2.2.5二次函数图象与几何变换

二次函数图象与几何变换（2014•临沂）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A．1个 B．1个或2个C．1个或2个或3个 D．1个或2个或3个或4个【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案．【解答】解：函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y=﹣x2﹣2x，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，与C2有一个交点，所以直线y=a（a为常数）与C1、C2有一个交点；直线y=a经过C1的顶点时，与C2有一个交点，共有两个交点；直线y=a（a为常数）与C1有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，先求出C2的图象，再求出交点个数．（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．【解答】解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y==（x2﹣4x）=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴顶点坐标为C（2，﹣2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．（2013•毕节地区）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y=（x﹣1）2+3 B．y=（x+1）2+3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．【解答】解：∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，∴所得图象的函数解析式是：y=（x﹣1）2+3．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．（2013•安徽一模）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3x+5，则（）A．b=3，c=7 B．b=6，c=3 C．b=﹣9，c=﹣5 D．b=﹣9，c=21【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】可逆向求解，将y=x2﹣3x+5向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线即为y=x2+bx+c，进而可判断出b、c的值．【解答】解：y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，将其向上平移2个单位，得：y=（x﹣）2+．再向左平移3个单位，得：y=（x+）2+=x2+3x+7．因此b=3，c=7．故选A．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．（2013•西华县校级模拟）把一个二次函数的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位得到y=的图象，则原函数的表达式（）A．y= B．y=﹣ C． D．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：把y=的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位得到y=的图象．故选A．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．（2013•南安市校级模拟）边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y=ax2的函数解析式为（）A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣2x2 D．y=﹣【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】过点B向x轴引垂线，连接OB，可得OB的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解．【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE=75°，∵∠AOB=45°，∴∠BOE=30°，∵OA=1，∴OB=，∵∠OEB=90°，∴BE=OB=，∴OE=，∴点B坐标为（，﹣），代入y=ax2（a＜0）得a=﹣，∴y=﹣．故选B．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，关键是利用正方形的性质及相应的三角函数得到点B的坐标．（2013•陕西模拟）已知抛物线C1：y=2x2﹣4x+1，抛物线C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到的，那我们我们可以得到抛物线C1和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这条直线为（）A．x= B．x=2 C．x= D．x=3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据抛物线C1：y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，得出抛物线对称轴，再利用C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到，得出两函数对称轴即可．【解答】解：∵抛物线C1：y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线对称轴为：直线x=1，∵抛物线C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到，∴抛物线C1和抛物线C2一定关于，直线x==对称，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出抛物线C1的对称轴是解题关键．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣x﹣6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；探究型．【分析】计算出函数与x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向．【解答】解：当x=0时，y=﹣6，故函数图象与y轴交于点C（0，﹣6），当y=0时，x2﹣x﹣6=0，即（x+2）（x﹣3）=0，解得x=﹣2或x=3，即A（﹣2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2．故选B．【点评】本题考查了二次函数与几何变换，画出函数图象是解题的关键．（2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．【解答】解：∵A在直线y=x上，∴设A（m，m），∵OA=，∴m2+m2=（）2，解得：m=±1（m=﹣1舍去），m=1，∴A（1，1），∴抛物线解析式为：y=（x﹣1）2+1，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．（2012•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，3） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（4，3）【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；探究型．【分析】先把抛物线y=2x2﹣4x+3化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式，求出其顶点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣4x+3化为y=2（x﹣1）2+1，∴函数图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x﹣1﹣3）2+1+2，即y=2（x﹣4）2+3，∴其顶点坐标为：（4，3）．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．（2012•淮北模拟）已知二次函数y=x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．先往右下方移动，再往右上方移动【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；探究型．【分析】先分别求出当b=﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．【解答】解：当b=﹣1时，此函数解析式为：y=x2+x+1，顶点坐标为：（﹣，）；当b=0时，此函数解析式为：y=x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b=1时，此函数解析式为：y=x2﹣x+1，顶点坐标为：（，）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．（2012•柳州模拟）对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}=﹣1．若关于x的函数y=min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x=3对称，则a、t的值可能是（）A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；新定义．【分析】先根据函数y=2x2可知此函数的对称轴为y轴，由于函数关于直线x=3对称，所以数y=min{2x2，a（x﹣t）2}的图象即为y=a（x﹣t）2的图象，据此解答即可．【解答】解：∵y=2x2中a=2，∴y=a（x﹣t）2，中，a=2，∵二次函数y=ax2+bx+c都可以化成y=a（x﹣m）2+n形式，其中m=﹣，n=，∵图象开口向上，即a＞0，那么a=2，点（3，y）为这两个函数的交点，∴2×32=a（3﹣t）2，解得t=6．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先根据题意求出a的值是解答此题的关键．（2012•大港区一模）把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c的值为（）A．11 B．13 C．15 D．17【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=17．【解答】解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，当y=x2﹣3x+5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=（x﹣+4）2++2=x2+5x+11；∴a+b+c=17．故选：D．【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．（2012•道真县校级模拟）把抛物线y=3（x+1）2﹣2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A．y=3x2 B．y=3x2﹣4 C．y=3（x+2）2 D．y=3（x+2）2﹣4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；动点型．【分析】易得原抛物线的顶点坐标，根据平移的规律可得平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数，利用顶点式可得新抛物线解析式．【解答】解：∵原抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），∴向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的顶点为（0，0），∴新抛物线为y=3x2．故选A．【点评】考查抛物线的平移问题；用到的知识点为：抛物线的平移不改变抛物线的二次项系数；关键是找到新抛物线的顶点坐标．（2012•奉贤区模拟）将二次函数y=x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，则所得到图象的函数解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2 D．y=（x﹣1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；探究型．【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知：二次函数y=x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，则所得到图象的函数解析式为：y=x2+1．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．（2012•宝安区校级模拟）把抛物线y=2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移4个单位，则所得抛物线的解析式是（）A．y=2（x+1）2+1 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2﹣7 D．y=2（x﹣1）2﹣7【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式写出解析式即可．【解答】解：抛物线y=2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），∵向右平移1个单位，向上平移4个单位，∴平移后的抛物线顶点坐标为（1，1），∴所得抛物线的解析式是y=2（x﹣1）2+1．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定抛物线的变换是解题的关键．（2011•桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x+1）2+2 B．y=﹣（x﹣1）2+4 C．y=﹣（x﹣1）2+2 D．y=﹣（x+1）2+4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】应用题；压轴题．【分析】先将原抛物线化为顶点式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．【解答】解：由原抛物线解析式可变为：y=（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），与y轴交点的坐标为（0，3），又由抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4），∴新的抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4．故选B．【点评】本题主要考查了抛物线一般形式及于y轴交点，同时考查了旋转180°后二次项的系数将互为相反数，难度适中．（2011•广元）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）A．y=3（x﹣3）2+3 B．y=3（x﹣3）2﹣3 C．y=3（x+3）2+3 D．y=3（x+3）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；动点型．【分析】先判断出原抛物线的顶点及新抛物线的顶点，根据平移不改变二次函数二次项的系数可得新抛物线解析式．【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），∵把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，∴新抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），设新抛物线为y=3（x﹣h）2+k，∴新坐标系中此抛物线的解析式是y=3（x+3）2﹣3．故选D．【点评】考查二次函数的平移问题；得到新抛物线的顶点是解决本题的易错点；用到的知识点为：二次函数的平移，不改变二次项的系数．（2011•万州区校级模拟）将二次函数y=x2+6x+10的图象向右平移4个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y=（x﹣7）2+5 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣7）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据平移的单位可得新抛物线的解析式．【解答】解：y=x2+6x+10变为：y=（x+3）2+1，向右平移4个单位得到的函数的解析式为：y=（x+3﹣4）2+1，即y=（x﹣1）2+1，再向上平移3个单位后，所得图象的函数的解析式为y=（x﹣1）2+1+3，即：y=（x﹣1）2+4，故选B．【点评】讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．（2010•宁夏）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】利用二次函数平移的性质．【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的关系问题．（2010•兰州）抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．【解答】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4），∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x，∴b=2，c=0．故选B．【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．（2010•桂林）将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=﹣2x2﹣12x+16 B．y=﹣2x2+12x﹣16C．y=﹣2x2+12x﹣19 D．y=﹣2x2+12x﹣20【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．【解答】解：y=2x2﹣12x+16=2（x2﹣6x+8）=2（x﹣3）2﹣2，将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y=﹣2（x﹣3）2﹣2=﹣2x2+12x﹣20；故选D．【点评】此题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化．（2010•陕西）将抛物线C：y=x2+3x﹣10，将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（）A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】主要是找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．【解答】解：∵抛物线C：y=x2+3x﹣10=，∴抛物线对称轴为x=﹣．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．（2010•徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】先由二次函数y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4求出抛物线，然后求出抛物线与x轴的两个交点横坐标，利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离是1．【解答】解：法一：二次函数y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4=[（x﹣2010）+1]（x﹣2010）+4设t=x﹣2010，则原二次函数为y=（t+1）t+4=t2+t+4=﹣+4=+．则原抛物与x轴没的交点．若原抛物线向下平移4个单位，则新抛物的解析式为：y=+﹣4=﹣．则新抛物与x轴的交点距离为|0﹣（﹣1）|=1．故选B．法二：二次函数y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4的图象向下平移4个单位得y=（x﹣2009）（x﹣2010），属于交点式，与x轴交于两点（2009，0）、（2010，0），两点的距离为1，符合题意，故选：B．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…则E（x，x2﹣2x+1）可以由E（x，x2）怎样平移得到？（）A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；新定义．【分析】首先弄清E（x，x2﹣2x+1）和E（x，x2）所代表的函数，然后根据左加右减，上加下减的规律进行判断．【解答】解：E（x，x2﹣2x+1）即为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2；E（x，x2）即为y=x2；y=（x﹣1）2可由y=x2向右平移一个单位得出；故选D．【点评】主要考查的是函数图象的平移，弄清新标记的含义是解答此题的关键．（2010•来宾）将函数y=x2的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=x2的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是y=（x+1）2．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．（2010•淮北模拟）把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y=﹣2（x+1）2+6．故选C．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．（2009•天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．y=﹣x2﹣x+2 B．y=﹣x2+x﹣2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2+x+2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．【解答】解：先将抛物线y=x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣x2﹣x+2；再将所得的抛物线y=﹣x2﹣x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣x2+x+2，故选：C．【点评】两抛物线关于x轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数；两抛物线关于y轴对称，二次项系数，常数项不变，一次项系数互为相反数．（2009•孝感）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】把两个函数都化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，对比一下确定a的值．【解答】解：y=x2+x=（x+）2﹣．y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣．所以a==2．故选B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．（2009•茂名）如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（）A．点O1的坐标是（1，0）B．点C1的坐标是（2，﹣1）C．四边形OBA1B1是矩形D．若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】利用抛物线和平面直角坐标系的性质．【解答】解：根据图形可知：点O的坐标是（0，0），点C的坐标是（1，1）．因为把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，所以点O，C绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到点O1的坐标是（1，0），点C1的坐标是（2，﹣1），所以选项A，B正确．根据点O（0，0），B（0，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐标可得：四边形OBA1B1是矩形，选项C正确．根据点O（0，0），C（1，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐标可得：梯形OCA1B1的面积等于（1+2）×1=≠3，所以选项D错误．故选：D．【点评】本题难度中等，考查抛物线的旋转、平移及平面直角坐标系的知识．（2009•陕西）将抛物线y=x2﹣4x+3平移，使它平移后的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（）A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；规律型．【分析】先把抛物线y=x2﹣4x+3化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+3可化为y=（x﹣2）2﹣1，∴其顶点坐标为：（2，﹣1），∴若使其平移后的顶点为（﹣2，4）则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的图象及几何变换，熟知函数图象平移的法则（上加下减，左加右减）是解答此题的关键．（2008•荆门）把抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的关系式为y=x2﹣3x+5，则有（）A．b=3，c=7 B．b=﹣9，c=25 C．b=3，c=3 D．b=﹣9，c=21【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，把y=x2﹣3x+5的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得抛物线y=x2+bx+c的图象．【解答】解：根据题意y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，向右平移3个单位，再向上平移2个单位得y=（x﹣）2+=x2﹣9x+25．所以b=﹣9，c=25．故选B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．（2008•常德）把抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1 C．y=（x+2）2+1 D．y=（x+1）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（2，1）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=（x﹣2）2+1．故选A．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．（2008•鄂尔多斯）如图，若将抛物线y=（x+1）2﹣7沿x轴平移经过P（﹣2，2），则平移后抛物线的解析式为（）A．y=（x+5）2﹣7 B．y=（x+5）2﹣7或y=（x+1）2+1C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+5）2﹣7或y=（x﹣1）2﹣7【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】经过平移，顶点的纵坐标依然是﹣7，利用待定系数法根据顶点坐标式把P点的坐标代入求则可．【解答】解：根据题意，设抛物线的表达式为y=（x+h）2﹣7，抛物线过（﹣2，2），所以2=（﹣2+h）2﹣7，解得h=5或﹣1，所以平移后抛物线的解析式为y=（x+5）2﹣7或y=（x﹣1）2﹣7．故选D．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式及运用待定系数法求抛物线表达式的能力．（2008•奉贤区模拟）在直角坐标平面内，如果抛物线y=﹣x2+3经过平移可以与抛物线y=﹣x2互相重合，那么平移的要求是（）A．沿y轴向上平移3个单位 B．沿y轴向下平移3个单位C．沿x轴向左平移3个单位 D．沿x轴向右平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答．【解答】解：把抛物线y=﹣x2+3向下平移3个单位即可得到抛物线y=﹣x2．故选B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．（2007•新疆）将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的函数关系式（）A．y=﹣x2 B．y=﹣x2﹣1 C．y=x2﹣1 D．y=﹣x2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．【解答】解：根据题意﹣y=（﹣x）2+1，化简为y=﹣x2﹣1．故选B．【点评】考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．（2006•湖州）已知二次函数y=x2﹣bx+1（﹣1＜b＜1），在b从﹣1变化到1的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变化，下列关于抛物线的移动方向描述正确的是（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．先往右下方移动，再往右上方移动【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】把二次函数y=x2﹣bx+1化为顶点坐标式，在b变化的过程中，观察顶点坐标的变化则可．【解答】解：y=x2﹣bx+1=（x﹣）2+，所以顶点是（，），根据b的值的变化和抛物线顶点位置的变化，按照“左加右减，上加下减”的规律，抛物线的移动方向是先往右上方移动，再往右下方移动．故选C．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．（2003•厦门）已知以（﹣1，0）为圆心，1为半径的⊙M和抛物线y=x2+6x+11，现有两个命题：（1）抛物线y=x2+6x+11与⊙M没有交点；（2）将抛物线y=x2+6x+11向下平移3个单位，则此抛物线与⊙M相交．则以下结论正确的是（）A．只有命题（1）正确 B．只有命题（2）正确C．命题（1），（2）都正确 D．命题（1），（2）都不正确【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】（1）把抛物线化为顶点坐标式，然后找出抛物线的顶点坐标，判定抛物线与圆有没有交点．（2）找出平移后的抛物线顶点的坐标，再判断抛物线与圆是否相交．【解答】解：（1）y=x2+6x+11=（x+3）2+2；所以顶点坐标是（﹣3，2），抛物线开口向上，顶点在x轴上方；⊙M上最高点为（﹣1，1），所以抛物线y=x2+6x+11与⊙M没有交点．（2）y=（x+3）2+2向下平移3个单位得：y=（x+3）2﹣1=x2+6x+8；当y=0时，x2+6x+8=0，解得x=﹣2或﹣4；所以抛物线与x轴有一交点是（﹣2，0），抛物线的顶点是（﹣3，﹣1），在圆的下方，抛物线开口向上，⊙M最左边点为（﹣2，0），所以抛物线与圆相交．故选C．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了圆的知识和考查了学生将一般式转化顶点式的能力．（2002•宁波校级模拟）二次函数y=（x﹣1）2+（x﹣3）2与y=（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a+1）2+（1+b）2的值为（）A．9 B．10 C．20 D．25【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】首先由二次函数y=（x﹣1）2+（x﹣3）2与y=（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，即可求得y=（x+a）2+（x+b）2的解析式，然后根据整式相等的性质，求得2a+2b=8，a2+b2=10，又由（a+1）2+（1+b）2=a2+b2+2a+2b+2，即可求得答案．【解答】解：∵二次函数y=（x﹣1）2+（x﹣3）2与y=（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，∴y=（x+a）2+（x+b）2的解析式为：y=（﹣x﹣1）2+（﹣x﹣3）2，即y=2x2+8x+10，又∵y=（x+a）2+（x+b）2=2x2+（2a+2b）x+a2+b2，∴2a+2b=8，a2+b2=10，∴（a+1）2+（1+b）2=a2+b2+2a+2b+2=10+8+2=20．故选C．【点评】此题考查了二次函数的对称变换，注意两函数关于y轴对称，则x变为相反数，y不变．解此题的关键是注意整体思想与方程思想的应用．（1997•重庆）抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x2，则b与c的值分别为（）A．6，4 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，﹣14【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】把抛物线y=x2按照“左加右减，上加下减”的规律，向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得抛物线y=x2+bx+c则可．【解答】解：y=x2向右平移4个单位，再向下平移2个单位得y=（x﹣4）2﹣2=x2﹣8x+14．所以b=﹣8，c=14．故选：B．【点评】此题考查了二次函数的平移，利用变化规律：左加右减，上加下减得出是解题关键．（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．【点评】（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．（2014•德州）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x﹣an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．【解答】解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x为整数点∴a1=1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x为整数点∴a3=5，M3（5，5），∴点M2014，两坐标为：2014×2﹣1=4027，∴M2014（4027，4027），故答案为：（4027，4027）【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y=x平移是解题关键．（2013•河北）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=2．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．【解答】解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．【解答】解：∵令x=0，则y=，∴点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴顶点C的纵坐标为×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴对称轴为直线x=﹣=，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则，解得，所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要．（2012•广安）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．【解答】解：过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣，∴点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S=|﹣3|×|﹣|=．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．（2013•成都模拟）如图将抛物线L1：y=x2+2x+3向下平移10个单位得L2，而l1、l2的表达式分别是l1：x=﹣2，l2：，则图中阴影部分的面积是25．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据已知得出阴影部分即为矩形DEFG的面积，进而求出矩形的长与宽即可．【解答】解：如图所示：阴影部分即为矩形DEFG的面积，∵y=x2+2x+3向下平移10个单位得L2，∴DE=10，∵l1、l2的表达式分别是l1：x=﹣2，l2：，∴DG=，∴则图中阴影部分的面积是：10×=25，故答案为：25．【点评】此题主要考查了函数图象的平移，根据已知得出阴影部分即为矩形DEFG的面积是解题关键．（2012•淄川区校级模拟）抛物线y=ax2+bx+m与抛物线y=x2﹣2x+m关于y轴对称，点Q1（﹣2，q1），Q2（﹣3，q2）都在抛物线y=ax2+bx+m上，则q1、q2的大小关系是q1＜q2．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据抛物线y=ax2+bx+m与抛物线y=x2﹣2x+m关于y轴对称求出a、b的值，再求出抛物线的对称轴直线，Q1（﹣2，q1），Q2（﹣3，q2）所在的位置，进而可得出答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+m与抛物线y=x2﹣2x+m关于y轴对称，∴a=1，b=2，∴抛物线y=ax2+bx+m的解析式为：y=x2+2x+m，∴此抛物线开口向上，对称轴x=﹣=﹣1，∵﹣1＞﹣2＞﹣3，∴点Q1（﹣2，q1），Q2（﹣3，q2）均在对称轴的左侧，∴q1＜q2．故答案为：q1＜q2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据关于y轴对称的点的坐标特点求出a、b的值是解答此题的关键．（2012•晋江市校级模拟）已知抛物线y=x2经过平移后，抛物线上的点的横坐标与纵坐标的部分对应值如下表所示：x…﹣101ab45…y…127434712…则：（1）对称轴是直线x=2．（2）当4＜y≤12时，x的取值范围是﹣1≤x＜1或3＜x≤5．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】（1）利用二次函数的对称性得出x=0和x=4时，y=7，则对称轴为x=，求出即可；（2）根据图表数据得出当4＜y≤12时，x的取值范围即可．【解答】解：（1）利用二次函数的对称性得出x=0和x=4时，y=7，则对称轴为：x===2，故答案为：x=2；（2）∵对称轴是直线x=2，∴当y=4时，x=b或x=1，故b到对称轴距离等于1到对称轴距离，∴b=3，利用图表数据得出当4＜y≤12时，﹣1≤x＜1或3＜x≤5，故答案为：﹣1≤x＜1或3＜x≤5．【点评】此题主要考查了利用二次函数的对称性求对称轴以及利用图表求自变量的取值范围，根据已知得出函数对称轴是解题关键．（2010•扬州二模）如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=x2+1、y=x2﹣1所截．当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为6平方单位．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】由于抛物线y=x2+1是y=x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6的单位长度．【解答】解：抛物线y=x2+1是y=x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|=2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是，2×3=6．【点评】主要考查了函数图象动态变化中的不变的量，本题的关键点是在能否看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形，直接2×3=6即可求出．（2009•常德）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列四个函数①y=2x；②y=﹣3x﹣1；③y=；④y=x2+1中，偶函数是4（填出所有偶函数的序号，答案格式如：“1234”）．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】本题考查偶函数的定义．【解答】解：①y=2x；②y=﹣3x﹣1的图象都是直线，它们都关于这条直线的垂线对称；反比例函数是中心对称图形，关于原点对称；④y=x2+1的对称轴是y轴．故填④．【点评】各种函数的图象特征需掌握．（2006•福州质检）如图示：己知抛物线C1，C2关于x轴对称，抛物线C1，C3关于y轴对称．如果抛物线C2的解析式是y=﹣（x﹣2）2+1，那么抛物线C3的解析式是．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】经过对称变换，函数图象的形状没有发生变化，因而二次项系数的绝对值不变，C1，C2关于x轴对称，则二次项系数互为相反数，抛物线C1，C3关于y轴对称则二次项系数相同．顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：抛物线C2的解析式是y=﹣（x﹣2）2+1那么抛物线C3的二次项系数是C2的顶点是（2，1），则C1的顶点是（2，﹣1）那么抛物线C3的顶点是（﹣2，﹣1）∴抛物线C3的解析式是．【点评】根据函数的变换关系，能够理解函数C3的二次项系数，顶点坐标是解决的关键．（1998•温州）抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x﹣6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使此抛物线经过原点，应将它向右平移4或9个单位．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】确定抛物线与x轴的交点，再确定平移的单位长度．【解答】解：由根与系数关系得x1x2=﹣6m，x1+x2=2m﹣1，代入已知得﹣6m=2m﹣1+49，解得m=﹣6，∴抛物线解析式为y=x2+13x+36=（x+4）（x+9），它与x轴两交点是（﹣4，0），（﹣9，0），故应将它向右平移4或9个单位，抛物线就可以经过原点．【点评】本题考查了根与系数关系，用待定系数法确定抛物线解析式．（2014•陕西）已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，∴M（﹣1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．（2013•凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．解：在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（﹣1，3），再向下平移2个单位得到A″（﹣1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c．则点A″（﹣1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得：，解得：．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2．根据以上信息解答下列问题：将直线y=2x﹣3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；阅读型．【分析】根据上面例题可在直线y=2x﹣3上任取一点A（0，﹣3），由题意算出A向