4.2.1一次函数的定义

一次函数的定义（2012•富顺县校级模拟）一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k、b的值分别为（）A．，b=1 B．k=﹣2，b=1 C．，b=1 D．k=2，b=1【考点】待定系数法求一次函数解析式；解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】根据图象把点（0，1），（，0）代入一次函数的解析式得到方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由图象可知：过点（0，1），（，0），代入一次函数的解析式得：，解得：k=﹣2，b=1．故选B．【点评】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式是解此题的关键．（2012秋•玉环县校级期中）若一次函数y=﹣x+b的图象经过点（3，2），则一次函数的解析式为（）A．y=x+1 B．y=﹣x+5 C．y=﹣x﹣5 D．y=﹣x+1【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】把点的坐标代入解析式求出b，即可得出答案．【解答】解：∵一次函数y=﹣x+b的图象经过点（3，2），∴当x=3时，y=2，∴2=﹣3+b，解得b=5，∴一次函数解析式为：y=﹣x+5，故选B．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，把点的坐标代入计算求出b的值是解题的关键．（2011秋•苏州期末）下表给出的是关于一次函数y=kx+b的自变量x及其对应的函数值y的若干信息：则根据表格中的相关数据可以计算得到m的值是（）x…﹣101…y…01m…．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），将（﹣1，0）、（0，1）、（1，m）代入即可得出答案．【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b（k≠0）．根据图示知，该一次函数经过点（﹣1，0）、（0，1），则，解得，；∴该一次函数的解析式为y=x+1：又∵该一次函数经过点（1，m），∴m=1+1=2，即m=2；故选C．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式的知识，比较简单，注意掌握待定系数法的运用．（2010•南充自主招生）已知一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9．则k•b的值（）A．14 B．﹣6 C．﹣6或21 D．﹣6或14【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系．【专题】分类讨论．【分析】根据图象的增减性得出两种情况：①过点（﹣3，1）和（1，9）②过点（﹣3，9）和（1，1）分别代入解析式，求出即可．【解答】解：分为两种情况：①过点（﹣3，1）和（1，9）代入得：则有，解之得，∴k•b=14；②过点（﹣3，9）和（1，1）代入得：则有，解之得，∴k•b=﹣6，综上：k•b=14或﹣6．故选D．【点评】此类题目需利用y随x的变化规律，确定自变量与函数的对应关系，然后结合题意，利用方程组解决问题．（2010秋•海淀区校级期中）如图，已知直线y=kx﹣3经过点M，则此直线与x轴、y轴围成的三角形面积为（）A．2 B．4 C． D．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】把点M的坐标代入直线y=kx﹣3，求出k的值．然后让横坐标为0，即可求出与y轴的交点．让纵坐标为0，即可求出与x轴的交点．最后根据三角形的面积公式求得此直线与x轴、y轴围成的三角形面积．【解答】解：根据图示知，直线y=kx﹣3经过点M（﹣2，1），∴1=﹣2k﹣3，解得k=﹣2；∴当x=0时，y=﹣3；当y=0时，x=﹣．∴此直线与x轴、y轴围成的三角形面积=|x||y|=××3=．故选D．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．函数y=kx﹣3与y轴的交点的横坐标为0．函数与x轴的交点的纵坐标为0．（2009•辽宁）如图，直线m是一次函数y=kx+b的图象，则k的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】数形结合．【分析】根据画图确定一次函数y=kx+b的图象过点（1，0），（0，﹣2），然后代入解析式即可求得k的值．【解答】解：一次函数y=kx+b的图象过点（1，0），（0，﹣2），根据一次函数解析式y=kx+b的特点，可得出方程组，解得，则k的值是2．故选D．【点评】本题要注意利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数．（2009•鄂州校级模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（）A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）【考点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称-最短路线问题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．【解答】解：作A关于直线y=﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y=﹣x﹣；求BC与直线y=﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；故答案为B．【点评】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大．（2009秋•费县校级期末）一次函数y=2mx+m2﹣4的图象经过原点，则m的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】根据题意知一次函数y=2mx+m2﹣4的图象经过点（0，0），所以将其代入一次函数解析式，然后解关于m的方程即可．【解答】解：∵一次函数y=2mx+m2﹣4的图象经过原点，∴0=0+m2﹣4，即m2=4，解得，m=±2．故选D．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．解答该题时，利用了一次函数图象上点的坐标特征．（2009秋•怀化校级期中）已知一次函数y=2x+b，当x=2时，y=3，那么，当x=3时，y的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把x=2，y=3代入y=2x+b求出b，得出y=2x﹣1，把x=3代入即可求出答案．【解答】解：把x=2，y=3代入y=2x+b得：3=4+b，解得：b=﹣1，∴y=2x﹣1，当x=3时，y=2×3﹣1=5，故选B．【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．（2008•宣武区一模）已知一次函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如表所示，那么m的值等于（）x﹣101y1m﹣1A． B．0 C．﹣ D．2【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把（﹣1，1），（1，﹣1）代入y=kx+b得到方程组，求出方程组的解，得出y=﹣x，把（0，m）代入求出即可．【解答】解：把（﹣1，1），（1，﹣1）代入y=kx+b得：，∴，∴y=﹣x，当x=0时y=0，∴m=0．故选B．【点评】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．（2006秋•西城区期末）若一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过点（﹣3，2a）与点（a，），则这个函数的解析式为（）A． B．y=x或y=﹣xC． D．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】根据一次函数的图象过原点得出一次函数式正比例函数，设一次函数的解析式是y=kx，把点（﹣3，2a）与点（a，）代入得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：∵一个函数的图象是经过原点的直线，∴设一次函数的解析式是y=kx，把点（﹣3，2a）与点（a，）代入得：，由①得：a=﹣k③，把③代入②得：=﹣×（﹣k）k，k2=，k=±，∴y=x或y=﹣x，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，主要考查学生运用性质进行计算的能力．（2007秋•安庆月考）直线y=kx+3过点（2，1），则k的值是（）A．k=﹣2 B．k=2 C．k=﹣1 D．k=1【考点】待定系数法求一次函数解析式；解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】把（2，1）代入y=kx+3得到方程，求出方程的解即可．【解答】解：把（2，1）代入y=kx+3得：1=2k+3，解得：k=﹣1，故选C．【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到方程1=2k+3是解此题的关键．（2003•深圳）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1•x2），则直线l的解析式为（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x+3【考点】待定系数法求一次函数解析式；根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确定直线的解析式．【解答】解：由题意知，x1+x2=，x1•x2=﹣3，∴A（，0），B（0，﹣3），设直线l的解析式为：y=kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k=2，b=﹣3，∴直线l的解析式为：y=2x﹣3．故选A．【点评】本题主要考查了两个内容：1、一元二次方程的根与系数的关系，若方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c都是常数），有两个实数根x1和x2，则x1+x2=，x1•x2=；②利用待定系数法求函数的解析式．已知变量y与x之间的函数关系的图象如图，它的解析式是（）A． B．C． D．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】数形结合．【分析】从函数图象上可以看出，这条线段经过点（3，0）和（0，2），用待定系数法可求出函数关系式及自变量的取值范围．【解答】解：从函数图象上可以看出，这条线段经过点（3，0）和（0，2），所以可以设其函数关系式为y=kx+2．再把点（3，0）代入求得k=，所以其函数关系式为y=x+2，且自变量的取值范围为0≤x≤3．故选A．【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数k的值，即可求得函数关系式．一次函数y=kx+b满足x=0时，y=﹣1；x=1时，y=1，则这个一次函数是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x﹣1 D．y=﹣2x﹣1【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】把x=0，y=﹣1和x=1，y=1代入y=kx+b得出方程组，求出方程组的解，即可得出答案．【解答】解：∵把x=0，y=﹣1和x=1，y=1代入y=kx+b得：，解得：k=2，b=﹣1，∴一次函数的解析式是y=2x﹣1，故选C．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，主要考查学生的计算能力．（2014秋•源城区校级期末）如图，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为y=2x+2．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】根据图象写出该直线所经过的点的坐标，然后将其代入函数的解析式y=kx+b，列出关于k、b的一元二次方程，然后解方程求得k、b的值；最后将它们代入函数解析式即为所求．【解答】解：设该直线方程是：y=kx+b（k＞0）．根据图象知，该直线经过点（﹣1，0）、（0，2），则，解得，，∴此函数的解析式为y=2x+2．故答案是：y=2x+2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．（2014春•台山市校级期末）已知一次函数的图象经过点A（1，4）、B（4，2），则这个一次函数的解析式为y=﹣x+．【考点】待定系数法求一次函数解析式；解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】设一次函数的解析式是y=kx+b，把A（1，4）、B（4，2）代入解析式得到方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设一次函数的解析式是y=kx+b，把A（1，4）、B（4，2）代入得：，解方程组得：，∴一次函数的解析式是：y=﹣x+，故答案为：y=﹣x+．【点评】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式是解此题的关键．（2013•镇赉县校级一模）若直线y=2x+b经过点A（2，﹣3），则b的值为﹣7．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】函数思想．【分析】将点A（2，﹣3）代入直线方程，列出关于b的方程，通过解方程求得b值即可．【解答】解：∵直线y=2x+b经过点A（2，﹣3），∴点A（2，﹣3）满足该直线方程y=2x+b，∴﹣3=2×2+b，解得b=﹣7．故答案是：﹣7．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．解答该题时，借用了“一次函数图象上的点的坐标特征”这一知识点求得b值．（2013•镇江二模）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m=3．x012y1m5【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】如图所示当x=0时，y=1；x=2时，y=5．用待定系数法可求出函数关系式，然后把x=1代入，得到m的值．【解答】解：设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）．如图所示当x=0时，y=1；x=2时，y=5．据此列出方程组，求得，一次函数的解析式y=2x+1，然后把x=1代入，得到y=2+1=3，即m=3故填3．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式的知识，难度不大，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数．（2011•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（）A．y=x+1 B． C．y=3x﹣3 D．y=x﹣1【考点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；中心对称．【专题】压轴题．【分析】首先根据条件l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．【解答】解：设D（1，0），∵线l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，∴OD=BE=1，∵顶点B的坐标为（6，4）．∴E（5，4）设直线l的函数解析式是y=kx+b，∵图象过D（1，0），E（5，4），∴，解得：，∴直线l的函数解析式是y=x﹣1．故选D．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出E点坐标．（2011•滨江区模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．开动脑筋想一想，经过点D的“蛋圆”切线的解析式为（）A．y=﹣2x﹣3 B．y=﹣x﹣3 C．y=﹣3x﹣3 D．y=x﹣3【考点】待定系数法求一次函数解析式；切线的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y=kx﹣3．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．【解答】解：因为经过点D的“蛋圆”切线过D（0，﹣3）点，所以设它的解析式为y=kx﹣3，∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线过点A、B，∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），又∵抛物线过点D（0，﹣3），∴﹣3=a•1•（﹣3），即a=1，∴y=x2﹣2x﹣3．又∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与直线y=kx﹣3相切，∴x2﹣2x﹣3=kx﹣3，即x2﹣（2+k）x=0只有一个解，∴△=（2+k）2﹣4×0=0，∴k=﹣2即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为y=﹣2x﹣3．故选A．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，并利用切线的性质，结合一元二次方程来解决问题．（2010•乐山）已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为（）A．12 B．﹣6 C．﹣6或﹣12 D．6或12【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，∴当x=0时，y=﹣2，当x=2时，y=4，代入一次函数解析式y=kx+b得：，解得，∴kb=3×（﹣2）=﹣6；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，∴当x=0时，y=4，当x=2时，y=﹣2，代入一次函数解析式y=kx+b得：，解得，∴kb=﹣3×4=﹣12．所以kb的值为﹣6或﹣12．故选C．【点评】本题要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论，有一定难度．（2009•鄂州校级模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（）A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）【考点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称-最短路线问题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．【解答】解：作A关于直线y=﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y=﹣x﹣；求BC与直线y=﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；故答案为B．【点评】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大．（2009•牡丹江二模）直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k的值为（）A． B．2 C．±2 D．【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】首先确定直线y=kx﹣4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值．【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，﹣4），即直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的邻边为|﹣4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=，∵直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，即||=4×，k=±2．故选C．【点评】此题比较复杂，涉及到锐角三角函数，在解题时要注意k的正负．（2006•莱芜）已知点A（，1），B（0，0），C（，0），AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE对应的函数表达式是（）A．y=x﹣ B．y=x﹣2 C．y=x﹣1 D．y=x﹣2【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题；转化思想．【分析】要求直线AE对应的函数表达式，可以求出E点的坐标即可．可以转化为求线段BE的长，根据角平分线的性质解决．【解答】解：根据勾股定理可得：AB=2，∵AE平分∠BAC，∴．设BE=x，则EC=﹣x，AC=1．∴，解得：x=，则E点的坐标是（，0）．设直线AE的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AE对应的函数表达式是：y=x﹣2．故选D．【点评】本题综合考查利用勾股定理求出点的坐标，求出未知数，写出解析式，再根据角平分线的性质解决．（2012•洪山区校级模拟）已知点A（2a﹣1，3a+1），直线l经过点A，则直线l的解析式是y=x+．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】根据点A的坐标表示出横坐标与纵坐标，然后分别用x、y表示出a，再整理即可得解．【解答】解：∵点A的坐标为A（2a﹣1，3a+1），∴，由①得，a=，由②得，a=，所以=，整理得，y=x+．故答案为：y=x+．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据点A的坐标用x、y表示出a是解题的关键，本题渗透并利用了消参数法的思想．（2010•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点．E为⊙O上在第一象限的某一点，直线BF交⊙O于点F，且∠ABF=∠AEC，则直线BF对应的函数表达式为y=x﹣1，y=﹣x+1．【考点】待定系数法求一次函数解析式；直线与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】由题意可知，∠AEC=∠AOC=45°；当∠ABF=∠AEC=45°时，只有点F与点C或D重合，根据待定系数法可求出直线BF对应的函数表达式．【解答】解：根据圆周角定理得，∠AEC=∠AOC=45°，∵∠ABF=∠AEC=45°，∴点F与点C或D重合；当点F与点C重合时，设直线BF解析式y=kx+b，则，解得∴直线BF的解析式为y=﹣x+1，当点F与点D重合时，同理可得y=x﹣1．【点评】本题考查了圆周角定理的运用及待定系数法求解析式的方法．（2008•昌平区二模）当光线射到x轴的点C后进行反射，如果反射的路径经过点A（0，1）和点B（3，4），如图，则入射线所在直线的解析式为y=﹣x﹣1．【考点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质．【专题】压轴题；数形结合；待定系数法．【分析】首先设反射光线的直线解析式为y=kx+b，把A、B两点代入，求出k和b，然后根据轴对称的知识点求出入射光线的解析式．【解答】解：设反射光线的直线解析式为y=kx+b，∵反射的路径经过点A（0，1）和点B（3，4），∴，解得k=1，b=1，∴反射光线的直线解析式为y=x+1，根据入射光线和反射光线轴对称，故知入射光线的解析式为y=﹣x﹣1，故答案为y=﹣x﹣1．【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和轴对称的知识点，解答本题的关键是运用好轴对称的知识，此题难度一般．（2006•宿迁）经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是y=x﹣2或y=﹣x+2．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】首先设直线的解析式是y=kx+b，得到函数与y轴的交点坐标是（0，b），再根据函数经过点（2，0），与坐标轴围成的三角形面积为2，得到一个关于b的方程，解方程求出b的值，从而求出函数的解析式．【解答】解：设直线的解析式是y=kx+b，则函数与y轴的交点是（0，b），又函数经过点（2，0），与坐标轴围成的三角形面积为2，则×2|b|=2，解得b=±2．因而函数的解析式是y=x﹣2或y=﹣x+2．【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数，再根据一次函数图象的特点解答，需同学们熟练掌握．（2003•济南）一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，则这个函数的解析式为或者．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x=﹣3，y=﹣5；x=6，y=﹣2代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x=﹣3，y=﹣2；x=6，y=﹣5代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．【解答】解：分两种情况：①当k＞0时，把x=﹣3，y=﹣5；x=6，y=﹣2代入一次函数的解析式y=kx+b，得，解得，则这个函数的解析式是；②当k＜0时，把x=﹣3，y=﹣2；x=6，y=﹣5代入一次函数的解析式y=kx+b，得，解得，则这个函数的解析式是．故这个函数的解析式是或者．【点评】根据一次函数图象的性质分两种情况是解决本题的关键．如图，在直角坐标系中，△AOB是Rt△，∠AOB=30°，∠A=90°，OB=12，点P在OA上，且OP=4，过P点作直线截△AOB的两边，使截得的三角形与△AOB相似，那么满足这样的条件的直线的解析式为x=6，y=，，y=﹣x+4．【考点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】当过P点的直线平行于x轴，平行于y轴，平行于直线AB时，都能使截得的三角形与△AOB相似，根据OP=4，∠AOB=30°，求出P点坐标，再求出过P点且满足条件的直线解析式．【解答】解：过P点作PC⊥x轴，垂足为C，作PD∥AB交x轴于点D，在Rt△OPC中，OP=4，∠AOB=30°，∴OC=6，PC=2，即P（6，2）同理，在Rt△OPD中，OD=8，即D（8，0）设直线PD解析式为y=kx+b，则解得∴y=﹣x+8，∴满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2或者y=﹣x+8；当直线如图c位置时，同理可求得：y=﹣x+4．故满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2或者y=﹣x+8或y=﹣x+4．【点评】本题考查了相似三角形的判断方法，直线解析式的求法，分类讨论的思想．（2012•抚顺）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式；（2）设点P为直线y=﹣x+b上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若S△POQ=S△AOB，求点P的坐标．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）直接把点A（2，3）代入一次函数y=﹣x+b即可求出b的值，进而得出一次函数的解析式；（2）设P（p，d），p＞0，再根据点P在一次函数的图象上及S△POQ=S△AOB，即可得出关于p、d的方程组，求出p、d的值即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），∴3=（﹣）×2+b，解得b=4，故此一次函数的解析式为：y=﹣x+4；（2）设P（p，d），p＞0，∵点P在直线y=﹣x+4的图象上，∴d=﹣p+4①，∵S△POQ=S△AOB=××2×3，∴pd=②，①②联立得，，解得或，∴P点坐标为：（3，）或（5，）．【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．（2011•辽阳）甲、乙两名自行车爱好者准备在一段长为3500米的笔直公路上进行比赛，比赛开始时乙在起点，甲在乙的前面．他们同时出发，匀速前进，已知甲的速度为12米/秒，设甲、乙两人之间的距离为s（米），比赛时间为t（秒），图中的折线表示从两人出发至其中一人先到达终点的过程中s（米）与t（秒）的函数关系．根据图中信息，回答下列问题：（1）乙的速度为14米/秒；（2）当乙追上甲时，求乙距起点多少米．（3）求线段BC所在直线的函数关系式．【考点】待定系数法求一次函数解析式；函数的图象．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）设乙的速度为x米/秒，根据图象得到300+150×12=150x，解方程即可；（2）由图象可知乙用了150秒追上甲，用时间乘以速度即可；（3）先计算出乙完成全程所需要的时间=250（秒），则乙追上甲后又用了250﹣150=100秒到达终点，所以这100秒他们相距100×（14﹣12）米，可得到C点坐标，而B点坐标为（150，0），然后利用待定系数法求线段BC所在直线的函数关系式．【解答】解：（1）设乙的速度为x米/秒，则300+150×12=150x，解得x=14，故答案为：14；（2）由图象可知乙用了150秒追上甲，14×150=2100（米）．∴当乙追上甲时，乙距起点2100米；（3）乙从出发到终点的时间为=250（秒），此时甲、乙的距离为：（250﹣150）（14﹣12）=200（米），∴C点（250，200），又B点坐标（150，0），设BC所在直线的函数关系式为s=kt+b（k≠0，k，b为常数），将B、C两点代入，得，解得，∴BC所在直线的函数关系式为s=2t﹣300．【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式：先设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），然后把一次函数图象上的两点的坐标分别代入，得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，从而确定一次函数的解析式．也考查了从函数图象获取信息的能力．（2010•金华）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）．动点P从A点开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO﹣OB﹣BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是y=﹣x+3；（2）当t﹦4时，点P的坐标为（0，），；当t﹦，点P与点E重合；（3）①作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）考查了待定系数法求一次函数；（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；（3）①此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．②当t﹦2时，可求的点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．【解答】解：（1）y=﹣x+3；（2）（0，），t=；（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒又∵OE=FG=t，∠A=60°，∴AG==t而AP=t，∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG=t由3﹣t=t，得t=；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）∵OE=t，∴BE=3﹣t，∴EF==3﹣∴MP=EH=EF=，又∵BP=2（t﹣6）在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP即2（t﹣6）•=，解得t=．综上所述，t为或时，四边形PEP′F为菱形．②存在﹒理由如下：∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC（如图3）∵OB⊥EF，∴点B′在直线EF上，∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO﹣PO长度∴C点坐标为（﹣，﹣1）过F作FQ∥B′C，交EC于点Q，则△FEQ∽△B′EC由===，可得Q的坐标为（﹣，）根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q′（﹣，）也符合条件．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性．（2010•莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．【考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与几何变换；等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）设直线AC的解析式y=kx+b，将A、C两点坐标代入即可求解；（2）由题意得：若△DMC为等腰三角形，则可分为三种情况讨论，即DC为底；DM为底；CM为底三种情况；（3）可根据对称性求得点O′的坐标，然后求得点E的坐标，由待定系数法求得新抛物线的解析式即可求得．【解答】解：（1）设直线AC的解析式y=kx+b，又∵OA=1，OC=2，∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k=，b=1直线AC的函数解析式：y=（2）若DC为底边，∴M的横坐标为，则点M的坐标为（，）∴直线DM解析式为：y=x﹣，∴P（0，﹣）；若DM为底，则CD=CM=，∴AM=AN=﹣，∴N（﹣，1），可求得直线DM的解析式为y=（+2）x﹣（+2），∴P（0，）若CM为底，则CD=DM=∴点M的坐标为（，）∴直线DM的解析式为y=﹣x+，∴点P的坐标为（0，）（3）根据对称性可得点O′的坐标为（，1）或（2，1）∴点E的坐标为（0，）或（0，）∴设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k∴h=，k=或h=，k=，∴抛物线y=﹣x2经过向左平移个单位，再向上平移个单位；或向右平移个单位，向上平移个单位．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意答案的不唯一性，解题时要注意别漏解．（2010•北京一模）如图，在平面直角标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）求t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标；（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？【考点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）用待定系数法可直接求出直线AB的解析式；（2）用含t的代数式表示AP、AQ，根据三角形相似的对应关系，利用相似比求出时间t；再利用相似比可求点P与点Q的坐标；（3）利用相似比求出△APQ的AP边上的高，根据面积公式列方程求t．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则解得∴y=﹣x+6；（2）由题意可知AO=6，BO=8，则AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ与△AOB相似有两种情况：①当∠APQ=∠AOB时，如图（1），有=，即=，解得t=，则OP=6﹣=，则P的坐标是：（0，），∵∠APQ=∠AOB，∴PQ∥OB∴=，则，解得：PQ=，则Q的坐标是：（，）；②当∠AQP=∠AOB时，如图（2），有=，即=，解得t=，则OP=OA﹣AP=6﹣=，则P的坐标是：（0，），作QM⊥y轴，于M点．△OAB与△QAP的相似比是：=，△OAB的面积是：OA•OB=×6×8=24，则△QAP的面积是：24×（）2=，∵S△QAP=AP•MQ，即=וMQ，解得：MQ=，∵MQ∥OB∴=，则=，解得：AM=，则OM=故Q的坐标是：（，）；（3）过Q作QH⊥OA于H，如图，∴△AHQ∽△AOB，∴=，∴=，∴HQ=（10﹣2t），∴•t•（10﹣2t）=，解得t=2或t=3．【点评】本题考查了待定系数法求直线解析式，直角坐标系中的相似性质的运用，面积等问题．（2007•连云港）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm．动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止．设点P运动的时间为ts．（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T．求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O′恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；（3）探索：以A，P，T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的？请说明理由．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的应用；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）根据矩形的性质可知OB=AC，根据直角三角形的性质可知=100，即OB=AC=100．判定Rt△OPT∽Rt△OBC则可得出，即可得出函数解析式，根据P的运动情况求出t的取值范围即可．（2）当O点关于直线AP的对称点O′恰好在对角线OB上时，A，T，P三点在一条直线上．判定Rt△AOP∽Rt△OCB，则可得出，点P的坐标为（45，0）．列出AP的函数解析式将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，解出即可．（3）由（2）知，当t=9时，A，T，P三点在一条直线上，此时点A，T，P不构成三角形．所以分两种情况：1、当0＜t＜9时，列出方程求解看有无实数根即可．2、当9＜t≤16时，根据图（3）列出方程求解看有无实数根即可．【解答】解：（1）在矩形OABC中，因为OA=60，OC=80，所以OB=AC==100．因为PT⊥OB，所以Rt△OPT∽Rt△OBC．因为，即，所以y=PT=3t．当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为，所以，t的取值范围是0≤t≤16．（2）（如图2）当O点关于直线AP的对称点O'恰好在对角线OB上时，A，T，P三点在一条直线上．所以AP⊥OB，∠1=∠2．所以Rt△AOP∽Rt△OCB，所以．所以OP=45．所以点P的坐标为（45，0）．设直线AP的函数解析式为y=kx+b．将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，得，解这个方程组得．所以此时直线AP的函数解析式是．（3）由（2）知，当时，A，T，P三点在一条直线上，此时点A，T，P不构成三角形．所以分两种情况：1、当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部（如图1），过A点作AE⊥OB，垂足为点E，由AO•AB=OB•AE可得AE=48．所以S△APT=S△AOP﹣S△ATO﹣S△OTP=×60×5t﹣×4t×48﹣×4t×3t=﹣6t2+54t．若S△APT=S矩形OABC，则﹣6t2+54t=1200，即t2﹣9t+200=0．此时，△=（﹣9）2﹣4×1×200＜0，所以该方程无实数根．所以当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的．2、当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部．此时S△APT=S△ATO+S△OTP﹣S△AOP=6t2﹣54t．若S△APT=S矩OABC，则6t2﹣54t=1200，即t2﹣9t﹣200=0．解得，（舍去）．由于881＞625=252，所以．而此时9＜t≤16，所以也不符合题意，应舍去．所以当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的．综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的．【点评】本题要注意利用待定系数法求一次函数解析式的方法，列出方程，得出未知数．同学们需熟练掌握．（2006•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．（1）求点C的坐标；（2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A′C交直线OA于点E，A′B′分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）（3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式．【考点】待定系数法求一次函