上海市2024年高三3月份模拟考试数学试题含解析

上海市北蔡高中2024年高三3月份模拟考试数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，图象关于V轴对称的为()

%

A./(♦)=jB./(%)=j7+2x+07-2x,xe[-l,2]

e+

C./(x)=sin8xD.f(x)=/

X

2.过抛物线£：42=2加(。>0)的焦点尸作两条互相垂直的弦48,CD,设P为抛物线上的一动点，2(1,2),若

看+表小则s+iPQ的最小值是(3

A.1B.2C.3D.4

3.如图，正三棱柱ABC-ABC1各条棱的长度均相等，。为AA的中点，M,N分别是线段8区和线段CG的动点

(含端点)，且满足BM=GN,当M,N运动时，下列结论中不正确的是

\-L.

*

A.在ADMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面。WNJ_平面5CG耳

C.三棱锥A-DMN的体积为定值

D.ADAGV可能为直角三角形

4.已知函数=”"1,若f(a)>f(b),则下列不等关系正确的是()

In%,x>1

A.——<——B.W>y/b

a~+lb+1

C.a2<abD.ln（«2+1）>ln（/?2+1）

5.等腰直角三角形BC。与等边三角形ABO中，ZC=90°,BD=6,现将△回£）沿3。折起，则当直线AO与平

面5C。所成角为45。时，直线AC与平面所成角的正弦值为（）

A

A.WB.也c.显D.空

3223

6.a为正实数，i为虚数单位，=2,则a=()

1

A.2B.73c.V2D.1

7.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立

即执行任务E,任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）

A.36种B.44种C.48种D.54种

8.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政

治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

9.对于任意xwR,函数满足"2—%）=—/（*）,且当X..1时，函数/（x）=Gl.若

a===则a,b,c大小关系是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

22

10.已知椭圆「+与=l（a〉6〉0）的焦点分别为耳，工，其中焦点B与抛物线y2=2px的焦点重合，且椭圆与

ab

抛物线的两个交点连线正好过点B，则椭圆的离心率为（）

A.受B.72-1C.3-2A/2D.8―1

2

11.若函数y=/(x)的定义域为M={x|-2WxW2},值域为N={y|0WyW2},则函数y=/(x)的图像可能是()

C.

12.如图，AABC内接于圆。，是圆。的直径，DC=BE,DC//BE,DC±CB,DCLCA,AB=2EB=2,则

三棱锥E-ABC体积的最大值为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知椭圆工+乙=1的左焦点为点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段的中点在以原点。为圆心

95

为半径的圆上，则直线PR的斜率是.

^<3

14.若X、y满足约束条件<%+>22,贝!|z=x+2y的最小值为.

x-3y<6

15.设a、/为互不重合的平面，m9〃是互不重合的直线，给出下列四个命题:

①若山〃小则相〃“；

②若帆ua,nua,m//n//贝！|a〃/；

③若“〃4，mc.a9nu/f,则加〃〃；

④若a_L/,aC\fi=m,nc.a,m^_n9贝!]〃_L/；

其中正确命题的序号为.

16.正四面体A-5CD的各个点在平面〃同侧，各点到平面河的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大

市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的

部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、

111?

乙健身时间不超过1小时的概率分别为Z，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为5,§，且两人健

身时间都不会超过3小时.

（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量J（单位：元），求J的分布列与数学期望£（＜）;

（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预

测此次促销活动后健身馆每天的营业额.

18.（12分）如图，在直角AAO2中，OA=OB=2,AAOC通过AAO3以直线Q4为轴顺时针旋转120。得到

（ZBOC=120°）.点。为斜边AB上一点.点〃为线段上一点，且=逋.

3

（1）证明：平面AOB；

（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角3-CD-O的正弦值.

19.（12分）已知点4、3分别在x轴、V轴上运动，|AB|=3,=IMA-

（1）求点〃的轨迹C的方程；

（2）过点N，,-1］且斜率存在的直线/与曲线C交于p、。两点，E（0,l）,求|石「|2+|£。|2的取值范围.

22

20.（12分）已知椭圆2y+17=1（。〉6〉0）,上、下顶点分别是A、B,上、下焦点分别是耳、B，焦距为2,

点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若。为椭圆上异于A、3的动点，过A作与x轴平行的直线/,直线与/交于点S,直线&S与直线AQ交

于点P,判断NSPQ是否为定值，说明理由.

21.(12分)已知函数/(%)=改2+851(。£尺)

(1)当■时，证明/''(x)'。，在［0,+8)恒成立；

(2)若/(X)在x=0处取得极大值，求。的取值范围.

22.(10分)设函数/(x)=x—工，g(x)=〃nx,其中尤e(0,1),。为正实数.

(1)若/(%)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数f的取值范围；

(2)设〃(x)=(lnx——+1)]+(必—1)11-；证明：对任意xe(o,i),都有H(x)>0.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y轴对称的函数为偶函数；

A中,XGR，/I)=/_；+]=-/(x),故/(%)=潦1为奇函数;

5中，/(x)=j7+2x+j7-2x的定义域为[—L2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

C中，由正弦函数性质可知，/(x)=sin8x为奇函数;

e'+：*为偶函数.

。中，X£R且xwO,f(—x)=e+：=/(x)，故/(九)

(一%)x一

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:

⑴定义法：对于函数/(X)的定义域内任意一个X都有/(x)=-/(-x),则函数“X)是奇函数；都有/(%)=/'(-X),

则函数/■(%)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数O函数图象关于原点(丁轴)对称.

2,C

【解析】

设直线的方程为丫=履+3，代入炉=2加得：x2-2pkx-p2=0,由根与系数的关系得乙+乙=2。左，

必与=一22,从而得至"AB|=2?(1+z2)，同理可得|C£)|=2p(l+，)，再利用点+陶=；求得P的值，

当Q,P,M三点共线时，即可得答案.

【详解】

根据题意，可知抛物线的焦点为(0,火)，则直线A3的斜率存在且不为0,

2

设直线AB的方程为y=Ax+g代入炉=2刀得：x2-2pkx-p2=0.

2

由根与系数的关系得4+4=2pk,xAxB=-p,

所以|AB|=2p(l+产).

又直线CD的方程为y=—1x+",同理|CD|=2pQ+4)，

k2k

111111

______—|--------^3_____________—|—_____________^3

所以\CD\~2p(l+k2)22(1+°)—2p—4，

所以2p=4.故必=4%过点尸作pu垂直于准线，加为垂足，

则由抛物线的定义可得『尸1=1PMI.

所以|Pb|+|PQ|=|PM|+|PQ闫MQ|=3,当Q,p,M三点共线时，等号成立.

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力

和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.

3、D

【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；

B项利用线面垂直的判定定理；

C项三棱锥A-的体积与三棱锥N-A.DM体积相等，三棱锥N-A.DM的底面积是定值，高也是定值，则

体积是定值；

D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.

【详解】

A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确；

B项，如图：

当M、N分别在BBHCCI上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCGBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面平面5CG4,故正确；

C项，当M、N分别在BB1、CG上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面AiDM的距离不变，所以棱锥N-AiDM的体积

不变，即三棱锥AI-DMN的体积为定值，故正确；

D项，若△DMN为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BG,而此时DM,DN的长大于

BBi,所以△DMN不可能为直角三角形，故错误.

故选D

【点睛】

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性

质的应用，是中档题.

4、B

【解析】

利用函数的单调性得到。步的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.

【详解】

•••/（X）在R上单调递增，：.a>b.

的符号无法判断，故后与/，/与。匕的大小不确定,

对A,当a=l力=-1时，=故A错误；

CL+1b+1

对C,当〃=1,人=一1时，a1=l,ab=-l,故C错误；

对D,当a=l力=一1时，111(4+1)=111仅？+1),故D错误；

对B,对贝!］妫＞如故B正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算

求解能力，属于基础题.

5、A

【解析】

设E为中点，连接AE、CE,过A作AOLCE于点。，连接OO,得到NADO即为直线40与平面BCD所成角

的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4E即为直线AC与平面A3。所成角，进而求得其正弦值，得

到结果.

【详解】

设E为中点，连接AE、CE,

由题可知CELBD,所以平面AEC,

过A作AO_LCE于点0,连接。0,则49,平面50C,

所以ZADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，

所以sinNADO=R^=42,可得AO=3近，

2AD

在“。石中可得。E=3,

XOC=-BD=3,即点。与点C重合，此时有AC,平面5C。，

2

过C作CELAE与点凡

又8。，平面AEC,所以8DLCF,所以。尸，平面9，

从而角ZCAE即为直线AC与平面ABD所成角，sinZC4E=q=工=昱，

AE303

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平

面角的定义，属于中档题目.

6、B

【解析】

|"+’|=2Ja，+1=2a=上出a>Q,.'.a=y/3,选B.

i

7、B

【解析】

分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E

排在第四位，结合任务3和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案.

【详解】

六项不同的任务分别为A、B、C、D,E、F,

如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好。、F,再在。、歹之间的3个空位中插入5、C,

此时共有排列方法：尺#=12；

如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则5,C可能分别在A、E的两侧，排列方法有方方=12,可能都在A、

E的右侧，排列方法有北g=4；

如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则5,C分别在A、E的两侧尺尺=16；

所以不同的执行方案共有12+12+4+16=44种.

【点睛】

本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.

8、B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有c=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率尸=二=：,

124

故选B.

9、A

【解析】

由已知可得［L+8)的单调性，再由/(2-X)=-/(%)可得/(X)对称性，可求出/(x)在(-8,1)单调性，即可求出结论.

【详解】

对于任意xeR,函数〃x)满足/(2—x)=—/(%),

因为函数/（X）关于点（1,。）对称,

当时，/（X）=万是单调增函数,

所以/（x）在定义域R上是单调增函数.

因为---<—<一,所以/

232

b<c<a.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..

10、B

【解析】

22+32

22a=----------p

a-b上4「2

根据题意可得易知C=T且'4,解方程可得<，再利用e?==即可求解.

a~

p2b2+4p-a2=4a2b2p2

2

【详解】

^=2V|+32

4

易知c=e且4

2b2=^+1

p2b2+4p-a-=4a2b2P2

2

2__________

故有e?=筋=3-20,则e=，3-21=亚-1

故选：B

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题

11、B

【解析】

因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对B满足函数定义，故符合；

对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定;

对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定.

故选B.

12、B

【解析】

根据已知证明班1平面ABC,只要设AC=尤，则5c=〃-/2（0<%<2卜从而可得体积

2

VE_ABC=1x-A/4-X=|西（4_尤2）,利用基本不等式可得最大值.

【详解】

因为DC=BE,DCUBE,所以四边形为平行四边形.又因为DC±CB,DCLCA,CBoCA=C,CB平面

ABC,C4u平面ABC,

所以DC,平面ABC,所以跖1平面ABC.在直角三角形触中，AB=2EB=2,

设AC=x,则3C=J4—/（0<%<2卜

所以—=口。叱=%”——,所

（22、2

以外一巧,=^公:4_丁=公:炉（4_.）又因为.（4_炉）《厂+4—x，当且仅当

66I2J

/2A2、2

X2（4-X2）<x+"x,即％=夜时等号成立，

【2J

所以（H。

故选：B.

【点睛】

本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为工,

用建立体积V与边长x的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、V15

【解析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用

焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】

方法1：由题意可知|O/|=|QM|=c=2,

由中位线定理可得|尸片|=2|OM|=4,设P(x,y)可得(x-2)2+V=16,

22

联立方程L+匕=i

95

321

可解得x=—-,》=一(舍)，点P在椭圆上且在工轴的上方，

22

(L、岳

[3J15|/—

求得尸--，^―,所以左弘=*—=岳

I22J1

2

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知I。尸l=|0M|=c=2,

由中位线定理可得|尸耳|=2||=4,即a—/=4=々=—5

求得尸一5'一'所以kpF=；=.

2

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的

重要途径.

14、1

【解析】

作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数z=x+2y取得最小时对应的最优解，代入目标

函数计算即可.

【详解】

”3

作出不等式组,x+y22所表示的可行域如下图所示:

x-3y<6

x+y=2x=3/、

联立:，，解得，，即点4(3,—1),

[x-3y=6[y=T

平移直线z=x+2y,当直线z=x+2y经过可行域的顶点4(3,-1)时，该直线在X轴上的截距最小，此时z取最小值,

即Zmin=3+2x(-l)=l.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

15、④

【解析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】

对于①，当机〃”时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出机〃a,①错误；

对于②，当niua,〃ua,且根〃时，由两平面平行的判定定理，不能得出a〃“，②错误；

对于③，当a〃“，且mua,“以时，由两平面平行的性质定理，不能得出机〃“③错误；

对于④，当a_Ly?,且〃ua,/n_L”时，由两平面垂直的性质定理，能够得出④正确；

综上知，正确命题的序号是④.

故答案为：④.

【点睛】

本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

16、国

【解析】

不妨设点A,D,C,5到面的距离分别为1,2,3,4,平面"向下平移两个单位，与正四面体相交，过点O,与

AC分别相交于点E,F,根据题意尸为中点，E为的三等分点(靠近点A),设棱长为求得

%=!义无/x逅。=正。3,再用余弦定理求得：EF,DEDF,cosZEDF,从而求得

324372

S=-xDExDFxsinZEDF=-x—ax—ax^=—a2,再根据顶点A到面即尸的距离为1,得到

2232V2112

匕EDF='xSEDFX1='XL叵/xl=d5/,然后利用等体积法％_AEF=%一°EF求解，

331236

【详解】

不妨设点A,D,C,3到面的距离分别为1,2,3,4,

平面M向下平移两个单位，与正四面体相交，过点。，与AB,AC分别相交于点E,F,如图所示：

A

B

由题意得：尸为中点，E为AB的三等分点（靠近点A）,

设棱长为a，S=—x—x—xsin60=—a2»

A£F22324

V6

顶点D到面ABC的距离为d----Q

3

所以ViEF'

111171J7

由^■弦定EF~——a?H—a?—2x—ax—axcos60——ct~,DE?——ci~+ci~—2xax—axcos60——ci~,

一492336939

3、DE?+DF°-EF?

DF，=~a~+a2-2xax-axcos60=­cr,cosZEDF

4242DEDF

2

所以sinNEDF=里,所以SmF=-xDExDFxsinZEDF=-x—ax—ax^=—a,

V21-223272112

又顶点A到面EDF的距离为1,

所以匕EDF=—X.SEDFx1=—X〃2x1=,

331236

因为％-胆=匕-DEF，

所以正

7236

解得a="s/10，

故答案为：710

【点睛】

本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于

难题，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析，40元(2)6000元

【解析】

(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情

况，分情况计算即可

(2)根据(1)结果求均值.

【详解】

解：(1)由题设知J可能取值为0,20,40,60,80,贝!)

故&的分布列为:

020406080

11511

P———————

24412424

所以数学期望E（J）=Ox—+20x-+40x—+60x-+80x—=40（元）

24412424

（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：40x300x-=6000（元）

2

【点睛】

考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.

18、（1）见解析；（2）上叵

35

【解析】

（1）先算出的长度，利用勾股定理证明05,再由已知可得利用线面垂直的判定定理即可

证明；

（2）由（1）可得NMDO为直线与平面408所成的角，要使其最大，则“（应最小，可得。为中点，然后

建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.

【详解】

（1）在AMO3中，ZOBC=30，由余弦定理得

OM=^OB~+BM2-2OB-BM-cos30=,

3

/.OM2+OB2=MB2,

OMLOB,

由题意可知：OALOC,OBOC=O,

AOA_L平面COB,

QVfu平面COB,AOA±OM,

又OAOB=O,

:.OM,平面AOB.

（2）以。为坐标原点，以OM，OB，的方向为％，V，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

J)

if

VOM±平面AOB，:.MD在平面AOB上的射影是OD,

MD与平面AOB所成的角是NMDO,.,./"DO最大时，即ODLAB,点。为A5中点.

3(020),C(^,-l,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(-0,2,1),

DB=(0,l,-l),OD=(0,1,1)»设平面CDB的法向量〃=(尤,y,z),

n-CD=09-V§x+2y+z=0

由＜9得＜，令z=l,得y=l,x=百,

几DB=0y-z=0

所以平面CDB的法向量〃=(6,1,1),

m-CD-0-y/3x+2y+z—0

同理，设平面CD。的法向量m=(x,y,z),由＜,得

m-OD-0y+z=0

/

令y=l,得z=—l,x=43,所以平面C。。的法向量机=字2,

3

・..cosy…叵，sins…、尸=心

35V3535

故二面角B-CD-O的正弦值为生夕。.

35

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

19、(1)—+y2=1(2)f4,-——

4-I25J

【解析】

(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出EP,EQ,得到EPLEQ,

所以|EP『+1EQ\2=\PQ/，代入韦达定理即可求解.

【详解】

(1)设A(卬0),5(0,%)，则需+4=9,

uuu皿睚x=2(x0-x)lx0=-^

设M(x,y),由刚/=2屁4得｛0/n尸｛2.

y-yo=2(O-y)[%=3,

又由于||x[+(3y)2=9,

化简得M的轨迹C的方程为—+y2=l.

4'

3

(2)设直线PQ的方程为》二日-1，

与。的方程联立，消去y得(1+4/)必一日履一||=0,

A>0,设P(玉，yj,Q(x2,y2),

24k—64

则再+々=

5+20k225+lOOp

由已知£7「=(%,%-1),一1)，则

EP-EQ=xxx2+(X—1)(%—1)=夕％2+1何一

-648,24k64

—々X____________H-------

25+100左255+20k225

-64-64k2-192k2+64+256k2

25+10042

=0,

故直线EPLEQ.

\EP\2+\EQ\2=\PQ\2=

2

24k-6464(1+左2)(25左2+4)

I-4x

=(")5+20F25+100F25(1+4左2/

64(4+29左2+25左4

25(1+4左2J

令1+4/=/,则

4[-27+66/+25r]

25?

4<|<詈.

(256

所以，|£「『+|£。|2的取值范围为4,石,

【点睛】

此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.

22

20、(1)-^+―=1；(2)NSPQ=1，理由见解析.

432

【解析】

(1)求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得。的值，进而可求得〃的值，由此可得出椭圆的方程；

(2)设点。的坐标为(%0，%)(%*0)，求出直线的方程，求出点S的坐标，由此计算出直线AQ和&S的斜率,

可计算出七°•篇的值，进而可求得的值，即可得出结论.

2sNSPQ

【详解】

(1)由题意可知，椭圆的上焦点为月(0,1)、7^(0,-1),

由椭圆的定义可得2a==4,可得。=2，b=Jo?一[=5y39

22

因此，所求椭圆的方程为上+上=1;

43

(2)设点。的坐标为(％,%)(//0),则手+[=1,得第=4一手,

y=24./.\

x=----4%,2

联立为+2、解得%+2,即点S

、为+2?

、不°=2

y-2k=2+1=3(%+2)

直线AQ的斜率为右0=也一，直线KS的斜率为4%04%，

“。2

4片

所以，k-k」。—23(%+2)3宙—4)一才义3,1,:.AQLF2S,

AQ

尸2s/4x04片4%Q

jr

因此，NSPQ=—.

2

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.

21、(1)证明见解析(2)-oo,-1

【解析】

⑴根据〃x)=；x2+cosx,求导/■'(£)=x-sinx,h[x)=x-sinx,用导数法求其最小值.

(2)设g(x)=/'(x)=2dx—s%x,研究在尤=0处左正右负，求导g'(x)=2a-cosx.,分a<-^,

--<a<~,三种情况讨论求解.

22

【详解】

(1)因为/(X)=+COSX,

所以/'(x)=x—sinx,

令/，(%)=贝=l—

所以M光)是［0,+s)的增函数，

®/z(x)>/z(O)=O,

即/'(x"0.

⑵因为g(x)=/'(X)=2ox—sinx,

所以g'(x)=2a-cosx.,

①当■时，g\x)>l-cosx>0,

所以函数/'(x)在E上单调递增.

若%>0,则/(%)>尸(0)=0；

若％<0,则/(x)</'(O)=O,

所以函数/(X)的单调递增区间是(0,+8),单调递减区间是(-吗0),

所以/(%)在x=0处取得极小值，不符合题意，

②