4.3 用乘法公式分解因式-平方差公式、完全平方公式（解析版）

2022-2023学年浙教版七年级下册同步培优知识点巩固+易错题辨析+统考原题呈现+拓展拔高训练4.3用乘法公式分解因式——平方差公式、完全平方公式平方差公式：(1)文字叙述：两个数的等于这两个数的与这两个数的的.(2)字母表示：利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是(单项式、多项式).2、能用平方差公式分解因式的多项式的特点：(1)只有两项(或两个整体)；(2)两项都能用完全平方表示，即：字母的指数是偶数，系数是完全平方数或写成它的算术平方根的完全平方)；(3)两项符号(一项为，一项为).3、完全平方公式：(1)文字叙述：两数的，(或者)这两数的积的倍，等于这两数和(或者差)的.(2)字母表示：4、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：(1)要有两个符号的平方项和一个交叉项.(2)交叉项要等于两个平方项底数的积的倍.     (3)完全平方式的形式为：①首2+2首×尾+尾2=(首+尾)2②首2－2首×尾+尾2=(首－尾)2.(4)分解的结果是和的平方还是差的平方，取决于交叉项的符号.当交叉项的符号是“+”时，分解结果就是的平方.当交叉项的符号是“－”时，分解结果就是的平方.5、立方和公式：；立方差公式：【答案】（1）平方差；和；差；积a2－b2=(a+b)(a－b)；整式(3)相反；正；负（1）平方和；加上；减去；2；平方（2）a2±2ab+b2=(a±b)24、（1）相同（2）2（4）和；差练习：1、因式分解（1）4x2﹣1（2）m（3）3a（4）(a（5）(（6）x（7）x【答案】（1）解：4x2﹣19=（2x﹣13（2）解：m（3）解：3a2b-6a（4）解：(a2+1)2-4（5）解：(（6）解：x（7）解：x2、用简便方法计算.（1）6.42（2）21042（3）2.42（4）20052（5）40【答案】（1）解：6.4（2）解：21042（3）解：2.42×9（4）解：20052-4010×2003+（5）解：40×3.1523、因式分解a2b﹣b的正确结果是（）A．b（a+1）（a﹣1） B．a（b+1）（b﹣1）C．b（a2﹣1） D．b（a﹣1）2【答案】A【解析】a2b﹣b=b（a2﹣1）=b（a+1）（a﹣1）．故答案为：A．4、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】D【解析】该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故答案为：D．5、将多项式4xA．2x B．4x C．-4x D．【答案】A【解析】A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意；B.4x2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；C.4x2-4x+1=（2x-1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；故答案为：A．6、若y2+ky+49是一个完全平方式，则k的值为【答案】±14【解析】由题意可得y2+ky+49=(y±7)2=y2±14y+49，

∴k=±14.

故答案为：±14.7、代数式x2－6x＋25的最小值是．【答案】16【解析】x2－6x＋25

=(x-3)2+25-9

=(x-3)2+16，

∵(x-3)2≥0，

∴x2－6x＋25的最小值为16.

故答案为：16.8、我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等．例1：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．例2：求式子2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：x2++36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2﹣；（2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（注意：直接写出答案不给分）（3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）x2+2x×6+36＝x2+12x+36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m2+2m）＝3（m2+2m+1﹣1）＝3（m2+2m+1）﹣3＝3（m+1）2﹣3故答案为：12x，3；（2）x2﹣6x﹣27＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣62＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（3）﹣x2﹣4x+1＝﹣（x2+4x+4﹣4）+1＝﹣（x2+4x+4）+4+1＝﹣（x+2）2+5，∵（x+2）2≥0，∴﹣（x+2）2≤0，即﹣（x+2）2+5≤5，则当x＝﹣2时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，最大值为5．1、20163-2016不是下列哪个数的倍数?()A．2018 B．2017 C．2016 D．2015【答案】A【解析】∵20163-2016

=2016（20162-1）

=2016（2016+1）（2016-1）

=2016×2017×2015

∴20163-2016能被2016、2017、2015整除，因此它不是2018的倍数。

故答案为：A2、把多项式y4-81分解因式，结果是（）A．（y2+9）（y+3）（y-3） B．（y+3）2（y-3）C．（y-3）4 D．（y2+9）（y2-9）【答案】A【解析】y4-81=（y2）2-92=（y2+9）（y2-9）=（y2+9）（y+3）（y-3）故答案为：A.3、257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】∵原式=512（52﹣1）=24×512=120×511．∴257﹣512能被①12；②15；③24；④60整除．故答案为：D．4、若n为任意正整数,(n+11)2-n2的值总可以被k整除,则k等于()A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数【答案】A【解析】∵（n+11）2-n2，=（n+11+n）（n+11-n），=11（2n+11），∴（n+11）2-n2的值总可以被11整除．故答案为：A5、在多项式中①x2＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y2；③x2＋xy＋y2；④1＋x＋14x2A．①② B．①④ C．①③ D．②④【答案】D【解析】①x2＋2xy－y2中平方项的符号不同，故不能用完全平方公式分解；②－x2＋2xy－y2，能用完全平方公式分解；③x2＋xy＋y2，中间项不是两底数积的2倍，故不能用完全平方公式分解；④1＋x＋14x2故答案为：D.6、若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为（）A．±2 B．±5 C．7或－5 D．－7或5【答案】C【解析】∵4x2－2(k－1)x＋9=（2x±3）2，

4x2－2(k－1)x＋9=4x2±12x＋9，

∴2(k－1)=±12，

解得k=7或-5.

故答案为：C.7、已知a＋1a＝3，则a2＋1A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】a2=(a+1=3=7．故答案为：B．8、分解因式：x2＋2x(x－3)－9＝；－3x2＋2x－13＝【答案】3(x＋1)(x－3)；－13(3x－1)【解析】x2＋2x(x－3)－9

＝x2－9+2x(x-3)

=(x+3)(x-3)+2x(x-3)

=(x-3)(x+3+2x)

=(x-3)(3x+3)

=3(x+1)(x-3)；

－3x2＋2x－13

=-13(9x2-6x+1)

=-13(x-3)2.

故答案为：3(x＋1)(x－3)和－13(3x－1)2.对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到我们可以求用这样的方法：在二次三项式x2+2ax-8ax===(==(x+a+3a)(x+a=(x+4a)(x像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式x2＋2ax—3a2分解因式；（2）拓展应用：二次三项式x2-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.【答案】（1）解：x=====(x+a+2a)(x+a=(x+3a)(x（2）解：有最小值.理由如下：x∵(x∴(x-2)1、（2021·杭州）因式分解：1-A．(1-2y)(1+2y)C．(1-2y)(2+y)【答案】A【解析】1-4y故答案为：A.2、（2020·苏州）若x+y+3=0，则x(x+4y)-A．3 B．9 C．6 D．-9【答案】B【解析】∵x+y+3=0，

∴x+y=-3，

x(x+4y)-y(2x-y)

=x2+4xy-2xy+y2

=x2+2xy+y2

=(x+y)2

=(-3)2

=9.

故答案为：B.3、（2022·包头）已知实数a，b满足b-a=1，则代数式A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故答案为：A．4、（2022•合川）已知2x﹣y＝3，则代数式x2﹣xy+14y2A．434 B．134 C．3 D【答案】D【解析】解：∵2x﹣y＝3，∴x2﹣xy+14y=14（4x2﹣4xy+y2=14（2x﹣y）=14×＝4，故选：D．5、（2022•垦利）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：利、爱、我、垦、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．爱我垦利 B．游我垦利 C．游美垦利 D．游美【答案】A【解析】解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b），∴结果呈现的密码信息可能是：爱我垦利，故选：A．6、（2022•和平）已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）A．1 B．3 C．6 D．1010【答案】B【解析】解：设x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，则2x＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝1+1+4＝6，∴x＝3，故选：B．7、（2021·温州）分解因式：2m2【答案】2（m+3）（m-3）【解析】2=2（m2-9）=2（m+3）（m-3）.故答案为：2（m+3）（m-3）.8、（2022•张店）若三角形的三边长a，b，c满足（a﹣c）2+（a﹣c）b＝0，则这个三角形形状一定是三角形．【答案】等腰【解析】解：∵（a﹣c）2+（a﹣c）b＝（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，∵三角形的三边长a，b，c，∴a﹣c+b≠0，∴a＝c，∴这个三角形形状一定是等腰三角形，故答案为：等腰．9、（2022·阳泉）请阅读下列材料,并完成相应的任务．任务:（1）利用上述方法推导立方和公式(从左往右推导)；（2）已知,求的值．【答案】（1）见解析；（2），．【解析】（1）解:（2）解：10、（2022·江苏）阅读理解以下文字：我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．例如：方程就可以这样来解：解：原方程可化为所以或者．解方程，得所以解为，．根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：（1）解方程：；（2）解方程：；（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．【答案】x1=0或x2=5；（2）x1=-1，x2=3；（3）见解析【解析】∴∴x=0或x-5=0∴x1=0或x2=5；（x+3）2-4x2=0∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0∴（3x+3）（-x+3）=0∴3x+3=0或-x+3=0，

解方程得：x1=-1，x2=3；∵△ABC的三边长为4，x，y∴x+y＞4，x+4＞y∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，

∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．1、小石将（2020x＋2021）2展开后得到多项式a1x2+b1x+c1A．﹣1 B．﹣4041 C．4041 D．1【答案】B【解析】∵（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1=20202，∵（2021x-2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2=20212，∴a1-a2=20202-20212=（2020+2021）（2020-2021）=-4041，故答案为：B．2、若4次3项式m4+4m2+A是一个完全平方式，则A=.【答案】4或±4m3【解析】①∵m4＝(m2)2，4m2＝2×2m2，∴A＝22＝4.②∵m4＝(m2)2，4m2＝(2m)2，∴A＝±2·m2·2m＝±4m3.综上A＝4或±4m3.故答案为：4或±4m3.3、计算：20221122【答案】1【解析】2022112=202211=202211=202211=202211=202211=1故答案是：12正整数p，q（p＜q）分别是正整数n的最小质因数和最大质因数，并且p2+q2