等号成立，

f(x)

另一方面，由⑴知，1n+1=xn—"，且当a时，出n+iWxn9

fM

(若xn=a,则/(4)=/(a)=0,故任意4+i=xn=...=xr=a,显然矛盾)

因为8n+i是h(x)的零点，

所以/381)<从。叶1)=/(«)=0,

因为/3)为单调递增函数，

所以，对任意的a时，总有。8iVa.

又因为iiVa,

所以，对于任意九EN*,均有xn<a,

所以，f(%)>O,/(rrn)</(«)=0.

所以c„+i=xn-]叫>xn,

综上，当(l,a),总有xn<□7n+i<a

【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第

二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数尸Q)=f(x)—h(x)=Inx—]n为+i,进而结合函数的

xn

单调性证明不等式.

题目瓦(2024.全国•校联考模拟预测)“让式子丢掉次数”:伯努利不等式

伯努利不等式(Berno加加，s/ziegita扬如)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不

等式,由瑞士数学家雅各布・伯努利提出:对实数。6(—1,+8),在me[1,+8)时，有不等式

l+na?成立;在mC(0,1)时，有不等式(1+a?)11+na;成立.

(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；

(2)当门>1时,对伯努利不等式进行证明；

(3)考虑对多个变量的不等式问题.已知的,。2,…,是大于一1的实数(全部同号)，证明

(1+0x)(1+的)…(1+an)>1+ai+a2+—t-an

【答案】(1)n=0,1,或x—0

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据不等式特征猜想出等号成立的条件；

⑵设/(c)=(1+⑼"-nrr—1QV—,注意到/(0)=0,求导得到f(0)=0,二次求导，得到函数

的单调性和极值最值情况,证明出结论；

⑶当71=1时，显然成立，当71>2时，构造数列｛4｝：Xn=(1+01)(1+02)•••(1+a^)—

(1+ai+a2H---Fa”)，作差法得到｛4｝是一个单调递增的数列(m>2),结合的〉。,得到®n>

0(Vn>2),证明出结论.

【详解】(1)猜想:伯努利不等式等号成立的充要条件是n=0,1,或。=0.

当？i=0时，(1+c)°=l+0。，当71=1时，(1+a?)1=1+x,•••

当a?=0时，(1+0)"=1+On,其他值均不能保证等号成立，

猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是n=0,1,或1=0;

(2)当九>1时，我们需证(1+1厂>1+百，

设/(re)=(1+a?)"—m—l(rrV—l,a>1),注意到/(0)=0,

f(力)=n(l+i)"T—九="(1+夕厂i—1],令(1+1)7—1=0得□?=0,

即f(0)=0,。=0是f(x)的一个极值点.

令g(x)=f(x)，则，3)=71(71-1)(1+°厂2>0,

所以f'3)单调递增.

当—l<a?<0时J3)</(0)=0,当x>0时，，(。)>/(0)=0,

故/3)在(一1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

所以在必=0处y(a;)取得极小值y(o)=o,

即/(9)>0恒成立，(1++1.

伯努利不等式对71>1得证.

(3)当九=1时，原不等式即1+%>1+的，显然成立.

当九》2时，构造数列{aj:%=(1+o-i)(1+例)…(1+an)—(1+<21+02+—Fan),

则xn+l~xn=°n+l[(l+O1)。+°2)…(1+%)-X，

若4>0(i=l,2,…，九+1),由上式易得/n+1—g>0,即。叶1>为;

若一1V440(i=L2,…m+1),则0V1+4V1,所以(1+0!)。+的)…(1+%)—1V0,

故:2?"1一4=a»J(1+5)(1+%)…(1+%)-1]>0,

即此时Xn也成立.

所以{4}是一个单调递增的数列伍>2),

由于12=(1+5)(1+。2)—(1+%+©)=0,所以%>12>0(\/九>2),

故原不等式成立.

【点睛】关键点点睛：函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性,值域等，且存

在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题,

一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.

0-1,2,*

题目1(2024.江苏南通.模拟预测)已知4=%,1做20•«2,m

(m>2)是n?个正整数组成的m行

，

、a1nti^m,2'*a1ntm

m列的数表，当l&iVs<Tn,l&/V土时，记J=\aitj—aStj\+\aStj—aStt\.设九eN*,若&满

足如下两个性质：

①4,卢{l,2,3;--,n}(i=l,2,--*,m;j=l,2,--,m)；

②对任意ke{1,2,3,…m},存在iee{1,2「-,m},使得气;=右,则称41为1\数表.

T23、

⑴判断4=231是否为「3数表，并求或以i，%,2)+d(%2，。3,3)的值：

、312,

(2)若「2数表人4满足&(&,夕@+1"1)=16=1,2,3丁=1,2,3),求4中各数之和的最小值；

(3)证明：对任意上数表4o,存在1<1<5&10,1<，<±&10,使得或心力4/=0.

【答案】(1)是；5

(2)22•••

(3)证明见详解

【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；

(2)根据条件讨论生+切的值，根据©(ojjMsj)=鼠「aj+|%「4/，得到相关的值，

进行最小值求和即可；

(3)当时，将横向相邻两个A:用从左向右的有向线段连接，则该行有n—1条有向线段,得到横向有向

线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.

123、

【详解】(1)4=231是「3数表,

、312>

或领1,做2)+或。2,2,。3,3)=2+3=5.

⑵由题可知=Mj-aJ+小,「心"|=l(i=l,2,3;j=1,2,3).

当a,+ij=1时，有或<1的5+1什1)=(aitj—1)(%+1,加-1)=1,

所以-+a,+ij+i=3.

a

当&+切=2时，有c/(a<,J,a<+i,J+i)=(2-(2-i+l,j+l)=1,

所以4」+4+1,升1=3.

所以aifj+ai+ltj+1=3(i=1,2,3;J=L2,3).

所以5,1+02,2+03,3+04,4=3+3=6,出,3+3,4=3,a3,i4-a4,2=3.

。1,2+做3+。3,4=3+1=4或者%2+的,3+/4=3+2=5,

生,1+。3,2+。4,3=3+1=4或者©,1+。3,2+包,3=3+2=5,

5,4=1或气4=2,a^i=1或04,1=2,

故各数之和>6+3+3+4+4+1+1=22,

(111

11212J

各数之和取得最小值22.

⑶由于上数表Ay,中共100个数字，

必然存在ke{1,2,3,4},使得数表中k的个数满足T>25.

设第i行中k的个数为n(i=1,2,…,10).

当门>2时，将横向相邻两个k用从左向右的有向线段连接，

则该行有八一1条有向线段，

所以横向有向线段的起点总数尺=X(n—l)>X(r-l)=T-10.

田210

设第，列中K的个数为C^j=1,2,-,10).

当%>2时，将纵向相邻两个k用从上到下的有向线段连接，

则该列有q—1条有向线段，

J=1

所以纵向有向线段的起点总数C=g(q-l)>J：(q-l)=T-10.

所以R+O2T-20,

因为T>25,所以■R+C-T>2T—20—T=T-20>0.

所以必存在某个后既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点,

即存在1VQV0410,lVpVq&10,

使得见“=aVtP=aVt4=k,

所以</(%,%)=|Q-I+=0,

则命题得证.

题目团(2024.全国.校联考模拟预测)设正整数数列A:5,3，aN[N>3)满足&V%,其中IGVj&N.

如果存在kC{2,3,…，N},使得数列A中任意后项的算术平均值均为整数,则称▲为阶平衡数列”

(1)判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？

(2)若N为偶数，证明：数列A:1,2,3,…，N不是”阶平衡数列"，其中{2,3,…,N}

(3)如果a后2019，且对于任意ke{2,3,…,N},数列A均为”阶平衡数列"，求数列A中所有元素之和的

最大值.

【答案】⑴2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；1,5,9,13,17是4阶平衡数列；

(2)证明见解析

(3)12873.

【分析】(1)由2+61S+10不为整数，数列1,5,9,13,17为等差数列，结合新定义即可得到结论；

(2)讨论A;为偶数或奇数，结合新定义即可得证；

(3)在数列A中任意两项a$,0t,(srt),作差可得数列中任意两项之差都是右的倍数，{2,3,…,N-1},

讨论数列A的项数超过8,推得数列A的项数至多7项.讨论数列A的项数为7,数列的项数小于或等于6,

奇数可得所求最大值.

【详解】(1)由2+6[8+1。不为整数,

可得数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；

数列1,5,9,13,17为首项为1,公差为4的等差数列，

则数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列；

(2)证明：若N为偶数，设k=2m(znEN*),

考虑1,2,3,…，后这/c项，其和为

所以这后项的算术平均值为：,二与工二？2沪上，此数不是整数；

若k为奇数，设k=2m+1,m6N*,考虑1,2,3,4,5,…k—2,〃-1,尼+1;

这k项，其和为S'=+1,

所以这k项的算术平均数为：孚="工+4=加+1+^^"^,

k2k2m+1

此数不是整数：

故数列A:1,2,3,4,…，N不是%阶平衡数列“，其中kG{2,3,4,…N};

(3)在数列A中任意两项as,4,(s#t),

对于任意{2,3,4,5,…,N},在A中任意取两项%,q,相异的k-1项，

并设这k-1项和为Sn.由题意可得Sn+as,S“+0t都是k的倍数，

即Sn+as=pk,Sn+at=gk,(p,q为整数)，可得as-at=(p—g)k,

即数列中任意两项之差都是A;的倍数，Jte{2,3,…,N-1},

因此所求数列A的任意两项之差都是2,3,…，N—1的倍数，

如果数列A的项数超过8,

那么O2-ai,<23—02,…，他一曲均为2,3,4,5,6,7的倍数，•••

即O2-Cli,<13—O2,…，°8一即均为420的倍数，

（420为2,3,4,5,6,7的最小公倍数），

a8—01=3―01+。3—例+■•+ag—420X7=2940,

即O8>2940+aj>2940，这与的02019矛盾，

故数列A的项数至多7项.

数列A的项数为7,

那么02—01,03—02»>即—/均为2,3,4,5,6的倍数，

即a2—ai,<23—。2,…，加一由均为60的倍数，

（60为2,3,4,5,6的最小公倍数），

又OjW2019,且ai<02V…Va?,

所以。6<2019-60,a5<2019-2x60,…，4<2019-6x60,

所以（11+02+,•■+07^2019+（2019—60）H---F（2019—6x60）=12873,

当且仅当％=2019-60（7-i）=1599+60i（i=1,2…，7）,01+02+…+的取得最大值12873;

验证可得此数列为阶平衡数列"，JbC{2,3,…,N},

如果数列的项数小于或等于6,由0^<2019,

可得数列中所有项的之和小于或等于2019x6=12114,

综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873.

【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力推理能力，属于难题.

题目回（2024.江苏.徐州市第一中学校联考模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦

有应用.设A,B,C,D是直线I上互异且非无穷远的四点,则称芸•黑（分式中各项均为有向线段长

BCAD

度，例如AB=—BA）为A,B,四点的交比，记为（4BC,。）.

⑴证明⑷

（2）若小为，人。为平面上过定点p且互异的四条直线，4，心为不过点p且互异的两条直线，%与心仙

%的交点分别为A,B1，Ci，D1，4与，1，为，如。的交点分别为4,B2,。2,。2,证明：（A,B1；C1，A）=

（•/42,玛；。2,。2）:

（3）己知第（2）问的逆命题成立，证明:若AEFG与△E'FYT的对应边不平行,对应顶点的连线交于同一点,

则Z\EPG与△£；'尸'G对应边的交点在一条直线上.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）根据题干所给交比的定义即可证；

（2）把交比转化成面积之比，在利用面积公式把面积之比转化为边之比;

（3）把三点共线问题转化为其中一个点在另外两个点所构成的直线上.再利用第（2）问的结论得到两组交

比相等，根据逆命题也成立即可证明三点共线.

BC-AD+DC-BABC•(AC+CD)+CD-AB

【详解】⑴1-（D,BCA）=1-=

上；：BC-AD-BC・AD

BCAC+BCCD+CD-AB=BC•4C+ACCD=ACBD=1

BC-AD—BC-AD—BC-AD-(B,AC,D)

⑵(4B；G，A)

SAPB,G，S由AD•••

y-PArPCrsinZAiPCrj-PB『PD「sin/BFA_sin/AFC?sinZ.B1PD1

4•PB「PCi-sinZBjPCi-/•PAt-PDVsinN4PAsin/BFC?sinNAFA

sinNAzPG。sin/BzPASAPE^A2G，昆口?

（42，玛；3，。2）;

sinZ^PC*?*sinZA2P/^2以区B2G2。42。2

⑶设EF与E'F'交于X,FG与F'G交于Y,EG与E'G交于Z,

连接XV,尸尸'与xy交于L,EE'与XV交于A/,GG与XY交于N,

欲证x,y,z三点共线，只需证z在直线xy上.

考虑线束XP,XE,XM,XE',由第⑵问知（P,尸Z,尸）=（P,E

再考虑线束YP,YF,YL,YF,由第⑵问知（P,尸/，尸'）=（P,G;N,G）,

从而得到（P,E协［,E'）=（P,G;N,G）,

于是由第（2）问的逆命题知，EG,Am;E'G交于一点，即为点Z,

从而AW过点z,故z在直线xy上，x,y,z三点共线.

【点睛】思路点睛：本题考查射影几何中交比的性质，属新定义题型，难度较大.

第一问直接根据交比的定义证明即可；

第二问首先要理解交比的本质就是两组边比值的乘积，而边的比值可以根据图形（高相同）转化为面积之

比，而面积之比又可以通过面积公式转化为边的比值，从而使得问题得证.其核心思想是利用三角形面积

计算的两个公式进行转化；

第三问需要根据第二问的结论以及其逆命题是真命题来证明，第二问是由线共点导出交比相等，第三问是

由交比相等导出线共点，所以要想证明第三问，必须先导出交比相等，而使用第二问的结论恰好可以导出

两组交比相等，进而根据传递性得到想要证的一组交比相等，从而证明出三线共点，进而再说明三点共线.

（2024•河北•校联考一模）己知定义域为R的函数八⑺满足:对于任意的，CR,都有八3+2兀）=

h（x）+八（2乃），则称函数无（a?）具有性质P.

（1）判断函数/3）=2i,g3）=coso是否具有性质P；（直接写出结论）

（2）己知函数/3）=皿*+0《VsV■|■,|同V方）,判断是否存在3冲,使函数/3）具有•性质P•?若存•

在,求出孙0的值;若不存在，说明理由：

(3)设函数/(⑼具有性质产，且在区间［0,2扪上的值域为［/(0),/(2兀)］.函数gQ)=sin(/Q)),满足

g(x+27t)=gQ),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求证：/(2兀)=2兀

【答案】(1)函数/(⑼=21具有性质P;g(x)=cosx不具有性质P.

(2)s=2,0=0

(3)证明见解析

【分析】(1)利用定义判断即可；

(2)假设函数/(①)具有性质尸,可求出卬=0,进而可得口=2,从而可得/Q)=sin2］,再根据定义进行验

证，即可得到答案；

(3)由函数/(乃具有性质P及(2)可知，/(0)=0,进而可得/Q)在［0,2兀］的值域为［0,辰且">0,

由g(i)在区间(0,2兀)上有且只有一个零点可证明当k>2时不符合题意，再求解当k=l时与g(x)是以

2兀为周期的周期函数矛盾，从而可得k=2,即可证明.

【详解】(1)因为f(x)=21,则f(x+2K)=2(x+2兀)=2啰+4兀,又/(2兀)