2024届高三第一次调研考试数学试卷附答案解析

2024届高三第一次调研考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若角a的终边过点(4,3),贝!Jsin(a+*)=()

A.JB.C.|D.

555

2.已知i为虚数单位，若2=金，则z・N=()

A.-\/2.B.2C.—2iD.2i

3.已知函数/(%)是定义域为R的偶函数，在区间(0,+8)上单调递增，且对任意％i，冷，均有

/(比/2)=/(%1)/。2)成立，则下列函数中符合条件的是()

A.y-ln\x\B.y=x3C.y=2四D.y=\x\

4.已知优3是夹角为120。的两个单位向量，若向量在向量五上的投影向量为2落贝以

()

A.-2B.2C._空D2-/3

3

5.由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为｛a"，即的=0,。2=

2,a3=%…，若斯=2024,贝加=()

A.34B.33C.32D.30

6.已知某圆台的上、下底面半径分别为勺，r2,且「2=2勺，若半径为2的球与圆台的上、下底面

及侧面均相切，则该圆台的体积为()

A287rR40/r0567rD1127r

八•丁丁丁3

7.已知数列｛eJ满足ai=。2=1，即+2=「'一一'，(kCN*),若5„为数列的前71

一a九,TL—2/c

项和，贝!JS50=()

A.624B.625C.626D.650

8.已知双曲线E：**l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,过点外的直线与双曲线

E的右支交于4B两点,若|48|=|4n|,且双曲线E的离心率为鱼，贝UcosZB力0=()

A--¥B-4c-1D--1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分

别为：9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,则这组数据的（）

A.众数为12B.平均数为14

C.中位数为14.5D.第85百分位数为16

10.设a>l,b>0,且伍a=2—b,则下列关系式可能成立的是（）

A.a=bB.b—a—eC.a=2024bD.ab>e

11.如图，八面体。的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B,C,D,E在同一个平面内.若

点M在四边形BCDE内（包含边界）运动，N为4E的中点，则（）

A.当M为DE的中点时，开面直线MN与CF所成角为亨

B.当MN||平面时，点M的轨迹长度为2世

C.当“41ME时，点M到BC的距离可能为百

D.存在一个体积为竽的圆柱体可整体放入。内

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数/'（%）=sin（3X+@）（3>0,|伊|<?）的最小正周期为兀，其图像关于点（"，0）中心对

乙3

称，则0=.

13.设点4（一2,0）,B（-1,0）,C（0,1）,若动点P满足|P4|=2|PB|,且而=2通+〃就，则2+

2〃的最大值为.

14.已知函数/（%）=。（％-%i）（%—%2）（%-%3）（。>0），设曲线y=/（%）在点（期,处切线的斜

率为=1,2,3）,若%1，上，工3均不相等，且七=一2,则的+4七的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.设Sn为数列5｝的前植页和，已知。2=4,54=20,且碎｝为等差数列.

(1)求证：数列｛加｝为等差数列；

L.

(2)若数列｛0｝满足比=6,且铲=餐，设Tn为数列｛0｝的前n项和，集合M=［Tn\TnE

0nan+2

N*｝,求M(用列举法表示).

16.如图，在四棱锥P—ABCC中，四边形力BCD是菱形，平面ABC。_L平面PAD,点M在DP上，且

DM=2MP,AD=AP,乙PAD=120°.

(1)求证：BD1平面4cM；

(2)若乙4DC=60。，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值.

17.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送。和1中的某个数

字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号。时，接收为。和1的

概率分别为a(0<a<1),1—a；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0(0</?<1),1-

£.假设每次伯黑的传输相互独立.

(1)当连续三次发送信号均为。时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为/(a),求

/(a)的最小值;

(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为久1，久2,久3,久4,记

其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X(久0到，久3,％4中任意相邻的数字均不相同

时，令X=l),若0=|，求X的分布列和数学期望.

18.已知函数/(%)=a(%—l)ex+1—2xlnx—%2(aGR).

(1)当a=0时，求函数/(久)在区间［e-2,1］上的最小值；

(2)讨论函数f(x)的极值点个数；

(3)当函数f(X)无极值点时，求证：asin^->—■

2aTT

19.已知动点P与定点0)的距离和P到定直线久=*的距离的比为常数弟其中m>0,n>

0,且mon,记点P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；

(2)设点B(m,0),若曲线C上两动点M,N均在左轴上方，AM||BN,且©V与BM相交于点

Q-

11,

(i)当m=2V2,n—4时，求证：■p两+|BN|的值及△ABQ的周长均为定值；

(ii)当时，记AABQ的面积为S,其内切圆半径为r,试探究是否存在常数人使得S=方

恒成立？若存在，求4(用加，n表示)；若不存在，请说明理由.

答案解析

L【答案】A

44

【解析】【解答】解：角a的终边过点(4,3),贝1JC°sa=不*=耳，

所以sin^a+刍=cosa=春

故答案为：A.

【分析】根据任意角三角函数的定义结合诱导公式分析求解.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：z=鼻=行驾鼻=1+i,

所以z,z=(1+i)(l——

故答案为：B

【分析】根据复数的除法运算求z,再结合共辗复数的概念运算求解.

3.【答案】D

2

【解析】【解答】解：对于A：例如=亚=e,贝叶(为62)=Ine=2,f(<x1)f(x2)=Ine-Ine=

1,

不满足/■(%1%2)=f(^l)f(^2)，不合题意，故A错误；

对于B：因为y=/为奇函数，不合题意，故B错误；

对于C：例如Xi=x2=1,则/(久62)=2,/(xi)/(x2)=2X2=4,

不满足/(久1比2)=/'(久1)/'(%2)，不合题意，故C错误；

对于D：显然y=I久I的定义域为R,且|-久|=|久可知y=I久I为偶函数，

且当xC(0,+oo),y-\x\-x,可知y=|x|在区间(0,+8)上单调递增，

且即久2)=久2)成立，故D正确；

故答案为：D.

【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据题意验证函数性质即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意可知：何=b=1,a-b=|a|-bcosl20°=

因为有+4b在向量a上的投影向量为2。=(1——2a,

\a\

即1一^4=2,解得2=-2.

故答案为：A.

【分析】由题意可得问=帆=1,a-b=-^再根据投影向量的定义结合数量积的运算律分析求

解.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可知：一位自然数有2个（即为2,4）；

两位自然数有3?-3=6个；

三位自然数有33-9=18个；

四位自然数由小到大排列为2000,2002,2004,2020,2022,2024,­•­;

可知2024为四位自然数中的第6个，所以n=1+2+6+18+6=33.

故答案为：B.

【分析】根据分别求一位、两位、三位的个数，并对4位排序，即可得结果.

6.【答案】C

12

【解析】【解答】解：设圆台上、下底面圆心分别为0,02,可知圆台内切球的球心。为。。的中

点，

设球0与母线AB切于M点，

1=21，

可知。M=。。。。=2,AM=O-^A=「BM=O2B=r2,

则AB=ri+上=3r＞过A作力G1BO2,垂足为G,

12=

则BG=r2-=r1,AG=。。4,

222

\^^JAG=AB—BG,即16=（3rl¥—r/=8r/,解得r1=或，则2=2/，

所以该圆台的体积为：（2兀+8兀+4兀）X4=呼.

故答案为：C.

【分析】根据题意结合圆台的轴截面分析可得「2=2勺，再根据圆台的结构特性求得勺=V2,进而

可求体积.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：当n为奇数时，则与+2—即=2,

可知数列的奇数项构成等差数列，其首项为1,公差为2,

L।2SX24

则+的+的+…+。49=25X1H---2—X2=625,

当n偶数时，联=—1,

an

可知数列｛a"的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为-1,

25

1

贝+a4+a6H---1-a50=_-=1，

所以S50=（。1+的+。5+…+。49）+（。2+。4+。6+…+。50）=626.

故答案为：C

【分析】根据递推公式分析可知数列的奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，结合等

差、等比数列求和公式分析求解.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：因为双曲线E的离心率为四，可知c=VIa,则|&F2|=4a,

又因为=\AF±\,则IBF2I=\AB\-\AF2\=\AF±\-\AF2\=2a,

且IB&I-IBF2I=\BFr\-2a=2a,可得|B0|=4a,

田雄+同寸-江

在^BF/2中，由余弦定理得COS4BF2&=IB%/=

2|BF2|-|F1F2|4

设|4尸2|=血，则|4Fi|=m+2a,

在^力0尸2中，可知C0S4F1F24=—cos乙F/2B=号，

2

由余弦定理可得：|/%|2=+\AF2\一2\F1F2\\AF2\COS^F1F2A

即(2Q+m)2=(2V2a)2+m2—2-2y[2a-m•号,解得zn=则M&l8a

二T

|71F|2+|^|2-|^F|2_1

所以COSZBA&11

2|AF7FWl--8"

故答案为：D

【分析】由离心率可得c=V^a,根据题意结合双曲线定义可得IBF2I=2a,|BFil=4a,利用余弦

定理解得|AF2|=|a，M0|=学，进而利用余弦定理求cos^BAF^

【解析】【解答】解：将成绩按升序排列为：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.

对于A：众数为16,故A错误;

对于B：平均数元=存(8+9+12+12+13+16+16+16+18+20)=14,故B正确；

对于C：中位数为：1^=14.5,故C正确；

对于D：因为10X0.85=8.5,所以第85百分位数为第9位数，即为18,故D错误；

故答案为：BC.

【分析】先将数据按升序排列，根据众数、平均数、中位数以及百分位数的定义逐项分析求解.

10.【答案】A,C

【解析】【解答】解：因为Ina=2—b,即b=2—Ina,

又因为a>1,b>0,则力=2—Ina>0,解得1<a<，.

对于AB：因为b—a=2—Ina—a,

设函数/(a)=2—Ina—a,1<a<e2^则/(a)=—：—1<0在(1,内恒成立，

可知/(a)在(1,上单调递减，且/(")_,/(1)=1,

则-/v/QQvi,即-e2<b-a<l,故A正确，B错误；

对于C：因为2=上士空，

aa

设g(a)=2—,1<a<e29则，(a)=生殳9V0在(1,e?)内恒成立，

可知g(a)在(1,e?)上单调递减，且g(e?)=0,g(l)=2,

则0<g(a)V2,即。e(0,2),

若a=2024匕，则2=需^6((),2),故C正确；

a202417

对于D：因为ab=a(2—Ina),

设/i(a)=a(2—Ina),aE(1,e2),则h(a)=2—(Ina+1)=1—Ina，

令/i'(a)>0，则l<a<e；令"(a)<0，贝！JeVaVe2；

可知h(a)在(1,e)上单调递增，在(e,e?)上单调递减，且h(e)=e,h(l)=2,/i(e2)=0,

可知八(a)e(0,e],即0<abWe,故D错误.

故答案为：AC.

【分析】根据题意可得匕=2-Ina,1<a<e2.对于每个选项：用a表示b,构建函数，利用导数判

断单调性和值域，进而可得结果.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：设BDnCE=。，连接04,由题意可知：OD,0E,。4两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系，

F

贝0,0),B(-2V2,0,0),E(0,2vL0),C(0,-2V2,0),4(0,0,2/),

F(0,0,一2烟，N(0,V2,V2).

对于A：若“为DE的中点，则M(VLV2,0),

可得而=(_/,0,V2)，CF=(0,2vL-2V2),

设异面直线MN与CF所成角为仇

可得cos。=|cos(丽，硝1=1就篇1=唠科E,

且6C(0,刍，所以异面直线MN与CF所成角”条故A正确;

对于B：设P为DE的中点，连接PN,

由题意可知：PN//AD,

且力Ou平面4CD,PN可得PN〃平面4CD,

又因为MN〃平面4CD,且MNCPN=N,可得平面MNP〃平面4CD,

由平面AC。C平面BCDE=CD,平面MNPn平面BCDE=PQ,

可得PQ〃CD,则Q为BC的中点，则MCPQ,

所以点M的轨迹是过点。与CD平行的线段PQ,其长度为4,B错误；

对于C：设MQ,y,0),则训=(-x,-y,2遮)，W=(-%,2^2-y,0),

当MAIME时，则加•砒=%2+y(y—2V^)=0,整理得/+。一或黄=2，

可知点M的轨迹以。E中点K为圆心，半径为鱼的圆在四边BCDE内(包含边界)的一段弧(如下

图)，

且K到BC的距离为3,弧上的点到BC的距离最小值为3-四，

因为3<遮，所以存在点M到BC的距离为百，C正确；

对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥4-BCDE内接最大圆柱的体积,

设圆柱底面半径为r,高为八，

因为P为DE的中点，Q为BC的中点，贝“Q=4,AO=2近,

可得器=票’即专=嚷士解得八=四(2-「)’

则圆柱体积P=7ir2h=V27rr2(2—r),

设P(r)=V27r(2r2-r3)(0<r<2),求导得l/(r)=伍r(4-3r)，

当0<r<凯寸，/(r)>0;当g<r<2时，/(r)<0;

可知V(r)在(0,当内单调递增，在G，2)内单调递减，

当rj时，，取到最大值驾兀，

且32g5_96V2-135_J962x2-J1352_48432—”8225

~ZT-3=27=27=27>U

即曙所以存在一个体积为粤的圆柱体可整体放入。内，D正确.

故答案为：ACD.

【分析】对于A：建系，利用空间向量求异面直线夹角；对于B：根据面面平行的性质可知点”的轨

迹是过点。与CD平行的线段PQ,即可得轨迹长度；对于C：设MQ,y,0),根据垂直关系可得点M

的轨迹以OE中点K为圆心，半径为鱼的圆在四边BCDE内(包含边界)的一段弧，结合圆的性质分

析判断；对于D：设圆柱底面半径为r,高为无，根据比例关系可得九=鱼(2-r),则圆柱体积V=

nr2h-/b2Q_切，利用导数可得U的最大值哆1兀，即可得结果.

12.【答案】t

【解析】【解答】解：因为函数〃久)的最小正周期为兀，且3＞0,可得3=^=2,

又因为函数f(K)的图像关于点(冬，0)中心对称，则等+0=kTT,kGZ,

解得◎=kir—等，k6Z,且|@|＜皆所以k=1,0=—*

故答案为：-*

【分析】根据最小正周期可得3=2,再根据对称中心分析求解.

13.【答案】2*+4

【解析】【解答】解：设P(x,y),则而=(—2—%,—y),而=(—：—久，—y)，

由I而|二2|4I，得J(—2—久)2+(—y)2=2J(—1—久)2+(—y)2,整理得久2+y2=i,

又因为方=(x+2,y),4F=(1,0),AC=(2,1),

代入9=4荏+由，可得卜+2=就+2匕

(y=〃

QQO

则％+y+2=2入+3〃=1(4+2〃)，即4+2〃=可(％+y+2),

又因为殳冥＜/+y2=1，当且仅当％=y=孝时，等号成立，

即(％+y)242,可得x+y4V^,

所以4+2〃=|(x+y+2)〈|(应+2)=驾把，即4+2〃的最大值为驾把

故答案为：答±1

【分析】设P(x,y),由题意整理得/+俨=1,结合AP=AAB+[1AC整理得4+2〃=|(久+y+

2),结合基本不等式分析求解.

14.【答案】18

x

【解析】【解答】解：因为/(%)=a(%-%!)(%-%2)(一%3)(。＞°)，

则f(%)=a[(x—%!)(%—%2)+(%—%2)(%-%3)+(%-X3)(X—%!)]»

由题意可得忆1=a（%!—%2）（%1—%3），七=。（%2—%3）（%2—%1），卜3=矶％3—%1）（%3一%2），

剧J_+J_+J_=________1________+________1________+________1________

人J/C］十人2十人3―。（％1一%2）（%1.一%3）十。（％2一%3）（%2一%1）十。（％3一%］）（%3一%2）

_（%3-%2）+（%1-%3）+。2T1）_Q

一批巧一%2）（%2-%3）（%3一巧）―’

由攵2=—2,得看+看=*，七=矶％2一％3）（%2一第1）<。，

可知%2位于，%3之间，

不妨设％1<冗2<%3，则七>0，七>0，

可得的+4k3=2（/q+4k3）注+芬=2（5+3+N2（5+2驾•竽斗=18,

K1K3K3K1JK3K1

k4fc

（l=3

当且仅当］：3Jl/即七=6,七=3时等号成立，

（耳+可=2

所以自+4七的最小值为18,

故答案为：18

111

【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得看+京=占kl>0,k3>0,结合基本不等式分析

求解.

15.【答案】⑴证明：设等差数列碎｝的公差为d,则*=系+3由即Si+3d=5,①

因为52=%+a?=Si+4,所以由苧二5+d，得Si+2d=4.②

由G）、包）解得Si=2,d=1,所以*=n+1,即％=n（n+1）,

当九>2时,an=Sn-Sn-1=n（ji+1）—（n—l）n=2n,

当九二1时，ai=Si=2,上式也成立，所以册二2几（九eN*）,

因为当nN2时，时一册_i=2,所以数列｛册｝是等差数列.

⑵解：由⑴可知铲=六=磊=品,

当心2时‘=

17

因为比=6满足上式，所以bn=忐可（nCN*）.

的=12］（1—上1+&1-1$+…+（»1急1）］=12x（1一击1）=12-由12,

因为当WfCN*时，n=l,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11).

n+1°J

【解析】【分析】⑴设等差数列离}的公差为d,根据题意解得Si=2,d=l,则%=i+1),

再结合册与治之间的关系分析证明；

(2)由(1)可知铲=品，利用累积法可得bn=m%(neN*),利用裂项相消法分析求解.

16.【答案】(1)证明：不妨设2。=AP=3,VZ.PAD=120°,DM=2MP，

：.DP=3存DM=2V3,PM=存

由余弦定理得ZM=>JAP2+MP2-2AP-MPcos30°=V3,

在中，+4^2=£>"2,AMAIAD,

•••平面48CD1平面PAO,平面4BCDC平面P4。=AD,MAu平面PAD,

MA，平面ABC。.

■■■BDu平面ABC。，MA1BD,

••・四边形4BC0是菱形，.••4C1BD,

XvXCnMX=A,且ACu平面ACM,AMu平面4cM,BC1平面ZCM.

(2)解：在平面ABC。内，过点B作AD的垂线，垂足为N,

•••平面1平面PAD,平面ZBC。C平面24。=AD,

：.BN，平面力DP,

又,••四边形ABCD是菱形，4WC=60°,^BDA=30°,

.■.AACD,△ABC均为等边三角形，

以点力为坐标原点，AD,AM及过点4平行于NB的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系(如

图)，

则4(0,0,0),B(—f0,—^),D(3t0,0),P(—,3T,0),

由(1)BD，平面ACM,

.•・丽=4，0,一竽)为平面4cM的一个法向量,

设平面ABP的法向量为记=(%,y,z),

3,36_

r।~AB-m=0,-2^xH—2-z=n0,

贝IJ一即an

AP-m=0,3^373_

-2%H—2-y=n0，

令％=遥，可得记=(b，1,1),

T-»

BD-m_i3V3,_V5

v|cos<BZ>,m)\=网,-175x3731—5

・•・平面ACM与平面ABP的夹角的余弦值为*

【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质定理可证”41平面4BC。，进而结合线面垂直的性质、判

定定理分析证明；

(2)过点B作40的垂线，垂足为N,可得BN1平面ZDP,建系，利用空间向量求面面夹角.

11

17.【答案】(1)解：由题可知/(a)=a3+(1—a)3=3a2—3a+1=3(a—2)2+［，

因为0<a<1,所以当a=J时，/'(a)的最小值为J.

(2)解：由题设知，X的可能取值为1,2,3,4.

①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010.因此，

…2121,12128

P(X=1)=qXax^xa+qXaXqXq=

JJJJJJCJ.1.

②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010,或0100,或1101,或1011,或1001,或

0110,或1100,或0011.因此，

P(x=2)=(|)2x|x|x2+(1)2x|x|x2+(32x(|)2x4=|f=*

③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110,或0111,或0001,或1000.因此，P(X=

3)—(^)3X1X2+X(|)3X2=爵,

④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000,或1111.因此，

P(X=4)=(I)4+(j)4=不

所以X的分布列为

X1234

P842017

8198181

因此，X的数学期望E(X)=lx余+2X扛3x1^+4x^=鬻.

【解析】【分析】(1)根据题意求得/(a)=3(a-+/结合二次函数分析求解；

(2)由题设知，X的可能取值为1,2,3,4,根据题意结合独立事件概率乘法公式求分布列和数学期

望.

18.【答案】(1)解：当a=0时，/(x)=—2xlnx—x2,

则/(%)=-2(1•Inx+%•；)—2%=-2(Znx+%+1),

令g(x)=f'(%)，则g'(x)=-2(；+1)，

因为xe|e-2,1］,所以g'(久)<0.则g(x)在［e-2,1］上单调递减，

又因为/(e-2)=2(1-e-2)>o,/(l)=一4<0,

所以三久0CQ-2,1)使得/(%o)=0,/(X)在(e-2,久0)上单调递增，在(%0，1)上单调递减.

因此，/(久)在［e-2,1］上的最小值是f(e-2)与〃1)两者中的最小者.

因为/'(e-2)=4e-2-e-4=e-2(4-e-2)>0,f(l)=-1,

所以函数/■(£)在［e-2,1］上的最小值为-1.

(2)解：f(%)=a［l-ex+1+(%—l)ex+1］—2(1-Inx+x-—2x-axex+1—2(Inx+%+1),

由八x)=0,解得a=警满由=鬻鬻鲁，

易知函数y=伍％+x+1在(0,+8)上单调递增，且值域为R,

令Inx+%+1=t,由/(%)=0，解得a=—^9

设以。=去则h'(t)=q©，

因为当时，h'(t)>0，当t>l时，h'(t)<0，所以函数h(t)在(—00,1)上单调递增，在(1,+

8)上单调递减.

22

根据八⑴=-,tt—8时,h(x)t—oo,^imh(t)=Umm=0,

得h(t)的大致图像如图所示.

因此有:

(i)当a>：时，方程/i(t)=a无解，即/'(%)无零点，/(%)没有极值点；

(ii)当a=万时,f(%)=2elnx+x—2(lnx+%+1)，

利用e*>x+1,得f(%)>2(lnx+x+1)-2(lnx+%+1)=0,此时/(%)没有极值点；

(出)当0<a<?寸，方程拉(t)=a有两个解，即，(久)有两个零点，八%)有两个极值点；

(iv)当a<0时，方程八⑴=a有一个解，即/(久)有一个零点，〃久)有一个极值点.

综上，当a<0时，/(%)有一个极值点；当0<a<：时，/(久)有两个极值点；当a2凯寸，/(久)没有

极值点.

(3)证明：先证明当久6(0,第时，陋〉马@.

4X71

设哈)=竽(久6(0,勺)，则政x)="os丐-s-

记p(久)=xcosx—sinx(xG(0,/),则p'(x)=1-cosx+x-(^—sinx)—cosx=—xsinx<0,pQr)在

(0,5上单调递减，

当久e(0,勺时，p(x)<p(0)=0,n'(x)<0,则"(久)在(0,今)上单调递减，n(x)>n(^)=

即当尤e(0,金时，不等式陋>这成立.

由(2)知，当函数/(久)无极值点时,a>l，则

在不等式晅>这中，取为=；则有2as讥4>红1，

xn乙a2an

即不等式as讥上〉也成立.

2aTT

【解析】【分析】(D当a=0时，可得/(£)=—2久)久-/,利用导数判定原函数单调性，进而分析

最值；

（2）求导，同构结合/（无）=0可得a=,，构建函数h（t）=,，利用导数分析h（t）的单调性和最值,

分类讨论判定零点个数，即可得解；

（3）由题意分析可构建函数如）=学Qe（O,》），可证当工€（0,勺时，不等式婴＞毕成

立，结合aN2分析证明.

e

19.【答案】（1）解：设点PQ,y）,由题意可知丘

即（％—771）2+y2=（募％一九）2,

2?

经化简，得C的方程为0=

当时，曲线C是焦点在无轴上的椭圆；

当加＞九时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线.

（2）设点M（久1，%）,N（久2，丫2），M'（X3,y3），其中为＞0,y2＞。且£3=-％2，丫3=一无，

（i）由（1）可知C的方程为第+*=1,＞1（272,0）,B（-2V2,0）-

y1y?-y?y0

因为力MilBN,所以于汝=石工云泛=与二云泛=/国

22

因此，M,A,三点共线，且|BN|=J（久2+2鱼产+光=J（一支2-2V2）+（-y2）=\AM'\'

（法一）设直线的方程为％=ty+2五,联立C的方程，得（严+2）y2+4aty—8=0,

则当+丫3=一黑，为为=一号，

由（1）可知|AM|=苧|久i—瑞|=4—堂巧，|BN|=|AM'|=4—5玄，

|4M|+|BN|_（4■-孚叼）+（4-驿3）_（2—欣＞1）+（2-%乃）

所以曲+日W

IWWT一（4_%1）（4—%3）一（2一%当）（2_3为）

4-我当+乃）4•■会.（.普|）

22=1（定值）.

4-V2t（y1+y3）+1ty1y34-V2t-（-^^）+it-（-^_）

K+2z*+2

（法二）^MAX=9,则有磁瑞扁二等,解得阿=市品，

同理由―MMJ一二孥,4

解得

242+\AM|COS04

11_11_2+42COS62—/ZCOS9

所以商+网=两+而词=-4—十—4—1（定值）.

由椭圆定义|BQ|+\QM\+\MA\=8,得|QM|=Q-\BQ\-\AM\,

\AM\_\QM\_8-\BQ\-\AM\

•・.AM||BN,IW=W=L^l

（8-\AM\y\BN\

解得田Q|

\AM\+\BN\

（8-\BN\\\AM\

同理可得|/Q|

\AM\^\BN\

诉।1听1一（8一|BN|）・MM|।（8—MM|>|BN|―8"M|+|BN|）—2MMi・|BN|

以1人〃1十I力"I-\AM\+\BN\十\AM\+\BN\~|/M|+|BN|

2

=8-=8-2=6

11

]AM\+^\BN\

因为|4用=4奁，所以△力BQ的周长为6+4/（定值）.

22

（ii）当时，曲线C的方程为'——，丁=1,轨迹为双曲线,

九/m^一n乙

根据（i）的证明，同理可得M,A,三点共线，且|BN|=\AM'\,

（法一）设直线MM，的方程为％=sy+m,联立C的方程，

222222222

得[（62_n）s—n]y+2sm（m—n）y+（m—n）=0,