《高等数学下册 第3版》-刘金林 第9章（多元微分）习题解答

PAGE46-习题解答习题9.11．画出下列平面点集D的图形，指出它们的边界，说明它们是开区域还是闭区域，有界还是无界．（1）D：；解D的图形略．D的边界为．D为闭区域且为无界区域．（2）D：；解D的图形略．D的边界为．D为闭区域且为有界区域．（3）D：；解D的图形略．D的边界为．D既不是闭区域也不是开区域，但D为有界区域．（4）D：．解D的图形略．D的边界为．D为开区域，且为有界区域．2．用不等式组表示下列曲线围成的闭区域D：（1）D由围成；解D：．（2）D由围成．解D：．3．求下列各函数的定义域：（1）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（2）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（3）（）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（4）．解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为4．设，求、及．解由得，．．5．设，求．解设，则，，所以，从而．6．求下列函数极限：（1）；解由连续性，原式＝＝．（2）；解由连续性，原式＝＝．（3）；解令xy=t,则原式＝＝＝（4）；解令x2+y2=t,则原式＝＝（5）；解原式＝＝＝＝．（6）．解原式==(令x2+y2=t)=．7．证明下列极限不存在：（1）；证明因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在．（2）．证明因为当沿直线趋于时，，当沿直线趋于时，，由于，所以极限不存在．8．指出下列函数在何处间断：（1）；解函数在处间断．（2）．解函数在上每一个点处间断．习题9.21．求下列函数的偏导数：（1）；解，；（2）；解，；（3）；解，.（4）；解（5）；解，；（6）；解，；（7）；解，，；（8）．解，，．2．计算下列各题：（1）设，求和；解＝，＝，将点（1，2）代入上面结果，得，．（2）设，求；解取对数得,上式两边对y求导得，所以，将点（1，1）代入上面结果，得．（3）设，求；解∵，∴＝．（4）设，求及．解，，∴．．3．设，证明：．证明：，，．4．设，其中可导，证明：．证明即．5．曲线在点（，1，）处的切线对轴的倾角是多少？解设该切线与轴的倾角为，∴由偏导数的几何意义得，从而．6．证明：函数在点（0，0）处连续，但及不存在．证明∵∴在点（0，0）处连续．又=不存在，=不存在．7．求下列函数的二阶偏导数，，．（1）；解，∴，，；（2）；解，，，，．（3）；解，，∴，，；（4）．解，，∴，，．8．设，求，，．解，，，从而，，．9．设，试证：．证明：，，，由对称性得，，∴．原式得证．习题9.31．求下列函数的全微分：（1）；解，∴（2）；解，∴（3）（）；解，∴．（4）；解，∴；（5）；解，，∴；（6）．解，，，∴．2．计算下列函数在给定点处的全微分（1），；解，，∴（2），．解，，=+.3．求函数当的全增量和全微分．解，，全增量．4．设可导，求下列函数的全微分：（1）；解令，则，，∴．（2）．解令，则，∴．5．计算下列近似值：（1）；解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．6．设有边长为m与m的矩形，当边增加5cm而边减少10cm，求此矩形对角线增量的近似值．解设矩形对角线长为z，则有．把，，代入，得．即此矩形对角线增量的近似值约为-5cm．7．有一用水泥砌成的无盖长方体水池，它的外形长5m、宽4m、高3m，又它的四壁及底的厚度均为20cm，求所用水泥的近似值．解设长方体水池长、宽、高分别为x,y,z米，水池的体积．把，，代入，得．即所用水泥的近似值为14.8m3．8．利用函数证明：商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和．证明将，，的相对误差为．即商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和．习题9.41．设，而，求全导数．解．2．设，而，求全导数．解．3．设，而，求全导数．解．4．设，而，求和．解；．5．设，而，求和．解；．6．设，求和．解令则，；．7．设，其中及可导，求．解令，则，，，∴．8．求下列函数的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数：（1）；解，．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．设，其中为可导函数，证明：．证明令，则，，所以．10．设，其中具有二阶导数，求，，．解令，则，所以，，．11．求下列函数的，，（其中具有二阶连续偏导数）：（1）；解由得，所以，，（2）．解由得，，所以，，．12．设函数具有二阶连续偏导数，在极坐标变换，下，证明二维拉普拉斯式：．证明由得,所以，将上述的表达式代入，得=．证毕．13．设，具有二阶连续偏导数，求．解由得，所以习题9.51．设由方程确定，求．解令，即，，所以，2．设由方程确定，求及．解令，则，所以，将x=0代入原方程得y=1.从而，∴．3．求下列方程所确定的隐函数的偏导数和：（1）；解令，则，，，所以，.（2）．解令，即,，，，所以，.4．设所确定的函数为，求．解令，则，，，所以，，所以．5．设函数由方程确定，求全微分．解令，则，，，所以，，因此．6．设是由方程所确定的函数，其中具有连续导数，证明：．解记，令，则，，，所以．7．设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．证明令，则，，，所以．8．设函数由方程确定，求、．解令，则，，，所以，,注意到z是x、y的函数，将再对x求偏导，得.注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得9．设函数由方程确定，求．解解令，则，，，所以，,将x=0,y=0代入得z=2，点（0，0，2）处，注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得,将x=0,y=0，z=2及代入得．10．设下列方程组确定了函数，，求和：（1）；解方程组的两端对求偏导，得当时，解得，；（2）．解在方程组中，等式两边取微分得，当时，解得，，所以，．11．设二元隐函数，由方程组确定，求，，和．解方程组两端分别对求偏导，得，当时，解得，，；方程组的两端分别对求偏导，得，当时，解得，．12．设，而，由方程组确定，求及．解方程组中各等式两端分别求全微分，得，当时，从上式中解出和，得，从而，，，．∴＝，＝．习题9.61．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程（1）曲线，点；解因为点对应参数，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．（2）曲线，对应于的点；解参数对应曲线上的切点为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．（3）曲线，点；解因为曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，所以，曲线在点处的切向量为．故所求切线方程为；法平面方程为，即；（4）曲线，点．解因为曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，所以，曲线在点处的切向量为．故所求切线方程为；法平面方程为，即．2．求曲线上的点，使该点的切线平行于平面．解设所求的切点为P，该点对应的参数为，则，，，故点P处切线的方向向量为，平面的法向量为，由切线平行于平面得T；即，故所求的切点为．3．求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程：（1），点；解（1）令，则，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．（2），点．解令，得，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．4．求曲面在点处的指向朝上的法向量的方向余弦．解令，得，故曲面在点处的指向朝上的法向量为方向余弦：，，．5．在曲面上求一点，使该点的切平面平行于平面．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量为，由题意得，解上述方程组得，，，因此所求点为．6．求曲面上同时垂直于平面与的切平面方程．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量为，又同时垂直于两已知平面的法向量为n1=(1,1,0)×（1，0，0）=（1，-1，0）由题意得，解上述方程组得，因此所求切平面为，即，亦即．7．证明：曲面在任一点处的切平面都平行于直线，其中F具有连续的偏导数．解令，任一点为P0，则，点P0处切平面的法向量为，∵∴该曲面任一点处的切平面都平行于已知直线．8．证明：曲面上任一点处切平面与三个坐标面围成的立体的体积为一定值．证由题意知，令，则点处切平面的法向量为，所求切平面为，即，此平面在三条坐标轴上的截距分别为体积习题9.71．求函数在点处的梯度．解；．．2．求函数在点处的梯度，并问该函数在哪一点处函数的梯度为．解点处．令＝0得，所求点为．3．设的各个偏导数存在且连续，为常数，证明：（1）；证明∵∴，证毕．（2）．证明∵∴，证毕．4．求函数在点处沿与轴正向成角的方向的方向导数．解的方向余弦为，．且，，所以．5．求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数．解的方向余弦为，．且，，所以．6．求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数．解两边对x求导得，点（3，4）处内法线方向的方向余弦为，．且，，所以．7．设函数，（1）求函数在点处沿函数在该点的梯度方向的方向导数；（2）问函数在点处沿什么方向的方向导数为最小？方向导数的最小值为多少？解（1）点(1,0)处＝,所求方向导数＝|gradz｜=.(2)沿方向的方向导数为最小,方向导数的最小值为．8．求在点A（1，1，2）处，沿从点A到点B（2，，1）的方向的方向导数．解，其方向余弦为，，．又点A（1，1，2）处，，，所以．9．求函数在点A（1，1，2）处，沿曲线在点A处的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数．解点A（对应t=1）处，其方向余弦为，，．又点A（1，1，2）处，，，所以．10．设为球面上点A处指向朝上的法向量，求在点A处沿的方向导数．解,令，则球面在点A处的法向量可取为，其方向余弦为，，．由于的指向向上，是锐角，，故应取，，．又点A处因为，所以．11．设，（1）求函数在点处沿梯度方向的方向导数；（2）问函数在点处沿什么方向的方向导数为最大？方向导数的最大值为多少？解（1）点处，所求方向导数为（2）沿方向的方向导数为最大，方向导数的最大值为．习题9.81．设函数在点的某个邻域内连续，且，试判断是否为函数的极值，为什么？解不是．由极限保号性，在（0，0）附近有>0,从而，由此不能推出或．2．求函数的驻点．解解方程组得驻点为（1，1），（0，0）．3．设函数由方程所确定，求的驻点．解令，则，．解方程组得驻点为（1，1）．4．求下列函数的极值：（1）；解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极小值．（2）；解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值；．在点处，，，，因为，不是极值．（3）；解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，函数极大值．在点处，，，，，不是极值．（4）（）；解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，极小值．（5）（）．解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点极大值．5．求函数在闭区域D：，，上的最大值与最小值．解先解方程组得函数在D内的驻点为，函数值．在闭区域D的边界及）上，函数．在闭区域D的边界（）上，函数令，得，．．最大值为M=，最小值．6．有一宽为24厘米的长方形铁板，把它两边折起来做成断面为等腰梯形的水槽，问怎样的折法才能使断面的面积最大？解设折起来的边长为xcm,倾角为，则断面的面积为，即（）令解得，根据题意可知，两边折起8厘米，边的倾斜角为时面积最大．7．在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小．解设所求点为,距离平方之和为，则，即，令得，由实际意义知，所求点为．8．用拉格朗日乘数法求下列条件极值的可能极值点：（1）目标函数，约束条件；解作拉格朗日函数，令，解之得：∴可能极值点为．（2）目标函数，约束条件，．解作拉格朗日函数，令，解之得：∴可能极值点为．9．求内接于半径为的球且体积最大的圆柱体的高．解设圆柱体的高为h,半径为r,则，圆柱体的体积．令，令，解之得：∴根据题意可知，所求圆柱体的高为．10．某厂要造一个无盖的长方体水箱，已知它的底部造价为每平方米18元，侧面造价均为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选择它的尺寸，才能使水箱容积最大？解设长方体的长、宽、高分别为米，体积为米3，则．问题归结为求在条件下的极值．作拉格朗日函数，令，解之得：．由题意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一驻点取得，即当长、宽、高分别取2m、2m、3m时，长方体的体积最大．11．在曲线，上求一点，使该点到面的距离最短．解作拉格朗日函数，令，解之得：∴所求点为*12．在某次实验中测得五组数据如下表所示01240.511.523试用最小二乘法建立与之间的经验公式．解经验公式为，本题，，，，，，，所以和之间的经验公式为*13．根据实验测得变量和的组数据为（），假定与之间的经验公式为，试用最小二乘法求所满足的方程组．解对于，令，则得线性型经验公式为；记．由二元函数极值的必要条件得，整理得方程组．*习题9.91．求在点处的一阶和二阶泰勒公式．解因为，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函数的一阶泰勒公式为，其中函数的二阶泰勒公式为其中2．求在点的二阶泰勒公式．解因为，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函数的二阶泰勒公式为其中．3．利用二阶泰勒公式，近似计算的值．解设，则，，，，，，，，令，，，，则有．即．总习题91.选择题（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴选D.（2）设函数，则①在（0，0）处连续．②在（0，0）处的偏导数存在．③在（0，0）处可微．上述三条结论中正确的是（）．A．①和②B．②和③C．①和③D．①、②和③解因为，所以，从而，在（0，0）处连续．又=，=，不存在，∴在（0，0）处不可微．∴选A.（3）设在点具有偏导数，且和在点都取得极值，则一定是的（）．A．极大值点B．极小值点C．驻点D．连续点解由极限必要条件得，∴选C．（4）函数有，且，则（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴选B.（5）下列结论中正确的是（）．A．若和存在，则B．若和存在，则C．若和存在，则在处不一定连续D．若沿轴正向的方向导数存在，则存在解A错，因为偏导数存在不能推到函数可微！，B错，因为由和存在，不能得到．D错，因为由沿轴正向的方向导数存在，不能得到存在．∴选C．2.填空题（1）设函数，且当时，则．解由时得，所以，∴．（2）曲线上点处的切线方程为．解曲线即为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；（3）设是函数的全微分，则．解由题意由得．（4）设曲面在点处的法线垂直于平面，则．解令，则点处的法向量为，由题意得，解得，，，因此所求点为．（5）设函数，，都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，则．解由利用隐函数求导法得，，．∴（）（）（＝－1.3.设,求．解,∴=．4.设，且可微，求．证令，则有，，因此．5.已知，其中由方程确定，求．解令，则，∴6.设由方程确定，求，．解令，则，，，所以．7.设方程组确定了函数，，求和．解方程组的两端对求偏导，得当时，解得，．8.设，其中具有二阶连续偏导数，求．解，∴9.设具有二阶连续偏导数，，，且，