2.7.9二次根式的混合运算

二次根式的混合运算（2010•山东模拟）观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，…从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：（+++…+）（+1）的值为（）A．2008 B．2010 C．2011 D．2009【考点】二次根式的混合运算．【专题】压轴题；规律型．【分析】从题中可以得到（+++…+）（+1）=n．【解答】解：由题意得：（+++…+）（+1）=2009．故选D．【点评】本题考查了归纳整理，寻找规律的能力．发现规律是解题的关键．（1997•福州）﹣（2﹣）0+2cos45°﹣3tan30°．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】分别进行分母有理化、零指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可得出答案．【解答】解：原式=﹣1+2×﹣3×=﹣﹣1+﹣=﹣1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题，注意掌握分母有理化及零指数幂的运算．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．【专题】计算题；压轴题．【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．计算：=（）A．2+ B． C． D．【考点】二次根式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】首先把分子中的被开方数写成（2+）2的形式，首先进行开方运算，然后进行分母有理化即可求解．【解答】解：原式==2+．故选A．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确对分母中的被开方数进行变形是关键．（2012•洛阳二模）如图，有一个数值转换器：当输入的x为64时，输出的y=2．【考点】二次根式的混合运算．【专题】压轴题；图表型．【分析】把64按给出的程序逐步计算即可．【解答】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，因为8是有理数，所以再取算术平方根，结果为2为无理数，故y=2．【点评】此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．（2012•山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是4﹣5．【考点】二次根式的混合运算．【专题】压轴题；新定义．【分析】先理解“*”的意义，然后将2*（）表示出来计算即可．【解答】解：由题意得：2*（）=2×（﹣1）﹣=4﹣5．故答案为：4﹣5．【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=2.5．【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．【专题】计算题；压轴题．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．（2010•祁门县校级模拟）计算=1+．【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；零指数幂．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据平方差公式求出（2﹣）（2+），然后进行幂的运算，即可得出答案．【解答】解：={（2﹣）（2+）}2008（2+）﹣1=2+﹣1=1+．故答案为：1+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和零指数幂的知识，属于基础题，关键掌握二次根式的混合运算法则和非0数的0指数幂都等于1．（2004•鼓楼区校级自主招生）我们规定运算符号⊗的意义是：当a＞b时，a⊗b=a+b；当a≤b时，a⊗b=a﹣b，其它运算符号意义不变．按上述规定，计算结果为2．【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．【专题】压轴题．【分析】根据给出的法则进行计算，一定要先比较两个数的大小．【解答】解：，=+﹣（1﹣+），=+﹣1+﹣，=2．故答案为：2．【点评】本题是一个新定义的题目，考查了二次根式的混合运算，注，解题的关键是比较两个数的大小．（2000•杭州）计算：=．【考点】二次根式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】先通分，再分母有理化计算．【解答】解：原式====．故本题答案为：．【点评】本题要注意运算顺序．分母有理化是根据平方差公式使分母不含二次根式．（2011•泸州模拟）计算：．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据零指数，负指数，特殊角的三角函数值以及算术平方根、完全平方公式进行计算即可．【解答】解：原式=2+3﹣1﹣2×1+=4﹣2++1=3+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数，负指数，特殊角的三角函数值以及算术平方根、完全平方公式等知识点是基础知识要熟练掌握．（1998•东城区）计算：+（2﹣）0﹣2﹣1+||【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题；压轴题．【分析】零指数幂、负整数指数幂以及分母有理化得到原式=﹣﹣1+1﹣+﹣，然后合并同类二次根式．【解答】解：原式=﹣﹣1+1﹣+﹣=﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．（1998•黄冈）．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂以及特殊角的三角函数值得到原式=5+﹣﹣，然后进行分母有理化后合并即可．【解答】解：原式=5+﹣﹣=5+﹣1﹣5﹣=﹣1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．（1998•海淀区）计算：．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据分母有理化和零指数幂的意义得到原式=2+﹣3﹣1，然后合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+﹣3﹣1=1﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．（1998•北京）计算；．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=2++﹣1，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2++﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和特殊角的三角函数值．（1997•海淀区）计算：+﹣（+1）0．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据零指数幂的意义和分母有理化得到原式=+1+2﹣1，然后合并同类二次根式．【解答】解：原式=+1+2﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．（2015春•泗阳县期末）下列运算正确的是（）A．2+4=6 B．=4 C．•=3 D．=﹣3【考点】二次根式的混合运算．【分析】A：根据二次根式的加法运算法则计算即可．B：根据算术平方根的计算方法计算即可．C：根据二次根式的乘法运算法则计算即可．D：根据算术平方根的计算方法计算即可．【解答】解：∵2+4≠6，∴选项A不正确；∵，∴选项B不正确；∵，∴选项C正确；∵，∴选项D不正确．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2015秋•商河县校级期中）若，那么a2﹣ab+b2的值为（）A． B． C． D．【考点】二次根式的混合运算．【分析】由已知条件求得a+b=，ab=，根据a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab，代值计算．【解答】解：由已知得a+b=，ab=，∴a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=（）2﹣3×=．故选A．【点评】本题考查了二次根式的代值计算问题，关键是先求出a+b、ab的值，再将所求代数式变形为a+b、ab的结构，代值计算．（2015春•东莞校级月考）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【考点】二次根式的混合运算．【分析】A：根据根式加法的运算方法计算即可．B：根据根式除法的运算方法计算即可．C：根据根式加法的运算方法计算即可．D：根据二次根式的化简方法判断即可．【解答】解：∵，∴选项A不正确；∵，∴选项B正确；∵3，∴选项C不正确；∵，∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2014秋•平和县校级期中）下列运算正确的是（）A．= B．=﹣ C．= D．=【考点】二次根式的混合运算．【分析】利用根式的性质化简，判定即可．【解答】解：A、不是同类项不能相加减，故本选项错误．B、=﹣，故本选项错误．C、=，故本选项正确．D、=，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟记根式的化简．（2012春•富阳市校级期中）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的加减运算即可求得正确答案．【解答】解：A、=﹣1，故此选项错误；B、3﹣2=，故此选项错误；C、﹣6+=﹣5，故此选项正确；D、=7，故此选项错误．故选C．【点评】此题考查了二次根式的运算与化简．题目比较简单，注意要细心．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．【专题】计算题；压轴题．【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．已知实数x，y满足（x﹣）（y﹣）=2008，则3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007的值为（）A．﹣2008 B．2008 C．﹣1 D．1【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先分别将x﹣与y﹣看作整体，即可求得：x﹣=y+，y﹣=x+，则可得x=y，则由完全平方式即可求得x2的值，则代入原式即可求得答案．【解答】解：∵（x﹣）（y﹣）=2008，∴x﹣==y+，y﹣==x+，由以上两式可得x=y．∴=2008，解得：x2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3x2﹣2x2+3x﹣3x﹣2007=x2﹣2007=1．故选D．【点评】此题考查了分母有理化与分式的运算．此题有一定难度，解题时要注意整体思想的应用．（2015•滨州）计算（+）（﹣）的结果为﹣1．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的结果为多少即可．【解答】解：（+）（﹣）==2﹣3=﹣1∴（+）（﹣）的结果为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”．（2）此题还考查了平方差公式的应用：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，要熟练掌握．（2015•南京二模）计算（﹣）×的结果是2．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的混合运算顺序，首先计算小括号里面的，然后计算乘法，求出算式（﹣）×的结果是多少即可．【解答】解：（﹣）×=（3﹣2）×=×=2即（﹣）×的结果是2．故答案为：2．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了平方根的性质和计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2014春•闸北区期中）计算：（3+）2×（3﹣）2=49．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据（ab）n=anbn，可得（3+）2×（3﹣）2=[（3+）×（3﹣）]2，据此求出算式（3+）2×（3﹣）2的值是多少即可．【解答】解：（3+）2×（3﹣）2=[（3+）×（3﹣）]2=[]2=72=49．故答案为：49．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（ab）n=anbn（n是正整数）．（2011春•滨海县校级期中）计算=﹣1．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】首先将（1﹣）2012化为（1﹣）2011（1﹣），然后利用积的乘方与平方差公式计算出（1+）2011（1﹣）2011的结果，则问题得解．【解答】解：（1+）2011（1﹣）2012=（1+）2011（1﹣）2011（1﹣）=[（1+）（1﹣）]2011（1﹣）=﹣（1﹣）=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了二次根式的混合运算．注意运算方法的选择是解题的关键，此题需要逆用积的乘方公式．（2010•温州校级自主招生）已知，且0＜x＜y，则满足上式的整数对（x，y）有3组．【考点】二次根式的混合运算．【专题】综合题．【分析】把已知等式的右边化为最简二次根式后得到7，则与化为最简二次根式后被开方数为41，可设=a，=b，化简后根式的系数和为7，因为x小于y且都为整数，所以得到a与b也为整数，且a小于b，根据和为7的正整数只有3对即为1和6，2和5，3和4，所以得到满足题意的整数对有3组．【解答】解：∵，∴，∵0＜x＜y且x、y均为整数，故设，，∴a+b=7，且a＜b，∴，，，∴所求的整数对为（41，1476），（164，1025），（369，656）共3组．故答案为：3【点评】此题学生掌握最简二次根式的定义及合并同类二次根式的方法，是一道中档题．（2006秋•苍溪县校级期中）计算的值是1．【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．【专题】计算题．【分析】根据平方差公式得出x﹣（x﹣1），求出即可．【解答】解：原式=x﹣（x﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查对二次根式的混合运算，平方差公式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键．计算：++…++=．【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先分母有理化，然后运算化简，问题即可解决．【解答】解：原式=+…+===．故答案为：．【点评】考查了二次根式的混合运算问题；解题的关键是将代数式中的分母逐个有理化，然后运算求值．计算：（1）（﹣5）×=﹣15；（2）（+）÷=+．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．【解答】解：（1）（﹣5）×=（﹣5）×=﹣15；（2）（+）÷=（4+）÷3=+．故答案为：﹣15，+．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．=2．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先化简括号内的二