幂函数、指数函数与对数函数-2024年高中数学竞赛讲义 含答案

骞函数、指数函数与对数函数专题-2024年高中数学竞赛讲义含答

案

察函数•指数函数与对数函数

知识方法扫描

一、指数函数及其性质

形如夕=ax（a>0,aWl）的函数叫作指数函数，其定义域为R,值域为（0,+8）.当0<aVl时，9=靖是

减函数，当a>l时，y=a，为增函数，它的图像恒过定点（0,1）.

二、分数指数累

1m__-1m-1

a"—an—A/am,an——,an-—.

三、对数函数及其性质

对数函数V=logQ（a>0,aWl）的定义域为（0,+8）,值域为R,图像过定点（1,0）.它是指数函数y=

（a>0,aW1）的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出.当0<a<l时，v=log。/为减函数，当a

>1时，9=10gaC为增函数.

四、对数的运算性质（M>0,7V>0）

⑴alog?=M（这是定义）；

⑵10goeMV）=log^+loga7V；

（3）loga（各）=logJW-logJV；

n

（4）logaM=nlogaM；

c

（5）logafe=：°g。（a,b,c>0,a,c丰1）（换底公式）.

logca

由以上性质（4）、（5）容易得到以下两条推论：

l）logW=*og/；2）logU=七.

典型例题剖析

题］已知心是方程2+1g®=10的根，，2是方程，+10'=10的根，求21+，2的值.

til2已知a>0,b>0,log9a=logi2b=logi6（a+b）,求2的值.

•M

阿3已知函数/⑸=一H-logi——，试解不等式/(力(力—＞、•.

x~rl12—x''2〃2

的4设方程Ig(fcr)=21g(N+1)仅有一个实根，求k的取值范围.

口15解不等式：logi2(，^+>log64T.

•••

如已知l〈aWb<c证明：log/+log6c+logca<log6a+logcfe+logac.

词7设函数/(6)=|lgQ+1)|,实数Q,fe(a<fe)满足/(Q))，/(10a+6b+21)=41g2,求Q、b的

值.

•••

同步训练

一、选择题

题目口已知a、b是方程log3i3+log27（3/）=-a的两个根，则a+b=（）.

A10BAcMD28

,27,81.81,81

、题目团已知函数/（劣）=---^±）力2+版+6（0,6为常数，1）,且/（IglogglOOO）=8,则/（lglg2）的值

是（）.

A.8B.4C.-4D.-8

题目可如果/（6）=1-log;r2+log^O-log/64,则使/（力）V0的力的取值范围为（）.

A.0<re<1B.1<TC.T>1D.力

OO

题目@若/3）=炮侬2—2ac+a）的值域为R,则a的取值范围是（）.

A.0<a<1C.aVO或a>lD.a&O或a>l

二、填空题

题目宜|设/（C）=log3rc—"4—力，则满足/（力）>0的力的取值范围是.

题目回设0<a<l,0<e<£"=（sin。产口叫y=（cos。）"-',则加与y的大小关系为.

题目⑺设/（0=/=+炕詈生，则不等式/伉伉一与）〈《的解集为

2力+51+x\\Z））5-------

SEE设%）=七+七+三,则加）+/（争=

三、题

题目旬已知函数/（’XaNBagXXaWl）的反函数是y=广1（必）,而且函数沙=gQ）的图像与函数沙=广1

Q）的图像关于点（a,0）对称.

（1）求函数9=g（，）的解析式；

（2）若函数F3）=尸（，）-g（—0在ce[a+2,a+3]上有意义，求a的取值范围.

题目10］设/(①)—loga(a:—2a)+10go(劣—3a),其中a>0且aW1.若在区间［a+3,a+4］Jzf(x)W1恒成

立，求a的取值范围.

（x+y_12

题目［11解方程组，（其中eyCR*）.

酶目[12)已知/(a?)=lg(x+1)--j-log32：.

(1)解方程/Q)=o；

(2)求集合M={n|/(n2-214n-1998)>0,n6Z}的子集个数.

•M

22

题目13］已知Q>0,aW1,试求使得方程log公(力—ak)=loga(a?—a)有解的k的取值范围.

题目叵J已知0.301029<lg2<0.301030,0.477120<lg3<0.477121,求20001979的首位数字.

题目15］已知30+13"=17°,50+7"=1甘，试判断实数a与b的大小关系，并证明之.

题目RT）解不等式108232+33°+5砂+3"+1）<1+log2（，+l）.

知识方法扫描

一、指致函蛛其14JB

形如y=a"a>0,a21）的函数叫作指数函数，其定义域为R,值域为（0,+8）.当0VaV1时，9=靖是

减函数，当a>l时，y=短为增函数，它的图像恒过定点（0,1）.

二、分数指数塞

1m__

an—y/a,an—A/O™,cT"=

三、对数函数及其性质

对数函数V=logQ（a>0,aWl）的定义域为（0,+8）,值域为R,图像过定点（1,0）.它是指数函数y=a'

（a>0,aW1）的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出.当0<a<l时，v=log。/为减函数，当a

>1时，y=10gaC为增函数.

四、对数的运算性质（M>0,N>0）

⑴alog?=M（这是定义）；

（2）loga（MV）=log^+loga7V；

（3）log。（部）=logJW-logJV；

n

（4）logaM=nlogaM；

c

（5）logab=：°g。（a,b,c>0,a,c丰1）（换底公式）.

logca

由以上性质（4）、（5）容易得到以下两条推论：

1）1吸犷='1。岫2）1。龈=心.

典型例题剖析

网］已知力1是方程力+lgN=10的根，力2是方程⑦+1。|=10的根，求力1+/2的值.

【解法11由题意得-'1,表明◎是函数9=IgC与?/=10—C的交点的横坐标，。2是函数

11U-1U62

y=10”与g=10—力的交点的横坐标.因为g=Igrc与y=10”互为反函数，其图像关于g=力对称，由

g=10―力得匕二1所以安=5,所以为+，尸1。.

y=*

X2

【解法2】构造函数/（力）=力+1g/,由力i+lg力产10知/（0）=10,rc2+10=10即10*2+烟10g=io,则

/(10X2)=10,于是/(g)=/(10*2),又/(力)为(0,+oo)上的增函数，故力产10的，力］+g=10^2+3;2=10.

‘k10’g，两式相减有g+22—10=lO^-lO'2.若X.+X2-10>0,则1()1°——10失

【解法3】由题意得

10—x2—10

>0,得10—Xi>3，矛盾；若力i+g—10V0,则io"i—io*2V0,得［0—力］<①2,矛盾；而当/1+力2=1。时,

满足题意.

【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反

证法的技巧.

f如2已知a>0,b>0,loga=logib=log(a+b),求(■的值.

9216•••

【解法1】设log9a=logi2fe=logi6(a+b)=k，则a=931=12*，a+b=16。

由于9fcx16fc=故(a+b)a=b2,解得：3负根舍去).

fc

【解法2】设log9a=log12b=logi6(a+b)=阮则a=9、b=12",a+b=16.

互=*(裁,而-此故i+管=臂，即[(f)T-(4)-i=。，

a9fcv379fc9fcLV37Jv37

故右=(4)=片⑤(负根舍去)■

a,3，2

【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理,往往可以转化为指数的运算和处理.

间3已知函数/(劣)=—j—+logi—，试解不等式/(力(力一

【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合.初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递

减，这是本题的解题关键.

【解】易证函数沙=/3)在其定义域(0,2)内是单调减函数.并且/(1)=]■，所以原不等式即为

*---)]____

2

/„_]))>/⑴等价于、1工<1+严或1-严

【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法.

胸4设方程Ig(fcr)=21goe+1)仅有一个实根，求k的取值范围.

【分析】本题要注意函数的定义域.

(kx>0①

【解法1]当且仅当卜+1>0②

[/+(2—k)x+1=0③

时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得力i,g=—2±J/-4k)④

A=fc2—4fc>0=>kV0或k>4.

当z<0时，由方程③，得卜1+电：“二2<0,所以©,g同为负根.

⑶电=1>0,

>

又由方程程④知卜1+1所以原方程有一个解X1.

[g+ivo,

当％=4时，原方程有一个解力二5一1=1.

当%>4时，由方程③,得卜什铀：”2>0,

⑶/2=1>0.

所以冗1,应同为正根，且力1W62,不合题意，舍去.

综上所述可得kvo或k=4为所求.

【解法2】由题意，方程fcr=Q+1)2,也即方程+工+2在满足关于a;的不等式代工八的范围内

x[力+1>0

有唯一实数根，以下分两种情况讨论：

(1)当％>0时，^=土+工+2在rc>0范围内有唯一实数根，则有k=4;

X

(2)当场<0时，k=a;+工+2在一l<a;<0范围内有唯一实数根，则有％<0.

X

综上可得kvo或k=4为所求.•••

【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题.

胸5解不等式：logi2（V^+9）>log64X.

6

【分析】若考虑到去根号，可设/=/（沙>0）,原不等式变为logi2（娟+y2）>log644=\og2y，即210gl2g+

log2(?/+1)>log2g，陷入困境.

原不等式即61og(V^+版)>loga;n21oga;+log(1+a;6)i：]

1221212>log®，设力=logS,则logi2®=-j-----—

22[Oga;,/

1

同样陷入困境,下面用整体代换"=log^.

210gl2+1限3'64

【解】设y=log64力，则/=64",代人原不等式，有

1。取2⑻+4"）>y,8"+4">12",信『+佶）”>1，

由指数函数的单调性知"=log646Vl，则0VcV64.故原不等式的解集为（0,64）.

6已知l〈Q&b<c证明：log/+log6c+logca&logba+logc6+logac.

【证法1】注意到(log/+log6c+logca)-(log6a+log力+logac)

_/Inb.Inc.Ina\_(Ina.Inb.Inc\

IInaInfeInc)<InbIncIna)

(h12bhic+ln2clna+ln2alnb)—(ln2felna+ln2clnb+ln2alnc)

Inalnblnc

(Ina—Inb)(Inb—Inc)(Inc—Ina)

Inalnblnc

【证法2】设log：=/，log(=g,则log：=」一，于是原不等式等价于x+y+—^—+—+xy9

xyxyxy

即+xy2-\-l&g+力+x2y2,即xy(x+g)—(%+y)+(1—♦—)&0,也即(x+y—1—xy)(xy-1)40

也即3—1)(y-1)(xy—1)>。，由lVa&b《c知力>Lg>l,所以(力一1)(9-1)(xy—1)>0,得证.

因为lVa&b&c,所以Inalnblnc>0,(Ina—Inb)(Inb—Inc)(Inc—Ina)>0

所以

(log/+log6c+logca)-(log6a+logcb+logac)<0

即

log/+log&c+logca<logba+logc6+log/。

【评注】若令力=Ina,y=Inb,z—\nc则原不等式等价于：设0求证：

dy+y1z+Wxy2-\-yz2+zx2.

网7设函数/(力)=|lg(a;+1)|,实数Q,b(a<b)满足/(a),/(10a+6b+21)=41g2,求a、b的

值.

【分析】利用已知条件构建关于Q、b的二元方程组进行求解.

【解】因为加)=/(—制)，所以

|lg(a+l)|=|lg(~+1)|=|=1g(6+2)|

所以，a+l=b+2或(0+1)(》+2)=1,又因为0<匕,所以。+1£6+2,所以(G+1)(6+2)=1

又由于OVa+lVb+lVb+2,于是OVa+lVlVb+2,所以

(10a+6b+21)+1=10(a+1)+6(b+2)=6(b+2)+>1,•M

从而

/(10a+6b+21)=|lg[6(6+2)+£]|=尬上(&+2)+

又/(10a+66+21)=41g2，所以lg[6(6+2)+告5]=41g2,故6(6+2)+泮5=16.

解得b=—或b=-1(舍去).

把b——巳代故(a+1)(b+2)—1,解得a——

35

所以，a=一卷,b=--

53

同步训练

一、选择题

题目工]已知a、b是方程1083。3+10827(3C)=一六的两个根，则a+b=().

O

AMBAc也

-27-81-81

【答案】。

log33।log3(3ap率即］+黑3，+1+产了=一《

【解析】原方程变形为令l+log3/=力，则

log3(3rc)log327

+《=—4，解得力尸一1,右2=—3.所以1+log3T=-1或1+log3力=-3,方程的两根分别为《和《，所以

339ol

CL-\-b—.故选C.

题目可已知函数/⑵=(J]+~|~%2+b/+6(Q,b为常数,Q>1),且/(IglogglOOO)=8,则/(lglg2)的值

是().

A.8B.4C.-4D.—8

【答案】B.

【解析】由已知可得

/(IglogslOOO)=/(lg^7)=/(Tglg2)=8,

\JJLg//

又

1_ax

1---t--------1_---,---1---_-1---.-——,一]1----,--1--_1-——1-------1----------

xx

2l-a"2l-a2a-l2

令F(i)=/(宏)一6,则有F(一⑼=—FQ).从而有

/(-lglg2)=F(-lglg2)+6=-F(lglg2)+6=8,

即知F(lglg2)=-2,f(lglg2)=F(lglg2)+6=4.

题目WJ如果/(/)=1一log/2+log/9-logd64,则使/(/)V0的力的取值范围为().

A.0<rc<1B.1<a;<C.re>1D.a?>

oo

【答案】A

【解析】显然力>0,且力W1.

Q

/（X）=1-log/2+log9-log64=1-log,2+log^S-log4=log^rc.

23xo

要使/㈤<0.当%>1时，-1-xVI,即IV6v~1~；当ov/VI时，■）〉1,此时无解.

838

由此可得，使得/（力）V0的力的取值范围为1VrcV~|~.应选_B.

O

题目⑷若/Q)=lg("—2a，+a)的值域为R,则a的取值范围是().

A.0<a<1B.OWaWlC.a<0或a>lD.aWO或a'l

【答案】D

【解析】由题目条件可知，(0,+co)Q{y\y—x2—2ax+a},故△=(—2a)2—4a>0,解得a<0或a>1.选D

二、填空题

题目回设f(x)=log3a：—〃4—c，则满足f(x)>0的rc的取值范围是.

【答案】[3,4].

【解析】定义域(0,4].在定义域内人。)单调递增，且/(3)=0.故/(0>0的7的取值范围为[3,4].

「题目回设0VQV1,0V9V£,C=(sin外。口皿，y=((^夕产加我，则力与"的大小关系为.

【答案】/〈沙.

【解析】根据条件知，0Vsin9<cosff<1,0<sin。<tan。VI,因为OVaVl,所以/Q)=logao;为减函

数，所以logaSin。>logatan0>0,于是

1OSaSin

力=(Sin0)"<(sin夕产gatan^v(cos外°g&nJ=y

题目⑶设/㈤=+lg^=^,则不等式/缶伍一4））V4的解集为

2/+51+x\\2〃5

【解析】原不等式即为/,d))v/(o)・

因为/Q)的定义域为(一1,1),且/(2)为减函数.

—1Vx[x—<17

所以<解得立e(上产,o)U怎,1+J).

x（^x—I"）>0.

®E3设%)=三+春+三，则加)+/《)=

【答案】3.

1

加⑸+/臼=力+--------1-----1-----------i-]+仆。+]+8-颐

1+431+831+2一颐

三、解答题

、题目⑥已知函数/㈤=ax+3a(a>0,a/1)的反函数是9=厂】(力，而且函数夕=g(0的图像与函数9=广^

(①)的图像关于点(a,0)对称.

(1)求函数g=g(劣)的解析式；

(2)若函数F(力)=广1(N)一g(—力)在力G[a+2,a+3]上有意义，求a的取值范围.

【解析】(1)由f⑸=Q,+3Q(Q>0,QW1),得广iQ)=loga(rc—3a).又函数9=g(x)的图像与函数y=广,

S.

11

（x）的图像关于点（Q,0）对称,则g（a+x）=—f~（a—力），于是，g（比）=—f~（2a—x）=~loga（—a;—a）,（x<

—a）.

（2）由⑴的结论，有F（x）二尸（劣）—g（—力）=log。（力一3a）+loga（T—a）.要使F（x）有意义，必须满足

(X—3a>0,

又a>0,故力>3Q.由题设F（/）在力G［a+2,a+3］上有意义，所以G+2>3Q,即QV1.

[x—a>0.

于是，0VQV1.

［题目101设/（力）=log。（力一2a）+log。（力一3a）,其中a>0且QW1.若在区间［a+3,a+4］上/（力）<1恒成

立，求Q的取值范围.

【解析】/（力）=logaQ2-5a/+6a2）=log］（/-号丫-号）.

由（0、八得力>3。，由题意知a+3>3Q,故aV~~，从而（Q+3）—黑~=—^-（2—a）>0,故函数

一Ja>U,222

g{x）=（劣一31）?一手在区间［a+3,a+4］上单调递增.

若0VaVl,则/（/）在区间［a+3,a+4］上单调递减，所以/（n）在区间［a+3,a+4］上的最大值为/（Q+

2

3）=loga（2a—9a+9）.

在区间［a+3,a+4］上不等式/（力）<1恒成立，等价于不等式logloga（2Q2_9a+9）41恒成立，从而2金

—9Q+9>Q,解得a>,+心或Q<^~.结合OVaVl,得OVaVl.

若1VaV9,则/（力）在区间［a+3,a+4］上单调递增，所以/（劣）在区间［a+3,a+4］，上的最大值为于（a

2

+4）=loga（2a—12a.+16）.

在区间［Q+3,Q+4］上不等式/（力）<1恒成立，等价于不等式1080（2滔一12。+16）<1恒成立，从而2a2

—12a+16Va,即2a2—13a+16V0,解得"［依<a<♦］VH.易知翼>等，所以不符合.

综上所述，a的取值范围为（0,1）.

x+y_12

{:,(其中2,9eR*).

【解析】两边取对数，则原方程组可化为

1(c+y)lgrr=121gv①

l(x-+y)lgy=31gf②

把式①代入式②，得(①+y)2lgx=361gc,所以[Q+y)2—36]lga;=0.

由Igrr=0,得*=1;代入式①，得y—1.

由(c+y)2—36=0(^x,y6R*)得c+夕=6.

代入式①得Ige=21gy,即c=/,所以始+9一6=0.又9>0,所以9=2,必=4.所以方程组的解为

如=1[X2=4

[yi=1"纺=2-

[题目|12]已知f(x)=lg(a;+1)-ylog3a:.

(1)解方程/3)=o；

(2)求集合{n|f(n2-214n-1998)>0,n£Z}的子集个数.

【解析】⑴任取0<◎<电,则

f3)一/(，2)=1goi+1)-lg(g+l)-/(log32l—log322)

为+111161+1

=lg--ylog3^=lg-101g9一61，

22+1力2+162

因为&±；>色,所以lg21^>lg包.故

力2+I62T2+lX2

1Xi_

g+1力1的g五

/(g)一/但)=也-log9->lg------

62+IX2X2lg9

因为0<lg9<l,哈<0,所以/⑹―/(电)〉喊一噫=0,

fix)为(0,+co)上的减函数，注意到y(9)=0,当c>9时，/(2)</(9)=0;当VITV9时，，(%)>/(9)=0,

所以/(c)=0有且仅有一个根劣=9.

(2)由/(n2-214n—1998)A0n/(n2-214n-1998)>/(9)

%„fn2-214n-1998<9fn2-214n-2007<0

ln2-214n-1998>01n2-214n-1998>0

f(n-223)(n+9)<0

=t(n-107)2>1998+1072=13447>1152

f-9WnW223f-9<n<223

[九>222或？1<—8[n>223或4-9，

所以九二223或口=-9,M={-9,223},河的子集的个数是4.

题目13］已知Q>0,Q#1,试求使得方程log^(力—Qk)=loga(力2-。2)有解的k的取值范围.

【解析】由对数性质知,原方程的解力应满足

f(a;—ak)2=x2—a2⑴

<a?—afc>