2024届福建省龙岩市一中高三上学期第三次月考数学试题及答案

龙岩一中2024届高三上学期第三次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合

Ax2x20

，

Bxylnx，则

AB（

）A.

0,1

B.

0,2

C.

0,1

D.

0,22.已知复数z

12i

，则z在复平面内所对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限3.已知

cos2

π4

24，则sin2（

）A.

1516

B.

1516

C.

34

D.

344.已知等差数列anA.10

的前n项和为SB.11

n

，若aa0，aa0，则S取最大值时n的值为（10111012nC.12D.13

）5.已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC表面积等于

2，则球OA.4

B.3

C.2

D.

6.已知n为平面

的一个法向量，l为一条直线，则“ln”是“l//”的（

）A.充分不必要条件C.充要条件

B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.已知抛物线C：y24x（y0）的焦点为F，点A为抛物线上一点，AF5，若2FBBA，则点B的纵坐标是（

）A.

43

B.

83

C.

163

D.

3238.如图，已知双曲线C:

x2a2

y2b2

1(a,b0)的左､右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C分别在第一､二象限交于A,B两点，△ABF2内切圆半径为r，若BF1ra，则C的离心率为（第1页/共4页

）xsinxsinA.

102

B.

253

C.

304

D.

855二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知a0,b0，直线l:x(a2)y10,l:bxy20，且ll，则（1212

）A.0ab1

B.

ab2

C.a2b22

D.

ba

2b

310.如图，在棱长为4的正方体ABCDABCD中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P1111为线段D1F上的动点，则（

）A.两条异面直线DC和BC所成的角为4511B.存在点P，使得CG//平面BEP1C.对任意点P，平面FCC平面BEP1D.点B到直线DF的距离为41111.电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数fx

sinx1

sin3x3

sin5x5

sin13x13的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（

）A.fx为周期函数，且最小正周期为第2页/共4页B.fx为奇函数C.yfx的图象关于直线x

2

对称D.fx的导函数fx的最大值为712.已知函数fx1xex1，数列an

满足函数fx的图像在点a,fa处的切线与x轴交于nnA.aean1ean1n

B.0a1nC.a2022

a2023

D.aaaa1123n

12n三、填空题：本题共4小题．13.已知a4,2，b1,1，则a在b方向上的投影向量的坐标为__________．14.已知函数fxx3x有2个极值点x，x，则xxfxfx12121

2

______．15.已知定义在R上的函数fx在0,上单调递增，且函数fx1为奇函数，则f3x4f1x2的解集为___________.16.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列an是以黄金分割数为公比的等比数列，且a2024a20252023，则a2023

_________．四、解答题：本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且ccosA3csinAab.（1）求角C；（2）若ABC的中线CD长为23，求ABC面积的最大值.18.已知S为等比数列ann

的前n项和，若4a

2

，2a，a成等差数列，且S8a2.3442（1）求数列an的通项公式；（2）若bn

an

an

n1

2

，且数列b的前n项和为Tnn

1，证明：12

Tn

14

.19.如图，平面ABCD平面ABE，点E为半圆弧AB上异于A，B的点，在矩形ABCD中，第3页/共4页点ean1an1,0,且点ean1an1,0,且a11,an0，则下列结论正确的是（）2aAB4BC，设平面ABE与平面CDE的交线为l.（1）证明：l//平面ABCD；（2）当l与半圆弧AB相切时，求平面ADE与平面CDE的夹角的余弦值.20.已知函数fxaxlnx．（1）求函数fx的极值；（2）证明：当0a1时，x0,，使得fx3aa2ln2．21.已知椭圆E:

x2a2

y2b2

1ab0离心率为

22

，焦距为22.（1）求E的方程；（2）过点T1,0分别作斜率和为1的两条直线l1与l2，设l1交E于A、B两点，l2交E于C、D两点，AB、CD的中点分别为M、N.求证：直线MN过定点.22.设抛物线C：y22x的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.（1）若AB过焦点F，且FAFB4，求直线AB的倾斜角；（2）求

PQPD

PQPE

的值.第4页/共4页龙岩一中2024届高三上学期第三次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合

Ax2x20

，

Bxylnx，则

AB（

）A.

0,1

B.

0,2

C.

0,1

D.

0,2【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合A，求函数的定义域求得集合B，由此求得AB.由ylnx得x0，所以B0,，所以AB0,2.故选：D2.已知复数z

12i

，则z在复平面内所对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先用复数的除法公式对复数化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.【详解】因为z

12i

2i2i2i

2i5

25

1555则z在复平面内所对应的点位于第四象.限故选：D.3.已知

cos2

π4

24，则sin2（

）A.

1516

B.

1516

C.

34

D.

34【答案】A【解析】第1页/共20页x【详解】由x2x2x2x10，解得1x【详解】由x2x2x2x10，解得1x2，所以A1,2.i，所以z21isin【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得sin2.【详解】因为

cos2

π

cos2sin22sincos2

2cossin

24，即cossin15解得sin216

.

14

，两边平方可得cos22sincossin21sin2

116

，故选：A4.已知等差数列anA.10

的前n项和为SB.11

n

，若aa0，aa0，则S取最大值时n的值为（10111012nC.12D.13

）【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质得出a100,a110即可求解.【详解】等差数列an，a10a122a110，a110，aa0，a0，则S取最大值时，n10.101110n故选：A.5.已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC表面积等于

2，则球OA.4

B.3

C.2

D.

【答案】A【解析】【详解】球心O为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为

12

SC1，所以S4,故选A.球6.已知n为平面

的一个法向量，l为一条直线，则“ln”是“l//”的（

）A.充分不必要条件C.充要条件

B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】第2页/共20页sin4sin4将“ln”与“l//”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当“ln”时，由于l可能在平面内，所以无法推出“l//”.当“l//”时，“ln”.综上所述，“ln”是“l//”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题.

7.已知抛物线C：y24x（y0）的焦点为F，点A为抛物线上一点，

AF5，若2FBBA，则点B的纵坐标是（

）A.

43

B.

83

C.

163

D.

323【答案】A【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得

A的坐标，再由2FBBA，列出方程，即可得到结果.【详解】p因为AF5，由抛物线的焦半径公式可得AFx，即x4，且y0AA所以A4,4，设Bx0,y0，则FBx01,y0,FA4x0,4y0，故选：A

00

0

x20

43

.8.如图，已知双曲线C:

x2a2

y2b2

1(a,b0)的左､右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C分别在第一､二象限交于A,B两点，△ABF2内切圆半径为r，若BF1ra，则C的离心率为（第3页/共20页

）22x14x又2FBBA，则0，解得22x14x又2FBBA，则0，解得4，所以点B的纵坐标是2y4yy03A.

102

B.

253

C.

304

D.

855【答案】D【解析】【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.【详解】设ABx，内切圆圆心为I，内切圆在BF2,AF2,AB上的切点分别为U,V,W，则BUBW,AVAW,F2UF2V，由BF1a及双曲线的定义可知，BF3a,AFxa,FUFV2222故四边形IUF2V是正方形，

12

BFAFABar，22得AF2BF2，于是BF2

2

AF2

2

|AB|2，故x29a2(xa)2，所以x5a，于是

3

12212由余弦定理可得FF2BF2BF22BFBFcosFBF12121212

685

a2，从而4c2

685

a2，所以e

ca

855

.第4页/共20页cosFBFcosπABF，在FBF中，5cosFBFcosπABF，在FBF中，5故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知a0,b0，直线l:x(a2)y10,l:bxy20，且ll，则（1212

）A.0ab1

B.

ab2

C.a2b22

D.

ba

2b

3【答案】ABD【解析】【分析】利用l1l2，找到ab2，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.【详解】l1l2,1b(a2)10,ab2，且a0,b0，所以

ab22(ab)2ab2ab2(ab)4，当且仅当ab时等号成立，ab2，故B正确；a2b2a2(2a)22a24a42(a1)222，故C错误；ba

2b

ba

abb

ba

ab

12

baab

13，当且仅当

ba

ab

，即ab1时等号成立，故D正确．故选：ABD.10.如图，在棱长为4的正方体ABCDABCD中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P1111为线段D1F上的动点，则（

）A.两条异面直线DC和BC所成的角为4511B.存在点P，使得CG//平面BEP1C.对任意点P，平面FCC平面BEP1第5页/共20页0ab1，当且仅当ab时等号成立，故A正确；0ab1，当且仅当ab时等号成立，故A正确；D.点B到直线DF的距离为411【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线所成角的概念结合正方体的性质可判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据线面垂直的判定定理可得BE平面FCC1，然后根据线线垂直的判定定理可判断C，利用余弦定理结合条件可判断D.【详解】对于A，由正方体的性质可知BC1//AD1，两条异面直线D1C和BC1所成的角即为ADC60，所以A错误；1对于B，当点P与点D1重合时，由题可知EG//DC,EGDC,D1C1//DC,D1C1DC，所以EG//D1C1,EGD1C1，四边形EGC1D1为平行四边形，故C1G//D1E，又C1G平面BEP，D1E平面BEP，则C1G//平面BEP，所以B正确；对于C，连结CF，由于CC1平面ABCD，BE平面ABCD，故CC1EB，第6页/共20页又AEBF,ABCB,ACBF，故△BAE△CBF，故AEBCFB，即EBACFB90，故CFBE，又CF,CC1相交，CF,CC1平面FCC1，故BE平面FCC1，又BE平面BEP，故对任意点P，平面FCC1平面BEP，所以C正确；对于D，由正方体的性质可得BD42,FD

2242426，BF224225，1

1

1

111

BD2FD2BF211111

62422252642

22

，所以B1D1F45，所以点B1到直线D1F的距离dB1D1sinB1D1F42

22

4，所以D正确．故选：BCD．11.电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数fx

sinx1

sin3x3

sin5x5

sin13x13的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（A.fx为周期函数，且最小正周期为B.fx为奇函数

）C.yfx的图象关于直线x

2

对称D.fx的导函数fx的最大值为7【答案】BCD【解析】【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可.第7页/共20页所以cosBDF112BDFD所以cosBDF112BDFD【详解】fx

sinx1

sin3x3

sin5x5

sin13x13

.对于A，fx

sin

x1

sin3xsin5x35

sin13x13

fx，不是fx的周期，故A错误；对于B，f

x的定义域为R,fxsinxsin3xsin5xsin13xfx，13513\f(x)为奇函数，故B正确；对于C，fxfx，且fx为奇函数，fxfx,fx的图象关于直线x对称，故C正确；2对于D，fxcosxcos3xcos5xcos13x，当x2kkZ时，cosnx1(n1,3，5,,13),fx取最大值7，故D正确.故选：BCD.12.已知函数fx1xex1，数列an

满足函数fx的图像在点a,fa处的切线与x轴交于nnA.aean1ean1n

B.0a1nC.a2022

a2023

D.aaaa1123n

12n【答案】ABD【解析】nn断

B，C；1

12n

12

122

123

12n

，证明

aaaa1123n

12n

，证明an2

an2

n

an2

11

2x在区间1,e上单调递减，判断D．【详解】fx1xex1，fan1anean1，第8页/共20页点ean1an1,0,且a11,an0，则下列结论正确的是（）【分析】利用导数求函数fx的点ean1an1,0,且a11,an0，则下列结论正确的是（）【分析】利用导数求函数fx的图像在点an,fan处的切线方程，令y0，判断A；推导出aean110，证明ean1ean，推导出fx在区间0,上单调递减，从而数列a单调递减，判eeaa2lne，令xe，n2gxlnxx(1xe)，利用导数性质推导出gxn切线方程为yaneanxan1anean1，令y0，解得xa1n

ean1a

，∴

ean1

ean1a

，∴aean1ean1，故选项A正确；nn

n设xexx1，则xex1，x0时x0，x0时x0，x在,0上单调递减，在0,上单调递增，xmin所以xexx10，即exx1，

00，当an0时，有ean110，即an

1

0，由a1,a0，∴a0，1nn下证数列a单调递减，即证n

ean1

ean，即证

ean1a

ean，即证ean1aean，nn即证1anean10，即证fan0，∵fxxex，当x0时fx0，∴fx在区间0,上单调递减，∵an0，∴fanf00，∴an1an，∴数列an单调递减，∴0ana11，且a2022a2023，故选项B正确，选项C错误；∵1

12n

12

122

123

12n

，要证

aaaa1123n

12n

，可证an

12n

，由a1，只需证a1

n1

1a，2naaaaannnn令xe

an2

，∵0a1，∴1xn

11

2x令gxlnx

12

1x则gx

x22x12x2

x122x2

∴gxg10，有lnx

12

1x

第9页/共20页∵fxxex，∴函数fx的图像在点an,fan处的切线斜率kaean，则有an∵fxxex，∴函数fx的图像在点an,fan处的切线斜率kaean，则有anean1ean1an11an，即anean110，即证aean1ae2n，即证ean1ae2n，即证e2ne2na2lne2n，e，则即证lnxx(1xe)，x(1xe)，0，∴gx在区间1,e上单调递减，x(1xe)，故选项D正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、填空题：本题共4小题．13.已知a4,2，b1,1，则a在b方向上的投影向量的坐标为__________．【答案】3,3【解析】【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为a4,2，b1,1，所以a向量在b方向的投影向量为bb故答案为：3,3

b

4222

1,13,3.14.已知函数fxx3x有2个极值点x，x，则xxfxfx12121

2

______．【答案】0【解析】【分析】由fx3x210得x1x20，然后根据函数解析式结合条件即得.【详解】因为函数fxx3x有两个极值点x与x1

2由fx3x210，则3x210的两根为x与x，12所以x1x20，即x2x1，由fxx3x，可得fxx3xx3xfx，所以x1x2fx1fx2fx1fx10.故答案为：0.15.已知定义在R上的函数fx在0,上单调递增，且函数fx1为奇函数，则f3x4f1x2的解集为___________.第10页/共20页abab【答案】

52【解析】【分析】先判断出fx在,单调递增，利用单调性解不等式.【详解】函数fx1为奇函数，函数fx关于0,1中心对称.则f1xf1x2又fx在0,上单调递增，\f(x)在,单调递增，从而f3x4f1x2可化为：f(3x4)2f1xfx1，53x4x1，2x5,x,原不等式的解集为2

525216.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列an是以黄金分割数为公比的等比数列，且a2024a20252023，则a2023

_________．【答案】2023【解析】【分析】先根据题意列方程求出黄金分割数，则可得等比数列的公比，然后根据等比数列的通项公式和黄金分割数的性质求解即可.【详解】由题意，设整体为1，较大部分为x，则较小部分为1x，则

x1x

1x

，即x2x10，解得x

512

（x

512

舍去），故黄金分割数为

512

．令q

512

所以an2an1an0，故a2023a2024a20252023．故答案为：2023第11页/共20页x∣xx∣x.故答案为：xx∣xx∣x.故答案为：x∣x.，则q2q10，即anq2q10，四、解答题：本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且ccosA3csinAab.（1）求角C；（2）若ABC的中线CD长为23，求ABC面积的最大值.【答案】（1）C

π3（2）43【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；（2）利用平面向量知CD

12

CACB，利用数量积与模关系及基本不等式可得

ab16，再根据面积公式求最值即可.【小问1详解】在ABC中，由正弦定理得：sinCcosA3sinCsinAsinAsinB，而BπACsinBsinAC，所以sinCcosA3sinCsinAsinAsinAC，化简得3sinCsinAsinAsinAcosC，因为A0,π，所以sinA0，3sinC1cosC，即

π6

12

，又因为

ππ5π666

，所以C

π6

π6

，即C

π3

.【小问2详解】1CACB，2所以|CD|2CA|2CB|22CACB，4即

12

14

a2b2ab，所以48a2b2ab3ab，所以ab16，当且仅当ab时，等号成立，第12页/共20页3sinCcosC1，所以sinCC,由CD是ABC的中线，CD3sinCcosC1，所以sinCC,由CD是ABC的中线，CD1所以三角形面积S

12

absinC

34

ab43，即ABC的面积的最大值为43.18.已知S为等比数列ann

的前n项和，若4a

2

，2a，a成等差数列，且S8a2.3442（1）求数列an的通项公式；（2）若bn

an

an

n1

2

，且数列b的前n项和为Tnn

1，证明：12

Tn

14

.【答案】1）a2n,nNn（2）证明见解析【解析】【分析】1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；（2）求出bn，然后运用裂项相消法求出可得结论【小问1详解】设数列an的公比为q，由4a2，2a3，a4成等差数列可得4a2a44a3，故4q24q，解得q=2，由S48a22可得

a124112

16a2，1解得a12，故an2n，即数列an的通项公式为n2n,nN.【小问2详解】由（1）可得bn

an

an

n1

2

2n1

12n12，故Tn

14

1111166101018

12n2

12n12

14

12n12

.当n1时，

2

1n12

1取得最大值，当6

n时，

2

1n12

00

12n12

1，6故

112

Tn

14

.第13页/共20页2a（（Tn.a2a2n22n122n22a（（Tn.a2a2n22n122n219.如图，平面ABCD平面ABE，点E为半圆弧AB上异于A，B的点，在矩形ABCD中，AB4BC，设平面ABE与平面CDE的交线为l.（1）证明：l//平面ABCD；（2）当l与半圆弧AB相切时，求平面ADE与平面CDE的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）

1010【解析】【分析】（1）由面面平行的性质定理得l∥CD，再由线面平行的判定定理可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∵AB平面ABE，CD平面ABE，∴CD∥平面ABE又CD平面CDE，平面ABE平面CDEl，∴l∥CD，∵CD平面ABCD，l不在平面ABCD内，∴l//平面ABCD.【小问2详解】取AB，CD的中点分别为O，F，连接OE，OF，则OFAB，∵平面ABCD平面ABE，且交线为AB，OF平面ABCD，∴OF平面ABE，又OE平面ABE，OFOE，当l与半圆弧AB相切时，OEl，即OEAB，以OE，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC1，易得A0,2,0，C0,2,1，D0,2,1，E2,0,0，则DE2,2,1，AD0,0,1，DC0,4,0，设mx1,y1,z1为平面DAE的一个法向量，第14页/共20页z0z011DEm02x12y1z10x1y1设nx,y,z为平面DCE的一个法向量，则，222∴

4y022x22y2z20mnmn

y0，所以22x2z2110，所以两平面的夹角的余弦值为2510

1010

.20.已知函数fxaxlnx．（1）求函数fx的极值；（2）证明：当0a1时，x0,，使得fx3aa2ln2．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与极值的关系求解；（2）利用导数与单调性最值得关系证明不等式能成立问题【小问1详解】易知x0，fxa

1x

ax1x

,当a0时，fx0，函数fx在0,上单调递减；当

1a

第15页/共20页ADm0，令x11，则m1,1,0ADm0，令x11，则m1,1,0则，即，∴DCn0DEn0即cosm,n，令x21，则n1,0,2.a0时，x0,时，fx0，fx单调递减，1a综上，当a0时，函数fx在0,上单调递减；当a0时，

11aa【小问2详解】由（1）可知，当0a1时，fx在x

1a

处取得最小值1lna，若x0,，使得fx3aa2ln2，只需a23a1lnaln20，令g

aa23a1lnaln2，由ga2a312a1a1，aa

12当

12故当a

12

时，gamax

12

14

311lnln222

14

0，所以，x0,，使得fx3aa2ln2．21.已知椭圆E:

x2a2

y2b2

1ab0离心率为

22

，焦距为22.（1）求E的方程；（2）过点T1,0分别作斜率和为1的两条直线l1与l2，设l1交E于A、B两点，l2交E于C、D两点，AB、CD的中点分别为M、N.求证：直线MN过定点.【答案】（1）

x24

y22

1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E的方程；（2）设直线AB的方程为yk1x1，直线CD的方程为yk2x1，则k1k21，将直线AB的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，可求得点M的坐标，同理可得出点N的坐标，求出直线MN的第16页/共20页x,时，f¢(x)>0，fx单调递增，fx在0,x,时，f¢(x)>0，fx单调递增，fx在0,上单调递减，在,上单调递增；可得，当a0,时，ga0，ga单调递增，a,1时，ga0，ga单调递减，g方程，并化简直线MN的方程，即可得出直线MN所过定点的坐标.【小问1详解】a2b2c2解：由已知条件可得2c22c2a2

a2，解得：bc2

.所以，椭圆E的方程为

x24

y22

1.【小问2详解】解：设直线AB的方程为yk1x1，直线CD的方程为yk2x1，则k1k21.ykx11联立x2y2

2k21x24k2x2k240，111因为点T1,0在椭圆E内，则直线l1、l2与椭圆E均相交，设点Ax1,y1、Bx2,y2，所以，xx12

4k212k211

，则121112112

2k11所以，线段

2k2k11

1,1同理可得，线段CD的中点为

2k2k22

2,2所以直线MN斜率为第17页/共20页e142yykx1kx1e142yykx1kx1kxx22k21，AB的中点为M.2k212k21N2k212k21k

kk212k212k21212k22k2212k212k2121

2kk2k2k2kk1211222k212k21124k2k22k24k2k22k21221212k212k2112

2kk1kk12212121

1kk.12所以直线MN方程为：1ykkx122

2k2k111

11

k2k21112k212k21122111

111222k211

1

1212由

x101xy0

可得

x1

12【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点

x,y，常利用直线的点斜式方程00

yykxx或截距式ykxb来证明.0022.设抛物线C：y22x的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.（1）若AB过焦点F，且FAFB4，求直线AB的倾斜角；（2）求

PQPD

PQPE

的值.【答案】（1）

π6

或

5π6（2）2【解析】【分析】（1）设AB直线的方程，再和抛物线联立，运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线AB的倾斜角；（2）设过A点且与抛物线C相切的直线方程为yy1kxx1，与抛物线联立由Δ0求出直线PA的第