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文档简介
骞函数、指数函数与对数函数专题-2024年高中数学竞赛讲义含答
案
察函数•指数函数与对数函数
知识方法扫描
一、指数函数及其性质
形如夕=ax(a>0,aWl)的函数叫作指数函数,其定义域为R,值域为(0,+8).当0<aVl时,9=靖是
减函数,当a>l时,y=a,为增函数,它的图像恒过定点(0,1).
二、分数指数累
1m__-1m-1
a"—an—A/am,an——,an-—.
三、对数函数及其性质
对数函数V=logQ(a>0,aWl)的定义域为(0,+8),值域为R,图像过定点(1,0).它是指数函数y=
(a>0,aW1)的反函数,所有性质均可由指数函数的性质导出.当0<a<l时,v=log。/为减函数,当a
>1时,9=10gaC为增函数.
四、对数的运算性质(M>0,7V>0)
⑴alog?=M(这是定义);
⑵10goeMV)=log^+loga7V;
(3)loga(各)=logJW-logJV;
n
(4)logaM=nlogaM;
c
(5)logafe=:°g。(a,b,c>0,a,c丰1)(换底公式).
logca
由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论:
l)logW=*og/;2)logU=七.
典型例题剖析
题]已知心是方程2+1g®=10的根,,2是方程,+10'=10的根,求21+,2的值.
til2已知a>0,b>0,log9a=logi2b=logi6(a+b),求2的值.
•M
阿3已知函数/⑸=一H-logi——,试解不等式/(力(力—>、•.
x~rl12—x''2〃2
的4设方程Ig(fcr)=21g(N+1)仅有一个实根,求k的取值范围.
口15解不等式:logi2(,^+>log64T.
•••
如已知l〈aWb<c证明:log/+log6c+logca<log6a+logcfe+logac.
词7设函数/(6)=|lgQ+1)|,实数Q,fe(a<fe)满足/(Q)),/(10a+6b+21)=41g2,求Q、b的
值.
•••
同步训练
一、选择题
题目口已知a、b是方程log3i3+log27(3/)=-a的两个根,则a+b=().
A10BAcMD28
,27,81.81,81
、题目团已知函数/(劣)=---^±)力2+版+6(0,6为常数,1),且/(IglogglOOO)=8,则/(lglg2)的值
是().
A.8B.4C.-4D.-8
题目可如果/(6)=1-log;r2+log^O-log/64,则使/(力)V0的力的取值范围为().
A.0<re<1B.1<TC.T>1D.力
OO
题目@若/3)=炮侬2—2ac+a)的值域为R,则a的取值范围是().
A.0<a<1C.aVO或a>lD.a&O或a>l
二、填空题
题目宜|设/(C)=log3rc—"4—力,则满足/(力)>0的力的取值范围是.
题目回设0<a<l,0<e<£"=(sin。产口叫y=(cos。)"-',则加与y的大小关系为.
题目⑺设/(0=/=+炕詈生,则不等式/伉伉一与)〈《的解集为
2力+51+x\\Z))5-------
SEE设%)=七+七+三,则加)+/(争=
三、题
题目旬已知函数/(’XaNBagXXaWl)的反函数是y=广1(必),而且函数沙=gQ)的图像与函数沙=广1
Q)的图像关于点(a,0)对称.
(1)求函数9=g(,)的解析式;
(2)若函数F3)=尸(,)-g(—0在ce[a+2,a+3]上有意义,求a的取值范围.
题目10]设/(①)—loga(a:—2a)+10go(劣—3a),其中a>0且aW1.若在区间[a+3,a+4]Jzf(x)W1恒成
立,求a的取值范围.
(x+y_12
题目[11解方程组,(其中eyCR*).
酶目[12)已知/(a?)=lg(x+1)--j-log32:.
(1)解方程/Q)=o;
(2)求集合M={n|/(n2-214n-1998)>0,n6Z}的子集个数.
•M
22
题目13]已知Q>0,aW1,试求使得方程log公(力—ak)=loga(a?—a)有解的k的取值范围.
题目叵J已知0.301029<lg2<0.301030,0.477120<lg3<0.477121,求20001979的首位数字.
题目15]已知30+13"=17°,50+7"=1甘,试判断实数a与b的大小关系,并证明之.
题目RT)解不等式108232+33°+5砂+3"+1)<1+log2(,+l).
知识方法扫描
一、指致函蛛其14JB
形如y=a"a>0,a21)的函数叫作指数函数,其定义域为R,值域为(0,+8).当0VaV1时,9=靖是
减函数,当a>l时,y=短为增函数,它的图像恒过定点(0,1).
二、分数指数塞
1m__
an—y/a,an—A/O™,cT"=
三、对数函数及其性质
对数函数V=logQ(a>0,aWl)的定义域为(0,+8),值域为R,图像过定点(1,0).它是指数函数y=a'
(a>0,aW1)的反函数,所有性质均可由指数函数的性质导出.当0<a<l时,v=log。/为减函数,当a
>1时,y=10gaC为增函数.
四、对数的运算性质(M>0,N>0)
⑴alog?=M(这是定义);
(2)loga(MV)=log^+loga7V;
(3)log。(部)=logJW-logJV;
n
(4)logaM=nlogaM;
c
(5)logab=:°g。(a,b,c>0,a,c丰1)(换底公式).
logca
由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论:
1)1吸犷='1。岫2)1。龈=心.
典型例题剖析
网]已知力1是方程力+lgN=10的根,力2是方程⑦+1。|=10的根,求力1+/2的值.
【解法11由题意得-'1,表明◎是函数9=IgC与?/=10—C的交点的横坐标,。2是函数
11U-1U62
y=10”与g=10—力的交点的横坐标.因为g=Igrc与y=10”互为反函数,其图像关于g=力对称,由
g=10―力得匕二1所以安=5,所以为+,尸1。.
y=*
X2
【解法2】构造函数/(力)=力+1g/,由力i+lg力产10知/(0)=10,rc2+10=10即10*2+烟10g=io,则
/(10X2)=10,于是/(g)=/(10*2),又/(力)为(0,+oo)上的增函数,故力产10的,力]+g=10^2+3;2=10.
‘k10’g,两式相减有g+22—10=lO^-lO'2.若X.+X2-10>0,则1()1°——10失
【解法3】由题意得
10—x2—10
>0,得10—Xi>3,矛盾;若力i+g—10V0,则io"i—io*2V0,得[0—力]<①2,矛盾;而当/1+力2=1。时,
满足题意.
【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法,解法2巧妙地利用了函数的单调性,解法3巧妙地利用了反
证法的技巧.
f如2已知a>0,b>0,loga=logib=log(a+b),求(■的值.
9216•••
【解法1】设log9a=logi2fe=logi6(a+b)=k,则a=931=12*,a+b=16。
由于9fcx16fc=故(a+b)a=b2,解得:3负根舍去).
fc
【解法2】设log9a=log12b=logi6(a+b)=阮则a=9、b=12",a+b=16.
互=*(裁,而-此故i+管=臂,即[(f)T-(4)-i=。,
a9fcv379fc9fcLV37Jv37
故右=(4)=片⑤(负根舍去)■
a,3,2
【评注】对数运算和指数运算互为逆运算,有关对数的运算和处理,往往可以转化为指数的运算和处理.
间3已知函数/(劣)=—j—+logi—,试解不等式/(力(力一
【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合.初看不易解决,但可以发现该函数在其定义域内单调递
减,这是本题的解题关键.
【解】易证函数沙=/3)在其定义域(0,2)内是单调减函数.并且/(1)=]■,所以原不等式即为
*---)]____
2
/„_]))>/⑴等价于、1工<1+严或1-严
【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法.
胸4设方程Ig(fcr)=21goe+1)仅有一个实根,求k的取值范围.
【分析】本题要注意函数的定义域.
(kx>0①
【解法1]当且仅当卜+1>0②
[/+(2—k)x+1=0③
时原方程仅有一个实根,对方程③使用求根公式,得力i,g=—2±J/-4k)④
A=fc2—4fc>0=>kV0或k>4.
当z<0时,由方程③,得卜1+电:“二2<0,所以©,g同为负根.
⑶电=1>0,
>
又由方程程④知卜1+1所以原方程有一个解X1.
[g+ivo,
当%=4时,原方程有一个解力二5一1=1.
当%>4时,由方程③,得卜什铀:”2>0,
⑶/2=1>0.
所以冗1,应同为正根,且力1W62,不合题意,舍去.
综上所述可得kvo或k=4为所求.
【解法2】由题意,方程fcr=Q+1)2,也即方程+工+2在满足关于a;的不等式代工八的范围内
x[力+1>0
有唯一实数根,以下分两种情况讨论:
(1)当%>0时,^=土+工+2在rc>0范围内有唯一实数根,则有k=4;
X
(2)当场<0时,k=a;+工+2在一l<a;<0范围内有唯一实数根,则有%<0.
X
综上可得kvo或k=4为所求.•••
【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题.
胸5解不等式:logi2(V^+9)>log64X.
6
【分析】若考虑到去根号,可设/=/(沙>0),原不等式变为logi2(娟+y2)>log644=\og2y,即210gl2g+
log2(?/+1)>log2g,陷入困境.
原不等式即61og(V^+版)>loga;n21oga;+log(1+a;6)i:]
1221212>log®,设力=logS,则logi2®=-j-----—
22[Oga;,/
1
同样陷入困境,下面用整体代换"=log^.
210gl2+1限3'64
【解】设y=log64力,则/=64",代人原不等式,有
1。取2⑻+4")>y,8"+4">12",信『+佶)”>1,
由指数函数的单调性知"=log646Vl,则0VcV64.故原不等式的解集为(0,64).
6已知l〈Q&b<c证明:log/+log6c+logca&logba+logc6+logac.
【证法1】注意到(log/+log6c+logca)-(log6a+log力+logac)
_/Inb.Inc.Ina\_(Ina.Inb.Inc\
IInaInfeInc)<InbIncIna)
(h12bhic+ln2clna+ln2alnb)—(ln2felna+ln2clnb+ln2alnc)
Inalnblnc
(Ina—Inb)(Inb—Inc)(Inc—Ina)
Inalnblnc
【证法2】设log:=/,log(=g,则log:=」一,于是原不等式等价于x+y+—^—+—+xy9
xyxyxy
即+xy2-\-l&g+力+x2y2,即xy(x+g)—(%+y)+(1—♦—)&0,也即(x+y—1—xy)(xy-1)40
也即3—1)(y-1)(xy—1)>。,由lVa&b《c知力>Lg>l,所以(力一1)(9-1)(xy—1)>0,得证.
因为lVa&b&c,所以Inalnblnc>0,(Ina—Inb)(Inb—Inc)(Inc—Ina)>0
所以
(log/+log6c+logca)-(log6a+logcb+logac)<0
即
log/+log&c+logca<logba+logc6+log/。
【评注】若令力=Ina,y=Inb,z—\nc则原不等式等价于:设0求证:
dy+y1z+Wxy2-\-yz2+zx2.
网7设函数/(力)=|lg(a;+1)|,实数Q,b(a<b)满足/(a),/(10a+6b+21)=41g2,求a、b的
值.
【分析】利用已知条件构建关于Q、b的二元方程组进行求解.
【解】因为加)=/(—制),所以
|lg(a+l)|=|lg(~+1)|=|=1g(6+2)|
所以,a+l=b+2或(0+1)(》+2)=1,又因为0<匕,所以。+1£6+2,所以(G+1)(6+2)=1
又由于OVa+lVb+lVb+2,于是OVa+lVlVb+2,所以
(10a+6b+21)+1=10(a+1)+6(b+2)=6(b+2)+>1,•M
从而
/(10a+6b+21)=|lg[6(6+2)+£]|=尬上(&+2)+
又/(10a+66+21)=41g2,所以lg[6(6+2)+告5]=41g2,故6(6+2)+泮5=16.
解得b=—或b=-1(舍去).
把b——巳代故(a+1)(b+2)—1,解得a——
35
所以,a=一卷,b=--
53
同步训练
一、选择题
题目工]已知a、b是方程1083。3+10827(3C)=一六的两个根,则a+b=().
O
AMBAc也
-27-81-81
【答案】。
log33।log3(3ap率即]+黑3,+1+产了=一《
【解析】原方程变形为令l+log3/=力,则
log3(3rc)log327
+《=—4,解得力尸一1,右2=—3.所以1+log3T=-1或1+log3力=-3,方程的两根分别为《和《,所以
339ol
CL-\-b—.故选C.
题目可已知函数/⑵=(J]+~|~%2+b/+6(Q,b为常数,Q>1),且/(IglogglOOO)=8,则/(lglg2)的值
是().
A.8B.4C.-4D.—8
【答案】B.
【解析】由已知可得
/(IglogslOOO)=/(lg^7)=/(Tglg2)=8,
\JJLg//
又
1_ax
1---t--------1_---,---1---_-1---.-——,一]1----,--1--_1-——1-------1----------
xx
2l-a"2l-a2a-l2
令F(i)=/(宏)一6,则有F(一⑼=—FQ).从而有
/(-lglg2)=F(-lglg2)+6=-F(lglg2)+6=8,
即知F(lglg2)=-2,f(lglg2)=F(lglg2)+6=4.
题目WJ如果/(/)=1一log/2+log/9-logd64,则使/(/)V0的力的取值范围为().
A.0<rc<1B.1<a;<C.re>1D.a?>
oo
【答案】A
【解析】显然力>0,且力W1.
Q
/(X)=1-log/2+log9-log64=1-log,2+log^S-log4=log^rc.
23xo
要使/㈤<0.当%>1时,-1-xVI,即IV6v~1~;当ov/VI时,■)〉1,此时无解.
838
由此可得,使得/(力)V0的力的取值范围为1VrcV~|~.应选_B.
O
题目⑷若/Q)=lg("—2a,+a)的值域为R,则a的取值范围是().
A.0<a<1B.OWaWlC.a<0或a>lD.aWO或a'l
【答案】D
【解析】由题目条件可知,(0,+co)Q{y\y—x2—2ax+a},故△=(—2a)2—4a>0,解得a<0或a>1.选D
二、填空题
题目回设f(x)=log3a:—〃4—c,则满足f(x)>0的rc的取值范围是.
【答案】[3,4].
【解析】定义域(0,4].在定义域内人。)单调递增,且/(3)=0.故/(0>0的7的取值范围为[3,4].
「题目回设0VQV1,0V9V£,C=(sin外。口皿,y=((^夕产加我,则力与"的大小关系为.
【答案】/〈沙.
【解析】根据条件知,0Vsin9<cosff<1,0<sin。<tan。VI,因为OVaVl,所以/Q)=logao;为减函
数,所以logaSin。>logatan0>0,于是
1OSaSin
力=(Sin0)"<(sin夕产gatan^v(cos外°g&nJ=y
题目⑶设/㈤=+lg^=^,则不等式/缶伍一4))V4的解集为
2/+51+x\\2〃5
【解析】原不等式即为/,d))v/(o)・
因为/Q)的定义域为(一1,1),且/(2)为减函数.
—1Vx[x—<17
所以<解得立e(上产,o)U怎,1+J).
x(^x—I")>0.
®E3设%)=三+春+三,则加)+/《)=
【答案】3.
1
加⑸+/臼=力+--------1-----1-----------i-]+仆。+]+8-颐
1+431+831+2一颐
三、解答题
、题目⑥已知函数/㈤=ax+3a(a>0,a/1)的反函数是9=厂】(力,而且函数夕=g(0的图像与函数9=广^
(①)的图像关于点(a,0)对称.
(1)求函数g=g(劣)的解析式;
(2)若函数F(力)=广1(N)一g(—力)在力G[a+2,a+3]上有意义,求a的取值范围.
【解析】(1)由f⑸=Q,+3Q(Q>0,QW1),得广iQ)=loga(rc—3a).又函数9=g(x)的图像与函数y=广,
S.
11
(x)的图像关于点(Q,0)对称,则g(a+x)=—f~(a—力),于是,g(比)=—f~(2a—x)=~loga(—a;—a),(x<
—a).
(2)由⑴的结论,有F(x)二尸(劣)—g(—力)=log。(力一3a)+loga(T—a).要使F(x)有意义,必须满足
(X—3a>0,
又a>0,故力>3Q.由题设F(/)在力G[a+2,a+3]上有意义,所以G+2>3Q,即QV1.
[x—a>0.
于是,0VQV1.
[题目101设/(力)=log。(力一2a)+log。(力一3a),其中a>0且QW1.若在区间[a+3,a+4]上/(力)<1恒成
立,求Q的取值范围.
【解析】/(力)=logaQ2-5a/+6a2)=log](/-号丫-号).
由(0、八得力>3。,由题意知a+3>3Q,故aV~~,从而(Q+3)—黑~=—^-(2—a)>0,故函数
一Ja>U,222
g{x)=(劣一31)?一手在区间[a+3,a+4]上单调递增.
若0VaVl,则/(/)在区间[a+3,a+4]上单调递减,所以/(n)在区间[a+3,a+4]上的最大值为/(Q+
2
3)=loga(2a—9a+9).
在区间[a+3,a+4]上不等式/(力)<1恒成立,等价于不等式logloga(2Q2_9a+9)41恒成立,从而2金
—9Q+9>Q,解得a>,+心或Q<^~.结合OVaVl,得OVaVl.
若1VaV9,则/(力)在区间[a+3,a+4]上单调递增,所以/(劣)在区间[a+3,a+4],上的最大值为于(a
2
+4)=loga(2a—12a.+16).
在区间[Q+3,Q+4]上不等式/(力)<1恒成立,等价于不等式1080(2滔一12。+16)<1恒成立,从而2a2
—12a+16Va,即2a2—13a+16V0,解得"[依<a<♦]VH.易知翼>等,所以不符合.
综上所述,a的取值范围为(0,1).
x+y_12
{:,(其中2,9eR*).
【解析】两边取对数,则原方程组可化为
1(c+y)lgrr=121gv①
l(x-+y)lgy=31gf②
把式①代入式②,得(①+y)2lgx=361gc,所以[Q+y)2—36]lga;=0.
由Igrr=0,得*=1;代入式①,得y—1.
由(c+y)2—36=0(^x,y6R*)得c+夕=6.
代入式①得Ige=21gy,即c=/,所以始+9一6=0.又9>0,所以9=2,必=4.所以方程组的解为
如=1[X2=4
[yi=1"纺=2-
[题目|12]已知f(x)=lg(a;+1)-ylog3a:.
(1)解方程/3)=o;
(2)求集合{n|f(n2-214n-1998)>0,n£Z}的子集个数.
【解析】⑴任取0<◎<电,则
f3)一/(,2)=1goi+1)-lg(g+l)-/(log32l—log322)
为+111161+1
=lg--ylog3^=lg-101g9一61,
22+1力2+162
因为&±;>色,所以lg21^>lg包.故
力2+I62T2+lX2
1Xi_
g+1力1的g五
/(g)一/但)=也-log9->lg------
62+IX2X2lg9
因为0<lg9<l,哈<0,所以/⑹―/(电)〉喊一噫=0,
fix)为(0,+co)上的减函数,注意到y(9)=0,当c>9时,/(2)</(9)=0;当VITV9时,,(%)>/(9)=0,
所以/(c)=0有且仅有一个根劣=9.
(2)由/(n2-214n—1998)A0n/(n2-214n-1998)>/(9)
%„fn2-214n-1998<9fn2-214n-2007<0
ln2-214n-1998>01n2-214n-1998>0
f(n-223)(n+9)<0
=t(n-107)2>1998+1072=13447>1152
f-9WnW223f-9<n<223
[九>222或?1<—8[n>223或4-9,
所以九二223或口=-9,M={-9,223},河的子集的个数是4.
题目13]已知Q>0,Q#1,试求使得方程log^(力—Qk)=loga(力2-。2)有解的k的取值范围.
【解析】由对数性质知,原方程的解力应满足
f(a;—ak)2=x2—a2⑴
<a?—afc>
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