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文档简介

第三节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程机动目录上页下页返回结束平面及其方程

第八章

三、平面的截距式方程四、特殊的平面方程且垂直于非零一、平面的点法式方程设一平面通过已知点求该平面的方程.向量则有任取①称①式为平面

的点法式方程,从而为平面P的法向量.称n例1.求过三点解:的平面

的方程.机动目录上页下页返回结束取该平面

的法向量为即得平面

的方程二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.平面的一般式方程:注：该平面的法向量为

例2.一平面通过两点且垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:和AB=(-1,0,-2),法向量所求平面即n=(1,1,1)A•法向量在平面上取一点,则P0

到平面的距离为证点),,(0000zyxP到平面ByAx+0=++DCz的距离

定理点),,(0000zyxP,平面ByAx+0=++DCz例3

求点到平面的距离解设则例4

研究以下各组平面的位置关系：解∥故两平面斜交.故两平面平行.∴三、平面的截距式方程此平面过点P(a,0,0),注1Q(0,b,0),R(0,0,c).注2a、b、c称为平面在x、y、z

轴上的截距.例5

求平行于平面6x+y+6z+5=0且与z轴的截距为1的平面方程.设所求平面方程为解即由题设,得于是所求平面:1四、特殊平面的方程机动目录上页下页返回结束平面1.平行于坐标轴的平面∥z轴的平面nk(C=0):Ax+B

y+D=0C=0同理:By+Cz+D=0Ax+Cz+D=0

∥x轴的平面(A=0):∥y轴的平面(B=0):问：过三条坐标轴的平面方程分别是？

Cz+D=0机动目录上页下页返回结束2.垂直于坐标轴的平面垂直于z轴的平面:垂直于x轴的平面:Ax+D=0垂直于y轴的平面:By+D=0特别地：yoz面:x=0xoy面:z=0xoz面:y=0例6.

求通过x轴和点M(4,–3,–1)的平面方程.解法一设所求平面方程为代入上式,得化简,得所求平面方程法二：nixyzo法向量故所求平面:即因平面通过

x轴,五、两平面的夹角两平面法向量的夹角θ(为锐角)，称为两平面的夹角设则特别地,例7

求平面的夹角.解故两平面夹角为小结一、平面方程2.一般式1.点法式3.截距式二、几种特殊的平面1.垂直于xoy面的平面Ax+B

y+D

=02.垂直于z

轴的平面z=D四、点到平面的距离公式三、平面与平面之间的位置关系平面平面习题P251,2,3,8(1)(3),

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