高等数学（高校工科各专业）全套教学课件

第一章函数、极限与连续全套可编辑PPT课件共11章，包括函数、极限与连续，导数与微分，导数的应用，不定积分，定积分及其应用，微分方程，向量代数与空间解析几何，多元函数微分学及其应用，二重积分及其应用，无穷级数，拉普拉斯变换本章内容05函数的连续性04极限的运算03无穷小与无穷大02极限的概念01函

数第一节函数函数的概念一1．函数的定义在工程技术和经济领域的研究中，常常遇到不同的量，例如时间、速度、温度、成本、利润等等．这些量可以分为两大类：其中，保持某一数值不变的量称为常量；而在一定范围内可以取不同数值的量称为变量。引例1【圆的面积】圆的面积A与它的半径的关系为，当半径r

在区间内任意取定一个数值时，由上式就可以确定圆面积A的相应数值。例如，取时，。引例1【银行存款】银行的存款本金A0

，年利率为r，t年末A0

将增值为At，若以年为期来计算利息，则一年末的本利和；两年末的本利和；

……类推之，年末的本利和。由上述例子可以看出，我们在研究事物的变化时，通过对客观事物的分析，建立各因素之间的关系式，这种关系式通过数量关系揭示事物的变化和发展规律，这就是我们中学已学过的函数，函数描述了变量之间的某种依赖关系。定义1设x

和y是两个变量，D是实数集R的某个子集。按照函数关系f（对应法则）：如果对任意，变量y总有确定的值与之对应，则称变量y

是变量x

的函数，记作，称D为该函数的定义域，x

为自变量，

y

为因变量。当自变量x

取数值时，与x0

对应的因变量y

的值称为函数在点x0

处的函数值，记为，或，当x取遍D的各个数值时，对应的变量y

取值的全体组成的数集称为这个函数的值域。注意关于函数概念的进一步说明有以下两点：（2）函数两要素：函数的定义域D和函数关系f

。函数的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y则是由函数关系f确定的。也就是说，只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的。例如，函数和函数

就是两个不同的函数，因为它们的定义域不同；（1）函数记号：在函数的表达式中，f

()表示函数关系，而表示对应于x

的函数值，两者是有区别的；解例1已知函数，求。2．分段函数引例3

【脉冲电压函数】在电子技术中以为周期的脉冲电压函数表示为引例4【阶梯函数】在自动控制系统中的阶梯函数表示为其中a，c

为常数。像这样把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表示，称这样的函数为分段函数。它表示一个函数，不是几个函数的组合。引例5【符号函数】

如图1-1所示图1-13．函数的表示法在函数的定义中，并没有具体规定用什么方法表示函数。为了能更好地研究函数，就应该采用适当的方法将其表示出来，函数的表示法通常有三种，即解析式法、表格法和图像法。4．函数的几种特性（1）有界性若存在正数M，使得函数在某区间I

上恒有

，则称函数在I上有界，否则称函数在I上无界。若函数在

I上有界，则其图像在直与之间，显然，若函数有界，则其界不唯一。例如，正弦函数在区间内有界，因为对均成立；函数在内无界，而上有界。（2）单调性若对于区间I内任意两点，当时，有（或），则称函数在

I上单调增加（或单调减少），此时区间I称为单调增区间（或单调减区间）。（3）奇偶性设函数的定义D

关于原点对称，若对任意都成立：

，则是D上的偶函数；

，则是D

上的奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。研究函数奇偶性的用途在于：如果知道一个函数是偶函数或奇函数，则知其图像的一半即可知其全部，比如常见的偶函数和奇函数。（4）周期性对于函数，若存在不为零的数T，对任意，均有

，且恒成立，则称为I上的周期函数，称T为的周期，通常所说的周期是指它的最小正周期基本初等函数与初等函数二1．平移和伸缩通过平移能产生新的函数，例如的图像是将的图像向上平移2个单位，的图像是将的图像向右平移4个单位，如图1-2所示。图1-2向右平移：用代替，将图像右移个单位形成函数；向左平移：用代替，将图像左移个单位形成函数；向上平移：用代替，将图像上移个单位形成函数；向下平移：用代替，将图像下移个单位形成函数。一般地，已知曲线，则有：（1）平移（2）伸缩用一个常数k

乘以函数，是函数的图像沿垂直方向扩大或缩小k

倍形成函数；负号表示该图像关于轴对称2．复合函数引例5【原油扩散面积】油轮在海洋发生原油泄漏事故，假设原油污染海水的面积A

是被污染圆形水面的半径r

的函数：。同时由于原油在海面上不断扩散，则污染半径r

又是时间t

的函数，因此，原油扩散面积与时间的函数关系是定义2设y

是u

的函数，

u是x

的函数，当x

在某一区间上取值时，相应的u使y有意义，则与

可构成复合函数，此时u为中间变量，称y是x

的复合函数。一般地，如果，则称为f

和φ这两个函数的复合函数。称为外层函数，它是因变量y

与中间变量

u

的函数关系；为内层函数，它是中间变量u

与自变量

x的函数关系。解例2

函数是由

复合而成的，而函数是由复合而成的。要认识复合函数的结构，必须要清楚其复合过程，也就是要理解如何对复合函数进行分解。通常采取由外层到内层分解的办法，将拆分成若干基本初等函数或简单函数的复合。习惯上我们将基本初等函数经过有限次四则运算所得到的函数成为简单函数。解例3将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）解例4将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（1）（2）3．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成，并能用一个解析式来表示的函数，称为初等函数。否则称为非初等函数。例如，多项式函数是由幂函数经过有限次四则运算得到的初等函数。函数，

也是初等函数。但工程上常用的分段函数绝大部分不是初等函数。因为在其定义域上不能用一个式子来表示。第二节极限的概念一、数列的极限引例1【庄子名言】我国战国时期哲学著作《庄子》中有这样的记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这句话的意思是：有一尺长的木棍，每天截取他的一半，永远截不完．它可以用数列表示为每天木棍的长度是一个变量，随着天数n的增大，木棍的长度越来越短，天数n无限增大时（记为），木棍的长度会无限趋近于常数0。引例2【割圆术】我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。先作圆内接正六边形，其面积记为A1；再作圆内接正十二边形，其面积记为A2；循此下去，圆内接正边形的面积记为An

，于是得到一系列圆内接正多边形的面积从几何直观上不难看出，随着n

的增大，对应的圆内接正多边形的面积与圆的面积A越来越接近（即），当n无限增大时（记为），圆内接正边形的面积An就会无限地接近圆的面积A。这种思想就是刘徽提出的割圆术——割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。定义1对于数列，当项数n无限增大时（记为），数列的项xn

无限地趋近于一个确定的常数A，那么称A

是数列当时的极限，或称数列收敛于A，记作例如，在引例1中，引例2中。如果数列不趋近于任何确定的常数，即数列没有极限，则称数列

发散。解例1某企业对生产设备的投资额是3万元，每年的折旧费为该设备账面价格（即以前各年的折旧费用提取后余下的价格）的，那么这一设备的账面价格（单位：万元）逐年用数列表示为随着年份n无限增大，账面价格无限接近于0，即解例2判断下列无穷数列的极限：（1）（2）（3）（1）通过观察，当n

无限增大时，数列通项无限趋近于常数1，所以1是数列的极限，即（2）通过观察，当

n无限增大时，数列通项xn

总等于3，所以3是数列{3}的极限，即（3）数列按项数展开应该是显然，当

n无限增大时，xn摆动于1，0，-1三个数之间，并不趋于某个确定的常数，所以数列没有极限。1．时函数的极限二、函数的极限定义2设函数在时有定义，对于函数，当无限增大时（记为），函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作定义2中是指x

的绝对值无限增大，它既可以沿正方向无限增大（），也可以沿负方向无限增大（），相应的函数值都会无限地趋近于常数A。如图1-3所示，，既有也有。图1-3但有时x

的变化趋向只沿其中一种方向（或）时，相应的函数值也无限地趋近于一个常数A，则称A是函数当或时的极限。记作或，也可记作或。例如，，而，所以，不存在，如图1-4所示。图1-4解例4利用图形说明下列极限是否存在，若存在，则求出极限（1）（2）图1-5图1-6解（1）由图1-5可知则（2）由图1-6可知而所以，不存在。解2．时函数的极限引例1【影子长度】某人晚上沿直线走向路灯正下方的一点．由常识知道，此人越靠近目标，其影子长度越短，当人越来越接近目标（）时，其影子长度趋于0（）。设灯高为H，人高为h，人与灯正下方一点的距离为x，人影的长度为y。如图1-7所示，当人向灯下不断地移动时，即，人影的长度y趋于0，且有，由此解得人影的长度y

是x

的函数：，其中是常数。图1-7当x

越来越趋近于0时，函数值y

也越来越趋近于0，即

，也会是当人逐渐走向灯的正下方时，人影的长度逐渐为0。1．时函数的极限二、函数的极限定义6设函数在x0点附近有定义（），对于函数，当时，函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作或。定义3中是指x

趋于x0

的方式是任意的，它包含两种情况：。如果当（或）时，函数的极限存在，则称为函数的左极限（右极限），记作或（）。左极限和右极限反映了自变量从x0

一侧变化时函数的极限，称为单侧极限。解例4函数在时的极限存在吗？为什么？

不存在。因为而，所以不存在。解例5考察函数当时的极限。由图1-8可知因为，所以不存在。图1-8三、极限的性质定义4称实数集为点a的邻域，记作，a称为邻域的中心，δ

称为邻域的半径。数集称为点a的去心δ

邻域，记作。性质1（唯一性）若，则极限A唯一。性质2（局部有界性）若，则存在常数及

，当时，有。性质3（保号性）若且（或），则存在常数，当时，有（或）。第三节无穷小与无穷大无穷小一1．无穷小的概念引例1【电容器放电】电容器放电时其电压随时间的增加而逐渐减少并无限趋近于0。引例2【洗涤效果】在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少，当清洗次数无限增大时，衣物上的污渍量就会无限趋近于0。当然，为了保护您的身体健康，健康专家建议我们少用或者最好不使用洗涤剂。定义1在自变量的某一变化过程中，极限为零的变量X称为无穷小量，简称无穷小，即变量X是这一变化过程中的无穷小例如，，所以为时的无穷小；再如

，所以为时的无穷小。解例1讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例2【手机销售】一款新手机上市，其销售量与时间的函数关系为：请预测长期的销售量。长期的销售量应理解为当时的销售量，即由此可见，随着时间的推移人们买此款手机的可能性将趋于零，故长期的销售量为无穷小。在自变量的同一变化过程中，无穷小满足以下性质：性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。性质2有限个无穷小的乘积是无穷小。性质3有界变量与无穷小的乘积是无穷小。2．无穷小的性质解例3求极限：（1）（2）（1）因为当时，x2为无穷小，而有界。所以，由性质3可知（2）因为当时，为无穷小，而有界。所以，由性质3可知3．函数极限与无穷小的关系在自变量的某一变化过程中，函数以

A为极限的充要条件是可以表示为极限A与一个无穷小的和，即定义2在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷大量，简称无穷大，记作。无穷大二1．无穷大的概念如果变量X取正值无限增大，则称变量X为正无穷大，记作

；如果变量X取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负无穷大，记作。解例4讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例5【银行存款】假设某人在银行存入10000元，银行的年利率为，试分析存款时间越长，本利和如何变化？由题设条件可得，t年后的本利和为随着存款时间越长，即时，本利和变为即当存款时间无限延长时，本利和将无限增大。2．无穷小与无穷大的关系在自变量的变化过程中，若变量X是无穷大，则是无穷小；反之，若变量X（）是无穷小，则是无穷大，即变量X（）是无穷小是无穷大例如，因为，所以。（1）若，则称α是比β高阶的无穷小，记作；定义3设

α与β是自变量在同一变化过程中的无穷小。无穷小的比较三1．无穷小比较的定义（2）若，则称α是比β低阶的无穷小；（3）若，则称α是比β同阶无穷小；（4）若，则称α是比β等阶无穷小，记作α～β；解例6问当时，与相比是什么阶的无穷小？所以，当时，。因为当时，与都是无穷小，且当时，下列函数之间为等价无穷小：2．等价无穷小的应用求型函数极限时，利用以上常见的等价无穷小替换可以使计算过程简化，结论如下：设自变量在同一变化过程中，无穷小，，若存在，则解例7求下列函数的极限：（1）（2）（3）（1）因为当时，，，所以（2）因为当时，，，所以（3）因为当时，，，所以第四节极限的运算极限的四则运算法则一设，则：1．2．3．4．

（k为常数）5．类型一（代入法）解例1求：由例1可知，对于多项式，当时的极限有当有意义时，例2求：解类型二当时，例3求：解因为，则不能用商的极限四则运算法则，而

，由无穷大与无穷小的关系，可。例4求：解类型三（型）当

时，通过变换化为类型一求极限。例5求：解例6求：解类型四（型）将型经过通分转化为型求极限。例7求：解类型五（型）分子、分母同除以分子、分母的最高次幂，并利用无穷小求极限。一般地，对于分式有理函数，当时，极限有如下结论：其中，m，n

为非负整数。二、两个重要极限1．第一重要极限下面我们列表取值来观察时，函数的变化趋势，如表1-1所示。表1-1由表1-1可以看出，当x越接近于0，函数的值就越接近于1，由此可以证明此公式的特征是：（2）正弦符号后面的变量与分母一致，这个一致的变量趋于0。（1）分子、分母的极限均为0，即型；我们形象地将公式表示为（方框表示同一变量）。例8求下列函数的极限：（1）（2）（3）解（1）（2）（3）例9已知半径为R的圆内接正n边形的面积，求该圆的面积A。解该圆的面积为2．第二重要极限或下面我们列表取值来观察时，函数的变化趋势，如表1-2所示。表1-2由上表可以看出，当时，函数无限地趋近于无理数e，即若令，则上面极限变为，所以第二个重要极限公式表示为或此公式的特征是：（1）函数的极限形式为“”型；例10求下列函数的极限：（1）（2）（2）在自变量的变化过程中，函数可表示为，且无穷小×无穷大=1。则极限等于e。解（1）（其中）（2）（其中）可以看出，若无穷小×无穷大=

常数k，则极限等于。例11已知，求k值。解例12求：解法一因为时，无穷小kx与无穷大的乘积等于2k，所以极限应等于，即，于是。解法二第五节函数的连续性函数连续的概念一为了准确地描述函数连续的概念，我们首先引入函数增量的概念，如图1-9所示。图1-9设函数在x0点及其附近有定义，我们把x0

附近的x记作，并称为自变量由x0

变到x时自变量的增量（或改变量），这时相应地函数值由变到，我们称

为函数值的增量（或改变量），记作，即引例1【植物的生长高度】大家都知道植物的生长高度h是时间t的函数，而且h随着t的变化而连续变化。事实上，当时间t的变化很微小时，植物的生长高度h的变化也很微小，即当时，

。引例2【图形得出的启示】观察图1-9不难看出，函数在点x0处连续时，越小，点N越靠近点M，对应的函数增量也越小；当

时，点N沿曲线无限接近于点M，这时。从以上两个引例可以看出，函数在某点连续具有以下数学特征：即因为，所以当时，，这时上式可以写为根据连续的定义，函数在点处连续必须满足三个条件：定义1设函数在点x0

及其近旁有定义，若或

，则称函数在点x0连续。点称为函数的连续点。注意（1）在x0点有定义，且存在；（2）在x0点极限存在，即；（3）。如果函数在点x0处不满足连续的条件，则称函数在点x0

不连续或间断，点x0称为函数的不连续点或间断点。解因为在0点有定义，且，而，所以

。例1判断函数在点的连续性。由定义可知，函数在点连续。解例2判断函数在点的连续性。因为在1点有定义，且，又因为，所以在1点右连续；而，所以在点不左连续，从而函数在点不连续。解例3讨论函数在定义域内连续性。设任意一点。因为。所以，由定义1可知，函数在点x0连续。由点x0

的任意性可得，函数在定义域内连续。基本初等函数的连续区间就是其定义域。根据极限的四则运算法则和函数连续的定义，得出如下结论：（1）若函数和在点x0

处连续，则函数，

，在点x0

处也连续。初等函数的连续性二（2）若函数在点x0

处连续，而函数在对应的点u0

处也连续（其中），则复合函数在点x0处连续。根据结论2可得即

连续的复合函数求极限时，极限符号可以与函数符号交换顺序。例4求极限：解例5求极限：解因为，所以。一切初等函数在其定义区间内是连续的。初等函数的连续区间就是它的定义区间。求初等函数定义区间内某一点的极限值等于求该点的函数值。例6求下列函数的极限：（1）（2）解（1）因为是初等函数，时函数有定义，所以（2）因为是初等函数，时函数有定义，所以闭区间上连续函数的性质三性质2（介值定理）若函数在闭区间上连续，且

，对于与之间的任意数C，则在开区间

内至少存在一点ξ，使。性质的几何意义是：闭区间上的连续曲线与水平直线至少相交于一点，如图1-10所示有三个这样的相交点，即。图1-10性质3（零点定理）若函数在闭区间上连续，且

，则在开区间内至少存在一点ξ

，使。性质的几何意义是：闭区间上的连续曲线，当两端点不在x轴同侧时与x至少相交于一点，如图1-11所示。图1-11例7证明方程在区间内至少有一个实根。解令，它在闭区间上连续，并且，。所以由零点定理可知，在区间内至少存在一点ξ

，使得，即方程在区间内至少有一个实根。ThankYou!第二章导数与微分本章内容05函数的微分04高阶导数03隐函数所确定的函数的导数02导数的运算01导数的概念第一节导数的概念两个引例一引例1【汽车行驶的速度】小韩开车到120km外的一个旅游景点，共用2小时，为汽车在这段路程行驶的平均速度，然而汽车仪表显示的速度（瞬时速度）却在不断地变化着。事实上，汽车在做变速运动，那么如何计算汽车行驶的瞬时速度呢？1．变速直线运动的瞬时速度设某质点沿直线作变速运动，其运动方程为，现在来确定该质点在某一给定时刻t0

的速度。根据该质点运动方程，当时，质点所经过的路程是。当时，质点所经过的路程是，如图2-1所示。图2-1于是，在t0

到这段时间内，质点所经过的路程是

。所以质点在时间这段时间内的平均速度为因此，当越小，就越接近质点在t0时刻的瞬时速度。据此，当时，若的极限存在，就将此极限值称为质点在时刻t0的（瞬时）速度，即引例2【制作圆形的餐桌玻璃】一张圆形餐桌上需要加装圆形的玻璃，这样既美观又显得干净．当你测量出餐桌的直径后，工艺店的师傅就会在一块方形的玻璃上画出一个同样大的圆形，然后沿着圆形的边缘划掉多余的玻璃，最后用砂轮不断在边缘打磨。当玻璃的边缘非常光滑时，一块圆形的餐桌玻璃就做好了。从数学的角度来讲，工艺店的师傅打磨的过程就是在作圆周的切线。从中学知识中，我们知道圆周的切线是与圆有唯一交点的直线，但是曲线在某点的切线是什么样的直线？设有曲线L，P为其上一定点，在L上点P外另取一点Q，作割线PQ，当点Q沿曲线L移动并趋近于点P时，如果割线PQ绕点P旋转的极限位置存在，那么处于此极限位置的直线PT叫做曲线L在点P处的切线，定点P叫做切点，如图2-2所示。过切点垂直于该切线的直线叫做曲线在该点的法线。2．平面曲线的切线斜率图2-2以下讨论切线斜率的求法:设曲线L是函数的图形，如图2-3所示，求曲线

L在点处得切线的斜率。图2-3在曲线L上点P外另取一点Q，设其坐标为

，割线PQ的倾斜角为φ，则割线PQ的斜率为当点Q

沿曲线L

趋于点P

时，，割线PQ

的倾斜角φ趋于切线PT的倾斜角

α，于是割线PQ

的斜率的极限（如果存在），就是曲线L在点P处的切线的斜率，即导数的定义二定义1设函数在点x0

的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量（仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果当时，比式的极限存在，就说函数在点x0处可导，称这个极限为函数

在点x0

处的导数，记为或或或，即（2-1）函数在x0

处可导，也称函数在点x0

处具有导数或导数存在。只要令，导数的定义式（2-1）也可以写成如下形式（2-2）显然，式（2-1）和式（2-2）是等价的。如果函数在开区间内的每一点处都可导，就说函数在开区间内可导，区间称为函数

的可导区间。这时对于任一，都有的一个确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数的导函数。为方便起见，导函数也简称为导数，记作或或或由此可见，函数在点x0

处的导数，就是导函数在点

处的函数值，即有了导数概念，前面两个实际问题可以重述为：（1）变速直线运动在时刻t0

的瞬时速度，就是路程函数在t0处对时间t的导数，即这就是导数的物理意义。这就是导数的几何意义。（2）函数在点x0处的导数，在几何上表示曲线

在点处的切线的斜率，即由此我们可得曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法线方程为特殊地，当时，切线平行于x

轴，方程为；法线垂直于x

轴，方程为。根据导数的定义，求某个函数的导数，实际上可以分为以下三个步骤：求导举例三（1）求增量：（2）算比值：（3）取极限：解例1求函数（C为常数）的导数。在x

处给自变量一个增量，相应的函数值的增量为于是则即（2-3）同理，结合中学知识以及导数的定义，我们依次可知：特别地，当时，有（2-6）（2-4）（2-5）（2-8）（2-7）例2【切线与法线方程】曲线上哪个点处的切线与直线

平行？试求该曲线在点处得切线方程和法线方程则有设曲线在点处得切线的斜率为k，因为而直线的斜率为3，根据两直线平行的条件有

，解得。将代入曲线方程中得。所以，曲线在点处的切线与直线平行。解即法线方程为曲线在点处的切线斜率。于是点

处切线方程为即例3

【上抛的物体】以初速度v0

竖直上抛的物体，其上升高度s与时间t的关系是，求：（1）该物体的速度；（2）该物体达到最高点的时刻。由导数的物理意义可知由于物体做竖直上抛运动，当达到最高点时物体的速度为0，即所以，该物体达到最高点的时刻为。解例4

【电动势】电动势E定义为在电场力作用下转移单位正电荷所做的功。E可用导数表示为，其中dq为转移的电荷，dW为电场力所做的功。这表明，从1975年起每年世界人口的增长率都是2%。根据题意，有解例5

【人口增长率】《全球2000年报告》指出世界人口在1975年为41亿，并以每年2%的比率增长．若用表示自1975年以来的世界人口数，求，它们的实际意义分别是什么？。定理如果函数在点x处可导，那么函数在点x处必连续。函数可导与连续的关系四第二节导数的运算函数的和、差、积、商的求导法则一定理1如果函数和都在点x处可导，那么它们的和，差，积，商（除分母为零外）也都在点x处可导，且有（2-9）（2-10）（2-11）式（2-9）和式（2-10）可以推广到有限个可导函数的情形。例如，设，，均可导，则有作为式（2-10）的特殊情况，当(C为常数)时，有（2-12）作为式（2-11）的特殊情况，有解例1设，求及。解例2设（其中a，b为常数），求。先对

y进行恒等变形，即求导，得解例3已知，求。先对

y进行恒等变形，即即同理有（2-14）（2-15）解例4，求。先对

y进行恒等变形，即即同理有（2-16）（2-17）反函数的求导法则二（2-18）定理2如果函数在区间Iy内单调、可导且，则其反函数在对应的区间内也可导，且或即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。解例5求的导数。所以，由反函数的求导法则得即

是的反函数，将看作直接函数，且

在区间内单调、可导，因为特别地，有（2-19）（2-20）解例6求的导数。所以，由反函数的求导法则得

是的反函数，将看作直接函数，且

在区间内单调、可导，因为即同理有（2-21）（2-24）（2-23）（2-22）三、复合函数的求导法则定理3若函数在点x处可导，而函数在对应的点u处可导，则复合函数在点x处也可导，且有（2-25）也可写成或定理3表明：复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。解例7求下列函数的导数：（1）（2）（3）（1）把可看作由复合而成的，因此（2）把可看作由复合而成的，因此（3）把可看作由复合而成的，因此所以解例8求函数的导数。解例9【半径的变化率问题】设气体以100cm3/s的常速注入球状的气球，假定气体的压力不变，那么当半径为100cm时，气体半径增加的速率是多少？设在时刻t时，气球的体积与半径分别为V和r，显然所以V通过中间变量r与时间t发生联系，这是一个复合函数已知cm3/s，要求当时，的值。根据复合函数求导法则，得将已知数据代入上式，得所以，即在这一瞬间，半径以的速率增加。1．基本初等函数的导数公式初等函数求导四（1）（2）（3）（5）（4）（6）（7）（8）（9）（12）（11）（10）（13）（14）（15）（16）2．函数和差积商的求导法则（1）（2）（3）(C为常数)（4）设和均可导，则（5）(C为常数，)3．反函数的求导法则或设在区间Iy

内单调、可导且，则其反函数在内也可导，且4．复合函数求导法则设及均可导，则复合函数的导数为或第三节隐函数所确定的函数的导数隐函数及其求导法一两个变量y与x之间的函数关系可以用各种不同方式表达．前面我们遇到的函数，大多数是把因变量y直接表示成自变量x的明显表达式，即的形式，如等，这样的函数称为显函数。如果变量x和y满足一个方程，在一定条件下，当x在某范围内任意取一确定值时，由总可以相应的确定变量y的值，那么由方程便确定了y是x的函数，这种函数称为隐函数。解方程两边同时对x求导，得例1【圆的方程】求由单位圆的方程所确定的隐函数

的导数。即所以得解（1）将方程两边同时对x求导，注意y是x的函数，y3

是x的复合函数，按复合函数的求导法则，得即得例2求下列方程所确定的隐函数的导数：（1），求； （2），求。（2）两边同时对x求导，得即得解（1）将方程两边同时对x求导，得解得因此，所求切线方程为例3【切线方程问题】求曲线在点处的切线方程。于是点处的切线斜率为即解设在t时刻容器中的水深为h，水的容积为V，水面半径为r，如图2-4所示。例4【容器内的注水问题】给一个上顶直径为8cm，最大可容纳水深8m的正圆锥形容器中注水，注水的速率为，当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？图2-4由于～，所以，因而，从而。因此当时，，。解例5【水面波纹的扩散问题】落在平静水面上的石头，产生了同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s末扰动水面面积的增大率是多少？设最外一圈波的半径为r，水面面积为S，时间为t，最外一圈波的半径r和水面面积S均是时间t的函数，由题意知，所以当时，此时半径，因此，水面面积的增大率为对数求导法简介二有时，给定的函数虽为显函数，但直接求其导数很困难或很复杂．对于这样的函数，可先对算式两边取对数，变成隐函数的形式，再利用隐函数求导法求出它的导数，这种求导的方法叫做对数求导法。解对等式两边取自然对数，得两边同时对x求导，注意到y是x的函数，得例6求函数的导数。于是即第四节高阶导数变速直线运动的速度是运动方程对时间t的导数，即或

而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数或

这种导数的导数或叫做S对t的二阶导数，记作或

所以，直线运动的加速度就是位移函数S对时间t的二阶导数。或

把函数的导数叫做函数的一阶导数。类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，若函数的阶导数仍可导，则函数的阶导数的导数叫做的n阶导数．函数的三阶、四阶、……n阶导数，分别记作或

解例1【物体的运动】已知物体的运动方程为（m），求：（1）这个物体的初速度； （2）求时物体运动的加速度。（1）物体的速度，初速度为（2）物体的加速度时的加速度为解（1）例2求下列函数的二阶导数：（1）；（2）；（3）（2）（3）解例3【刹车测试】某一汽车厂在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）满足

。假设汽车作直线运动，求汽车在时的速度和加速度。汽车刹车后的速度为汽车刹车后的加速度为

当时汽车的速度为当时汽车的加速度为解例4求指数函数