《高等数学上册 第3版》 课件 D1-1 函数

第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限机动目录上页下页返回结束第一章第一节机动目录上页下页返回结束函数一、数集与邻域二、函数的概念三、函数的表示法四、函数的特性五、初等函数六、双曲函数与反双曲函数机动目录上页下页返回结束一、数集与邻域N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集例如：10对于数集,记──正整数集──非零实数集──正实数集

20由于实数集中的元素（数）与数轴上的点一一对应，故我们也称数为“点”．

1.数集——元素都是数的集合注机动目录上页下页返回结束称为开区间,记作称为闭区间,记作称为半开区间,记作称为半开区间,记作有限区间30

区间是一类特殊的数集．数集数集数集数集机动目录上页下页返回结束无限区间机动目录上页下页返回结束──一类特殊的开区间

2.邻域机动目录上页下页返回结束注机动目录上页下页返回结束定义二、函数的概念1.函数的定义机动目录上页下页返回结束30构成函数的两要素:定义域与对应法则.①自然定义域（由对应法则（解析式）自然产生）；［约定:自然定义域是使解析式有意义的自变量的一切值］②人为定义域（由人为限定）；③实际定义域（由实际意义确定）．40

定义域的分类:注机动目录上页下页返回结束解(1)不同；(2)相同；(3)不同；(4)相同；机动目录上页下页返回结束2.反函数定义注例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)

(满射）机动目录上页下页返回结束X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同X(≠

)Y(数集)机动目录上页下页返回结束

f称为X

上的泛函X(≠

)X

f称为X

上的变换

R

f称为定义在X

上的为函数映射又称为算子.的惯用名称.例如,机动目录上页下页返回结束1.解析法（公式法）20

分段函数──在定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子表示的函数．2.表格法3.图形法注10

显函数与隐函数显函数──因变量由自变量的解析式直接表示出来的函数．隐函数──自变量与因变量的对应关系由一个二元方程来表示的函数．三、函数的表示法机动目录上页下页返回结束(1)符号函数1-1xyo注●几个特殊的分段函数：机动目录上页下页返回结束

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyoy=[x]([x]表示不超过

的最大整数.)(2)取整函数机动目录上页下页返回结束有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数机动目录上页下页返回结束(4)取最值函数yxoyxo机动目录上页下页返回结束1．函数的有界性四、函数的特性定义机动目录上页下页返回结束30函数f(x)在数集上有界函数f(x)在上既有上界又有下界．10在定义域内有界的函数称为有界函数．20有界函数的图形的特征是它被夹在两条水平直线之间机动目录上页下页返回结束2．函数的单调性定义机动目录上页下页返回结束注oxyxyo机动目录上页下页返回结束3．函数的奇偶性定义机动目录上页下页返回结束偶函数xyxo-xyxox-x奇函数注机动目录上页下页返回结束4．函数的周期性10周期函数的周期通常是指其最小正周期.定义注20并非每个周期函数都有最小正周期.机动目录上页下页返回结束①幂函数1．基本初等函数下列五类函数统称为基本初等函数：定义②指数函数③对数函数④三角函数⑤反三角函数五、初等函数机动目录上页下页返回结束注在基本初等函数中，以e

为底的指数函数与对数函数特别重要，分别称为基本指数函数与自然对数函数．2．复合函数定义机动目录上页下页返回结束注10

并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.2030一个复合函数也可由两个以上的函数复合而成．复合函数的定义域为40

相应于复合函数，把基本初函数以及由常数与基本初等函数经过有限次四则运算所构成的函数称为简单函数．一个基本初等函数的n次幂（即形如的函数）通常视作复合函数．机动目录上页下页返回结束3．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.定义机动目录上页下页返回结束第二节目录上页下页返回结束解解解∴函数的定义域为：奇函数.偶函数.六、双曲函数与反双曲函数1.双曲函数奇函数,有界函数,双曲函数常用公式2.反双曲函数是奇函数,上单调增加．上单调增加．奇函数,上单调增加．▲小结数集区间邻域函数分段函数隐函数有界性单调性奇偶性周期性反函数复合函数基本初等函数初等函数基本概念函数的特性且备用题证明证:

令则由消去得时其中a,b,c