2.2.2二次函数的性质

二次函数的性质（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．（2008•甘南州）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选B．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根据题意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式组的解集为m＞0．故选B．【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．（2015•梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．【解答】解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1或y2＜y1，错误；③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），∴当0＜x＜2时，y＞0，正确．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【专题】压轴题．【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．【点评】本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据分式的意义，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．【解答】解：由题意，得△=（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1．故选C．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1013y﹣1353下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．（2014•汕头）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．（2015•南开区二模）二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a﹣1＜0，因为当x是y随x的增大而减小，所以当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．【解答】解：∵对称轴是x=，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x=a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x是y随x的增大而减小，当x=0是函数值是m．因而当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选C．【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．（2013•河南）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵a=﹣1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．故选A．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．（2013•日照）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．【解答】解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，解得：x=0或x=2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M=2，2x=2，x=1；x＞2时，y2＞y1；当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），∴使得M=2的x值是1或2+，∴④错误；∴正确的有②③两个．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．（2013•兴化市三模）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【解答】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（﹣2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；④由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．正确的有①②③．故选C．【点评】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．（2013•遵义模拟）二次函数y=（2x﹣1）2+2的顶点的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（，2） D．（﹣，﹣2）【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标．【解答】解：由y=（2x﹣1）2+2=4（x﹣）2+2，可知抛物线顶点坐标为（，2）．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质．熟悉抛物线顶点式与顶点坐标的关系：抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．（2013•北仑区二模）已知点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项正确的是（）A．对于任意实数x都有y≥y0 B．对于任意实数x都有y≤y0C．对于任意实数x都有y＞y0 D．对于任意实数x都有y＜y0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0可知，点（x0，y0）在二次函数的对称轴上，即顶点；又a＞0，则点（x0，y0）为最小值点．【解答】解：由于点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则点（x0，y0）为二次函数的顶点；又由于a＞0，开口向上，则点（x0，y0）为最小值点；即对于任意实数x都有y≥y0．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，解决此题的关键是正确判断点（x0，y0）为最小值点．（2013•重庆模拟）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a﹣1时，函数值是多少？贝贝：我注意到当x=0时，y=m＞0．晶晶：我发现图象的对称轴为．欢欢：我判断出x1＜a＜x2．迎迎：我认为关键要判断a﹣1的符号．妮妮：M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}可以取一个特殊的值．参考上面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】把x=a代入函数y=x2﹣x+m中求出函数a、a﹣1与0的关系，进而确定x=a﹣1时，函数y=x2﹣x+m的值．【解答】解：x=a代入函数y=x2﹣x+m中得：y=a2﹣a+m=a（a﹣1）+m，∵x=a时，y＜0，∴a（a﹣1）+m＜0，由图象可知：m＞0，∴a（a﹣1）＜0，又∵x=a时，y＜0，∴a＞0则a﹣1＜0，由图象可知：x=0时，y=m，又∵x＜时y随x的增大而减小，∴x=a﹣1时，y＞m．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用数形结合法、假设法都是解决数学习题常用的方法，巧妙运用解题方法可以节省解题时间．（2013•江苏模拟）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣201…y…﹣6066…从上表可知，下列说法正确的有（）个①抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）（2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是：直线；④在对称轴右侧，y随x增大而减少．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据表格的数据首先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性可以确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，也可以确定抛物线的最大值的取值范围，也可以确定开口方向．【解答】解：根据表格数据知道：抛物线的开口方向向下，当x=0时，y=6，故②正确；∵x=0，x=1的函数值相等，∴对称轴为x==，∴③正确，④正确；∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（3，0），∴①错误；故选C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质，会根据图象得到信息．（2013•碑林区校级二模）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据△=4m2﹣4×（﹣3）=4m2+12＞0，根据△的意义对①进行判断；由a=1＞0得抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=﹣=m，由于当x≤1时y随x的增大而减小，则直线x=1在直线x=m的左侧，于是可对②进行判断；配方得到y=（x﹣m）2﹣m2﹣3，则抛物线向左平移3个单位的解析式为y=（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把原点坐标代入计算出m的值，则可对③进行判断；根据抛物线的对称性由当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等得到抛物线的对称轴为直线x=3，则m=3，所以抛物线解析式为y=x2﹣6x﹣3，然后计算x=6时的函数值，则可对④进行判断．【解答】解：∵△=4m2﹣4×（﹣3）=4m2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个公共点，所以①正确；∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=﹣=m，当在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，而当x≤1时y随x的增大而减小，∴m≥1，所以②错误；∵y=（x﹣m）2﹣m2﹣3，∴抛物线向左平移3个单位的解析式为y=（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把（0，O）代入得（m﹣3）2﹣m2﹣3=0，解得m=1，所以③错误；∵当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x=3，则x=m=3，∴抛物线解析式为y=x2﹣6x﹣3，当x=6时的函数值为﹣3，所以④正确．故选B．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣，抛物线顶点坐标为（﹣，）；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2﹣y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据与y2=（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．【解答】解：①∵抛物线y2=（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本小题错误；③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=（0+2）2﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=，故y2﹣y1=+=，故本小题错误；④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3，∴B（﹣5，3），C（5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC，故本小题正确．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．（2012•龙岩）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）①y=x②y=﹣2x+1③y=﹣④y=3x2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：①y=x，正比例函数，k=1＞0，y随着x增大而增大，正确；②y=﹣2x+1，一次函数，k=﹣2＜0，y随x的增大而减小，错误；③y=﹣，反比例函数，k=﹣1＜0，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大，正确；④y=3x2，二次函数，a=3＞0，开口向上，对称轴为x=0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，错误．故选B．【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．掌握函数的性质解答此题是关键．（2012•宜宾）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y=x2的切线；②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1）；③若直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）；④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，则实数k=．其中正确命题的是（）A．①②④ B．①③ C．②③ D．①③④【考点】二次函数的性质；根的判别式．【专题】压轴题；新定义；探究型．【分析】根据二次函数的性质与根的判别式对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x2的切线，故本小题正确；②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=﹣2与y轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y=x2相交，故本小题错误；③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切，∴x2﹣x﹣b=0，∴△=（﹣1）2﹣4×b=1+b=0，解得b=﹣1．把b=﹣1代入x2﹣x﹣b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，∴x2=kx﹣2，即x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=±，故本小题错误．故选B．【点评】本题考查的是二次函数的性质及根的判别式，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．（2012•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k（x﹣1）﹣，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】二次函数的性质；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】根据题意由y=ax2+bx+1①，y=k（x﹣1）﹣②，组成的方程组只有一组解，消去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+=0，则△=（b﹣k）2﹣4a（1+k+）=0，整理得到（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a=0，由于对于任意的实数k都成立，所以有1﹣a=0，2a+b=0，b2﹣4a=0，求出a，b即可．【解答】解：根据题意得，y=ax2+bx+1①，y=k（x﹣1）﹣②，解由①②组成的方程组，消去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+=0，∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，∴x有两个相等的值，即△=（b﹣k）2﹣4a（1+k+）=0，∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a=0，由于对于非零实数k都成立，所以有1﹣a=0，2a+b=0，∴b2﹣4a=0，∴a=1，b=﹣2，故选：B．【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式．二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程组的解的情况确定函数图象交点的问题，而方程组的解的情况转化为一元二次方程根的情况．（2012•金东区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1，3D．当﹣1＜x＜3时，y＜0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴直线为：x==1，故A正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B正确；∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1，3，故C正确；∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故D错误．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合求出抛物线的对称轴及当﹣1＜x＜3时y的取值范围是解答此题的关键．（2012•福州模拟）已知二次函数y=x2﹣x+，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m﹣1、m+1时，对应的函数值为y1、y2，则y1、y2满足（）A．y1＞0，y2＞0 B．y1＜0，y2＞0 C．y1＜0，y2＜0 D．y1＞0，y2＜0【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值小于0，确定m﹣1、m+1的位置，进而确定函数值为y1、y2．【解答】解：令y=x2﹣x+=0，解得：x=，∵当自变量x取m时对应的值小于0，∴＜m＜，∴m﹣1＜，m+1＞，∴y1＞0、y2＞0．故选：A．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标．（2012•重庆校级模拟）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．【解答】解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，正确；③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选B．【点评】主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．（2012•黄冈模拟）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．2 B．3 C．8 D．9【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】分别求出当x=2时的函数值，然后根据两函数图象都开口向上确定k值即可．【解答】解：当x=2时，y=（2+1）2﹣1=8，y=（2﹣5）2﹣1=8，所以使y=k成立的x值恰好有三个时，k=8．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质，把界点值代入函数解析式计算即可，难点在于点（2，8）只在第一个函数图象上，不在第二个函数图象上．（2011•鄂州自主招生）已知函数f（x）=x2+λx，p、q、r为△ABC的三边，且p＜q＜r，若对所有的正整数p、q、r都满足f（p）＜f（q）＜f（r），则λ的取值范围是（）A．λ＞﹣2 B．λ＞﹣3 C．λ＞﹣4 D．λ＞﹣5【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】利用f（r）﹣f（q）＞0，得出r2+λr﹣（q2+λq）=r2﹣q2+λr﹣λq=（r+q）（r﹣q）+λ（r﹣q），利用p＜q＜r得出qmin=2，rmin=3，可求λ的范围．【解答】解：∵f（r）﹣f（q）＞0，r2+λr﹣（q2+λq）=r2﹣q2+λr﹣λq=（r+q）（r﹣q）+λ（r﹣q），=（r﹣q）（r+q+λ）＞0①又∵q＜r，∴（r+q+λ）＞0，λ＞﹣（r+q），同理，（q﹣p）（q+p+λ）＞0②，又∵p＜q，∴（q+p+λ）＞0，λ＞﹣（p+q），（r﹣p）（r+p+λ）＞0③又∵p＜r，∴（r+p+λ）＞0，λ＞﹣（r+q）又∵p＜q＜r，∴λ最大为﹣（p+q），p、q、r三者均为正整数，p＜q＜r，且p、q、r为△ABC的三边，即需满足p+q＞r，∴p的最小值应为2（如P为1，q可为2，r可为3，1+2=3，不满足p+q＞r的条件），则q的最小值应为3，∴λ＞﹣5故选：D．【点评】此题考查了二次函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．（2011•岳麓区校级二模）关于x的二次函数y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向上 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵a=﹣1，∴图象的开口向下，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；C、图象的顶点坐标是（1，2），故本选项错误；D、当x=0时，y=﹣（0﹣1）2+2=﹣1+2=1，所以图象与y轴的交点坐标为（0，1），故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，熟记性质是解题的关键．（2011•南海区校级二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0．②该函数的图象关于直线x=1对称．③方程ax2+bx+c=0的两根是﹣1和3．④x＜1时，y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据二次函数的图象对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴是x=1，∴该函数的图象关于直线x=1对称，故②正确；∵抛物线与x轴的交点分别为（﹣1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两根是﹣1和3，故③正确；∵当x＜1时，函数图象在对称轴的左侧，∴x＜1时，y随x的增大而增大，故④正确．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数的图象及抛物线与x轴的交点，利用数形结合求解是解答此题的关键．（2010•杭州）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；新定义．【分析】①当m=﹣3时，根据函数式的对应值，可直接求顶点坐标；②当m＞0时，直接求出图象与x轴两交点坐标，再求函数图象截x轴所得的线段长度，进行判断；③当m＜0时，根据对称轴公式，进行判断；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．【解答】解：根据定义可得函数y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m=﹣3时，函数解析式为y=﹣6x2+4x+2，∴=﹣=，==，∴顶点坐标是（，），正确；②函数y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣，0），当m＞0时，1﹣（﹣）=+＞，正确；③当m＜0时，函数y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴x=﹣＞，∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，错误；④y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，若使函数图象恒经过一点，m≠0时，应使2x2﹣x﹣1=0，可得x1=1，x2=﹣，当x=1时，y=0，当x=﹣时，y=﹣，则函数一定经过点（1，0）和（﹣，﹣），正确．故选B．【点评】公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=．（2008•成都）有下列函数：①y=﹣3x；②y=x﹣1；③y=﹣（x＜0）；④y=x2+2x+1．其中当x在各自的自变量取值范围内取值时，y随着x的增大而增大的函数有（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，逐一判断．【解答】解：①y=﹣3x，正比例函数，k＜0，故y随着x的增大而减小；②y=x﹣1，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大；③y=﹣（x＜0），反比例函数，k＜0，故在第二象限内y随x的增大而增大；④y=x2+2x+1=（x+1）2，二次函数，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．只有②③符合题意．故选C．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．（2007•泰州）已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=3【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【专题】压轴题．【分析】A、当x＜1时，在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0，利用此即可判断是否正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判断是否正确；D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．【解答】解：二次函数为y=x2﹣4x﹣a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥﹣4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4﹣a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=3．故选项正确．故选B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌握．（2007•资阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，并经过点（﹣1，2），（1，0）．下列结论正确的是（）A．当x＞0时，函数值y随x的增大而增大B．当x＞0时，函数值y随x的增大而减小C．存在一个负数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大D．存在一个正数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数的图象与性质解题．【解答】解：根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，并经过点（﹣1，2），（1，0）．将（﹣1，2）代入函数解析式得：a﹣b+c=2①，将（1，0）代入函数解析式得：a+b+c=0②，②﹣①得：2b=﹣2，解得：b=﹣1＜0，又∵抛物线开口向上，可得a＞0，∴﹣＞0，则函数的对称轴x＞0．所以A、B、C不正确；D正确．故选D．【点评】主要考查了二次函数的性质以及对称轴的判定．要先确定对称轴才能判断图象的单调性．（2007•绵阳）已知一次函数y=ax+b的图象过点（﹣2，1），则关于抛物线y=ax2﹣bx+3的三条叙述：①过定点（2，1）；②对称轴可以是x=1；③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．其中所有正确叙述的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】由y=ax+b过（﹣2，1）可得a、b的关系﹣2a+b=1，即2a﹣b=﹣1，根据这个关系可以对各个选项进行判断．【解答】解：由y=ax+b过（﹣2，1），可得﹣2a+b=1，即2a﹣b=﹣1．①当x=2时，代入抛物线的右边得到4a﹣2b+3=2（2a﹣b）+3=﹣2+3=1，故①正确；②由题意得b=2a+1，由对称轴x=﹣，对称轴为x=﹣≠1，故②错误．③由2a﹣b=﹣1得到：b=2a+1．抛物线的顶点坐标公式可知纵坐标===3﹣，因此当a＜0时，即顶点的纵坐标的最小值是3，故③正确．故选C．【点评】本题运用了整体代入思想，利用了抛物线对称轴和顶点坐标公式．（2007•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最大值，即抛物线的开口向下，因而a＜0．求抛物线的顶点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=；代入就可以求出顶点坐标，从而确定顶点所在象限．【解答】解：顶点横坐标x==，纵坐标y==；∵二次函数有最大值，即抛物线的开口向下，a＜0，∴，，即：横坐标x＞0，纵坐标y＜0，顶点在第四象限．故选D．【点评】考查求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法：（2006•汉川市）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；阅读型．【分析】根据图上给出的条件是与x轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a、b的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，∴，解得a=1，b=﹣4，∴y=x2﹣4x+3，当x=3时，y=0，所以小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（﹣1，0）或（3，0），所以对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖也错误．故选C．【点评】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．（2006•岳阳）小明从如图的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0；②c=0；③函数的最小值为﹣3；④当x＜0时，y＞0；⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2．你认为其中正确的有多少个（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．【解答】解：根据图象可知：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，故①错误；②∵抛物线与原点相交，∴c=0，故②正确；③函数的最小值看顶点坐标的纵坐标为﹣3，故③正确；④由图象可看出当x＜0时，y＞0，正确；⑤由图象可看出当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2正确．正确的有4个．故选C．【点评】主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．（2005•江西）若二次函数y=x2+与y=﹣x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）A．这两个函数图象有相同的对称轴B．这两个函数图象的开口方向相反C．方程﹣x2+k=0没有实数根D．二次函数y=﹣x2+k的最大值为【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】利用二次函数的性质以及解方程的知识解题．【解答】解：∵二次函数y=x2+与y=﹣x2+k的图象的顶点重合，∴k=，∴A、B、D正确；C、错误，因为方程﹣x2+k=0有实数根．故选C．【点评】主要考查二次函数的性质．（2004•吉林）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【专题】压轴题．【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．【解答】解：原式=++==．A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1；D、阴影部分面积为xy=×2=1．故选B．【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．（2000•江西）抛物线y=x2﹣3x+2不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】由函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为x=，与y轴交于正半轴，画出函数大致图象，判断不经过的象限．【解答】解：∵a=1＞0，抛物线开口向上，对称轴为x=，与y轴交于（0，2），∴抛物线经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．【点评】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．（1997•昆明）抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点坐标和对称轴方程是（）A．（﹣1，﹣4），x=﹣1 B．（1，﹣4），x=1 C．（﹣1，4），x=﹣1 D．（1，4），x=1【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后解答即可．【解答】解：y=x2﹣2x﹣3，=x2﹣2x+1﹣4，=（x﹣1）2﹣4，所以，顶点坐标为（1，﹣4），对称轴方程为直线x=1．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质，把解析式转化为顶点式形式是解题的关键．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的，则a的取值范围（）A．a＞ B．a＜0或a＞ C． D．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】按照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，图象开口向上，只要顶点纵坐标为正即可；当a＜0时，抛物线对称轴为x=﹣1，根据对称性，只要x=5时，y＞0即可．【解答】解：当a＞0时，图象开口向上，顶点纵坐标为=6a﹣3，当6a﹣3＞0，即a＞时，y＞0；当a＜0时，抛物线对称轴为x=﹣1，根据对称性，只要x=5时，y＞0即可，此时y=25a+10a+7a﹣3＞0，解得a＞，不符合题意，舍去．故选A．【点评】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想．（2014•鞍山一模）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）=12．x﹣2﹣1012345y50﹣3﹣4﹣30512【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=﹣3时的函数值与x=5时的函数值相同．【解答】解：由图可知，f（﹣3）=f（5）=12．故答案为：12．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．（2013•兰州）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．（2013•南通）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于3．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】先将x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，二次函数y=x2+4x+6的值相等，则抛物线的对称轴为直线x=，又二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=﹣2，得出=﹣2，化简得m+n=﹣2，即可求出当x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3时，x2+4x+6的值．【解答】解：∵x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，∴二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x==，又∵二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=﹣2，∴=﹣2，∴3m+3n+2=﹣4，m+n=﹣2，∴当x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3时，x2+4x+6=（﹣3）2+4×（﹣3）+6=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，二次函数y=x2+4x+6的值相等是解题的关键．（2013•锦江区校级模拟）有下列函数：①y=﹣3x；②y=x﹣1；③（x＜0）；④y=x2+2x+1．其中当x在各自的自变量取值范围内取值时，y随着x的增大而增大的函数有②③．（填序号）【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；根据反比例函数的性质对③进行判断；先求出y=x2+2x+1的对称轴方程，再根据二次函数的性质对④进行判断．【解答】解：y=﹣3x，k=﹣3＜0，y随x的增大而减小；y=x﹣1，k=1＞0，y随x的增大而增大；y=﹣（x＜0），y随x的增大而增大；y=x2+2x+1=（x+1）2，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．故答案为②③．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左侧，y随x的增大而减小．也考查了一次函数的性质与反比例函数的性质．（2012•咸宁）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为﹣3．其中正确的说法是①④．（把你认为正确说法的序号都填上）【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】①根据函数与方程的关系解答；②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；③将m=﹣1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．【解答】解：①∵△=4m2﹣4×（﹣3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x=﹣≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则﹣≥1，即m≥1，故本选项错误；③将m=﹣1代入解析式，得y=x2+2x﹣3，当y=0时，得x2+2x﹣3=0，即（x﹣1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=﹣3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x==1006，则﹣=1006，m=1006，原函数可化为y=x2﹣2012x﹣3，当x=2012时，y=20122﹣2012×2012﹣3=﹣3，故本选项正确．故答案为：①④．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．（2012•防城港）二次函数y=﹣（x﹣2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向下，顶点坐标为（2，），当y=0时，可解出与x轴的交点横坐标．【解答】解：∵二次项系数为﹣1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，），当y=0时，﹣（x﹣2）2+=0，解得x1=，得x2=．可画出草图为：（右图）图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键．（2012•廛河区校级一模）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长=2011．【考点】二次函数的性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=x2中，求a、b、c的值得出规律．【解答】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c，在正△A0B1A1中，B1（a，），代入y=x2中，得=•（a）2，解得a=1，即A0A1=1，在正△A1B2A2中，B2（b，1+），代入y=x2中，得1+=•（b）2，解得b=2，即A1A2=2，在正△A2B3A3中，B3（c，3+），代入y=x2中，得3+=•（c）2，解得c=3，即A2A3=3，由此可得△A2010B2011A2011的边长=2011．故答案为：2011．【点评】此题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．（2012•安徽模拟）已知点A（1，﹣3）、B（﹣3，﹣3）关于直线l对称，开口向上的抛物线y=ax2+bx+c以l为对称轴，且经过A、B两点，下面给出关于抛物线y=ax2+bx+c的几个结论：①抛物线y=ax2+bx+c一定不经过原点；②当x=﹣1时，y最小=﹣3；③当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小；④当﹣3＜x＜1时，y＜0．其中正确的结论的序号是①③④．（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先得到抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，由于开口向上，且经过A、B两点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在x轴下方，则不过原点；最小值不能为﹣3；在对称轴左侧，即x＜﹣1，y随着x的增大而减小；当﹣3＜x＜1时，图象在x轴下方．【解答】解：∵点A（1，﹣3）与B（﹣3，﹣3）关于直线x=﹣1对称，∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∵开口向上，且经过A、B两点，∴抛物线y=ax2+bx+c一定不经过原点，所以①正确；当x=﹣1时，函数值有最小值，比﹣3要小，所以②错误；在对称轴左侧，即x＜﹣1，y随着x的增大而减小，所以③正确；当﹣3＜x＜1时，图象在x轴下方，则y＜0，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：二次函数图象为抛物线，当a＞0，开口向上，对称轴为直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，），在对称左侧，y随x的增大而减小．（2012•咸宁模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，并经过点（﹣1，2），（1，0）．则下列结论：①．当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，②．当x＞0时，函数值y随x的增大而减小，③．存在一个负数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大，④．存在一个正数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大，其中正确的是④．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】将两点的坐标代入抛物线的解析式中，可得a+c=1，b=﹣1．故抛物线的解析式为y=ax2﹣x+1﹣a，抛物线的对称轴为x=﹣=，a＞0，因此抛物线的对称轴在y轴右侧．因此x＜时，y随x的增大而减小和当x＞时，函数值y随x的增大而增大．当0＜x＜时，y随x的增大而减小．据以上分析找到正确的答案即可．【解答】解：将点（﹣1，2），（1，0）代入y=ax2+bx+c（a≠0），得a+c=1，b=﹣1．故抛物线的解析式为y=ax2﹣x+1﹣a，抛物线的对称轴为x=﹣=，a＞0，因此抛物线的对称轴在y轴右侧．因此x＜时，y随x的增大而减小和当x＞时，函数值y随x的增大而增大．当0＜x＜时，y随x的增大而减小．∴④正确，而①②③错误．【点评】本题考查二次函数解析式的确定、二次函数的性质、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．（2012•姜堰市校级模拟）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示，给出下列说法：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴右侧；③在对称轴左侧，y随x增大而减小；④抛物线一定过点（3，0）．上述说法正确的是①②④（填序号）．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；图表型．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【解答】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（﹣2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点评】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．（2010•株洲）已知二次函数y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=﹣1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），设x=2a①，y=a﹣1②，①﹣②×2，消去a得，x﹣2y=2，即y=x﹣1．【点评】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．（2010•扶沟县一模）如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为（3，2）；抛物线C8的顶点坐标为（55，）．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y=x+1，因为顶点C2的在直线AB上，C2坐标可求；根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式y=x+1中，可求纵坐标．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b则解得k=，b=1∴直线AB的解析式为y=x+1∵抛物线C2的顶点坐标的横坐标为3，且顶点在直线AB上∴抛物线C2的顶点坐标为（3，2）∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…∴每个数都是前两个数的和∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力．（2008•天津）已知关于x的函数同时满足下列三个条件：①函数的图象不经过第二象限；②当x＜2时，对应的函数值y＜0；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是：y=﹣x2+4x﹣4（写出一个即可，答案不唯一）．【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】此函数可以是一次函数y=kx+b，（k＞0，b＜0）；也可为二次函数y=ax2+bx+c，（a＜0，b＞0，c＜0）．【解答】解：∵经过点（2，0）顶点的横坐标＞或等于2且开口向下的抛物线的解析式都是符合题意的，∴我们可以写出一个函数是y=﹣（x﹣2）2=﹣x2+4x﹣4．（答案不唯一）．【点评】此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错．本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．（2008•义乌市）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式y=kx+b（k＞0，b＞0）或y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）．（答案不唯一）【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据题意，可以在一次函数，二次函数中进行合理选择．【解答】解：根据题意得，此函数可以是一次函数y=kx+b，此时k＞0，b＞0；也可以是二次函数y=ax2+bx+c，此时a＞0，b＞0．如y=x+1，y=x2+x+1．【点评】此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错．本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】代数综合题；压轴题；新定义．【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变