重庆市2023-2024学年高一年级下册3月月考数学试题（含答案解析）

重庆市鲁能巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期3月月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1•已知向量0=(3,2),Z?=(l,—1),则(a+/?)•/?=()

A.-3B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.

【详解】由向量。=(3,2),I)—(1,-1),可得力+「=(4,1),又Z?=(l,-1),

所以=4xl+lx(—1)=3.

故选：D

2.在aABC中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,若层-则角5为()

A.二B.&C.亚D.名

6363

【答案】B

【分析】由余弦定理求出cosB即可求解出结果.

【详解】在ASC中，由余弦定理得：

b2=a2+c2-2accosB,

又b2=a2-ac+c2,

所以2cos3=1,即cosB='，又BRO,九)，

2

jr

所以B=j

故选：B.

->f

3.己知平面向量：工满足=3,若a+b=5,则：与了的夹角为()

A.0B.-C.—D."

23

【答案】A

->->

【分析】两边平方转化=5,根据数量积运算，即可求得结果.

【详解】由=5,得(4+8)=25,

即+2〃包+|/?|=25,即可得

a-b6

设。与b的夹角为，，则丽===

又因为夕€[0,回，所以。=0.

故选：A.

【点睛】本题考查向量夹角的计算，涉及数量积的运算，属基础题.

4.已知向量〃=(2,4),6=(41),则“2=0”是“°//6”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

由a//b可求出几=±四，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.

【详解】若°//6，则2xl_/e=o,解得:2=+V2.

所以;1=而a//b推不出;1=＞/L

故“2=0”是“alib”的充分而不必要条件

故选：A.

5.在ABC所在平面内，。是延长线上一点且皮＞=4CD,E是AB的中点，设

AC=b，则()

14B.九+4

A.-a+—bZ

5544

「54D-

C.——a+—bZ

6364

【答案】C

【分析】

根据给定条件，借助向量的线性运算用钙、AC表示即可判断作答.

【详解】

4

在，ABC所在平面内，。在8C延长线上，且班＞=4C。，则=又E是48的

中点，

14141454

所以即=EB+8O=—AB+—BC=-AB+—（AC-AB）=—a+—3-。）=——a+-b.

23232363

故选：c

cbA

6.在，ABC中，内角AB,C的对边分别为d"c,若+8$2彳=1,则ABC的形状

2c2

为（）

A.等边三角形B.等腰三角形

试卷第2页，共16页

C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】C

【分析】运用同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦公式和余弦定理，以及勾股定理

的逆定理，即可得解三角形的形状.

【详解】解：在ABC中，内角A,B,C的对边分别为b,c,

i-f-tc-boA.—r/口c—b.2A1—cosA击好十s—r/口c—b<,

因为^Fcos—=1,可用~~=sin—=-,整理可行---=1—cosA,

2c22c22c

由余弦定理可得T=i-"+\一"）

整理可得62+4=°2,

则NC为直角，

即有ABC为直角三角形.

故选：C.

7.已知平行四边形8居4为中，£8=2&A,F}F2=A.FXA,且瑞4=旭8/，则2=

（）

A.石B.2C.乖D.77

【答案】D

【分析】

利用数量积的运算律求得A31F2B,结合已知利用勾股定理列式求解即可.

【详解】

设乙8=x,贝l|G3=2x,F}F2=AX,因为瑞4"8=怛8『

所以（gA—鸟2）,乙3=0，所以BA.与3=0,故43，区2,故8A=

由勾股定理知（孚］+/=（§］，解得力=近.

故选：D

8.在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的外接圆半径为R,

若ABC的面积S=5R2sin3sinC,则的取值范围为（）

5c

35

B.l，+8C.

53

【答案】A

【分析】

43

利用正弦定理及三角形面积公式求得sinA=《，进而求得cosA=g,再利用正弦定理及

b43

两角和正弦公式化简得/=再利用正切函数性质结合锐角三角形的性质

c5tanC5

求解范围即可.

【详解】由正弦定理得sinB=3，sinC=三，所以S=ER2sinBsinC=3bc,

27?27?55

1174

又三角形面积公式S=50csinA,可知/sinA=M，所以sinA=《,

jr3

Xo<A<-,所以cosA=—,

由正弦定理得”2=包10=sin[无一(A+C)]=sin(4+C)

csinCsinCsinC

sinAcosC+cosAsinCsinA.43

=-----------FcosA=--------------1-—,

sinCtanC5tanC5

锐角MC中，WO<兀--A<C<兀^,因为正切函数y=tanx在上单调递增,

22

3

cosA_5_3

所以tanC>tan—彳—，从而

~si~n~Ar4T4

5

343435

-<t=--------+-<——-+-=-

55tanC53^53.

4

故选：A

二、多选题

9.下列结论正确的是（）

A.一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底

B.互为相反向量的两个向量的模相等

C.方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大

D.向量G与6共线o存在不全为零的实数4,4,使

【答案】BD

【分析】

根据基底的定义即可判断A；根据相反向量的定义即可判断B；根据向量的定义即可判

断C；根据共线向量的定义即可判断D.

试卷第4页，共16页

【详解】对于A,由平面基底的概念可知，

只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误；

对于B,方向相反模模相等的两个向量为相反向量，故B正确；

对于C,向量不能比较大小，故C错误；

对于D,向量d与6共线。存在不全为零的实数4，2，使44+46=0,故D正确.

故选：BD.

10.对于ABC,有如下命题，其中正确的有（）

A.若4>6,贝！JsinA>sin3

B.若sin2A=sin23,则，ABC是等腰三角形

C.若sin?A+sin?2?+cos2c<1,贝！1ABC为钝角三角形

D.若AB=6,AC=1,3=30。，贝|ABC的面积为走或如

42

【答案】ACD

【分析】

对于A：利用正弦定理分析判断；对于B：根据正弦函数结合角的范围分析判断；对于

C：利用正、余弦定理边角转化分析判断；对于D：利用余弦定理结合面积公式运算求

解.

【详解】设角AB,C所对的边为仇c,

对于选项A：若2>6,贝！由正弦定理可得sinA>sin_B,故A正确；

对于选项B：若sin2A=sin25,

因为A5w（0,兀）,A+5v兀，贝Ij2A,2B€（0,2TI）,2A+2B<2TI,

TT

可得2A=2B或24+23=兀，则A=B或4+2=不，

2

可知ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于选项C：若sin?A+sin?B+cos2c<1,BOsin2A+sin2B<sin2C,

由正弦定理可得/+〃<c2,SPa2+b2-c2<0,

则cosC=""一广<0,且Ce（O,7i）,

lab

可知角C钝角，可知ABC为钝角三角形，故C正确；

对于选项D：因为c=g,b=l,3=30。，

由余弦定理可得：/=〃2+。2_2QCCOS3,即1=4+3_3〃，解得a=l或。=2,

所以ABC的面积为工碇5m5='^或！〃麽1115='^,故D正确；

2422

故选：ACD.

11.点。在ASC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若阳。4+|阂08+网℃=0,则点。是ASC的重心

ACAB)(BCBA、

B.若04=OB-=0,则点。是ABC的内心

|AC|\AB\)

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,则点。是的外心

D.若。为三角形ABC外心，且25O=BA+BC，则B为ABC的垂心

【答案】BCD

【分析】

根据题意构造菱形，再证明在角平分线上即可判断A,构造等腰三角形，可证得

垂直底边，故可得Q4是角平分线，即可判断B,由三角形中线的向量表示化简可得。在

三角形边的中垂线上即可判断C,利用向量运算得。为AC中点，结合题意得NB=90

即可求解判断D.

【详解】对于A,在AB,AC上分别取点。，E,使得4。=丝,人石=丝，

cb

则|AO|=|AE|=1,以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图，

A

/A\K袂/

/VX.

//

，ini--

H

则四边形AOEE是菱形，且4尸=4£>+4£=丝+生，所以,平分/BAC,

cb

因为++=0即aOA+bOB+cOC=0,

所以a.0A+6-（0A+A3）+o（0A+AC）=0,（a+b+c）OA+bAB+cAC=0,

ll…％八b…c…be（ABAC）be…

以AO-----------ABH------------AC--------------------1------=-------------AF,

a+b+ca+b+c〃+Z?+c（cbJa+b+c

所以A,O,歹三点共线，即。在/&LC的平分线上，

同理可得。在其它两角的平分线上，所以。为ASC的内心，错误；

试卷第6页，共16页

对于B,在AB,AC上分别取点，E,使得AE=/J,A£>=*-,如图,

|AC|IAB|

()

ArAR

贝|J|AZ)|=|AE|=1,且----------=DE,

\AC\\AB\

因为。4,।r-11-=0,即。4J_£)E，又|AD|=|AE|=1知，AO平分/BAC,

UACIlABU

同理，可得80平分/ABC,故。为JLBC的内心，正确；

对于C,取AB,8C的中点分别为M,N,如图，

A

M/\

N

因为(OA+OB)AB=(OB+OCABd=0,所以2OM.AB=2ON.BC=0，

即。M，AB,0N，3C,所以。是.ABC的外心，正确；

对于D,因为280=8A+8C，所以。4=-0C，即。为AC中点，又。为三角形4BC外

心，

所以N3=90,则B为ABC的垂心，正确.

故选：BCD

12.如图所示，在二ABC中,3C=4,且M点为BC边的中点，则下列结论正确的有()

A.设G是AM的中点，贝！!GA+G8+GC=0

仆sinZBAMAC

B.--------------=-----

sinNG4MAB

C.若NBAC=g,则AM的最小值为2卫

D.若N54M=F，则AC边的最小值为26-2

6

【答案】BD

【分析】

利用向量线性运算判断A,两次正弦定理代换求解判断B,利用余弦定理及基本不等式

得6cV16,然后通过向量运算得AM=^^即可求解范围判断C,通过正弦定理求得

ABM的外接圆圆。的半径，然后利用点与圆的位置关系求解最值判断D.

【详解】

对于A,因为M点为BC边的中点，所以2AM=AB+AC，又G是AM的中点，

所以+—C」G3+^GC」GA,

244442

所以G2+GC+2G4=0，错误；

42_BM

对于B,分别在_ABM和AACM中由正弦定理可得＜sin%1M,

、sinZAMCsinZCAM

BM=CM=2ABsin/CAM

因为贝nUl-二---------正确;

ZAMB+ZAMC=TIACsinZBAM

对于C,在ABC中，由余弦定理可得〃+H—儿=16,

所以）2+。2=bc+16Z2bc,则6cW16,当且仅当Z?=c=4时取等，

b1+c2+2Z?ccosA

4

b1+C1+bc

4

当且仅当匕=c=4时取等，故AM最大值为2出，错误;

对于D,在一中，由正弦定理可得sm火一一，

Sin6

故_ABM的外接圆圆。的半径为R=2,则点A在优弧BM上运动,

则AC的最小值为oc一R=yjoN2+CN2-R=22,正确.

试卷第8页，共16页

A

o

故选：BD

三、填空题

13.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a:6:c=3:5:7,贝l|cos3=.

【答案】I?

【分析】利用余弦定理的推论即可求解.

【详解】由a:〃：c=3:5:7知，不妨令a=31,则力=5%,c=lt,

由余弦定理的推论得COSB=a2+c*=⑶『+(7厅一⑸)?=11.

2ac2x3(x7/14

故答案为:曹.

14

JT

14.已知平面向量。与b的夹角为若1。1=1,b=(l,2),则。在6上的投影向量的坐

标为.

【答案】［W'TJ

【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.

【详解】向量a在向量b上的投影向量是同＜os，•条=1；4=4(1,2)=络,

J\b\z7、1UI3J

15.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.

小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端。的仰角为30。，他又

沿着泉标底部方向前进34.2米，到达2点，又测得泉标顶端。的仰角为50°,则小明

同学求出泉标的高度约为米.

(参考数据：sin20°»0.342,sin50°«0.766,sin80°«0.985)

【答案】38.3

【分析】设CD=/z,则AD=2/z,在△AB。中利用正弦定理求解即可.

CD

【详解】设CD=h,在一ACD中，ZCAD=30，则AD==2h,

sm30

sinZADBABsin(50_30)_342_sin20

在△回£）中，由正弦定理得

sinZABD~ADsin(180-50)2hsin50

结合sin20。70.342,sin50°«0.766,解得/z=38.3.所以泉标的高度约为38.3米.

故答案为：38.3

7T

16.已知平面四边形ABCD满足/CB4=/CAD=i，且AC=AD=1,则的最

大值为.

【答案］三电

2

【分析】

方法I：设/5AC=cr,将os用43表示，DC用D4,AC表示，再根据数量积的运

算律结合三角函数的性质即可得解；方法2：以B为坐标原点建系，设/&4C=c,利

用向量数量积的坐标公式结合三角函数的性质即可得解.

【详解】

方法1：设/54C=c,

-2

DBDC=(DA+AB)(DA+AC)=DA+DAAC+ABDA+ABAC

=1+0+AB|-|£)A-COS—a+AB|-|AC-cosa=\+cosa-sina+cos2a

3+0sin12a+：

<3+6，

—22

试卷第10页，共16页

当且仅当a=J时取等号，

O

所以08.OC的最大值为为“0.

2

方法2：以8为坐标原点建系，设NBAC=a,

则A(coscr,0),C(0,sina),D(cosa+sina,cosa),

故DB-DC=(-cosa—sina,-cosa)­(-cosa-sina,sina-cosa)

3+0sin12a+：

<3+^2,

=(cosa+sina)2-cosa(sina-cosa)=

22

当且仅当a=J时取等号,

o

所以。8•OC的最大值为为“应.

2

故答案为：归史.

四、解答题

17.已知向量。=(一2,3),a+b=(2,5).

⑴求|b|以及向量。与方的夹角的余弦值；

⑵己知。与。+用的夹角为锐角，求4的取值范围.

【答案】(1)161=26；-婪；

65

(2)(-%0)

【分析】

(1)根据向量夹角公式计算求解即可；

(2)夹角为锐角时数量积为正，同时注意排除夹角为0的情况即可.

【详解】(1)

由a=(-2,3),a+b=(2,5)，

=a+b—a=(4,2),

则|6|=116+4=2百；

a-b—8+6辰

COS(4,〃

\a\\b\713x2^/5~65

(2)

a+2Z?=(-2,3)+A(4,2)=(42-2,22+3),

由d与a+例的夹角为锐角，

则a-(a+助)=-2(4X-2)+3(2；l+3)=-8/l+4+6X+9=-24+13>0,

13

解得;

当alia+用时,有-2(22+3)-3(42—2)—0,有豆=。.

此时0+力?=(一2,3).

所以4的取值范围为彳<?且XwO.

18.在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为a",c,已知3=45。，匕=2收，a=2jL

⑴求角A；

⑵若-ABC是钝角三角形，。在线段BC上且AD平分/BAC,求CD.

【答案】(1)60。或120。；

⑵6-2君

【分析】

(1)利用正弦定理计算可得；

(2)首先求出C,由两角差的正弦公式求出sinC,再由正弦定理求出：，由角平分线

b

的性质得到警=W，即可求出co.

ABBD

【详解】(1)在ABC中由正弦定理二二=二，即2叵=必且，

sinAsinBsinAsin45°

解得sinA=，

2

又0°<A<135°,所以A=60°或A=120。；

(2)因为ABC是钝角三角形，所以/&4C=120。，

所以C=180°-120°-45°=15°,

试卷第12页，共16页

所以sinC=sin15°=sin（45°一30°）

=sin45°cos300-cos45°sin30°

V2V3A/21A/6-72

=-------X--------------------X—=-------------------

22224

在.ABC中由正弦定理—一=一%,所以，=空［=---条—=¥-1,

sinCsmBbsinB7222

又AO平分/B4C,贝ljNC4D=4W,

-AC-ADsinZCAD

所以乎ACCD

=2________________

AB-BD

3ADB-AB-ADsinZBAD

2

BDc431

而一厂

又CD+BD=2^,所以CO+CO=2若

解得CO=6-2jL

19.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知Z?cosC+ccos_B=3acos3,

b=40.

⑴求cos8：

⑵若-ABC的面积为40，求ABC的周长.

【答案】⑴g;

⑵8+40

【分析】

(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解；

(2)利用三角形的面积公式可求得碇，利用余弦定理可得出a+c的值，即可得解.

【详解】(1)

dbc

由----=-----=-----=2R有2HsinBcosC+27?sinCcosB=67?sinAcosB,

sinAsinBsinC

有sinBcosC+sinCeosB=3sinAcosB,

可得sin(5+C)=3sinAcos5,即sinA=3sinAcosB,

AG(0,TT),/.sinA>0,则cosB=；；

(2)cos5=；,/.sinB=Vb-嬴9层考

则S/^ABC=g〃csin5==4虚，可得ac=12,

2

由余弦定理/=Q?+<?2—2accosB,有32=(〃+-2〃c-,{a+c)2=64,

可得〃+c=8,贝lj的周长为8+4加.

20.在/IBC中，AB=2,AC=272,AE=EC，2BD=DC，AT)和BE交于点M.

⑴设AM=九4。，求4;

(2)求

3

【答案】⑴"

⑵-！O

12

【分析】(I)利用平面向量的线性运算得AD=§AC+]AB,再由昆石三点共线列

式计算即可;

(2)用A3,AC表示MD,旌，根据平面向量数量积的运算律求解即可.

【详解】⑴因为25£)=OC，所以2(AO—A3)=AC—AD,所以AD=；AC+*3,

12

所以AM=24〃=TAC+1/U8,又点〃在BE上，则8M=/的,

所以=,所以AAf=.AE+(l_f)AB=：fAC+(l_r)AB,

」一

2=-

2:,故

由平面向量基本定理得3,解得<

4

-2=l-r

[32

12

(2)由(1)知AO=—AC+—A3,AM=-AC+-AB,AE^-AC,

33422

所以MO=—=-AC+-AB,ME=AE-AM=-AC--AB,

12642

1112I2I1

所以=—AC+-AB|-|-AC--AB=—AC——AB=—x8——x4=--

12642481248126

21.如图，在一ABC中，ZBAC=60P,BC=2,BM=；BC,AN=AAB，彳€(。,1).

试卷第14页，共16页

A

(i)若求|MN|的最大值.

⑵若AB-AC<32+1，^\MN^-NA-NB的最大值.

【答案】⑴子；

【分析】(1)利用正弦定理结合正弦函数的的性质求解即可;

(2)由题干及数量积的定义知历4