河北省保定市2023-2024学年高二年级下册3月月考数学试题

河北省保定市河北定州中学2023-2024学年高二下学期3

月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.曲线>=11rt+/在点0,1）处的切线方程是（)

A.3x-y-2=0B.3x-y+2=0

C.2x-y-1=0D.2x-3y+1=0

2已知函数"»犷+川在“⑼’（3,+8）上为增函数，在（1,2）上为

减函数，则实数。的取值范围为)

A.102B.105C.(-8,-2]D.TV

了‘一2

T2

323则“力'C的大小关系是（）

3.已矢口a=sin—=—,c=ln一,

232

AB

,b>a>c■a>b>c

QT）

,a>c>b'b>c>a

4.已知函数y=〃x）（xeR）的图象如图所示，则不等式矿（尤）>0的解集为（）.

A，^0,1p(2,+co)B.（制）哈2）

D.(-1,0)U(1,3)

c5)呜子

试卷第11页，共33页

5.已知函数小）=2/⑴x——+]nx+；（/'（X）是/⑴的导函数），则〃1）二（

）

31

A.-B.1C.2D.--

22

6.已知可导函数/（x）的导函数为了，（%）/（0）=2023，若对任意的xeR，都有

f[x）＜f,[x},则不等式/（x）＜2023e工的解集为（）

A,(0,+(»)B.(2023

,+00

1丁

C.2023D.(fO)

7.已知函数〃x)=e'-"2.若对任意xx21xwx，不等式

41，42=[2，4J''十人？

“止/㈤恒成立，则实数”的取值范围是（）

西-x2

A.-00,--1B.一4一1

2

e[

C.----1,+coD."+CO

2

8.已知函数/（月=加（工-1）炉72+》在相|1,2）上有两个极值点，则实数加的取值

范围为（）

C.—,+00

试卷第21页，共33页

二、多选题

9.下列求导运算正确的是（）

（）

A.X--,=1+^-B.(lgx)r=-

xxx

C(kx+by=k+l

D.(tanx)'=———

cosx

VxeRf（x）>a\x\

-,x<0

10.已知函数/(%)=7,,则实数。的值可能为

ex+—,x>0

、x

)

A.2B.3C.4D.e

11.已知函数/Q）=e'-（Q为常数），则下列结论正确的有（）

A.a=时，A©2°恒成立

a=l时，x=l是/（x）的极值点

C.若/㈤有3个零点，则”的范围为（1,+国

D.4=工时./°）有唯一零点“。且-1</<-1

202

三、填空题

12.曲线〃x）=lnx在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为

13.若函数/（x）=e，+G有大于零的极值点，则实数。的取值范围是

（尤+）尤关于的方程（）"?有个不同的解，则加

14.已知函数/（》）=In1,>0,x/'=3

x3-3x+1,x<0

的取值范围是—.

试卷第31页，共33页

四、解答题

15.已知函数/(x)=/_q]nx的图象在点尸(1J0))处的切线/过坐标原点.

(1)求实数。的值；

(2)若直线/与抛物线y=+加、+机相切，求抛物线的对称轴方程.

16.已知函数十)="3+&+4,当x=2时，函数/⑺有极小值0.

⑴求函数/(x)的解析式；

⑵若存在xw[3,4],使不等式/")+蛆＞0成立，求实数机的取值范围•

17.已知函数/(x)=e'_ax(e是自然对数的底数).

(1)当°=1时，求/⑶的极值点；

(2)讨论函数/(X)的单调性；

⑶若g(x)=e'(x-l)-alnx+/(x)有两个零点，求实数。的取值范围•

av3zj_i_1

18.为正实数，已知函数/,(%)=---—x2+ax-

八/32

⑴若函数〃x)有且仅有2个零点，求a的值；

⑵当xe[0,3]时，函数/(X)的最小值为0,求的取值范围.

19.已知函数=•

⑴求曲线y=/(x)在x=l处的切线y=g(x)并比较/(x)与g(x)的大小关系；

⑵记函数Mx)=hu_x+l-e'_/(x)的极大值点为与，已知口表示不超过,的最大整

数，求["(%)]•

试卷第41页，共33页

参考答案:

1.A

【分析】

求得函数的导数，将丫7代入可得切线方程的斜率，再用点斜式即可得出答案.

A—1

【详解】

因为J/=L+2X,所以后=巩=1=3,

又因为曲线y=lnx+x2过点（1,1）,

由点斜式可得尸1=3（XT），化简可得3x-y-2=0，

所以切线方程是3x-y-2=0，

故选：A.

2.B

【分析】

求导得到（卜）=/+办+i，然后根据在（_巩0），（3,+oo）上为增函数，在（1，2）上为减

/（0）20

/'⑴<0

函数，由/彳2）40求解即得.

八3"0

【详解】

由/3=9+|，+7，得/'3='+"+1,

在（-8,0）,（3,+00）上为增函数；（1,2）上为减函数，

•••f\x）=0两根分别位于［0,1］和［2,3］中，

答案第11页，共22页

r（o）>o/'⑼=拈0_12<a<_A

/'⑴wor(l)="+2W032

得,_f（2）W0，即‘/(2)=2«+5<0'解得

八

/'(3"03'=34+1020

故选：B

3.B

【分析】

方法一：由正弦函数的单调性得出a>b,再设g（x）=x-l-ku，由其导数得出单调性，即

可由g[gj>g（l）得出;>lng,即即可得出答案;

方法二：由正弦函数的单调性得出再由工=lnA为中间值得出，

232

InVe>In3,即即可得出答案.

2

【详解】方法一：因为，=网"在（0弓）上单调递增,

所以.3兀3.2«

।幺Q=sm—>sin—=——>—=/7,

2323

设8（力*」"叫则g，a）=i_J.=±l,

当xe[l，+°°）时，g，（x）=tXo,

所以g（x）再[1,+oo）上单调递增，

答案第21页，共22页

所以gig)>g(l)=1—1-lnl=0»

所以3—即4>ln3,

2222

213

所以b=—>—>ln—=c.

322

综上，得a>b>c，故选：B.

方法二：因为上单调递增，

所以­3兀3.2«

以।弘Q=sm—>sm—=——>—=/?,

2323

=—>—=InVe>ln，2.25=In—=c.

322

综上，得0>b>c，故选：B.

故选：B.

4.A

【分析】

由/(x)的图象得到f(x)的单调性，从而得到了，(%)的正负，即可得解.

【详解】由了=〃x)(xeR)的图象可知，"X)在100tl和(2,+⑹上单调递增，在,,2

上单调递减，

则当司时小①叫小2,+⑹时川4叫x心2〉"'3<°,

所以不等式#'3>°的解集为卜,；卜(2,+00〉

答案第31页，共22页

故选：A

5.A

【分析】

先对函数/(X)求导，代入工=1,求出/，(i)的值,进而求解/⑴的值即可.

【详解】因为〃x)=2,⑴x-x2+lnx+；

所以定义域为(0,+oo).

所以r(x)=2/⑴-2x+：

当E时，/'(1)=2/'(1)-2+1,/，⑴=1,则/⑴=2-1+：弓

故选：A

6.D

【分析】

由题意/'(X)一/(x)>°，由此构造函数g(x)=△立，判断其单调性,将/(x)<2°23e,化

ev

为/®<2023，即g(x)<g(°)，即可求得答案.

ex

【详解】由题意对任意的xeR，都有/(x)</'(x)，即/'卜)-/卜)>0，

令g(x)=华，贝Ug，(x)=八"⑴>0，

ee

即g(x)=42为R上的增函数，

ex

答案第41页，共22页

而〃。)=2023,故g(°)=平=2023,

e

又〃x)<2023e'即2H<2023,即8立”8。，

e，

所以x<0,即不等式/(x)<2023e*的解集为(-oo,0)，

故选：D

7.D

【分析】设%>/，原不等式等价于/⑷7；<“X2)7；构造函数g(x)=/(x).x2,则

g(x)在(；,2)上单调递减，可得不等式g'。)"在(；,2)上恒成立，利用分离参数法可得

Mx)=《V2(a+1)在(±2)上恒成立，结合导数讨论函数"(X)的性质求出即可.

x2

【详解】设再>9，

Vx”三e(±2),x户+巧，

2x1-x2

等价于/(再)-/(工2)<片-名，即/(再)-才</(X2)-xf，

2x22

令g(%)=/(x)-x=e-ax-x，则g(x1)<g(x2)，

所以函数g(x)在g,2)上单调递减，

则不等式g'(x)=e，-2(“+DxM°在(g,2)上恒成立，

答案第51页，共22页

即不等式£<2(a+1)在d，2)上恒成立，令3)=父,xe(；,2),

工2%2

则"(x)=(",令如)<0=5<%<1,令,

x2

所以函数M")在(；,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增,

又〃(])=2五,人⑵=了，且2加<万，

T..2

所以1_W2(a+l)，解得

、2

即实数。的取值范围为P弓-1,+8).

4

故选：D.

8.B

【分析】

由/'(x)=°可得加=竺1,令〃(x)=至三卑<x<2]，则直线与函数"(X)在

(g,2)上的图象有两个交点，利用导数分析函数”(X)的单调性与极值，数形结合可得出实

数加的取值范围.

【详解】

因为函数=加-X?+X在xH上有两个极值点，

所以/'(X)在xeg,21上有两个变号零点，

答案第61页，共22页

因为/'(x)=7nxe"-2x+l令/'(x)=0即加xe"_2x+l=0，可得心二生」

xex

2x-l2xex-(x+l)(2x-l)e%(x-l)(2x+l)

令，(%)=,<x<2则"(%)=

xex

令"（x）＞。，得令、（x）＜0,得1＜X＜2

所以，函数〃⑴在上递增，在（1，2）上递减，

因为〃2]=0，=”2）=2,如下图所示:

当W＜x＜/时，直线'=加与函数"（X）在&上的图象有两个交点，

设两个交点的横坐标分别为毛、巧，且匹＜起，

由图可知，当，＜x＜X]或当（尤＜2时，机＞生口，此时，r（x）=xed%_mzl]＞o,

2xeA，I，Ixe*）

当不＜“＜三时，加〈组，此时，/'（x）=xe'-]＜0，

所以，函数〃x）在（O,xJ上递增，在（占,马）上递减，在（受2）上递增，

此时，函数/（x）有两个极值点，合乎题意.

答案第71页，共22页

因此，实数比的取值范围为

故选：B.

9.AD

【分析】根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果.

【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：

对A,(x——=1+,A正确；

XX

对B,(lgxy=—B错误；

x-lnlO

对C,(kx+b)'=k，C错误；

vdn/、，/S•inx、，cos2x+si•n2x1Inh施

对D，(tanx)'=(------)'=-----------------=——»D止确•

COSXCOSXCOSX

故选：AD

10.AD

【分析】

根据函数解析式，作出函数图象，结合导数的几何意义，求出曲线在xwo时的切线或确定

时无限接近的直线，数形结合，确定。的取值范围，结合选项，即可得答案.

【详解】

x®°时，/(x)=ex+—,f'(x)=e-,

XX

当0<x<十时,/,(x)<0,/(x)在(0,。)上单调递减,

Ve

当时，/'(、)>0,"X)在(《,+8)上单调递增,

答案第81页，共22页

故结合指数函数以及x@°时函数的单调性作出)=卜)的图象:

ex+—,x>0

、X

O'

因为小时，〃W八加一口，

故设=过点（°'°）的切线的切点坐标为。°'打）

，则%

%-0UJ

即］jny，则该切线斜率为一g1=

-e

-----二一一,.*.x=-l7

/30

/⑺=（1过点仅'°）的切线方程为'=-ex；

对于工③°时，”无）=5+工时，当“取无限大时，L趋近于o,

X

1尸ex1

即/（x）=ex+—无限接近于，且ex+—>ex,

XX

故要使得Vx£R,f（x）>a\x\成立，

结合图象，可得.〈e且一02Y，即a〈e，

答案第91页，共22页

结合选项可知，2,e符合题意，

故选：AD

11.CD

【分析】

对于AB,将。=5和”=1代入，判断函数的单调性，即可求解，对于D,将。=工代入，利

用零点存在性定理判断即可；对于C,将问题转化为°构造函数厂(同=鸟，利用导

数求解函数的单调性即可求解.

【详解】

对于A,当。=,时,/(x)=e:5x2/(x)=e£-ex,令g(x)=/(x),g(x)=e*-e,

令g，(x)=e-e>0，则X>1，y，(x)在(1,+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减，故

r(x)>/'(i)=o；'"x)在R上单调递增故A错误；

对于B,当.=1时，/(刈=1_//(刈=^_2三令机(切=/'(x),加(x)=e*-2，

令”(x)=e、-2>0，贝Ux〉ln2，在(ln2,+oo)上单调递增，在(-oo,ln2)上单调递减，

故广⑴”<ln2)=2-21n2〉0，，/⑴在R上单调递增，无极值，故B错误；

对于C,令/⑴="_办2=0,当工=0时，显然/⑼wO，故x=0不是函数的零点，当

时，则.=之，记尸(x)=M，则尸a)=叫*-2),

XXX

答案第101页，共22页

令尸，(力=理曰>0得x<°或x>2,故歹(x)=:在(fOa+s)单调递增，在仅⑵

XX

单调递减，且尸(2)=1,且当'"+8和XfO时，尸(x)f+8,故/(x)有3个零点，贝/

对于D,当"工时，/(x)=e'-lx\/(x)=e'f,令"x)=/(x)/(x)=e，-1,

h\x)=ex-1>0，则x>0，在(0,+oo)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，故

/'(x)2/'(O)=l，，/(x)在R上单调递增，则此时/(x)至多只有一个零点与

-Ll^z^,

又—=e=>0

88-\/e

由零点存在性定理可知，存在唯一的％,满足-1</<-工，选项D正确；

2

故选：CD.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

答案第111页，共22页

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，

就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

12-2+W6+2

【分析】

先利用导数的几何意义求得切线方程，从而求得切线与坐标轴的交点，由此得解.

【详解】

因为/(x)=lnx,所以广⑺j则《=/'(])=I

又/⑴=lnl=O，所以切线方程为y-O=l.(x-l)，即y=x-l,

则切线与坐标轴的交点为0,0),

则所求周长为2+收.

故答案为：2+亚，

13.(-co,-1)

【分析】

分类020，”0讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解可得.

【详解】

f'(x)=ex+a

当a20时，/隼球@0，此时在R上单调递增，无极值；

当°<。时，令=e*+a=0，解得x=ln(-a)，

当x>ln(-a)时，/*。颂，当x<ln(-a)时，f'(x)<0>

答案第121页，共22页

所以/⑺在(ro,in(一叫上单调递减，在(ln(-a),+oo)上单调递增,

所以函数/(x)存在极小值点x=ln(-a)，

依题意，］n(-a)>0，解得a<-l，

所以，实数。的取值范围是(-00,-1).

故答案为：(-00,-1)

14.［1,3)

【分析】

利用导数法研究函数的性质、对数函数的图象及函数图象的平移变换，进而可得函数

y=〃x)的图象，将方程〃X)=机有3个不同的解转化为函数了=/(》)与了=加图象的有3

个不同交点即可求解.

【详解】

由题意可知，方程/(可=加有3个不同的解转化为函数了=/(力与>；=机图象的有3个不同

交点.

当XV。时，f，(x)=3x2_3，

由广(x)>0，即3〃曲®0,解得x<-l，

由广(x)<0,即3/由ED，解得-1<XW0,

所以/(x)在(-1,0］上单调递减，在(TO—)上单调递增，

当x=-l时，〃尤)取的极大值为I)=(_I)3_3X(_I)+I=3；

作出y=/(x)与》=加的大致图象，如图所示.

答案第131页，共22页

由图可知，要使函数了=/（力与>=加图象的有3个不同交点，只需要IV加<3.

所以加的取值范围是［1,3>

故答案为：［1,3>

15.（1）1

⑵工二一二

2

【分析】（1）求出了"，再由/''⑴=2.（7、〃1）=1可得曲线y=〃X）在点P处的切线

方程，代入原点（0,0）可得答案；

（2）求出直线/的方程与抛物线方程联立，利用△也解得加，可得抛物线的方程为及对

称轴方程.

【详解】（1）由/'（x）=2x-2，再由/3=2-。，/'⑴=1,

可得曲线了=〃可在点尸处的切线方程为歹-1=（2"）仁-1），

整理为y=（2—a）x+a—l,

代入原点（0,0）,有0=〃-1，可得4=1,

故实。值为1;

答案第141页，共22页

(2)由(1)可知直线/的方程为y=x，

联立方程［y=_x2+»u+m,消去了后整理为f+(l_加)》一加=0,

b=x

有A=(l-加『+4"=0,解得"=T,

可得抛物线的方程为了=-*-X-1,故抛物线的对称轴方程为x=--.

2

16.(1)/(x)=—x3-3x+4；

4

(2)m>-2.

【分析】

(1)根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答.

(2)根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答.

【详解】⑴函数/(工)=办3+区+4，求导得：f,(x)=3ax2+b^因为当x=2时，函数

“X)有极小值°，

因此⑵一12。+"-°,解得〃=!/=一3,此时/''(X)=3(x+2)(x-2),

［y(2)=8a+26+4=044

当-2<x<2时，f\x)<0.当x>2时，f\x)>0-于是得函数〃x)在》=2处取得极小值

0,

所以函数〃的解析式为

x)/(X)=1X3_3X+4.

xw「341.114

(2),不等式+>0=_3x+4+mx>00加>一］、2-----^3,

答案第151页，共22页

令g(x)=-；x2一±+3,xe[3,4],求导得,工升金=一^<0，

4x2x22x2

因此函数g(x)在[3,4]上单调递减，则当x=4时，g(x)m,n=g(4)=-2>

因为存在xw[3,4],使不等式/(x)+znx>0成立，则存在xe[3,4],使不等式别>g(x)成立,

即有…2，

所以实数加的取值范围是?>_2.

17.(1)极小值点为》=0,无极大值点.

(2)答案见解析

(3)(e,+oo)

【分析】

(1)求导即可得函数单调性进而可求极值点，

(2)根据qwo和.>0两种情况，即可根据导数正负求解单调性，

(3)将式子变形为g(x)=xe-aln(xe】有两个零点，构造函数力(f)="aln「求导即可

结合零点存在性定理求解.

【详解】(1)

当。=1时，/@)=/一「则/'(》)=炉-卜

当xe(-8,0)时，/'卜)<0，此时函数/㈤递减，当xe(0,+oo)时，/里4@0，此时函数

/(x)递增,

所以“X)极小值点为x=o,无极大值点.

(2)

答案第161页，共22页

x

求导f\x)=e-a

①当aWO时，/*48O，/(x)在R上递增

②当a>0时，

当xe(-00,Ina)时，/'(x)<0，/⑴在(-00,Ina)上递减,

当xe(Ina,+oo)时，/嚼4@0，此时函数/(刈在(Ina,+8)上递增.

⑶

等价于g(x)=xex—a(lnx+x)=xe*-aln(xe*)(x>0)有两个零点，

令t=xe*,(x>0)，则/=(x+l)e，>0在x>。时恒成立,所以/=在，在x>0时单调递增,

故”0，

所以g(x)=xe*-aln(xe*)有两个零点，等价于=有两个零点,

因为"")=1_。=平,

①当aWO时，/")>0,〃⑺在经0上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，

②当a>0时，令〃(。>0，得：>a,人”)单调递增，令”")<0，得0<f<a,"⑺单调递减,

所以为(f)mm=/z(a)-a-a\x\a-

若〃(a)>0，得0<a<e，此时/z«)>0恒成立，没有零点；

若"a)=0,得"e，此时有一个零点•

100o100a2

若〃(a)<0，得。>e,因为〃(1)=1>0，/z(e)=e-a<0)/z(e)=e-100a>0>

答案第171页，共22页

所以〃⑺在(l,e)，但即°。)上各存在一个零点，符合题意，

综上，。的取值范围为(e,+00).

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数

y=/(x)零点个数的常用方法：

⑴直接法：令/(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个；

(2)零点存在性定理法：判断函数在区间心，“上是连续不断的曲线，且/(a)咙伍卜再结

合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的

个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确

定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零

点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

18.(l)g或3

(2)*43.

【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性然后结合函数的零点个数即得；

(2)根据。的取值分类讨论结合条件可得不等式进而即得.

［详解］(1)/(x)='_/+办,=x2-(a+l)x+a=(x-l)(x-a)

①当°=1时，/(x)=(x-l)&0，在R上单调递增，只有一个零点，则.=1

不成立.

②当”>1时，令/，")=0，则x=l或x=a,且0>1.

答案第181页，共22页

当工£（-8,1）时，r（x）〉o,/（X）在（-8,1）上单调递增;

当时，/z（x）<0,/（X）在（1,〃）上单调递减；

当