2023北京高考数学质检试卷

2023年北京币商考数学质检试卷

一、选择题(共10小题).

1.已知集合八=[-1,0,1,2,3},B={xk-l20},则ACB=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{3}

2.如果复数丝2_(b€R)的实部与虚部相等，那么b=()

1

A.-2B.1C.2D.4

3.已知等差数列{a}的前n项和为S,a=1,S=18,贝!]a[=()

nn391

A.0B.-1C.-2D.-3

4.已知圆x2+y2=4截直线y=kx+2所得弦的长度为27电,则实数k=（）

A-V2B--V3C.士我D.±73

22

5.已知双曲线C：¥-X^l（a>0,b>0）的离心率为2,则双曲线C的渐近线方程为

()

A.y:土V3xB.y;士^D.y=±2x

6.在AABC中，若a2-b2+c2+ac=0,贝!]B=

B.2LD.等

4

7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥最长的棱

长为（）

（左）桃阳

8.在4ABC中，"taiAtaiBVl”是"△ABC为钝角三角形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,准线为1,点P是直线1上的动点.若点A在抛物线

C上，且AF|=5,贝UpA|+10|(0为坐标原点)的最小值为()

A.8B.2万C.THD.6

10.在棱长为1的正方体ABCD-A]BICJD]中，P是线段BC]上的点，过A1的平面a与直线

PD垂直.当P在线段BC1上运动时，平面a截正方体ABCD-人声FJ1所得的截面面积

的最小值是()

A.1B.SC.匹D.后

42丫/

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

H-在(X+2)8的展开式中，X4的系数为.(用数字作答)

X

3x<i

12.已知函数f(x)=4则f(0)=；f(x)的值域为.

[-log2X,X>1,

13.已知向量二=1),E=(X,y)(xyWO),且£1=1,W咤<0，则向量E的坐

标可以是(写出一个即可)

14.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间

对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位:

9

万元)符合函数模型m=3--.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入

x+1

万元.

15.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论

在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键

概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于X。国，令xn=f(x“「)(n=l,

2,3,-),若存在正整数k使得Xk=x0,且当0<j<k时，x,^x0，则称x0是f(x)的

一个周期为k的周期点.给出下列四个结论：

①若f(x)=ex-i,则f(x)存在唯一一个周期为1的周期点；

②若f(x)=2(1-x),则f(x)存在周期为2的周期点；

2x,X<y

③若f(x)=("则f(x)不存在周期为3的周期点；

2(l-x),x>^

④若f(x)=x(1-x),则对任意正整数n,，■都不是f(x)的周期为n的周期点.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

7T

16.已知函数f(x)=Asin(3x+@)(A>0,3>0,由下列四个条件中的

三个来确定：

JT

①最小正周期为“；②最大值为2；③f(——)=0；④f(o)=-2.

0

(I)写出能确定f(x)的三个条件，并求f(x)的解析式；

(II)求f(x)的单调递增区间.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，0是AD边的中点，PO_L底面ABCD,PO=1.在底面

ABCD中，BC〃AD,CD±AD,BC=CD=1,AD=2.

(I)求证：AB〃平面POC；

(II)求二面角B-AP-D的余弦值.

18.我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困.为

了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A,B两个地区2019年脱贫家庭进行

简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：

A地区B地区

2019年人均年纯收入超过100户150户

10000元

2019年人均年纯收入未超过200户50户

10000元

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.

(I)从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超

过10000元的概率；

(II)在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为

这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；

(III)从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均

年纯收入都超过10000元.根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入

超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由.

19.已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,-1),离心率为逅.

3

(I)求椭圆c的方程及焦点的坐标；

(II)若点M为椭圆C上异于A,B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直

线y=3交于点P,直线MB与直线y=3交于点Q,试判断以线段PQ为直径的圆是否过

定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

20.已知函数f(x)=(ax-1)ex(a@).

(I)求f(x)的单调区间；

2

(II)若直线y=ax+a与曲线y=f(x)相切，求证：(-1,-r-).

21.设数列A：a,a,a(m22),若存在公比为q的等比数列B：b,b,…，

m12mm+112

b,使得其中k=l,2,m,则称数列B田为数列A的”等比分割

m++11kkk+1m+1m

数列”.

(I)写出数列A/3,6,12,24的一个”等比分割数列"B§；

(II)若数列A1。的通项公式为a0=2n(n=l,2,…，10),其“等比分割数列"的

首项为1,求数列B“的公比q的取值范围；

(III)若数列A,的通项公式为an=n2(n=l,2,…，m),且数列Am存在”等比分割

数列”，求m的最大值.

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1.已知集合八=[-1,0,1,2,3},B={xk-l20},则ACB=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{3}

解：因为集合八={-1,0,1,2,3},B={xk-l》0}={xjx，l},

所以ACB={1,2,3).

故选：B.

2.如果复数竺2_(bER)的实部与虚部相等，那么b=()

i

A.-2B.1C.2D.4

解：=(2+b：),-i)=b_2i的实部与虚部相等,

/.b=-2.

故选:A.

3.已知等差数列{a}的前n项和为S,a=1,S=18,则2=()

nn391

A.0B.-1C.-2D.-3

1o9(a]+an)

解：•.•S9=18=----L_2_=9a5，

；生=2,

又&3=1，

二由等差数列的性质可得：a1+a5=a1+2=2a3=2,

.■1=0,

故选：A.

4-已知圆x2+y2=4截直线y=kx+2所得弦的长度为2b，则实数k=()

A.V2B--A/3C.土&D.±73

解：圆x2+y2=4截直线y=kx+2所得弦的长度为2爪,

可得弦心距为：V4Z3=1,

|2|L

所以：,2=1，解得k=±V3.

Vl+k"

故选：D.

5.已知双曲线C：-24--^l(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线C的渐近线方程为

a2b2

()

A.y=±«XB.y=±2^xC.y=±-^-xD.y=+2x

22

解：根据题意，双曲线c：号-十l(a>0,b>0)的离心率为2,

ab

其焦点在y轴上，其渐近线方程为y=土也X

a

又由其离心率e=S=2,则c=2a,

a

则b=Vc2-a2=V3a»即包=«，

a

则其渐近线方程y=±J§x；

故选：A.

6.在aABC中，若a2-b2+c2+ac=0,则B=()

n7T

B.C.D.2冗

~43T

解：若a2-b2+c2+ac=0,

2,2

所以C°SB=£皿-1

■—■.

C0SD2ac2

由于B£(0,Ji),

所以B=2J兀-.

故选：D.

7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥最长的棱

B-V5c-VsD-2V2

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A-BCD；

如图所示

所以：AB=BC=412+]2,CD=BD=1,AD=22+12=V5，AC=

Vl2+22+l2=V6>

故选：c.

8.在4ABC中，“taiAtaiBCl”是“△ABC为钝角三角形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

tanA+tanB

解：解法一：（1）若C为钝角，贝！］A,B为锐角，1.taiC=-tan（A+B）=-------------

1-tanAtanB

<0,解得taiAtaiBVl.

若A或B为钝角，则taiAtaiBV1成立.

（2）若tarAtaiBVl成立，假设A或B为钝角，则4ABC为钝角三角形.

假设A,都B为锐角，tarC=-tan（A+B）=_普苴詈吟<（）,解得C为钝角，则^

1-tanAtanB

ABC为钝角三角形.

综上可得：在4ABC中，“taiAtaiBVl”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件.

解法二：tarAtaiBVlCIl-$1nAs>0口。°口（〉时），,。口。。曲cosBcoS<（）□ZXABC

COSACOSDCOSACOSD

为钝角三角形.

...在4ABC中，“tarAtaiBVl”是“ZkABC为钝角三角形”的充要条件.

故选：C.

9.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,准线为1,点P是直线1上的动点.若点A在抛物线

C上，且'F|=5,则pA|+p0|（0为坐标原点）的最小值为（）

A.8B-2万C.741D.6

解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为(a,b),

由抛物线的方程可得焦点F(1,0),

则皿|=a+l=5,解得a=4,

所以A(4,4),

所以点A关于直线x=-1的对称点为A'(-6,4),

故pA|+pO|=pA'|+忖01=病=2万，

当且仅当A',P,0三点共线时，等号成立，

即PA|+10的最小值为2/13

故选：B.

10.在棱长为1的正方体ABCD-AiBfPi中，P是线段BC]上的点，过与的平面a与直线

PD垂直.当P在线段BC1上运动时，平面a截正方体ABCD-A]BfJ]所得的截面面积

的最小值是()

A.1B.SC.匹D.、方

42

解：当P在B点时，BDL平面ACC[A],平面a截正方体ABCD-A冏CJ1所得的截面面

积：1X«=正是最大值；

当P与C1重合时，DC平面AJjCB,

平面a截正方体ABCD-A/fP1所得的截面面积：1X加=加是最大值；

当P由B向C1移动时，平面a截正方体ABCD-A/f］所得的截面ApF,E由A向B

移动,

当P到BC1的中点时，取得最小值，如图

此时E为AB的中点，F为Dfi的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH,H是BC的

中点，此时EC_LDH,可得DP_LEC,同理可得DPJ_CF,可证明DP_L平面A/CF），

A1E=CE=零，AC=73>EF=J2四边形AJECF是菱形，

所以平面a截正方体ABCD-AFFPI所得的截面面积：y-EF*AC=yXV2XV3=

■是最小值.

2

故选：c.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在（X+2）8的展开式中，X4的系数为28.（用数字作答）

X

解：展开式的通项为（L）r=C；x&2r,

mo、Xo

令8-2丁=4,解得r=2,

所以x4的系数为c於28,

o

故答案为：28.

12.已知函数f(x)，'则f(0)=1；f(x)的值域为(-°°,2).

[-log2X,x〉l,

解：f(0)=20=1,

当x<l时，0<2x<2,此时0<f(x)<2,

当xNl时，lo&x'O,则-lo&xWO,即此时f(x)WO,

综上f(x)<2,即函数f(x)的值域为(-8,2),

故答案为：1,(-8,2).

13.已知向量;=(正，1),1=(x,y)(xyWO),且£1=1,之与<0,则向量1的坐

标可以是(/一二8).(写出一个即可)

22

解：向量W=(立，1),b=(x，y)(xyWO),且眉=1,ZW〈O,如图，可知向量

%的坐标可以是红色曲线上的任意一点，向量三的坐标可以是(~^2,~^2・

14.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间

对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位:

9

万元)符合函数模型m=3-一若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3

万元.

解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，

二售出m万件A商品的总获利为：

8m-x=8(3--^-)-x=24-』--Y,

x+1x+1

设f(x)=24-芈--X(X2O),

x+1

贝If'(x)=------2-X(x20),令f(x)>0,

(x+1)2

16

Sp-(x20)

(X+14

解得0Wx<3,

/.当0Wx<3时，f'(x)>0,函数f(x)在[0,3)单调递增，

当x>3时，f(x)<0,函数f(x)在(3,+8)上单调递减，

则当x=3时，函数f(x)取得极大值，即最大值，

要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元.

故答案为3.

15.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论

在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键

概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于X。国，令xn=f(x“i)(n=l,

2,3,-),若存在正整数k使得Xk=x0,且当0<j<k时，x,#x0，则称x0是f(x)的

一个周期为k的周期点.给出下列四个结论：

①若f(x)=ex-i,则f(x)存在唯一一个周期为1的周期点；

②若f(x)=2(1-x),则f(x)存在周期为2的周期点；

2x,

③若f(x)=/2则f(x)不存在周期为3的周期点；

2(l-x),x>^

④若f(x)=x(1-x),则对任意正整数n,2■都不是f(x)的周期为n的周期点.

2

其中所有正确结论的序号是①②④.

解：对于X。国，令Xn=f(Xn1)(n=l,2,3,­■•),

若存在正整数k使得Xk=x。，且当0<j<k时，Xj/x。，

则称X。是f(x)的一个周期为k的周期点・

对于①f(x)=ex-i,当k=l时，X]=f(x°)—exo-i,

因为直线y=x与y=f(x)只有一个交点(1,1),故①正确；

对于②，f(x)=2(1-x),k=2时，X2=f(xj=2(1-xJ=2[l-f(xQ)]=4xQ-2,

所以f(x)存在周期为2的周期点，故②正确;

2x,x</

对于③，f(x)=<,当x<0时，f(x)<0恒成立；

2(l-x),x>|

当xWO时，xi=f<x0)=2x0<0,X2=f(X；)=4XoWO,x3=f(x2)=8xQ^0,

显然X°=X3在X0=O时成立,所以存在正确为3的周期点,故③错误；

对于④，f(x)=X(1-X)=-(X-)2+-^,»所以f(x)w",即f(x)

所以尹是周期点，故④正确.

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

7F

16.已知函数f(x)=Asin(3x+O)(A>0,W>0,(X0号-)由下列四个条件中的

三个来确定：

TT

①最小正周期为JT；②最大值为2；③f(一丁)=0；④f(o)=-2.

(I)写出能确定f(x)的三个条件，并求f(x)的解析式；

(II)求f(x)的单调递增区间.

解：(I)若函数f(x)满足条件④，则f(0)=AsiM)=-2,

TT

这与A>0,0<@<一3矛盾，故函数f(x)不能满足条件④，

所以函数f(x)只能满足条件①，②，③，

由条件①，可得答r=m，

I⑴I

又因为3>0,可得3=2,

由条件②，可得A=2,.*.f(x)=2sin(2x+6)

冗TT

由条件③，可得f(——■)=2sin(——+=0,

63

71兀

/.sin(——+4))=0,——+(l)=kkW,

oO

TT71TT

4)=—+kn,kW,又因为0VeV丁，所以@=亏，

TT

所以f(x)=2sin(2x+—-).

o

TT7TTT

(II)4^--+2kJI^2X+—<—+2kJi,kS,

//

・5九))冗

..—+k兀WxW_777+k兀,

1212

Af(x)的单调递增区间为[——+kJI,-y^-+kJt],(kW).

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，0是AD边的中点，PO_L底面ABCD,P0=1.在底面

ABCD中，BC〃AD,CD1AD,BC=CD=1,AD=2.

(I)求证：AB〃平面POC；

(II)求二面角B-AP-D的余弦值.

【解答】(I)证明：在四边形ABCD中，因为BC〃AD,BC卷AE,

0是AD的中点，则BC〃A0,BC=A0,

所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB〃0C,

又因为AB可面POC,CO尸面POC,

所以AB〃平面POC；

(II)连结0B,因为PO_L平面ABCD,所以PO±0B,POI0D,

又因为点0时AD的中点，且BC《AD,所以BC=OD,

因为BC〃AD,CD±AD,BC=CD,

所以四边形OBCD是正方形，所以BOLAD,

建立空间直角坐标系如图所示，

则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以忘=(1,1,0),AP=(O,1,1),

设平面BAP的法向量为\=(x,y,z),

则，T廿°,X+y，，令y=l,则x=z=-1,故去(-1,1,-1),

m-AP=0

因为0B_L平面PAD,

所以祈=(1,0,0)是平面PAD的一个法向量,

所以日―丽〉1喏爵马当

由图可知，二面角B-AP-D为锐角，

所以二面角B-AP-D的余弦值为

0

18.我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困.为

了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A,B两个地区2019年脱贫家庭进行

简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：

A地区B地区

2019年人均年纯收入超过100户150户

10000元

2019年人均年纯收入未超过200户50户

10000元

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.

(I)从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超

过10000元的概率；

(II)在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为

这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；

(III)从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均

年纯收入都超过10000元.根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入

超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由.

解：(I)设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均

纯收入超过10000元，

从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100

户，

因此P(C)可以估计为黑=[■;

(II)设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人

均纯收入超过10000元,

设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收

入超过10000元，

由题意可知，X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(lg)x(卜为哈

346

P(X=1)=P(ABUAB)=P(A)P(B)4P(A)P(B)=(1-y)XT-4X

O703Let

iqi

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)^x]=j

所以x的分布列为：

X012

P7

6124

171IQ

所以X的数学期望为E(X)=0X-^+1X-^-+2X4-=-^-；

612412

(III)设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，

这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，

假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，

Linn

则由2019年的样本数据可得P(E)=-？1=0.012

I

v300

答案示例1：可以认为有变化，理由如下：

P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A

地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为

有变化.

答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：

事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法

确定有没有变化.

19.已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,-1),离心率为返.

3

(I)求椭圆c的方程及焦点的坐标；

(II)若点M为椭圆C上异于A,B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直

线y=3交于点P,直线MB与直线y=3交于点Q,试判断以线段PQ为直径的圆是否过

定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【解答】解(I)由题意可得b=l,e=£=酉，c2=a2-b2,

a3

解得a2=3,

2L

所以椭圆的方程为：&—+y2=l,且焦点坐标(土五，0)；

3

(II)设直线MA的方程为：y=kx+l,(kWO),

则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y=kx

3

因为P是直线y=kx,y=3的交点，所以P(―,3),

2

因为直线AM与椭圆三一+y2=l联立：

3

y=kx+l

-„2,整理可得：(i+3k2)x2+6kx=0,

^+y=1

6k_-6k?_l-3k2

可得XMl+3k2，为l+3k2l+3k2

6klTk2

即M(-),因为B(0,-1),

l+3k2l+3k2

直线MB的方程为：y=-=j-l,

3k

X-

y=-------1

联立，3k,解得：y=3,x=-12k,

y=3

由题意可得Q(-12k,3),

设T%，％),

所以F=(x()T，/-3),QJ=(x0+12k,y0-3),

由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以有,荷=0,

9

所以(x0T，y0-3)□Q12k,yfl-3)=0,

可得x02+12kxQ-gx。-36+够一6%+9=0,①，

K

要使①成立，

'xo=O

'2rcwc'解得：闻=°，丫。=一3,或x0=0,y0=_9,

y0-6y产-36=0

(I)求f(x)的单调区间；

2

(II)若直线y=ax+a与曲线y=f(x)相切，求证：(~1,—.

o

解：(I)F(x)=(ax+a-1)ex,令F(x)=0,得ax=l-a,

当a=0时，f(x)=-ex<0,y=f(x)在R单调递减，

当a>0时，x,F(x),f(x)的变化如下：

X(-°°,1一及/1-a

(---,+

aa

±1)OO)

a

f(X)-0+

f(X)递减极小值递增

当aVO时，x,f(x),f(x)的变化如下:

X(-°°,(l-a

(---,+

aa

旦OO)

a

f(X)+0-

f(x)递增极大值递减

综上：当a=0时，y=f(x)在R单调递减,

当a>0时，y=f(x)的单调递增区间是(-8,23),单调递减区间是(上3,+8),

aa

1—a1—a

当<0时，y=f(x)的单调递增区间是(-8,1支),单调递减区间是(工生，+