2023-2024学年浙江省慈溪市（区域联考）中考四模数学试题含解析

2023-2024学年浙江省慈溪市（区域联考）中考四模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，四边形ABCD是正方形，点P,Q分别在边AB,BC的延长线上且BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并

分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论：①AQLDP；②△OAESAOPA；③当正方形的边长为3,

3

BP=1时，cos/DFO=m，其中正确结论的个数是（）

2.如图，平行四边形ABC。中，E,尸分别为AD,边上的一点，增加下列条件，不一定能得出5E〃。厂的是（）

C.NEBF=NFDED.ZBED=ZBFD

3.如图，（DO的半径OD_L弦AB于点C,连结AO并延长交于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长

为。

A.2^/15C.2710D.2713

4.在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（）

A.中位数是9B.众数为16C.平均分为7.78D.方差为2

5.“一般的，如果二次函数尸a,+公+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程a，+h+c=O有两个不相等的

实数根.——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程，-2x=，-2实数根的情况是（）

x

A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根

6.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4,4）,B（6,2）,以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为

原来的工后得到线段CD,则端点C和D的坐标分别为（）

2

A.(2,2),(3,2)B.(2,4),(3,1)

C.(2,2),(3,1)D.(3,1),(2,2)

14

7.解分式方程----3=--时，去分母可得()

x-22-x

A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4

C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=4

8.平面直角坐标系内一点P（-2,3）关于原点对称点的坐标是（）

A.(3,-2)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)

9.如图，E,B,F,C四点在一条直线上，EB=CF,NA=NO,再添一个条件仍不能证明△A3cg△OE歹的是（)

C.ZE=ZABCD.AB//DE

10.函数二=•.=：的自变量x的取值范围是（）

A.x>lB.x<lC.x<lD.x>l

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为.

13.如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出

水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）

与时间x（单位：分）之间的部分关系.那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完.

14.如图，点是反比例函数y=々左>0,x>0）图像上的两点（点A在点3左侧），过点A作A£）_Lx轴于点

X

S.OAR2114

交08于点E,延长交工轴于点C,已知黄坦=玄，S^OAE=—,则左的值为__________.

^AADC5

15.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC

上的点F处.若点D的坐标为（10,8）,则点E的坐标为.

16.如图，在△ABC中，ZABC=90°,AB=CB,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF,若NCAE=32。,

则NACF的度数为

17.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸

到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，CE〃DF,EC=BD,AC=FD,求证：AE=FB.

2x5

19.（5分）解方程：一^-+=^=1.

2x—11—2x

20.（8分）某蔬菜加工公司先后两次收购某时令蔬菜200吨，第一批蔬菜价格为2000元/吨，因蔬菜大量上市，第二

批收购时价格变为500元/吨，这两批蔬菜共用去16万元.

（1）求两批次购蔬菜各购进多少吨？

（2）公司收购后对蔬菜进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润800元.要求

精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？

21.（10分）如图，已知直线/与。O相离，于点A,交。。于点P,Q4=5,A3与。。相切于点3,3P的延长

线交直线/于点C.

（1）求证：AB=ACf

（2）若PC=2逐，求。。的半径.

22.（10分）在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为:

剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中

随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）.

该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？学校教务处要从这些被调查的女生中，随

机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？

23.（12分）漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析,

将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）.请你根据图中所给的信息解答下列

问题:

请将以上两幅统计图补充完整；若“一般”和“优秀”均被

视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有▲人达标:若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的

学生有多少人？

24.（14分）“十九大”报告提出了我国将加大治理环境污染的力度，还我青山绿水，其中雾霾天气让环保和健康问题

成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在全校学生中抽取400名同学做了一次调查，根据调查统

计结果，绘制了不完整的一种统计图表.

对雾霾了解程度的统计表

对雾霾的了解程度百分比

A.非常了解5%

3.比较了解m

C.基本了解45%

D.不了解n

请结合统计图表，回答下列问题：统计表中：m=,"=;请在图1中补全条形统计图；请问在图2所

示的扇形统计图中，。部分扇形所对应的圆心角是多少度？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

由四边形ABC。是正方形，得到=根据全等三角形的性质得到NP=/Q,根据余角的

性质得到AQA.DP-,故①正确；根据勾股定理求出AQ=[AB2+BQ2=5,"FO=ZBAQ,直接用余弦可求出.

【详解】

详解：•••四边形ABC。是正方形，

：.AD=BC,ZDAB=ZABC=90,

,:BP=CQ,

：.AP^BQ,

AD=AB

在4DAP与小ABQ中，＜NDAP=ZABQ

AP=BQ,

:.ADAP义AABQ,

：.NP=NQ,

ZQ+ZQAB=90,

ZP+ZQAB^90,

AZAOP=90,

：.AQ±DP；

故①正确；

②无法证明，故错误.

'：BP=1,AB=3,

：.BQ=AP=4,

AQ=^AB2+BQ2=5,

/DFO=NBAQ,

A53

/.cosZDFO=cosZBAQ=——=-.故③正确，

AQ5

故选C.

【点睛】

考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高.

2、B

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC,AD=BC,然后由AE=CF,ZEBF=ZFDE,/BED=NBFD均可判定

四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE//DF,利用排除法即可求得答案.

【详解】

四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,

A、VAE=CF,

，DE=BF,

二四边形BFDE是平行四边形，

/.BE//DF,故本选项能判定BE//DF；

B、VBE=DF,

四边形BFDE是等腰梯形，

•••本选项不一定能判定BE//DF；

C、VAD//BC,

ZBED+ZEBF=180°,ZEDF+ZBFD=180°,

VZEBF=ZFDE,

/.ZBED=ZBFD,

四边形BFDE是平行四边形，

/.BE//DF,

故本选项能判定BE//DF；

D、VAD//BC,

:.ZBED+ZEBF=180°,NEDF+/BFD=180。，

VZBED=ZBFD,

.\ZEBF=ZFDE,

二四边形BFDE是平行四边形，

二BE//DF,故本选项能判定BE//DF.

故选B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，注意根据题意证得四边形BFDE是平行四边形是关键.

3、D

【解析】

VOO的半径0。_1弦AB于点C,AB=8,.*.AC=AB=1.

设。O的半径为r,则OC=r-2,

在RtAAOC中，VAC=1,OC=r-2,

2222

.\OA=AC+OC,即/=尸+(r-2),解得r=2.

:.AE=2r=3.

连接BE,

VAE是。O的直径，，ZABE=90°.

在RtAABE中，VAE=3,AB=8，/.BE=A/AE2-AB2=V102-82=6-

在RtABCE中，VBE=6,BC=1,CE=A/BE2+BC2=A/62+42=2^/13.故选D.

4、A

【解析】

根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；

【详解】

观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为L

故选A.

【点睛】

本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5、C

【解析】

试题分析：由X：-2x=l-2得=--L即是判断函数》=（x-D］与函数）=工-1的

XXXX

图象的交点情况.

X1-2x=-2

x

-2x4-1=-

x

Y

因为函数与函数二-1的图象只有一个交点

所以方程二L--只有一个实数根

X

故选C.

考点：函数的图象

点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.

6、C

【解析】

直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以工得出即可.

2

【详解】

解：•.•线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),

以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的工后得到线段CD,

2

二端点的坐标为：(2,2),(3,1).

故选C.

【点睛】

本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.

7、B

【解析】

方程两边同时乘以(x-2),转化为整式方程，由此即可作出判断.

【详解】

方程两边同时乘以(x-2),得

1-3(x-2)=-4,

故选B.

【点睛】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

8、D

【解析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,j),关于原点的对称点是(-X,-j),即关于原点的对称点，横纵坐标都变成

相反数”解答.

【详解】

解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

...点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3),故选D.

【点睛】

本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.

9、A

【解析】

由EB=CF,可得出EF=BC,又有NA=ND,本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明

△ABC^ADEF,那么添加的条件与原来的条件可形成SSA,就不能证明AABC^^DEF了.

【详解】

VEB=CF,

/.EB+BF=CF+BF,即EF=BC,

又,../A=ND,

A、添加DE=AB与原条件满足SSA,不能证明△ABC^^DEF,故A选项正确.

B、添力口DF〃AC,可得NDFE=NACB,根据AAS能证明△ABC也Z\DEF,故B选项错误.

C、添加NE=NABC,根据AAS能证明△ABC^^DEF,故C选项错误.

D、添力口AB〃DE,可得NE=NABC,根据AAS能证明△ABCg△DEF,故D选项错误，

故选A.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、

SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边

的夹角.

10、C

【解析】

试题分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出X的范围.

试题解析：根据题意得：1-xNO,

解得：x<l.

故选C.

考点：函数自变量的取值范围.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、55-cm2

【解析】

由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可.

【详解】

由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm,

/.表面积=Rx5x6+7tx52=55Rcm2,

故答案为：55jrcm2.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数

学思想.如果圆锥的底面半径为r,母线长为/,那么圆锥的表面积=加/+仃2.

12、1

【解析】

分析：首先根据正比例函数得出a的值，然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值.

详解：将(a,1)代入正比例函数可得：a=l,.I交点坐标为(1,1),

,,.k=lxl=l.

点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型.根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键.

13、8o

【解析】根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论:

由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20+4=5升。

设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得20+8(5-a)=30,解得：a=?。

二关闭进水管后出水管放完水的时间为：15(分钟)。

30+—=8

4

20

14、—

3

【解析】

14SAOAB_21S四边形D437r21

过点B作BF±OC于点F,易证SAOAE=S四边形DEBF=-，SAOAB=S四边形DABF，因为《——玄，所以--------

25

SRCF41

7----=不，又因为AD〃BF,所以SABCFSSAACD,可得BF:AD=2：5,SAOAD=SAOBF,所以一XODXAD

SAADC252

=—xOFxBF,BPBF:AD=2：5=OD：OF,易证：SAOED0°SAOBF,SAOED：SAOBF=4:25,SAOED：S四边形EDFB=4:2L所

2

88141020

kASAOED=~，SAOBF=SAOED+S四边形EDFB=——+~=~,艮P可得解：k=2SAOBF=­_.

【详解】

解：过点B作BFJ_OC于点F,

由反比例函数的比例系数|k|的意义可知：SAOAD=SAOBF,

.14

••SAOAD-SAOED=SAOBF-SAOED,BPSAOAE=S四边形DEBF=—,SAOAB=S四边形DABF,

S.OAB21

・W_2S，

0AA£)C乙°

・S四边形ZMBF_S&BCF_

SAADC25S^DC25

VAD/7BF

:.SABCF0°SAACD,

ABF:AD=2：5,

•SAOAD=SAOBF,

11

:.—xODxAD=—xOFxBF

22

ABF:AD=2：5=OD：OF

易证：SAOED0°SAOBF,

**«SAOED:SAOBF=4:25,SAOED:S四边形EDFB=4:21

・・14

•*S四边形EDFB=19

.881410

•••SAOED=百,SAOBF=SAOED+S四边形EDFB=1+《=—,

・20

••k=2SAOBF=・

3

故答案为2;0.

【点睛】

本题考查反比例函数的比例系数|k|的几何意义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理.

15、(10,3)

【解析】

根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角AAOF中，利用勾股定理求得OF=6,然后设EC=x,贝!|EF=DE=8-x,

CF=10-6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.

【详解】

V四边形AOCD为矩形的坐标为(10,8),

：.AD=BC=WfDC=AB=89

•••矩形沿AE折叠，使。落在5c上的点尸处，

：.AD=AF=10,DE=EF,

RtAAOF^,OF=y/AF2-AO2=6,

/.FC=10-6=4,

设EC=x,贝!|OE=E^=8—x,

在Rt4CEF中,EF^EC^^C2,

即(8-X)2=7+42,

解得x=3,即EC的长为3.

点E的坐标为(10,3).

16、58

【解析】

根据HL证明RtACBF义RtAABE,推出NFCB=NEAB,求出NCAB=NACB=45。，

求出NBCF=NBAE=13。，即可求出答案.

【详解】

解：VZABC=90°,

.,.ZABE=ZCBF=90°,

在RtACBF和RtAABE中

CF=CE

BC=AB,

/.RtACBFRtAABE(HL),

/.ZFCB=ZEAB,

；AB=BC,NABC=90。，

.\ZCAB=ZACB=45°.

VZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-32°=13°,

.,.ZBCF=ZBAE=13°,

ZACF=ZBCF+ZACB=45°+13°=58°

故答案为58

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的性质

是全等三角形的对应边相等，对应角相等.

17、1.

【解析】

由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可.

【详解】

设白球个数为：x个，

•••摸到红色球的频率稳定在25%左右，

，口袋中得到红色球的概率为25%,

解得：x=l,

故白球的个数为1个.

故答案为：L

【点睛】

此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、见解析

【解析】

根据CE〃DF,可得NECA=NFDB,再利用SAS证明△ACE^^FDB,得出对应边相等即可.

【详解】

解：VCE/7DF

.\ZECA=ZFDB,

在小ECA和小FDB中

EC=BD

<ZECA^ZF

AC=FD

.,.△ECA^AFDB,

；.AE=FB.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

19、x=—

2

【解析】

先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解.

【详解】

原方程变形为2丁x---5=3,

2%—12x—1

方程两边同乘以(2x-1),得2x-5=l(2x-1),

解得尤=-。.

检验：把x=-；代入(2x-1),(2x-1)#0,

=是原方程的解，

...原方程的X=

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根.

20、(1)第一次购进40吨，第二次购进160吨；(2)为获得最大利润，精加工数量应为150吨，最大利润是1.

【解析】

(1)设第一批购进蒜藁a吨，第二批购进蒜耋b吨.构建方程组即可解决问题.

(2)设精加工x吨，利润为w元，则粗加工(100-x)吨.利润w=800x+400(200-x)=400x+80000,再由x<3(100-x),

解得烂150,即可解决问题.

【详解】

(1)设第一次购进a吨，第二次购进b吨，

a+b=200

2000«+500^=160000)

a=40

解得，I”>

b=160

答：第一次购进40吨，第二次购进160吨；

(2)设精加工x吨，利润为w元，

w=800x+400(200-x)=400x+80000,

*/x<3(200-x),

解得，x<150,

•,.当x=150时，w取得最大值，此时w=l,

答：为获得最大利润，精加工数量应为150吨，最大利润是1.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用与一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用与一次函数的

应用.

21、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

(1)由同圆半径相等和对顶角相等得NOBP=NAPC,由圆的切线性质和垂直得NABP+NOBP=90。和

ZACB+ZAPC=90°,则NABP=NACB,根据等角对等边得AB=AC；

(2)设。O的半径为r,分别在RtAAOB和RtAACP中根据勾股定理列等式，并根据AB=AC得5?-F=(26)2

-(5-r)2,求出r的值即可.

【详解】

解：(1)连接OB,VOB=OP,/.ZOPB=ZOBP,VZOPB=ZAPC,

/.ZOBP=ZAPC,；AB与。O相切于点B,AOB±AB,/.ZABO=90°,

.,.ZABP+ZOBP=90°,VOA1AC,.*.ZOAC=90°,AZACB+ZAPC=90°,/.ZABP=ZACB,

；.AB=AC；

(2)设。O的半径为r,在RSAOB中,AB2=OA2-OB2=52-r2,

在RtAACP中，AC2=PC2-PA2,AC2=(275)2-(5-r)2,

VAB=AC,/.52-r2=(2^/5)2-(5-r)2,解得：r=l,

则。O的半径为1.

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径；并利用勾股定理列等式，求圆的半径；此类题的一般

做法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；简记作：见切点，连半径，见垂直.

22、(1)详见解析；(2)40%；(3)105；(4)—.

16

【解析】

(1)先求出参加活动的女生人数，进而求出参加武术的女生人数，即可补全条形统计图，再分别求出参加武术的人数

和参加器乐的人数，即可求出百分比；

(2)用参加剪纸中男生人数除以剪纸的总人数即可得出结论；

(3)根据样本估计总体的方法计算即可；

(4)利用概率公式即可得出结论.

【详解】

(1)由条形图知，男生共有：10+20+13+9=52人,

二女生人数为100-52=48人，

，参加武术的女生为48-15-8-15=10人，

,参加武术的人数为20+10