押广东深圳卷第11-15题（因式分解、概率、圆、反比例函数、三角形变换）（解析版）-备战2024年中考数学

押广东深圳卷第11-15题押题方向一：因式分解3年广州深圳卷真题考点命题趋势2023年广州深圳卷第12题因式分解从近年广州深圳中考来看，因式分解是近几年广州深圳的必考题，考查比较简单；预计2024年广州深圳卷还将继续重视因式分解的考查。2022年广州深圳卷第11题因式分解2022年广州深圳卷第11题因式分解1．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为．【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．2．（2022·广东深圳·中考真题）分解因式：=．【答案】．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．3．（2021·广东深圳·中考真题）因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式7，然后再使用平方差公式求解即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的方法，先提公因式，再看能否套平方差公式或完全平方式．因式分解是核心考点，常在填空题中出现。多项式的因式分解，先提取公因式，再利用平方差、完全平方公式分解即可．1．（2024·广东深圳·二模）分解因式：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式因式分解，即得答案．【详解】．故答案为：．2．（2023·广东深圳·模拟预测）因式分解：．【答案】【分析】利用平方差公式：，进行两次分解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3．（2023·广东深圳·模拟预测）因式分解：.【答案】【分析】先提公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提供因式法和公式法分解因式是解答的关键．4．（2023·广东深圳·模拟预测）因式分解：．【答案】【分析】先提公因式2m,再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：，，．故答案为：．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（2024·广东揭阳·一模）因式分解：．【答案】【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．先提取公因式，再用平方差公式分解．【详解】解：．故答案为：．6．（2024·浙江温州·一模）已知，，则多项式的值为．【答案】【分析】本题考查整式、因式分解的知识，解题的关键是对多项式变形为，再把、的值，代入，即可．【详解】∵，∴当，时，，故答案为：．押题方向二：概率3年广州深圳卷真题考点命题趋势2023年广州深圳卷第11题概率从近年广州深圳中考来看，概率是近几年广州深圳的常考题；预计2024年广州深圳卷还将继续重视概率的考查。1．（2023·广东深圳·中考真题）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为．【答案】/0.25【分析】根据概率公式进行计算即可．【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，∴，故答案为：．【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数。2．列举法：1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。1．（2024·广东深圳·二模）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是．A冰化成水B酒精燃烧C牛奶变质D衣服晾干【答案】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：物理变化的卡片有A和D，则画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种，所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为．故答案为：．2．（2024·广东深圳·二模）在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有个．【答案】【分析】此题考查的是用频率估计概率；根据用频率估计概率可知：摸到白球的频率为0.25，根据概率公式即可求出小球的总数，从而求出红球的个数．【详解】解：设红球约有个，则，解得：，经检验是原方程的解，故答案为：．3．（2024·广东深圳·一模）一个箱子里装有除颜色外都相同的2个白球，3个红球，1个蓝球，现添加若干个相同型号的篮球，使得从中随机摸取1个球，摸到蓝球的概率是，那么添加了个蓝球．【答案】4【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．设添加的蓝球的个数是x，根据概率公式列出算式，再进行求解即可．【详解】设添加了x个蓝球，根据题意，得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，即添加了4个蓝球，故答案为4．4．（2023·广东深圳·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则．【答案】9【分析】根据概率公式列出方程求解即可．【详解】∵在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，∴共有个球，其中黄球n个，根据概率公式知：，解得，经检验，是原方程的根，方程的解为：，故答案为：9．【点睛】此题考查概率公式和分式方程，解题关键在于根据概率公式列出方程．5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图平行四边形中，E为的中点，交与点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为．

【答案】【分析】根据平行四边形的性质得到，推出，证得，整理得到，由，得到，即可得到米粒落在图中阴影部分的概率．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴，即∵，∴，∴，即米粒落在图中阴影部分的概率为，故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，求几何概率，正确掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键．6．（2023·广东深圳·二模）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们选择的不是同一个主题的概率是．【答案】【分析】先画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择不是同一个主题的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择不是同一个主题的结果有6种，∴小明和小亮恰好选择不是同一个主题的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键在于理解概率等于所求情况数与总情况数之比．7．（2023·广东深圳·三模）疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，某校有3个测温通道，分别记为A，B，C通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王恰好选择A通道测温进校园的概率是．【答案】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】小王恰好选择A通道测温进校园的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．押题方向三：圆3年广州深圳卷真题考点命题趋势2023年广州深圳卷第13题圆从近年广州深圳中考来看，圆是近几年广州深圳中考的必考题；预计2024年广州深圳卷还将继续重视对圆的考查。1．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则°．

【答案】35【分析】由题意易得，，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∵平分，∴；故答案为35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。1．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，弧长公式，熟练掌握三线合一性质是解题的关键．连接，，由等腰三角形的性质推出，得到，推出，由，，因此，由弧长公式即可求出弧的长．【详解】解：如图，连接，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴弧的长．故答案为：．2．（2023·广东深圳·三模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是．

【答案】/130度【分析】利用直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算，利用圆内接四边形的性质求得的度数．【详解】解：为的直径四边形内接于故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，与相切于点C，的延长线交于点A，连接，若，则．

【答案】/25度【分析】连接，与相切于点C，得到，根据三角形内角和得到的度数，然后用三角形外角的性质求出的度数．【详解】解：如图：连接，

∵与相切于点C，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案是：．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，求出的度数是解题的关键．4．（2023·广东深圳·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是．【答案】2【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，即可求得的值．【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，连接，根据圆周角定理可得，∵每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均在网格交点上，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键．5．（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交点，则的度数等于．【答案】【分析】本题考查翻折的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的关键．根据对称轴的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可．【详解】解：如图，作点关于的对称点，则点在上，连接，，．由翻折的性质可知，，，，∵，∴，，，是的直径，，又，，故答案为：．6．（2023·广东深圳·三模）数学小组研究如下问题：深圳市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径约为千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；（参考数据：，，，）根据以上信息，北纬纬线的长度约为千米．

【答案】【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，

根据题意，∵，∴，∵在中，，∴，∵，∴由垂径定理可知：，∴以为直径的圆的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．押题方向四：反比例函数3年广州深圳卷真题考点命题趋势2023年广州深圳卷第14题反比例函数从近年广州深圳中考来看，反比例函数是近几年广州深圳中考的必考题，利用k值求图形面积，或由图形面积求K值；预计2024年广州深圳卷还将继续重视对反比例函数的考查。2022年广州深圳卷第14题反比例函数2021年广州深圳卷第14题反比例函数1．（2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则．【答案】【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，，∵，，∴，∴，∴点，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为．【答案】【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．【详解】解：连接，作轴于点，由题意知，是中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，在反比例函数上，．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为．【答案】【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标．【详解】设：，反比例：将点A代入可得：；联立可得：过点B作y轴的平行线l过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点则，∴．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．反比例函数中K值的几何意义：三角形的面积，矩形的面积，特殊图形的面积。．1．（2024·广东深圳·二模）如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点D，设点A的坐标为，得到，，然后根据得到，，然后利用得到关于m的方程解题即可．【详解】解：过点作轴于点D，设点A的坐标为，∴，，∵轴，点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点，，∴，∴，∴，，∴，解得：，故答案为：．2．（2024·广东深圳·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知．【详解】过点A作于点E，于点F，，，轴，，，设，则，，，，，，，，，，，点A在反比例函数的图象上，，．3．（2024·广东深圳·一模）如图，点和在反比例函数的图象上，其中，若的面积为8，则．【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例的性质是解题的关键．根据题意得到，将数据代入方程即可得到答案．【详解】解：作轴，垂足为，轴，垂足为，根据反比例函数的值的几何意义可知，,且，点和在反比例函数的图象上，，整理得，解得或，，，故答案为：．4．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作弧，连接．则阴影部分面积之和为．

【答案】【分析】将，代入中即可求解；先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答．本题考查反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的几何意义是解题关键．【详解】解：将，代入到中，得：，解得：；过点作的垂线，交轴于，

，，，，，半径为2；，，由菱形的性质可知，，，圆心角的度数为；，，，在菱形中，，，，．故答案为：5．（2024·广东深圳·一模）如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点，则的长为．【答案】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，正方形的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据点的坐标及四边形是正方形可得出点坐标，进而求出，令小正方形的边长为，表示出点的坐标，再根据点在反比例函数的图象上即可解决问题．【详解】解：因为四边形是正方形，且，所以点的坐标为．因为点在反比例函数的图象上，所以，则反比例函数的解析式为．令小正方形的边长为，则，，所以点的坐标为．将点坐标代入反比例函数解析式得，，解得（舍负），所以，．在中，．故答案为：．6．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图像上，延长交轴于点，若，的面积为，则的值为．

【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，反比例函数几何意义，过点作于点，证明，结合等腰三角形性质推出，进而得到，推出的面积，进而得到，根据反比例函数几何意义得到进行求解，即可解题．【详解】解：过点作于点，

，，，等腰三角形，，，，，，的面积为，的面积为，即，，，故答案为：．7．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G，若，则k的值为．【答案】1【分析】设，则，，，待定系数法求直线的解析式为，进而可求，，则，由勾股定理得，，如图，作于，则，，由勾股定理得，，则，可求，进而可求的值．【详解】解：设，则，，，设直线的解析式为，则，解得，，∴直线的解析式为，当时，，即，当时，，即，∴，由勾股定理得，，如图，作于，则，∴，由勾股定理得，，∴，解得，，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理是解题的关键．押题方向五：三角形3年广州深圳卷真题考点命题趋势2023年广州深圳卷第15题三角形翻折从近年广州深圳中考来看，三角形变换是近几年广州深圳中考的必考题，对三角形的折叠，翻转等；预计2024年广州深圳卷还将继续重视对三角形变换的考查。2022年广州深圳卷第15题三角形旋转2021年广州深圳卷第15题三角形折叠1．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则．

【答案】【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：．作于点M，于点N，则，过点G作于点P，

∵于点M，∴，设，则，，又∵，，∴，，，∵，即，∴，，在中，，，设，则∴∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，∴，设，则，，在中，，即，化简得：，∴，∴故答案是：．【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．2．（2022·广东深圳·中考真题）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为．

【答案】【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，，则，即可解决问题．【详解】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，

是等腰直角三角形，∴∠HBD=45°∵∠FBD=45°∴点B、F、H共线又是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．3．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为．【答案】【分析】延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长，，交于点M，结合，可得，，进而即可求解．【详解】解：如图，延长，交于点G，设由折叠，可知，∵，∴，∴，延长，，交于点M，∵，∴，，∴，∵，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．1.旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，将军饮马问题．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．正确的识别图形是解题的关键．1．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，合理的作出辅助线是解决问题的关键．连接，作于点，证得，可得，，，进而可得，同理可得，求得，，根据勾股定理可得结果．【详解】解：连接，作于点，，点是边的中点，过点作边的垂线，，，，，，，，，，，，，，同理可得，，，，．故答案为：．2．（2024·广东深圳·二模）已知，，，点F在上，作于E，交延长线于G，连接，，，则的长为．

【答案】/【分析】可证得A、E、D、G四点共圆，推出，推出，证得，得到，再证得，从而得到，利用三角形中位线定理以及，可推出，利用勾股定理求得的长，即可求解．【详解】解：连接，如图：∵，，∴，∴A、E、D、G四点共圆，∴，∵∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，

∴点H为中点，点C为中点，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，四点共圆的知识，作出常用辅助线，利用四点共圆的知识证得∠2=∠3是解题的关键．3．（2024·广东深圳·二模）在中，，，，点D在边上，，连接，过点A作于点E，且的延长线交边于点F，则【答案】【分析】由得到算出的长度，利用得到的长度．【详解】作交的延长线与点G，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，勾股定理的应用，平行线的性质，同角的余角相等，正确的作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．4．（2024·广东深圳·二模）如图，在四边形中，，，对角线与交于点E，若，，则