人教A版高中数学选择性必修第三册 第8章 §8.4 章末复习课+巩固练习（原卷版）

第第页章末复习课一、变量的相关性1．变量的相关关系与样本相关系数是学习一元线性回归模型的前提和基础，前者可借助散点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻化了两个变量的相关程度．2．在学习该部分知识时，体会直观想象和数学运算的素养．例1(1)下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是()A．圆的半径与面积B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C．庄稼的产量与施肥量D．人的身高与视力(2)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，则y与x的样本相关系数为________．方法二观察四个点，发现其在一条单调递减的直线上，故y与x的样本相关系数为－1.反思感悟变量相关性的判断的两种方法(1)散点图法：直观形象．(2)公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的样本相关系数．如点在一条直线上，|r|＝1，且当r＝1时，正相关；r＝－1时，负相关．跟踪训练1(1)已知变量x和y满足关系y＝－2x＋1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关(2)如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组成对样本数据的散点图，已知A组成对样本数据的样本相关系数为r1，B组成对样本数据的样本相关系数为r2，则()A．r1＝r2 B．r1<r2C．r1>r2 D．无法判定二、一元线性回归模型及其应用1．该知识点是具有线性相关关系的两变量的一种拟合应用，目的是借助函数的思想对实际问题做出预测和分析．2．主要培养数学建模和数据分析的素养．例2一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数xi10152025303540件数yi471215202327其中i＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横坐标，每天商品销售件数为纵坐标，画出散点图；(2)求经验回归方程；(结果保留到小数点后两位)(3)预测进店人数为80时商品销售的件数．(结果保留整数)参考公式：经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).反思感悟解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求经验回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出经验回归方程．(3)回归分析．画残差图或计算R2，进行残差分析．(4)实际应用．依据求得的经验回归方程解决实际问题．跟踪表：房屋面积/m211511080135105销售价格/万元24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求经验回归方程；(3)根据(2)的结果，估计当房屋面积为150m2时的销售价格．三、非线性经验回归方程1．在实际问题中，并非所有的变量关系均满足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线性化．2．体现数学建模的优劣，提升数据分析的素养．例3某公司为确定下一年度投入产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8注：表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根据散点图判断，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x与eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y之间的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题．①当年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的估计值最大？反思感悟非线性经验回归方程的求解策略(1)本例中，y与x不是线性相关关系，但通过wi＝eq\r(xi)，转换为w与y的线性相关关系，从而可利用线性回归分析间接讨论y与x的相关关系．(2)可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点图拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．跟踪训练3电容器充电达到某电压值时作为时间t的计算原点，此后电容器串联一电阻放电，测定各时间的电压值(U)所得数据见下表：t(h)012345678…U(V)100755540302015105…设U与t之间具有近似关系U≈U0e－αt(U0，α为常数，e≈2.71828…)，求U对t的回归方程．四、独立性检验1．主要考查根据样本制作2×2列联表，由2×2列联表计算χ2，查表分析并判断相关性结论的可信程度．2．通过计算χ2值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析素养．例4奥运会期间，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下：是否愿意提供志愿者服务性别愿意不愿意男生2010女生1020(1)用分层随机抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否据此推断该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.反思感悟独立性检验问题的求解策略(1)等高堆积条形图法：依据题目信息画出等高堆积条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．(2)通过公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)先计算χ2，再与临界值表作比较，最后得出结论．跟踪训练4考察小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表：种子灭菌种子未灭菌合计黑穗病26184210无黑穗病50200250合计76384460试分析依据小概与小麦发生黑穗病有关？1．(2020·全国Ⅱ)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\x\to(y))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\r(2)≈1.414.2．(2020·新高考全国Ⅰ改编)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度是否有关．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).概率与统计的综合应用概率与统计内容在考试考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，该题目的设置常常以社会、经济、科技发展为背景，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生统计图表的识别，应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．一、统计图表与正态分布例1从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和均值；(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间[87.8,112.2]内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.反思感悟本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键．二、统计图表与统计分析例2一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20岁至60岁的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：(1)为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？(2)填写下面列联表，并根据列联表判断在小概率值α＝0.001的独立性检验下，能否推断使用移动支付与年龄有关？移动支付年龄合计年龄<40年龄≥40使用不使用合计200(3)现从该超市这200位顾客年龄在[55,60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移动支付的顾客为X人，求X的分布列．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828三、概率统计中的决策问题例3某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种：可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格均值作为决策依据．(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和均值；②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．四、概率统计中的最值问题例4某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于