专题08 a除以a的绝对值（解析版）

专题08a除以a的绝对值1．设，则的值是（

）A．－3 B．1 C．3或－1 D．－3或1【答案】B【解析】【分析】根据a、b、c的正数的个数去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【详解】∵∴a、b、c中二负一正，又，∴，而当时，，当时，，∴的结果中有二个1，一个－1，∴的值是1.故选：B．【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的加法，解题的关键是确定的结果中有二个1，一个－1．2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案．【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴∴=====0；故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，．3．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少．【详解】解：∵，，∴a、b、c为两个负数，一个正数，∵，，，∴，分三种情况讨论，当，，时，，当，，时，，当，，时，，∴，，则．故选：A．【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．4．已知，，的积为负数，和为正数，且，则的值为()A． B．，2 C．，， D．，，，【答案】A【解析】【分析】先判断出的符号，再化简绝对值运算即可得．【详解】的积为负数的符号为三负或两正一负的和为正数的符号为两正一负因此，分以下三种情况：（1）当时（2）当时（3）当时综上，的值为0故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的化简，依据已知条件，判断出的符号是解题关键．5．下列说法正确的是（

）①已知，，是非零有理数，若，则的值为0或；②已知时，那么的最大值为8，最小值为；③若且，则代数式的值为．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】【分析】利用绝对值的意义对每个说法逐一判断即可得出结论．【详解】解：①∵a，b，c是非零有理数，若，∴a，b，c中有两个负数一个正数，∴a，b有可能同为负数或一个正数一个负数，当a，b同为负数时，；当a，b一个正数一个负数时，设a＜0，b＞0，∴，综上，的值为0或2．故①正确；②∵x≤5，∴|x-5|=5-x．当-3≤x≤5时，∴|x+3|-|x-5|=（x+3）-（5-x）=2x-2，∴当x=5时，原式有最大值2×5-2=8，当x=-3时，原式有最小值2×（-3）-2=-8；当x＜-3时，|x+3|-|x-5|=-x-3-（5-x）=-x-3+x-5=-8．综上，当x≤5时，那么|x+3|-|x-5|的最大值为8，最小值为-8，∴②正确；③∵|a|=|b|且|a−b|=，∴a，b互为相反数，∴a+b=0，a=-b．∴-ab=b2．∴|-2b|=，∴|b|=，∴b2=．∴．∴③正确．综上，正确的说法有：①②③．故选：D．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，绝对值，利用分类讨论的方法求|x+3|-|x-5|的最大值或最小值是解题的关键．6．已知有理数，，满足，且，则__________．【答案】．【解析】【分析】根据有理数，，满足，且，得到，，中必定只有一个正数，两个负数，分三种情况讨论：当时，，；当时，，；当时，，；然后化简绝对值求解即可．【详解】解：∵有理数，，满足，且，∴有理数，，中必定只有一个正数，两个负数，当时，，，则：；当时，，，则：；当时，，，则：；综上所述，，故答案是：．【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟悉相关性质是解题的关键．7．已知：都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则m+n=__________．【答案】2【解析】【分析】分3种情况来求解即可．【详解】解：∵都不等于0，分3种情况来求求解，∴当同正时，=1+1+1=3；当同负时，=-1-1+1=-1；当一正一负时，=1-1-1=-1；∵的最大值为m，最小值为n，∴m=3,n=-1∴m+n=3-1=2故答案为：2【点睛】本题考查了绝对值及其运算，注意要分情况来进行运算，记住：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．三、解答题8．如果、、是非零有理数，且，那么的所有可能的值为_____.【答案】0【解析】【详解】试题分析：由、、是非零有理数，且可得，当a、b为正数时，则c为负；当a为正数时，则b、c为负；分情况讨论求的值．试题解析：、、为非零有理数，且、、只能为两正一负或一正两负.①当、、为两正一负时，设、为正，为负原式②当、、为一正两负时，设为正，、为负原式综上，的值为.9．已知a,b,c都不等于零，且的最大值是m，最小值为n，求的值．【答案】-1；其中m=2,n=-2【解析】【详解】试题分析：因为a,b,c符号不确定所以需要对其进行分类讨论,因为a,b,c在原式中的位置相同，所以随意给三个字母规定正负，讨论三个字母符号正负，计算最值

.试题解析：,分类讨论，a,b,c同正，原式=1+1+1-1=2,；a,b,c同负，原式=-1-1-1+1=-2；a,b,c两正一负，原式=1+1-1+1=2；a,b,c两负一正，原式=-1-1+1-1=-2.所以m=2,n=-2，所以.10．a，b，c在数轴上的位置如图所示：(1)求_______(2)、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：；(3)求的最大值，并求出此时x的范围．【答案】(1)-1(2)(3)b-a，x≥b【解析】【分析】（1）根据数轴上的位置可得a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；（2）根据a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；（3）分x＜a，a≤x≤b，x＞b三种情况进行讨论，综合讨论结果可得．(1)解：由数轴可知：a＜b＜0＜c，；(2)∵a＜b＜0＜c，∴==(3)当x＜a时，==＜0，当a≤x≤b时，==，∴，当x＞b时，==＞0，综上：的最大值为，此时x的范围是：x≥b．【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴，解题的关键是能根据绝对值的性质化简式子，同时更好的理解题意，将困难的问题分开讨论．11．（1）一个数a，当a>0时，=；当a<0时，=；（2）两个数a、b，当ab<0时，=；（3）三个数a、b、c，当abc<0，a+b+c>0，且，求的值【答案】（1）1，-1；（2）-1；（3）-5．【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件，利用绝对值的性质化简即可；（2）分为两种情况：①，,②，,分别化简绝对值然后计算即可；（3）根据已知得出其中一个为负数，其余两个为正数，分为三种情况：①当a＜0时，b＞0，c＞0，②当b＜0时，a＞0，c＞0，③当c＜0时，a＞0，b＞0，化简绝对值，然后求出x的值，再代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：（1）当a>0时，，当a<0时，；（2）当时，有两种情况：①，,②，,∴①当，时,②当，时,，∴综上所述，当时，（3）解：，，符合条件的只有一种情况：其中一个为负数，其余两个为正数，分为以下三种情况：①当时，，，，，，；②当时，，，，，，；③当时，，，，，，，综上所述，的值为0，∴．【点睛】本题考查了绝对值的性质和应用，能根据绝对值的性质将等式化简是解题的关键．12．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1【解析】【分析】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；综合上面三个的结果得到答案；（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.【详解】（1）①∵a、b都是正数，∴=a，=b，∴=1+1=2，故答案为：2；②设a是负数，b是正数，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案为：0；③∵a、b都是负数，∴=-a，=-b，∴=-1-1=-2，故答案为：-2；综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1，当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3，当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3,当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1，综上，的值为1或3或-3,或-1；②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，∴=，∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1，当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1，综上，的值为-1或1.【点睛】此题考查绝对值的性质，根据绝对值的符号化简绝对值，熟记性质特征是解题的关键.13．请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则＝______；当b＜0时，则＝______．(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值．【答案】(1)1，-1(2)-1(3)3或﹣1或1或﹣3【解析】【分析】（1）根据a，b的取值范围化简绝对值，再计算出结果即可；（2）根据a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，进而代入原式中可得结果；（3）根据题意可分为四种情况分别为：①当a，b，c都是正数，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，④当a，b，c三个数都为负数时，分别求出算式的的结果．(1)解：当a＞0时，则，当b＜0，则，故答案为：1，﹣1；(2)解：已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中两正一负，∴；(3)解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：；③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设a＞0，b＞0，c＜0，则：＝1+1﹣1＝1；④当a，b，c三个数都为负数时，则：＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；综上所述：的值为3或﹣1或1或﹣3．【点睛】本题考查绝对值的化简，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键．14．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题．例：三个有理数a，b，c满足，求的值．解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即，，时，则：；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则：；综上所述：的值为3或-1．请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知，，且，求的值；（2）已知a，b是有理数，当时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，，．求的值．【答案】（1）或；（2）或0；（3）．【解析】【分析】（1）先根据绝对值运算求出a、b的值，再根据可得两组a、b的值，然后代入求值即可得；（2）分①，、②，、③，、④，四种情况，再分别化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得；（3）先根据已知等式可得，，，且a，b，c有两个正数一个负数，再化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得．【详解】（1）因为，，所以，因为，所以或，则或，即的值为或；（2）由题意，可分以下四种情况：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；综上，的值为或0；（3）因为a，b，c是有理数，，，所以，，，且a，b，c有两个正数一个负数，设，，，则．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数除法与加减法的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题关键．15．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即，，时，则；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则，综上所述，值为3或−1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足，求的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．【答案】（1）值为-3或1；（2）【解析】【分析】（1）由可得a，b，c都为负数或两个正数，一个负数，然后问题可求解；（2）由题意及可得a，b，c为两个正数一个负数，然后问题可求解．【详解】解：（1）由题意，得a，b，c三个有理数都为负数或两个正数，一个负数，①当a，b，c都是负数，即，，时，则；②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，，则，综上所述，值为-3或1；（2）由及（1）可得：a，b，c中有两个正数一个负数，∴不妨设，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查有理数运算的应用，熟练掌握有理数的加减乘除运算是解题的关键．16．在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运用"分类讨论"的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】已知有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解∶由题意，得a，b，c三个