押浙江卷第24题（圆的综合问题）-备战2024年中考数学临考题号押题（浙江专用）（全解全析）

第第页押浙江卷第24题（圆的综合问题）押题方向：圆的综合问题2023年浙江真题考点命题趋势2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题台州卷、杭州卷、金华卷第23题宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题圆的综合题从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等）的考查。1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．【思路点拨】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG•BO；（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．【解析】（1）解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴BC2＝BA•BE，由（1）知GE＝BE，∴BE＝BG，∵AB＝2BO，∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO；（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：解法一：如图，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如图，延长FO交AC于点H，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【点睛】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．2．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．（1）求证：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．【思路点拨】（1）根据切线性质得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；（2）分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．【解析】（1）证明如图，连结OD，∵半圆O与AB相切于点D，∴OD⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，在Rt△ODB和Rt△OCB中，∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），∴BD＝BC；（2）解如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴，在Rt△OBC中，∵OC＝1，∴，在Rt△ABC中，．【点睛】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．3．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；（2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB＝，根据勾股定理得到DH＝＝＝3，根据垂径定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，∴AB⊥x轴又∵AH⊥CD，HO⊥OB，∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，∴四边形AHOB是矩形；（2）解：连接AD，∵四边形AHOB是矩形，∴AH＝OB＝，∵AD＝AB＝4，∴DH＝＝＝3，∵AH⊥CD，∴CD＝2DH＝6．【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键．4．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．【思路点拨】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出CE的长．【解析】解：（1）∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；（2）∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝3，∴CD＝＝．∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴，∴，∴CE＝．【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．5．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．【思路点拨】（1）连接OP，设∠BOP的度数为n，可得＝π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC＝90°，从而BC＝＝2；（2）连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ＝＝，由＝，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，证明∠FCD＝∠BAQ，即得＝，故＝；（3）连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得＝①，证明△APB∽△ABC，得②，由BC＝CD，将①②两式相除得：＝，故＝．【解析】解：（1）如图，连接OP，设∠BOP的度数为n°，∵AB＝6，长为π，∴＝π，∴n＝60，即∠BOP＝60°，∴∠BAP＝30°，∵直线l是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴BC＝tan30°•AB＝2；（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，∵AB为⊙O直径，∴∠BQA＝90°，∴cos∠BAQ＝＝，∵＝，∴∠BAC＝∠DAC，∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝BC，∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，∴∠FCD＝∠BAQ，∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，∴＝，∴＝；（3）如图，连接BQ，∵AB⊥BC，BQ⊥AD，∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，∵∠ABQ＝∠APQ，∴∠APQ＝∠ADC，∵∠PAQ＝∠DAC，∴△APQ∽△ADC，∴＝①，∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，∴△APB∽△ABC，∴②，由BC＝CD，将①②两式相除得：＝，∵cos∠BAQ＝＝，∴＝．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．6．（2023•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．（1）求证：BC＝BD．（2）若OB＝OA，AE＝2．①求半圆O的半径．②求图中阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连结OD．由切线的性质得出∠ODB＝90°，证明Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），由全等三角形的性质得出BC＝BD．（2）①证出∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，由直角三角形的性质得出答案；②由勾股定理求出AD＝2，∠AOD＝60°，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．【解析】（1）证明：如图，连结OD．∵BD是圆O的切线，D为切点，∴∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），∴BC＝BD．（2）解：①∵OB＝OA，∴∠OBD＝∠A，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴∠OBD＝∠OBC，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，在Rt△ODA中，sin∠A＝，∴OD＝OA．∵OD＝OE，∴OE＝OA，∴OE＝AE＝2，∴半圆O的半径为2．②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，∴AD＝＝2，∴S△OAD＝＝2，∵∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝2﹣＝2﹣．【点睛】此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．7．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．【思路点拨】（1）根据同弧圆周角相等得∠EBC＝∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；（2）①证明△ACF≌△BGC（ASA），即可解决问题；②过点C作CH⊥EG于点H，设AG＝DF＝2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；（3）过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD（ASA），△COG≌△OBM（AAS），得BM＝OG＝1，设OB＝OC＝r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长．【解析】（1）解：∵BC平分∠EBG，∴∠EBC＝∠CBG，∵∠EBC＝∠EAC，∴∠CBG＝∠EAC，∵AC⊥FC，∴∠AFC+∠EAC＝90°，∵∠BCG＝∠AFC，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠BGC＝90°；（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，∴GD＝CD，∴∠DGC＝∠DCG，∵∠BCG＝∠AFC，∴∠DGC＝∠AFC，∴CF＝CG，∵∠ACF＝∠BGC＝90°，∴△ACF≌△BGC（ASA），∴AF＝BC；②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，设AG＝DF＝2x，∵△ACF≌△BGC，∴AF＝BC＝2DG，∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，∵CF＝CG，∴HG＝HF＝3x，∴DH＝x，AH＝5x，∴CH＝＝＝x，∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝，∴tan∠GBC的值为；（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，∵OB＝OC，∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，∴OC∥BE，∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，∴△EBD≌△NCD（ASA），∴BE＝CN，∵OC∥BE，∴∠GOC＝∠MBO，∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，∴△COG≌△OBM（AAS），∴BM＝OG＝1，∵OM⊥BE，∴CN＝BE＝2BM＝2，设OB＝OC＝r，∵OC∥BE，∴△GON∽△GBE，∴＝，∴＝，解得r＝或r＝（舍去），由（2）知：△ACF≌△BGC，∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝．∴AC的长为．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．8．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．【思路点拨】（1）以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP＝OM，以P为圆心，OP长为半径，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，PR与⊙O交点为C，D，与AB交点为H，即CD、点H即为所求；（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C＝45°，由，可知∠E＝∠C＝45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD＝90°，则△ADE是等腰直角三角形，AD＝DE•sin∠E＝；（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MH＝PF，由PD＝AD，可得MD＝PD，证明△MDH∽△PDG，则＝，即GP＝2MH＝PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是∠HCF的平分线，可得∠GCP＝∠FCP，则GN＝NF，证明△GPN≌△FPN（SSS），则∠GPN＝∠FPN＝90°，即PF⊥CP，由MH∥PF，可得MH⊥CP，进而结论得证．【解析】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；（2）当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴OF＝ON，∴四边形OFHN是正方形，∴FH＝NH，∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠C＝45°，∵，∴∠E＝∠C＝45°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD＝90°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∴AD＝DE•sin∠E＝，∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为；（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，∵HF＝AH，∴点H为AF的中点，又∵点M为AP的中点，∴MH是△APF的中位线，∴MH∥PF，MH＝PF，又∵PD＝AD，PM＝AM，∴MD＝PD，∵MH∥GP，∴∠MHD＝∠PGD，又∵∠MDH＝∠PDG，∴△MDH∽△PDG，∴，即GP＝2MH＝PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，∵CP是∠HCF的平分线，∴∠GCP＝∠FCP，∴GN＝NF，∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，∴△GPN≌△FPN（SSS），∴∠GPN＝∠FPN＝90°，∴PF⊥CP，∵MH∥PF，∴MH⊥CP．证法二：过点P作PG⊥HF于G点，由PG∥DH，∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，∵AH＝HF，∴HG：HF＝1：2，即G是HF中点，∴PH＝PF，∵CP平分∠DCF，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，∴∠KPE＝135°，PK＝PE，∴△PHK≌△PFE（HL），∴∠HPF＝135°，∠PFG＝22.5，在△CPF中，由内角和推得∠CPF＝90°，∴MH⊥CP．【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．9．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．【思路点拨】（1）根据题意可得，再由HC是⊙O的切线，即可求证．（2）先证明△CAG≌△FAG（ASA），设出CG，根据勾股定理即可求解．（3）①根据题意，求出AG的长，再由即可求解．②根据题意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解．③作出辅助线，设出CG，利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，进而可求得S△CHA＝8，再证明△CHA∽△BHC，即可解答．【解析】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，∴．由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，∵HC是⊙O的切线，∴HC⊥CE，∴AD∥HC．（2）解：如图1，连接AO，∵，∴∠BAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AGC＝∠AGF＝90°，∴△CAG≌△FAG（ASA），∴CG＝FG，设CG＝a，则FG＝a，∵，∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，∴（3a）2＝AG2+（2a）2，∴，∴．答：tan∠FAG的值为．（3）解：①如图1，∵，∴，∴，∴，∴，∵CE⊥AD，∴AD＝2AG＝，∵，∴，∴．答：BC的长为．②如图2，连接CD，∵AD∥HC，FG＝CG，∴AH＝AF，∵∠HCF＝90°，∴，设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得x＝1，∴AG＝3，AD＝6，∵，∴∠DAC＝∠BCD，∵∠CDN＝∠ADC，∴△CDN∽△ADC，∴，∴，∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，∴△ANB∽△ACD，∴＝．答：△ANB的周长为．③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则，设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，∵AD∥HC，FG＝CG，∴，∴，∴，∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，∴△AFG∽△OFM，∴，∴AF•FM＝OF•GF，∴AF•AM＝AF•（AF+FM）＝AF2+AF•FM＝AF2+OF•GF＝22，可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），∴CG＝FG＝2，∴OG＝3，∴AG＝4，∴，∴S△CHA＝8，∵AD∥HC，∴∠CAD＝∠ACH，∵，∴∠B＝∠CAD，∴∠B＝∠ACH，∵∠H＝∠H，∴△CHA∽△BHC，∴．答：△BHC的面积为．【点睛】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、特殊四边形、三角函数、全等三角形、勾股定理等结合解决相关计算问题。1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．（1）求证：CE＝CB；（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．【思路点拨】（1）根据AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，得AD⊥AB，∠AEB＝90°，则∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，再根据∠ABD＝∠AEC得∠ADB＝∠CEB，进而再由∠ADB＝∠DBE得∠CEB＝∠DBE，据此可得出结论；（2）连接CO并延长交BE于H，则∠AOC＝2∠ABC，由（1）的结论可知CE＝CB，则，由垂径定理得AH⊥BE，再根据AB是⊙O的直径得∠AEB＝90°，由此可得AE∥CH，则∠BAE＝∠AOC，据此可得出结论（3）证△ABE和△OCF相似得AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，则AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，由得，由此解出x＝，则BF＝r+x＝，然后在Rt△OCF中，由勾股定理求出CF＝，最后再根据锐角三角形的定义可得tan∠ABC的值．【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，∴AD⊥AB，∠AEB＝90°，∴∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，∵∠ABD＝∠AEC，∴∠ADB＝∠CEB，∵∠ADB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠DBE，∴CE＝CB；（2）证明：连接CO并延长交BE于H，如下图所示：∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝2∠ABC，由（1）的结论可知：CE＝CB，∴，∴AH⊥BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE，∴AE∥CH，∴∠BAE＝∠AOC，∴∠BAE＝2∠ABC；（3）解：∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，∴∠BEA＝∠CFO＝90°，AB＝2OC，又∵AE∥CH，∴∠BAE＝∠AOC，∴△ABE∽△OCF，∴AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，∴AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，∴S△BCF＝BF•CF＝（r+x）•CF，S△ABE＝AE•BE＝×2x•2CF＝2x•CF，∵，∴，即，解得：x＝，∴BF＝r+x＝r+＝，在Rt△OCF中，OF＝x＝，OC＝r，由勾股定理得：CF＝，∴tan∠ABC＝＝＝．【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解决问题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．（2）求∠AMB的度数．（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．【思路点拨】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而AB＝10，AC＝6，则BC＝＝8；（2）因为点M是△ABC的内心，所以∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，则∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，即可根据三角形内角和定理求得∠AMB＝135°；（3）连结AD、BD，则∠ADB＝90°，因为CM平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，则＝，所以AD＝BD，由勾股定理得AB＝AD，由∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，得∠DAM＝∠DMA，则DM＝AD，所以AB＝DM，即可证明DM＝AB．【解析】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴BC的长为8．（2）解：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵点M是△ABC的内心，∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，∴∠AMB的度数为135°．（3）证明：连结AD、BD，则∠ADB＝90°，∵点M是△ABC的内心，∠ACB＝90°，∴CM平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∴＝，∴AD＝BD，∴AB＝＝＝AD，∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC，∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC，∴∠DAM＝∠DMA，∴DM＝AD，∴AB＝DM，∴DM＝AB．【点睛】此题重点考查圆周角定理、三角形的内心的定义和性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．3．（2024•临安区一模）在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，①求证：FD＝DC；②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．【思路点拨】（1）连接BD，在直角三角形BCD中，由射影定理可得DE2＝BE•CE，求出BC、CE即可求DE；（2）①连接OF，根据平行线的性质推导出∠FOD＝∠COD，可得＝，即可证明FD＝CD；②先求AB＝2OD＝10，设BF＝x，DF＝y，再由（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，推导出x＝10﹣y2，则四边形FBCD的周长＝﹣（y﹣5）2+25，当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．【解析】（1）解：连接BD，∵BE：EC＝2：3，BC＝10，∴BE＝4，CE＝6，∵BC是圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴DE2＝BE•CE，∴DE＝2；（2）①证明：连接OF，∵OD∥AB，∴∠DOC＝∠ABO，∠BFO＝∠FOD，∵BO＝OF，∴∠FBO＝∠OFB，∴∠FOD＝∠COD，∴＝，∴FD＝CD；②四边形FBCD的周长有最大值，理由如下：∵BC是圆O的直径，∴∠BFC＝90°，∵DF＝CD，∴AD＝CD，∵OD＝5，∴AB＝2OD＝10，设BF＝x，DF＝y，∴AF＝10﹣x，AC＝2y，∴（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，∴x＝10﹣y2，∴四边形FBCD的周长＝10+x+2y＝10+10﹣y2+2y＝﹣（y﹣5）2+25，∴当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，射影定理，二次函数的图象及性质是解题的关键．4．（2024•宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO．（1）如图1，求证：AD⊥BC．（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．（3）如图2，在（2）的条件下，①若，求BC的长．②若，求tan∠ACE的值．【思路点拨】（1）延长AO交⊙O于点M，连结CM，利用圆周角定理，三角形外角的性质和垂直的定义解答即可；（2）利用平行线的性质，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）①利用相似三角形的判定与性质得到，设AC＝5a，则AF＝a，设CE＝x，则EF＝5k﹣x，利用勾股定理求得x，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；②连结DO并延长交BC于点K，连结AK，利用全等三角形的判定与性质得到CE＝EK，∠DCK＝∠DKC，再利用线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质得到AK＝BK＝AC＝CF，CK＝BF，设BF＝b，则CK＝b，，CF＝kb，利用勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．【解析】（1）证明：延长AO交⊙O于点M，连结CM，如图，∵AM为⊙O的直径，∴∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠M＝90°．∵∠CAD＝∠BAO，∴∠CAD+∠DAM＝∠BAO+∠DAM，∴∠CAM＝∠BAD．又∠M＝∠B，∴∠BAD+∠B＝90°，即∠AEB＝90°，∴AD⊥BC．（2）证明：∵AO∥CD，∴∠FAE＝∠D，∵∠D＝∠B，∴∠FAE＝∠B．∵∠CAF＝∠CAE+∠FAE，∠FAB+∠B＝∠AFC，∴∠CAF＝∠AFC，∴CA＝CF．（3）①∵∠CAD＝∠FAB，∠D＝∠B，∴△ACD∽△AFB，∴．设AC＝5a，则AF＝a，由（2）知：CF＝CA，∴CF＝5a．设CE＝x，则EF＝5k﹣x，∵AE2＝AC2﹣CE2，AE2＝AF2﹣EF2，∴AC2﹣CE2＝AF2﹣EF2，∴，∴x＝4a，∴CE＝4a，EF＝a，∴AE＝＝3a．∵∠FAE＝∠B，∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴，∴AE2＝EF•EB，即，∴，∴CF＝5a＝，∴．②连结DO并延长交BC于点K，连结AK，如图，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AO∥CD，∴∠OAD＝∠CDA，∴∠CDA＝∠ODA．在△CDE和△KDE中，，∴△CDE≌△KDE（ASA），∴CE＝EK，∠DCK＝∠DKC．∵AO∥CD，∴∠DCK＝∠AFC，∵∠AFC＝∠OFK，∴∠OFK＝∠DKC，∴OF＝OK，∵CE＝EK，AD⊥BC，∴AD为CK的垂直平分线，∴AC＝AK，∴△ACK为等腰三角形，∵AE⊥CK，∴∠CAD＝∠KAD，∵∠CAD＝∠BAO，∴∠KAD＝∠BAO，∴∠OAD＝∠BAK，∴∠BAK＝∠ODA＝∠CDA＝∠B，∴AK＝BK．∴AK＝BK＝AC＝CF，∴CF+FK＝BK+FK．即CK＝BF．设BF＝b，则CK＝b，，CF＝kb，即AC＝AK＝KB＝bk，∴AE＝＝．∵∠AEC＝90°，∴．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，恰当的添加辅助线和利用勾股定理列出方程解答是解题的关键．5．（2024•北仑区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．（1）∠BCO+∠BAC＝90°；（2）如图2，若半径OC∥AD．①求证：AB＝AC；②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．（3）如图3，过D作DF⊥BC于点H，交AC于点F，BO的延长线恰好经过点F，若AD＝5，，求OF的长．【思路点拨】（1）连接BO，根据2∠BCO+2∠BAC＝180°，可推导出∠BCO+∠BAC＝90°；（2）①推导出∠ABC＝∠ACB，即可证明；②连接OD，连接AO延长交BC于点M，证明△ABC∽△OCD，可推导出AB：BC＝5：6，设AB＝5k，则BC＝6k，BM＝3k，分别求出BE＝，AE＝，即可得tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；（3）过点O作OI⊥BC交于I点，先证明△ABE≌△FBE，可得∠ABD＝∠FBD，再证明△BHF≌△BEF，得HF＝EF，从而证明△HFC≌△EFD≌△EAD，设AE＝x，ED＝y，则HD＝5+x，HC＝y，由方程组，求出，求出EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，再求BH＝12，BC＝15，BF＝4，可得BI＝BC＝，根据OI∥HF，求得BO＝，即可求OF＝BF﹣BO＝．【解析】（1）解：如图1，连接BO，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵2∠BCO+2∠BAC＝180°，∴∠BCO+∠BAC＝90°，故答案为：90°；（2）①证明：∵OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD，∴∠ACO+∠ABC＝90°，∵AC⊥BD，∴∠CBD+∠ACB＝90°，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；②解：如图2，连接OD，连接AO延长交BC于点M，∴AM⊥BC，∵∠BCO+∠BAC＝90°，∠DBA+∠BAC＝90°，∴∠BCO＝∠DBA＝∠DCA，∴∠ACO+∠DCA＝∠ACO+∠BCO，∴∠BCA＝∠OCD，∵AB＝AC，OC＝OD，∴∠ABC＝∠ACB＝∠OCD＝∠ODC，∴△ABC∽△OCD，∴AB：BC＝OC：CD，∵OC：CD＝5：6，∴AB：BC＝5：6，设AB＝5k，则BC＝6k，BM＝3k，在Rt△AMB中，AM＝＝4k，∵2S△ABC＝BC•AM＝AC•BE，∴BE＝，在Rt△ABE中，AE＝＝，∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；（3）解：如图3，过点O作OI⊥BC交于I点，∵AC⊥BD，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∠EDF+∠EFD＝90°，∵DH⊥BC，∴∠HFC+∠HCF＝90°，∵∠HCF＝∠EDA，∠HFC＝∠EFD，∴∠DAF＝∠HFC＝∠DFA，∴AD＝FD，∴AE＝EF，∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEF，∴△ABE≌△FBE，∴∠ABD＝∠FBD，同（2）可得，∠CBO＝∠ABD＝∠ACD＝∠FBD，∵∠BEF＝∠BHF＝90°，BF＝BF，∴△BHF≌△BEF，∴HF＝EF，∴△HFC≌△EFD≌△EAD，设AE＝x，ED＝y，则HD＝5+x，HC＝y，在△AED和△DHC中，，解得，∴EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，∵∠OBC＝∠ECD，HF＝4，∴BH＝＝12，BC＝15，BF＝4，∴BI＝BC＝，∵OI∥HF，∴BI：BH＝BO：BF，∴BO＝，∴OF＝BF﹣BO＝．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的圆心角与圆周角的关系，垂径定理，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．6．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．（1）求证：AE＝BF．（2）当AB＝1时，求CP的最小值．（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．【思路点拨】（1）由正方形的性质得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，由AB是⊙O的直径，得∠APB＝90°，可证明∠BAE＝∠CBF，进而证明△ABE≌△BCF，得AE＝BF；（2）连接OP、OC，由AB＝1，得OP＝OB＝，AB＝BC＝1，则OC＝＝，由CP+OP≥OC，得CP+≥，则CP≥，所以CP的最小值为；（3）取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，则IP＝IC＝IF＝IE＝EF，所以P、E、C、F四点都在⊙I上，而CP＝CF，则∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，可证明∠CEF＝∠AEB，CF＝BE，则＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，所以＝，则BE＝BC，求得BE：BC的值为．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF＝90°﹣∠ABP，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF．（2）解：如图1，连接OP、OC，∵AB是⊙O的直径，且AB＝1，∴OP＝OB＝AB＝，AB＝BC＝1，∴OC＝＝＝，∵CP+OP≥OC，∴CP+≥，∴CP≥，∴CP的最小值为．（3）如图2，取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，∵∠EPF＝∠ECF＝90°，∴IP＝IC＝IF＝IE＝EF，∴P、E、C、F四点都在⊙I上，∵CP＝CF，∴∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，由（1）得△ABE≌△BCF，∴∠AEB＝∠BFC，CF＝BE，∴∠CEF＝∠AEB，∴＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，∴＝，整理得BE2+BC•BE﹣BC2＝0，∴BE＝BC或BE＝BC（不符合题意，舍去），∴＝，∴BE：BC的值为．【点睛】此题重点考查正方形的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．7．（2024•湖州一模）如图，在▱ABCD中，∠B是锐角，，BC＝10．在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O．（1）当时，①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长．（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长．【思路点拨】（1）①利用圆周角定理和切线的性质定理得到PC⊥PB，利用直角三角形的边角关系定理得到BP，再利用勾股定理解答即可得出结论；②连接CP，PD，利用圆周角定理和平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，利用直角三角形的边角关系定理求得AP，再利用勾股定理求得PD，PC，则结论可求；（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，利用轴对称的性质，圆周角定理和垂直的定义得到∠B＝∠FPE＝45°，则△BFC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得线段MB′，AB′，设PN＝AN＝x，则PE＝x+6，NB′＝6﹣x，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．【解析】解：（1）①∵PE⊥BC，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴PC为⊙O的直径，∵AB与⊙O相切于点P，∴PC⊥PB．∵，∴＝，∴BP＝BC＝6，∴CP＝＝＝8；②连接CP，PD，如图，∵PE⊥BC，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴PC为⊙O的直径，∴∠PDC＝90°．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，∴∠APD+∠PDC＝180°，cos∠PAD＝cos∠B＝，∴∠APD＝90°．∵cos∠PAD＝，∴AP＝6，∴PD＝＝8．∴PC＝＝＝2，∴⊙O的半径长为PC＝．（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，由题意得：∠B＝∠FB′E，∵∠FB′E＝∠FPE，∴∠FPE＝∠B．∵PE⊥BE，∴∠B＝∠FPE＝45°．∵PE⊥BC，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴PC为⊙O的直径，∴∠PFC＝90°，∴△BFC为等腰直角三角形，∴BF＝FC＝BC＝5，∴AF＝AB﹣BF＝．∵AD∥BC，∴∠MAF＝∠B＝45°，∴MF＝MA＝AF＝1，∵FB＝FB′＝5，∴MB′＝＝7，∴AB′＝MB′﹣MA＝6．∵AD∥BC，PE⊥BC，∴PN⊥AD．∵EN为平行四边形ABCD的高，∴NE＝AB•sin∠B＝6＝6，∵△PAN为等腰直角三角形，∴设PN＝AN＝x，则PE＝x+6，NB′＝6﹣x．∵PE＝BE＝B′E，∴B′E＝x+6．在Rt△NB′E中，∵NB′2+NE2＝B′E2，∴（6﹣x）2+62＝（x+6）2，∴x＝．∴PN＝AN＝，∴PA＝PN＝．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的有关性质和恰当的添加辅助线是解题的关键．8．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD．（1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC；（2）求证：BF＝CD；（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC．①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长；②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABC＝∠ADB＝α，再由圆内接四边形的性质可得结论．（2）分别证明∠AFB＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，再证明△ABF≌△ACD（AAS）即可得到结论．（3）①连接BM，MC，Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），得∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM，tan∠DAC＝，得，，求得BP＝6，MP＝4，AP＝9，即可求得AF的长．②连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q，证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得，，求得MP＝2PF，证明△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形，可得四边形BMQF是菱形，进一步可求得结论．【解析】（1）解：∵．∴∠ABC＝∠ADB＝α．∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC＝180°．∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α．（2）证明：∵AF＝AD．∴∠AFD＝∠ADB＝α．∴∠AFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣α．∴∠AFB＝∠ADC．∵∠ABD，∠ACD是所对的圆周角．∴∠ABD＝∠ACD．又AF＝AD．∴△ABF≌△ACD（AAS）．∴BF＝CD．（3）①解：如图2，连接BM，MC．．∵AM是直径．∴∠ABM＝∠ACM＝90°．∵△ABF≌△ACD（AAS）．∴∠BAM＝∠CAD，AB＝AC．又AM＝AM．∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL）．∴BM＝CM，∠BAM＝∠CAM．∴∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM．∵AB＝AC．∴AM⊥BC且AM平分BC．∵tan∠DAC＝，AM＝13．∴，．∴BP＝6，MP＝4，AP＝9．∴PF＝MP＝4．∴AF＝AP﹣PF＝9﹣4＝5．②猜想：∠AFC＝90°．如图，连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q．．∵AB＝AC，AF＝AD．∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5＝∠7．∵∠3，∠6是所对的圆周角．∴∠3＝∠6．∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP．∴，．∵FG＝2GD．∴MP＝2PF．∵∠2＝∠7．∴BD∥MC．∴△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形．∴．∵∠4＝∠5．∴BM＝BF．∴四边形BMQF是菱形．∴BF＝MQ＝FQ．∴MQ＝FQ＝QC．∴∠7＝∠MFQ，∠MCF＝∠QFC．∵∠7+∠MFQ+∠MCF+∠QFC＝180°．∴∠MFC＝90°．∴∠AFC＝90°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的意义等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．9．如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4．（1）求证：AF＝AG．（2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形．（3）在（2）的基础上，若，①求DN的长；②求．【思路点拨】（1）由D、E分别为，中点，得出，，由圆周角定理可得∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，进而得到∠AFG＝∠AGF即可求证；（2）先证明△ADE≌△NDE，得到AE＝NE＝CE，即可求证；（3）①过A点作AH⊥DE于点H，由三角函数得到HE＝，GE＝，再证明△AFD∽△EGA，根据勾股定理可得AD＝2，再由△ADE≌△NDE即可求解；②由△BDN∽△ECN，可得，设S△ECN＝4S，则S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，分别表示出S△CBE和S四边形ADBE即可求解．【解析】（1）证明：∵D、E分别为，中点，∴，，∴∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，∵∠AFG＝∠DAB+EAD，∠AGF＝∠AED+CAE，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG；（2）证明：∵D、E分别为，中点，∴，，∴∠ADE＝∠NDE，∠AED＝∠NED，AE＝EC，∵DE＝DE，∴△ADE≌△NDE（ASA），∴AE＝NE＝CE，∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝∠BAC＝60°，∴△NEC是等边三角形；（3）①∵AF＝AG．∠BAC＝60°，∴△AFG为等边三角形，过A点作AH⊥DE于点H，如图：∵AF＝4，∴FH＝HG＝AF＝2．AH＝＝2．∴tan∠DEA＝tan∠DAF＝＝，∴HE＝，∴GE＝HE﹣HG＝，由（1）知，∠AEG＝∠DAF，∠ADF＝∠EAG，∴△AFD∽△EGA，∴，即，∴DF＝6，∴AD＝＝＝2，∵△ADE≌△NDE，∴DN＝AD＝2；②∵DN＝AD＝BD，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴△BDN为等边三角形，∵△CEN为等边三角形，∴∠BDC＝∠CEB＝60°，∴BD∥CE，△BDN∽△ECN，∴＝（）2＝＝＝＝，设S△ECN＝4S，则S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，S△CBE＝S△ECN+S△BNC＝10S，∵△ADE≌△NDE，∴S△ADE＝S△NDE＝6S，∴S四边形ADBE＝6S+6S+9S＝21S，∴＝＝．【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键，10．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．①平行四边形是倍分四边形．√②梯形是倍分四边形．×（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．①求sinC；②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．【思路点拨】（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，可判断①是真命题；②梯形的对角线不平分梯形的面积，可判断②是假命题；（2）过D作DE⊥AC于E，根据AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，可得DE＝AB＝3，故AE＝＝4，AC＝2AE＝8，故BC＝＝；（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，由BA＝BC，得AM＝CM，故S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，可知倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，而∠ANC＝90°，AM＝CM，有MN＝AM＝CM＝AC，从而＝，知OM⊥CN，NH＝CH，设OH＝m，由S△BCN＝S△MCN，有MH＝BN＝2m，可得OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，根据勾股定理可得BM＝2m，即得sin∠ACB＝＝；②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，由F为OC的中点，得OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，则BM＝BC•sin∠ACB＝4，CM＝＝4，证明△BDN≌△MDH（AAS），得DM＝BD＝BM＝2，故CD＝＝6，而DP是△MBF的中位线，可得DP＝BF＝，DP∥BC，故△DPE∽△CFE，即得DE＝CD＝×6＝．【解析】解：（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，故平行四边形是倍分四边形，①是真命题；故答案为：√；②梯形的对角线不平分梯形的面积，故梯形不是倍分四边形，②是假命题；故答案为：×；（2）过D作DE⊥AC于E，如图：∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，∴AB•AC＝DE•AC，∴DE＝AB＝3，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∵AD＝DC，DE⊥AC，∴AC＝2AE＝8，在Rt△ABC中，BC＝＝＝，∴BC的长为；（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，如图：∵BC为⊙O的直径，∴∠BNC＝∠BMC＝90°，∵BA＝BC，∴AM＝CM，∴S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，∵∠ANC＝180°﹣∠BNC＝90°，AM＝CM，∴MN＝AM＝CM＝AC，∴＝，∴OM⊥CN，NH＝CH，设OH＝m，则BN＝2m，∵S△BCN＝S△MCN，∴BN•CN＝MH•CN，∴MH＝BN＝2m，∴OM＝OH+MH＝3m，∴OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，在Rt△OCH中，CH2＝OC2﹣OH2＝8m2，在Rt△CMH中，CM＝＝＝2m，在Rt△BMC中，BM＝＝＝2m，∴sin∠ACB＝＝＝；②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，如图：∵F为OC的中点，∴OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，在Rt△BCM中，BM＝BC•sin∠ACB＝12×＝4，∴CM＝＝＝4，由①知，BN＝MH，∵∠BND＝∠MHD＝90°，∠BND＝∠MDH，∴△BDN≌△MDH（AAS），∴DM＝BD＝BM＝2，∴CD＝＝＝6，∵P为MF的中点，∴DP是△MBF的中位线，∴DP＝BF＝，DP∥BC，∴△DPE∽△CFE，∴＝＝＝，∴DE＝CD＝×6＝．【点睛】本题考圆的综合应用，涉及新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，AB为⊙O的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF．（1）求的值．（2）求证：∠ECA＝∠BAO．（3）当时，判断△OBF的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）连结BC，OC．过点O作OD⊥BC于点D，则BC＝2BD＝2CD，由AB平分∠OBC，可得∠OBA＝∠ABC，又由∠OBA＝∠OAB，可得BC∥OA，可证明四边形OECD为矩形，得出CD＝OE，再求解即可：（2）由OB＝OC，可得∠OBC＝∠BCO，再由∠CBA＝∠OBA，可得∠BOC＝180°﹣4∠CBA．再求解可得结论；（3）过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N．先证明△BCF∽△AEF，可得＝，设BF＝2x，则AF＝3x，AB＝5x，再证明△AFC∽△ACB，可得AC＝x，最后再通过勾股定理求解即可．【解析】（1）解：连结BC，OC．过点O作OD⊥BC于点D，则BC＝2BD＝2CD，∵AB平分∠OBC，∴∠OBA＝∠ABC，∵∠OBA＝∠OAB．∴BC∥OA．∵CE⊥OA，∴四边形OECD为矩形，∴CD＝OE．∴BC＝2OE，即＝；（2）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BCO，∵∠CBA＝∠OBA，∴∠BOC＝180°﹣4∠CBA．∠BAC＝∠BOC＝90°﹣2∠CBA，∠ECA＝90°﹣∠OAC＝90°﹣∠OAB﹣∠BAC＝90°﹣∠OAB﹣（90°﹣2∠CBA）＝2∠CBA﹣∠OAB＝∠BAO；（3）解：△OBF是等腰三角形，理由如下：由（1）可知＝，且，∴，∵BC∥OA，∴△BCF∽△AEF，∴，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足为M，N，如图，设BF＝2x，则AF＝3x，AB＝5x，由垂径定理得AN＝、FN＝，∵∠ECA＝∠BAO．∠ABC＝∠BAO．∴∠ECA＝∠ABC，∵∠BAC＝∠CAF，∴△AFC∽△ACB，∴，即，∴AC＝x，∴AM＝AC＝，∵CE⊥AO，∴∠ACE∠AOM＝∠OAB，∵∠NOM＝∠MAN，∴∠NOA＝∠MAO，∵∠ANO＝∠OMA＝90°，AO＝OA，∴△AOM≌△OAN（AAS），∴ON＝AM＝，在Rt△ONF中，OF＝＝2x．∴OF＝BF，∴△OBF是等腰三角形．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解题关键．12．已知，如图四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，，点T在BC的延长线上．BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF．（1）求证：CD平分∠ACT；（2）求∠AED的度数；（3）若，△DEF的面积等于25，求AC的长．【思路点拨】（1）可推出∠DCT＝∠BAD＝∠ACD，从而得出结论；（2）连接BD，设∠FBD＝α，可推出∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，进而得出∠BED＝∠FBD＝α，从而得出BD＝DE，进一步得出结果；（3）设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，可推出AC＝CT，＝，从而得出从而sin∠ACD＝，从而得出sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，tan∠EFG＝＝，可设DE＝AD＝4x，则AC＝5x，解△DEF，进而得出结果．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCT＝∠BAD，∵，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CD平分∠ACT；（2）解：如图1，连接BD，设∠FBD＝α，∵，∴AD＝BD，∠BAD＝∠ABD＝∠ACD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADE＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝45°，∴∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，∴∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，∴∠BED＝∠BDC﹣∠FBD＝2α﹣α＝α，∴∠BED＝∠FBD，∴BD＝DE，∴AD＝DE，∴∠AED＝∠DAE＝45°；（3）解：如图2，设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，由（1）（2）得：∠ABC＝∠ADC＝∠CDT＝90°，∠ACD＝∠DCT＝∠BAD，∴∠CAD＝∠CTD，△CDT∽△ABT，∴AC＝CT，＝，∴，∴∴sin∠ACD＝，∵，∴∠BFD＝∠ACD，∴sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，∴tan∠EFG＝＝，设DE＝AD＝4x，则AC＝5x，∵四边形CBFD内接于⊙O，∴∠EDF＝∠CBE＝45°，∴DG＝EG＝DE•sin∠EDF＝4x•＝2，∴FG＝，∴DF＝DG﹣FG＝2＝，由DF•EG＝S△DEF得，，∴x1＝5，x2＝﹣5（舍去），∴AC＝5x＝25．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．13．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．①当BC＝5时，求AD的长．②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．【思路点拨】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程解答即可；（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，利用和美三角形的定义得到∠DBC＝∠A，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理得到tanA＝，则结论可得；（3）利用圆周角定理和勾股定理得到AC的长度，利用分类讨论的数学方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到EC＝BC，再利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到DE＝AD，利用圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可；（4）利用分类讨论的数学方法，依据和美三角形的定义和相似三角形的判定与性质，类比（3）的方法解答即可．【解析】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，∴x+x+90°+x＝180°，∴x＝30°．∴当和美三角形是等腰三角形时，和美角的度数为30°．（2）证明：过点B作BD⊥AB，交AC于点D，如图，则∠ABD＝90°，∵△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，∴∠ABC＝90°+∠A，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°+∠DBC，∴∠DBC＝∠A．∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CBA，∴．在Rt△ABD中，tanA＝，∴；（3）解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝13，BC＝5，∴AC＝＝12．Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，如图，由（2）知：tan∠EAC＝，在Rt△ABC中，tan∠EAC＝，∴，∴EC＝5．∴EC＝BC．∴∠CEB＝∠CBA．∵∠CBA＝∠CDA，∠AED＝∠CEB，∴∠CDA＝∠AED，∴AD＝AE．∵CE＝CB，CF⊥AB，∴BF＝EF＝BE．∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，∴△BCF∽△BAC，∴，∴，∴BF＝，∴BE＝2BF＝，∴AD＝AE＝AB﹣BE＝；Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，如图，由（2）知：tan∠ACE＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACE＝∠ABD，∴tan∠ACE＝tan∠ABD＝．∵∠CAB＝∠CDB，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB，∴，∴，∴DE＝AD，∴∠DAE＝∠DEA．∵∠AED＝∠CEB，∠DAE＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝13﹣5＝8．∵DE＝AD，CH⊥AB，∴AH＝AE＝4．∵∠ADB＝90°，CH⊥AB，∴△ADH∽△ABD，∴，∴，∴AD＝＝2．综上，AD的长2或；②当△BCD是和美三角形时，的值为或．理由：设∠CAB＝α，Ⅰ．当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图，则∠ACD＝∠BCD＝45°，CE＝CB，α＝22.5°，∴；Ⅱ．当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图，则∠CEA＝90°+α，∠ACE＝90°﹣2α，∠DCB＝2α，∠CBD＝90°+2α，∵△BDC的内角和为180°，∴α＝18°．∴；Ⅲ．当∠ACD与∠CDB为和美角时，如图，则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，∠CBD＝90°+α，∵△BDC的内角和为180°，∴α＝18°．∴；Ⅳ．当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图，则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，∵∠ACB＝90°，∴α＝0°，这种情况不存在．综上，的值为或．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G，连结BG，CG，CG＝FG．（1）如图1，求证：△BCG≌△BFG．（2）如图2，BG与CD交于点N，过点F作BG的平行线交CD于点M，若NE＝a，求DM．（用含a的代数式表示）（3）如图3，在（2）的条件下，连结GE，若△EFG与△DFM的面积相等，求cos∠ABC的值．【思路点拨】（1）根据垂径定理求出BC＝BD，根据圆周角定理求出∠BGC＝∠BGF，利用SAS即可证明△BCG≌△BFG；（2）连结CF与BG交于点H，利用SAS证明△HCG≌△HFG，根据全等三角形的性质得出CH＝FH，根据平行线分线段成比例定理求出CM＝2CN，根据垂径定理求出CD＝2CE，根据线段和差求解即可；（3）由△EFG与△DFM的面积相等，推出GP＝DM＝2EN，设BC＝k，cos∠ABC＝x，则BE＝PE＝kx，根据等腰三角形的性质、平行线的性质、线段的和差求出AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，由三角函数定义求出BC2＝BE•AB，代入求解即可．【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴BC＝BD，∴∠BGC＝∠BGF，在△BCG和△BFG中，，∴△BCG≌△BFG（SAS）；（2）解：如图2，连结CF与BG交于点H，∵∠BGC＝∠BGF，CG＝FG，HG＝HG，∴△HCG≌△HFG（SAS），∴CH＝FH，∵FM∥BG，∴CM＝2CN，∵OB⊥CD，∴CD＝2CE，∴DM＝CD﹣CM＝2CE﹣2CN＝2NE＝2a；（3）解：连结AG，AC，作GP⊥AB于点P，∵△EFG与△DFM的面积相等，∴EF•GP＝EF•DM，∴GP＝DM＝2EN，∵NE⊥AB，GP⊥AB，∴NE∥GP，∴＝＝，∴BE＝BP，∴BE＝PE，设BC＝k，cos∠ABC＝x，∵cos∠ABC＝，∴BE＝PE＝kx，∵BC＝BF＝k，∴PF＝2kx﹣k，∵∠GBC＝∠GBA，∴CG＝AG＝GF，∴AP＝PF＝2kx﹣k，∴AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，∵AB为⊙O的直径，∴cos∠ABC＝＝，∴BC2＝BE•AB，∴k2＝kx•（4kx﹣k），∴4x2﹣x﹣1＝0，∴x＝或x＝（舍去），∴cos∠ABC＝x＝．【点睛】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、垂径定理、平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．（1）连接OP交AC于点M，求证：∠ACB＝∠AMO；（2）设∠OCB＝α，求tanα的值；（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．【思路点拨】（1）根据切线性质得出PA＝PC，由OA＝OB，得出点O、P在线段AC的垂直平分线上，证明∠AMO＝90°，根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB＝90°，证明∠ACB＝∠AMO；（2）证明△DCA∽△DBC，得出，求出tan∠OCB＝tan∠OBC＝tanα＝＝3即可；（3）连接CF，FG，由△DCA∽△DBC，得出，求出AB＝8，根据，设BC＝k，AC＝3k，根据BC2+AC2＝AB2列出方程，求出，得出，，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，求出CF＝CH+FH＝＝，最后根据勾股定理求出结果即可．【解析】（1）证明：∵PA，PC是⊙O的两条切线，∴AB⊥AP，OC⊥CP，PA＝PC，∵OA＝OB，∴点O、P在线段AC的垂直平分线上，∴OP垂直平分AC，即∠AMO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AMO．（2）解：∵∠ACB＝90°，∠OCD＝90°，∴∠BCD＝∠ACO＝∠OAC，∵∠D＝∠D，∴△DCA∽△DBC，∴，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴．（3）解：连接CF，FG，如图所示：∵点G与点F关于圆心O对称，∴GF过圆心，且为⊙O的直径，∴∠GCF＝90°，由（2）得△DCA∽△DBC，∴，即，∴AB＝8，又∵，∴设BC＝k，AC＝3k，由BC2+AC2＝AB2得，∴k2+（3k）2＝82，即10k2＝64，∴（舍去负值），即，，如图，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，如图所示：∵点F为AB的中点，∴AF＝BF，∠ACF＝∠BCF＝45°，∴，∴，，∴，在Rt△CFG中，，∴（负值舍去）．【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，三角形相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判断，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和定理，灵活应用．16．（2024•杭州模拟）等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC；（3）在（2