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文档简介
专题5.3导数在研究函数中的应用(2)(B卷提升篇)(新教材人教A,浙江专用)参考答案与试题解析第Ⅰ卷(选择题)一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)1.(2020·江西高三期中(文))已知函数的定义域为R,其导函数为,的部分图象如图所示,则()A.在区间上单调递减 B.的一个增区间为C.的一个极大值为 D.的最大值为【答案】B【解析】由的部分图像可得:在上,,所以单调递增,所以A不正确,B正确;由,导函数在左右两侧的函数值异号,所以是的一个极小值,所以C不正确,同理可知是的一个极大值,并不一定是最大值,D不正确.故选:B.2.(2020·四川成都七中高三月考)“”是“函数在上有极值”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,则,令,可得.当时,;当时,.所以,函数在处取得极小值.若函数在上有极值,则,.因此,“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.故选:A.3.(2020·全国高二(文))函数的定义域为,,对任意,,则的解集为().A.B.C.D.【答案】D【解析】令,所以,故在上单调递增,又,所以当时,,即,所以的解集为:故选:D.4.(2020·内蒙古高三其他模拟(理))设函数,直线是曲线的切线,则的最大值是()A. B.1 C. D.【答案】C【解析】由题得,设切点,,则,;则切线方程为:,即,又因为,所以,,则,令,则,则有,;,,即在上递增,在上递减,所以时,取最大值,即的最大值为.故选:C.5.(2020·贵州遵义·高三其他模拟(理))若函数无极值点则实数a的取值范围是()A. B. C.D.【答案】B【解析】,,由函数无极值点知,至多1个实数根,,解得,实数a的取值范围是,故选:B6.(2020·全国高二)若定义在上的函数满足,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为()A. B.C. D.【答案】C【解析】令,则,所以在上单调递增,又因为,所以,即不等式的解集是,故选:C7.(2020·石嘴山市第三中学高三月考(理))已知函数,若,,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意,作出函数的图象,如图所示:若,,则,则,,令,,则,,此时,则恒成立,所以函数单调递增,所以,所以实数的取值范围为.故选:D.8.(2020·合肥一六八中学高三月考(文))已知函数的导函数,若在处取得极大值,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】由在处取得极大值可知,当时,;当时,,其等价于①存在,使得,且②存在,使得;若时,的解集为,不满足②即不存在,使得,故时在不是极大值;若时,的解集为,的解集为,满足①②,故时,在处取得极大值;若,恒小于等于0,不满足①,故时,在取不到极大值;若时,的解集为,不满足②,故时,在处取不到极大值.综上,的取值范围是.故选:A.9.(2021·湖南湘潭·高三月考(理))已知函数有两个极值点,则a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为有两个极值点,所以有两个不同实数根,所以有两个不同实数根,所以有两个不同实数根,显然,所以有两个不同实数根,记,,当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,又因为时,;当时,;当时,,所以当有两个不同实数根时,所以,所以,故选:D.10.设函数.当时(e为自然对数的底数),记的最大值为,则的最小值为()A.1 B. C.e D.【答案】C【解析】当,即时,在时,,则此时,在上恒成立,所以在上单调递增,则当,即时,在时,,则所以在上单调递增,则当,即时,若,则,,此时单调递增,则,,此时单调递增又时,两段在处的函数值相等,所以在上单调递增所以综上所述可得:由一次函数的单调性可得当时,有最小值故选:C第Ⅱ卷(非选择题)二.填空题(共7小题,单空每小题4分,两空每小题6分,共36分)11.(2020·咸阳市高新一中高三期中(文))已知为正实数,若函数的极小值为0,则的值为_____【答案】.【解析】由题意,∵,∴或时,,时,,∴在和上递增,在上递减,的极小值是,解得(舍去).故答案为:12.(2019·湖北高三月考(文))函数在上的极________(填“大”或“小”)值点为_________.【答案】大【解析】令,则,令,解得,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以有极大值点,为.故答案为大;13.(2020·通榆县第一中学校高三月考(文))若函数在区间上有最大值,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得:,令解得;令解得或,所以函数在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,故函数在处取到极大值2,所以极大值必是区间上的最大值,∴,解得.检验满足题意故答案为:.14.(2020·江苏盐城·高三期中)若函数在上存在两个极值点,则的取值范围是_______.【答案】【解析】因为,所以,设,因为函数在上存在两个极值点,所以在上存在两个零点,所以在上存在两个零点,设为且,所以根据韦达定理有:,故,因为,所以,,由于,所以.故答案为:.15.(2020·北京市第十三中学高三开学考试)已知函数.(1)函数的最大值等于________;(2)若对任意,都有成立,则实数a的最小值是________.【答案】1【解析】(1)函数定义域是,,时,,递增,时,,递减,∴时,取得极大值也是最大值;(2)若对任意,都有成立,等价于当时,,由(1)当时,,且,满足题意;当,在上递增,,在递减,,只要即可,∴,综上,的最小值是1..故答案为:;1.16.(2020·重庆高二期末)已知函数,若关于的方程恰有两个不同的实数根和,则的取值范围是______,的最大值为_____.【答案】【解析】作出函数的图像如下图所示,要使关于的方程恰有两个不同的实数根和,则需,解得,不妨设,则,令,则,所以,令,则,所以当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以当时,取得最大值,所以的最大值为,故答案为:;.17.(2020·宁夏石嘴山市第一中学高三月考(文))设函数.①若,则的最大值为____________________;②若无最大值,则实数的取值范围是_________________.【答案】2【解析】①若,则,时的值域为,时,则故时,单调递增;时,单调递减,,故值域为,综上,值域为,最大值为2;②函数,故时的值域为,所以要使无最大值,则需时的最大值小于.由,知,当时在上单调递增,,故解得;当时或,故且,无解,综上,要使无最大值,则.故答案为:2;.三.解答题(共5小题,满分64分,18--20每小题12分,21,22每小题14分)18.(2020·北京高三期中)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)或;(2)最小值,最大值.【解析】(1)因为,由,得.所以或.所以不等式的解集为或;(2)由得:.令,得,或(舍).与在区间[0,2]上的情况如下:x0(0,1)1(1,2)2-0+0减增所以当时,取得最小值;当时,取得最大值.19.(2020·江西高三期中(文))已知函数,,其中.(1)求函数的极值;(2)若的图像在,处的切线互相垂直,求的最小值.【答案】(1)答案见解析;(2)1.【解析】(1)函数的定义或为,,若,恒成立,此时在上单调递增,无极值;若时,,解得,当时,,单调递减;当时,,单调递增.当时,有极小值,无极大值.(2),则,其中,,,且,,,当且仅当时取等号,当,时,取最小值1.20.(2020·枣庄市第三中学高二月考)已知函数f(x)=ax2ex﹣1(a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)已知a>0且x∈[1,+∞),若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.【答案】(1)当a>0时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞),单调递减区间为(﹣2,0);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(﹣2,0),单调递减区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞);(2).【解析】(1)f'(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),令f'(x)=0,则x=0或x=﹣2,①若a>0,当x<﹣2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当﹣2<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;②若a<0,当x<﹣2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当﹣2<x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;综上所述,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞),单调递减区间为(﹣2,0);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(﹣2,0),单调递减区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞).(2)当a>0时,由(1)可知,f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,若函数没有零点,则f(1)=ae﹣1>0,解得,故a的取值范围为.21.(2020·云南高三期末(理))已知函数,.(1)若函数在上存在单调递增区间,求实数的取值范围;(2)设.若,在上的最小值为,求在上取得最大值时,对应的值.【答案】(1);(2)最大值点为..【解析】(1)∵在上存在单调递增区间,∴在上有解,即在上成立,而的最大值为,∴,解得:.(2),∴,由得:,,则在,上单调递减,在上单调递增,又∵当时,,,∴在上的最大值点为,最小值为或,而,当,即时,,得,此时,最大值点;当,即时,,得(舍).综上在上的最大值点为.22.(2020·广东高三月考)已知函数.(1)若函数,求函数的极值;(
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