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文档简介

第四节多元复合函数的求导法则

第八章

一元复合函数求导法则微分法则第四节多元复合函数的求导法则

第八章

一、多元复合函数求导的链式法则二、一阶全微分的形式不变性一、多元复合函数求导的链式法则定理8.5则证特别地，类似地，可以证明：注1º复合关系图(结构图)即关系图中因变量到达某自变量的路线有几条，函数对该自变量的偏导数就由几项相加而成；且其中每一项是由同一条路线中的各偏导数相乘而得到的.口诀:

“项数=通向该自变量的路径数”.“连线相乘，分线相加”;“单路全导,

叉路偏导”2º其他情形

函数关系

结构图求导公式zuvx全导数uzvxy

函数关系关系图

求导公式uyxzzwxxyyzwxuvyyx★变量x一身兼两职即★两者的区别zwxxyyyzw

xuv

y

x把复合函数中的y看作不变,而对x的偏导数若将定理条件：3°

如:可复合为偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.解(方法1)1.中间变量均为多元函数的复合函数求导

例1(方法2)(对x求偏导数时，暂视y

为常数)例2解uwvyxz若使用记号:则上述结果可表示为:uwvyxz2.中间变量均为一元函数的复合函数求导

例3解xuv推广:当中间变量多于两个时，例如:假设下面所涉及到的函数都可微.3.中间变量只有一个的复合函数求导

例4解zuxy4.中间变量既有一元函数，又有多元函数的复合函数求导解(方法1)uzxxyy例5(方法2)uvxyzxy注

对具体函数，用方法2较简单.例6解vwxxyuxvwxxyuxfwxxy解例7zuvxyxuvxyxuvxyxuvxyxuvxyx二、一阶全微分形式不变性当u,v是自变量时，有当u,v是中间变量时，若均有连续的偏导数，则dz无论

u,v是自变量还是中间变量,函数的一阶全微分表达形式都一样,均为——一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性的实质:例5(方法3)解例8内容小结1.复合函数求导的链式法则“连线相乘,分线相加,单路全导,叉路偏导”例如,2.一阶全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,思考题解1.设2.

设其中f可微,求u的一阶偏导数.解3.设解4.解5.已知求解

由两边对

x

求导,得备用题解(方法1)例1-1uzv画出关系写出公式求出各偏导数将x，y代入利用多元复合函数的求导法则:(方法2)xy例1-2解引入记号例1-3

设

f

具有二阶连续偏导数,求解

令则例3-1解12yxxx例3-2

设

求全导数解例4-1证zuyxzuyx设方程确定u

是x,y

的函数,连续,且求解例4-2例4-3解例5-1解例6-1解uzxxytxzfgh例6-2解21yx例6-3求在点处可微,且设函数解

由题设(2001考研)例7-1解uzvxy例7-2解z,u,v,x,y的关系为化简得这是一个二阶双曲型偏微分方程的标准形式.可得(当在二、三象限时,

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