人教A版高中数学选择性必修第三册 第7章 §7.5 正态分布 同步课时讲练（原卷版）

第第页§7.5正态分布学习目标1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点一正态曲线与正态分布1．我们称f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．思考1正态曲线f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R中的参数μ，σ有何意义？答案μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.思考2若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？答案若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．知识点二正态曲线的特点1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．1．正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(×)2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(×)3．正态曲线可以关于y轴对称．(√)4．若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝eq\f(1,2).(√)一、正态曲线例1(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝，方差σ2＝.(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同反思感悟利用正态曲线的特点求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此特点结合图象可求出σ.跟踪训练1(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有()A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点二、利用正态分布求概率例2设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．延伸探究若本例条件不变，求P(ξ>5)．反思感悟利用正态分布的对称性求概率由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．跟踪训练2已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2三、正态分布的应用例3有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？反思感悟求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．跟踪训练3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？根据对称性求正态曲线在某个区间内取值的概率典例已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于()A．0.477B．0.954C．0.628D．0.977[素养提升]借助图象较直观的分析出P(ξ>2)与P(－2≤ξ≤2)概率的关系，提升了学生的直观想象素养．1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝eq\f(1,\r(8π))，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与102．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1＝P2B．P1<P2C．P1>P2D．不确定3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝.5．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为．1．知识清单：(1)正态曲线及其特点．(2)正态分布．(3)正态分布的应用，3σ原则．2．方法归纳：转化化归、数形结合．3．常见误区：概率区间转化不等价．1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是()A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2C．μ1＝μ2 D．σ2<σ33．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.844．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于()A．10B．100C.eq\f(2,π)D.eq\r(\f(2,π))5.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ36．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为．7．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X≤4－a)＝.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，则σ＝，P(|X－2|<4)＝.9．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．10．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？11．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名12．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为()A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不可出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为()A.eq\f(44,45)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(41,45)14．已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝，b＝.15．(多选)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)16．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入eq\x\to(x)(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫