专题10 几何图形中的分类讨论思想（解析版）

专题10几何图形中的分类讨论思想【典例解析】【例1】（2019·江苏崇川期中）△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一过点A的直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】解：①∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝∠BDA＝39°，∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，故答案为：117°或108°或84°．【变式1-1】（2020·哈尔滨月考）已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则______．【答案】45°或36°.【解析】解：分两种情况：（1）当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD．在△ADB与△ADC中，∵BD=CD，AD=AD，AB=AC，∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝45°；（2）当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B，∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．故答案为：45°或36°．【变式1-2】（2019·河北邢台模考）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在中，，过作一直线交于，若把分割成两个等腰三角形，则的度数是______．（2）已知在中，，过顶点和顶点对边上一点的直线，把分割成两个等腰三角形，则的最小度数为________．【答案】130°，.【解析】解：（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③∵AB=AC，当AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=．综上所述，∠A的最小度数为：．故答案：．【例2】（2018·南通市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点的坐标，过点作轴，垂足为点，过点作直线轴，点从点出发在轴上沿着轴的正方向运动．（1）当点运动到点处，过点作的垂线交直线于点，证明，并求此时点的坐标；（2）点是直线上的动点，问是否存在点，使得以为顶点的三角形和全等，若存在求点的坐标以及此时对应的点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵AP⊥PD∴∠APB+∠DPC=90°又∠A+∠APB=90°∴∠A=∠APB∵AB=CP，∠ABP=∠PCD∴△ABP≌△PCD∴AP=DP，CD=BP=3∴D（2,3）.（2）设P（a,0），Q（2，b）①当AB=PC，BP=CQ时，△PCQ≌△ABP即，解得或∴P（0,0），Q（2,3）或P（0,0），Q（2,-3）或P（4,0），Q（2,7）或P（4,0），Q（2,-7）②当AB=CQ，BP=CP时，△APB≌△QPC即，解得∴P（,0），Q（2,-2）或P（,0），Q（2,2）.【变式2-1】（2020·重庆期末）如图，点在线段上，于，于，，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________．【答案】1或或.【解析】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=6-3t，∴t=1，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=3t-6，∴t=，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴2t-5=18-3t，∴t=，综上所述：t的值为1或或．故答案为：1或或．【例3】（2019·四川成都期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【答案】见解析．【解析】解：(1)∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠PBC∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°，∴∠BPC=180°-(∠PBC∠PCB)=180°-50°=130°.(2)∵△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC=(∠A+∠ACB)，∠PCB=(∠A+∠ABC)，∴∠QBC∠QCB=(∠A+∠A+∠ABC+∠ACB)=(∠A+180°)=∠A+90°.又∠QBC∠QCB=180°-∠Q，∴∠A+90°=180°-∠Q，∴∠Q=90°-∠A.(3)连接BC并延长到点F∵CQ为△ABC的外角的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A；∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°．①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，则90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；④∠E=2∠Q，则∠A=2(90°-∠A)，解得∠A=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【变式3-1】（2020·河南偃师）（1）发现：如图1，的内角的平分线和外角的平分线相交于点.①当时，则②当时，求的度数（用含的代数式表示）﹔（2）应用：如图2，直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），延长至，已知的角平分线与的角平分线所在的直线相交于，在中，如果一个角是另一个角的倍，请直接写出的度数.【答案】见解析．【解析】解：（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，∴∠A＝2∠BOC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝∠A＝25°，②由∠ACD=∠A+∠ABC，知∠ACD－∠ABC=α∵OB，OC平分∠ABC，∠ACD∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD∴∠BOC=∠OCD－∠OBC=（∠ACD－∠ABC）=α（2）∵∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线相交于E，F∴∠EAF=（∠BAO+∠GAO）=90°①当∠E=∠EAF=30°时，根据（1）可知：∠ABO=2∠E=60°②当∠E=∠F时，∠E=22.5°∴∠ABO=2∠E=45°.【变式3-2】（2020·山东崂山期末）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．图1图2图3图4（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．【答案】见解析．【解析】解：（1）①∠ACB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠ABM=270°，∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠ACB=45°；②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，∴∠CAB=∠BAQ，∵AC平分∠PAB，∴∠PAC=∠CAB，∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；如图3，∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，∴∠ABC=∠ABN，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC=∠MBC，∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，∴∠ABO=60°，故答案为：30，60；（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，有一个角是另一个角的倍，有：①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．∴∠ABO为60°或72°．【习题专练】1.（2020·河南宛城月考）等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm，则这个等腰三角形周长为_____cm．【答案】26.【解析】解：设腰长为xcm，根据题意得：x﹣6＝4或6﹣x＝4，解得：x＝10或x＝2（舍去），∴这个等腰三角形的周长为10+10+6＝26cm．故答案为：26．2.（2020·重庆月考）如图，，，，E为AC上一点，且，在直线AC上取一点P，使，则：的值为______．【答案】2或4.【解析】解：如图，①当∠1=∠2时，∠1+∠3=60°，∠BAD=3∠CAD，∠ABE=2∠CBE，DA∥BC得：3∠3+3∠EBC=180°∴∠EBC+∠3=60°∴∠EBC=∠1=∠2=∠P1BE即∠CBP1:∠ABP1=2②当∠ABP2=∠DCA时，同理，得∠CBP2:∠ABP2=4故答案为：2或4．3.（2020·湖北硚口期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，其中，，点是轴负半轴上一点，点是在直线与直线之间的一点，连接、，平分，平分，交于，则与之间可满足的数量关系式为______________．【答案】∠BNO+∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO.【解析】解：①P在OB左侧时，∠BPO=2∠BNO，在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°－∠BPO∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，∴∠BNO=（180°－∠PBO－∠POB）=90°－（180°－∠BPO）=∠BPO即∠BPO=2∠BNO.②P在OB右侧时，∠BNO+∠BPO=180°，∵BC∥OA，

∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，

∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，∴∠PBN+∠PON+∠BPO=180°∴∠PBN+∠PON=180°－∠BPO在四边形BNOP中，∠BNO=360°－∠PBN－∠PON－∠BPO=180°－∠BPO即∠BNO+∠BPO=180°.故答案为：∠BNO+∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO.4.（2019·乐清市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】解：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．故答案为C.5.（2020·厦门市）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B.【解析】解：点P（m，0）（m＜6），点P在x轴上，分三种情况：①当O为顶角顶点时，以点O为圆心OA长为半径画弧，交x轴于一点，根据对称性得到此点的坐标为（6,0），舍去；②当点A为顶角顶点时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴有两个交点均满足小于6的条件，故此时有两个；③作线段OA的垂直平分线，与x轴交于一点，满足小于6的条件；综上，共有3个点P，即m有3个值.6.（2020·四川江油月考）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．【答案】16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm.【解析】解：如图所示设三角形的腰AB=AC=xcm（1）若AB+AD=24cm，则x+x=24∴x=16∵三角形的周长为24+30=54cm所以三边长分别为16cm，16cm，22cm（2）若AB+AD=30cm，则x+x=30∴x=20∵三角形的周长为24+30=54cm∴三边长分别为20cm，20cm，14cm因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．7.（2020·南阳市期末）已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．解：①当2x﹣1=x+1时，解x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．②当2x﹣1=3x﹣2时，解x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．【答案】见解析．【解析】解：（1）①当2x﹣1=x+1时，解得：x=2，此时3，3，4，能构成三角形．②当2x﹣1=3x﹣2时，解得：x=1，此时1，2，1不能构成三角形．故答案为2，能，1，不能；（2）③当x+1=3x﹣2，解得：x=，此时2，能构成三角形．故三角形的周长为：3+3+4=10或=7．综上所述：三角形的周长为10或7．8.（2019·宜春市期中）如图，，点为射线上一顶点，点在射线上移动，当为等腰三角形时，_________．【答案】30°、75°、120°.【解析】解：①当OA=AB时∴∠ABO=∠MON=30°②当OA=OB时，∴∠ABO=∠BAO=75°③当OB=AB时∴∠OAB=∠MON=30°∴∠ABO=180°-∠OAB-∠MON=120°故答案为：30°、75°、120°.9.（2020·安徽淮南月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度为______.【答案】55°或35°．【解析】解：如图，∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，∴∠A=70°，∴∠ABC=∠C=（180°-70°）÷2=55°；如图，∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，∴∠BAC=20°+90°=110°，∴∠ABC=∠C=（180°-110°）÷2=35°．故答案为55°或35°．10.（2020·江苏盱眙一期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．①若，则______度（直接写出结果，不需说理）；②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．【答案】（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36°【解析】解：（1）易知∠AIB=90°+∠BOA=135°.（2）①易知∠D=∠BOA=45°②结论：点A、B在运动过程中，∠ADB=45°，不发生变化.理由：∠D=∠CBA-∠BAD=(∠MBA-∠BAO)=∠AOB=45°.（3）由题意得：∠DAO=∠BAO，∠FAO=∠EAP，∴∠DAF=（∠BAO+∠EAP）=90°∴∠D=∠POD-∠DAO=（∠POB-∠BAO）=∠ABO∴∠ABO=2∠D在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则：①当∠DAF=4∠D时，∠D=22.5°，此时∠ABO=2∠D=45°，②当∠DAF=4∠F时，∠F=22.5°，∠D=67.5°∠ABO=135°（不符合题意舍去），③∠F=4∠D时，∠D=18°，∠ABO=36°④∠D=4∠F时，∠D=72°，∠ABO=144°（不符合题意舍去），综上所述，当∠ABO为45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．11.（2020·乐陵市月考）在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°（答案直接填在题中横线上）；（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）【答案】见解析.【解析】解：（1）∵∠α=60°，∠C=90°，∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，又∵四边形的外角和为360°，∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角，∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，∴∠1+∠2=90°+∠α（3）如图3所示，

当PD位于PE上方时，∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，∵∠PEA=∠C+∠CFE，∴∠2=90°+∠α+∠1．当PD位于PE下方时，

∵∠1=∠α+∠PFD，∠2=90°+∠CFE，∠PFD=∠CFE，∴∠1-∠2=∠α-90°．12.（2020·江苏东台期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠OBA）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∠CDA+∠DCB=225°∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCB=112.5°，∴∠E=67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=（∠BOQ-∠BAQ）=∠ABO∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EFA=90°在△AEF中，有一个角是另一个角的3倍，有：①∠EFA=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°②∠EFA=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍）③∠EAF=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°④∠EAF=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍）∴∠ABO为60°或45°．13.（2020·四川彭州期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．（1）当时，°，°，°；（2）当等于多少时?≌，请说明理由．（3）在点的运动过程中，请直接写出当是等腰三角形时的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵∠BDA＝110°，∠ADE＝50°，∴∠CDE＝180°−∠BDA−∠ADE＝180°−110°−50°＝20°，∵∠C＝50°，∴∠AED＝∠CDE＋∠C＝20°＋50°＝70°，在△ADE中，∠DAE＝180°−∠ADE−∠AED＝180°−50°−70°＝60°，故答案为：20，70，60；（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，理由：在△ABD中，∠BAD＋∠BDA＝180°−∠B＝130°，∵∠BDA＋∠EDC＝180°−∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠C，△ABD≌△DCE，∴CD＝AB＝3；（3）∵△ADE是等腰三角形，∴①当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，∵∠C＝50°，∴点E与点C重合，不符合题意，舍去，当AD＝ED时，∠AED＝（180°−∠ADE）＝65°，∴∠CDE＝∠AED−∠C＝15°，∴∠BDA＝180°−∠ADE−∠CDE＝115°，当AE＝DE时，∠AED＝180°−2∠ADE＝80°，∴∠CDE＝∠AED−∠C＝30°，∴∠BDA＝180°−∠ADE−∠CDE＝100°，即当△ADE是等腰三角形时∠BDA的度数为115°或100°．14.（2020·都江堰期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到C（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于E．（1）在点D的运动过程中，若∠BDA＝100°，求∠DEC的大小；（2）在点D的运动过程中，若AB＝DC，请证明△ABD≌△DCE；（3）若BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s）．在点D的运动过程中，是否存在这样的t，使得△ADE的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠BDA＝100°，∠ADE＝30°，∴∠EDC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∴∠DEC＝180°﹣50°﹣30°＝100°；（2）∵∠C＝30°，∴∠CED+∠CDE＝150°，∵∠ADE＝30°，∴∠ADB+∠CDE＝150°，∴∠CED＝∠ADB，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）存在，∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠BAC＝120°，∵BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s），∴BD＝t，CD＝6﹣t，①如图1，当∠DAE＝90，则∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝t，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD，即6﹣t＝2t，∴t＝2；②当∠AED＝90°时，则∠DAE＝60°，∴AD平分∠BAC，∴BD＝CD，即t＝6﹣t，∴t＝3，综上所述，当t＝2或3时，△ADE的形状是直角三角形．15.（2019·湖北房县）在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（–a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+b2–4a–8b+20=0，点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°．（1）a＝；b＝．（2）若点P在x轴上，请在图中画出图形（BP为虚线），并写出点P的坐标；（3）若点P不在x轴上，是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，∴（a–2）2+（b–4）2＝0∴a＝2，b＝4，故答案为：2，4；（2）如图1，由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，点P在直线AB的右侧，且在x轴上，∵∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0），故答案为：（4，0）；（3