1.5.2解直角三角形的应用-坡度

解直角三角形的应用—坡度（2015•攀枝花模拟）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】运用三角函数定义求解．【解答】解：∵tan15°=．∴木桩上升了6tan15°cm．故选C．【点评】考查三角函数的应用．（2011•衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A．10m B．m C．15m D．m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，即tan∠BAC===，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10m，故选：A．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB．（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况．（2009•益阳）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosα B． C．5sinα D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α．∴AB==．故选：B．【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．（2009•兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．【解答】解：∵水平距离为4m．∴铅直高度为0.75×4=3m．根据勾股定理知：坡面相邻两株数间的坡面距离为5m．故选A．【点评】本题主要考查直角三角形问题．利用坡度tanα=0.75=求解．（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A．24m B．22m C．20m D．18m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．由题意得：．（2分）∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．（1分）∴GF=BD=CD=6m．（1分）又∵．（2分）∴AG=1.6×6=9.6（m）．（1分）∴AB=14.4+9.6=24（m）．（1分）答：铁塔的高度为24m．故选A．【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．（2006•凉山州）凉山州政府在迎冬旅工程建设中需修建一座桥，设计引桥的倾斜角为α，引桥坡面长度为300米，则桥的高度为（）A．300sinα米 B．300cosα米 C．米 D．米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用所给角的正弦值即可求解．【解答】解：已知坡角和坡面长，则利用三角函数即可求得：桥的高度为300sinα米．故选A．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用．（2005•黄石）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A．9米 B．28米 C．米 D．（14+2）米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据CD的长以及坡角求出坡面上的影子在地面上的实际长度，即可知道电线杆的总影长，从而根据1米杆的影长为2米来解答．【解答】解：延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．DE=8sin30°=4；CE=8cos30°=4；∵测得1米杆的影长为2米．∴EF=2DE=8∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4∴电线杆AB的长度是（28+4）=14+2米．故选D．【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．注意：在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．（2005•丽水）如图，在山地上种树，已知∠A=30°，AC=3米，则相邻两株树的坡面距离AB是（）A．6米 B．米 C．2米 D．2米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据坡度角的余弦值=水平距离：坡面距离即可解答．【解答】解：cos30°=，∴AB=2．故选C．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及三角函数的运用．（2001•贵阳）如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2：3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A．7米 B．9米 C．12米 D．15米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；等腰梯形的性质．【专题】压轴题．【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．【解答】解：∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，∴DE=6米．又∵EF=AB=3．∴CD=6+3+6=15米．故选D．【点评】此题主要考查等腰梯形的性质和坡度问题；注意坡度=垂直距离：水平距离．（1998•安徽）如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值=窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．【解答】解：∵光线与地面成80°角，∴∠ACB=80°．又∵tan∠ACB=，∴AC=．故选D．【点评】此题考查三角函数定义的应用．（2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，首先根据题意作图（如图），得Rt△AFD，Rt△CED，然后由Rt△CED，和坡面CD的坡比为，求出CE和ED，再由Rt△AFD和三角函数求出AF．进而求出AB．【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得：DE=x，则根据勾股定理得：x2+=，得x=±，﹣不合题意舍去，所以，CE=米，则，ED=米，那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，在Rt△AFD中，由三角函数得：=tan∠ADF，∴AF=FD•tan60°=×=米，∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米，故答案为：4米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，由Rt△AFD，Rt△CED求出AB．（2013•成都）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为100米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】在Rt△ABC中，由∠BAC=30°，AB=200米，即可得出BC的长度．【解答】解：由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，故可得BC=AB=100米．故答案为：100．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质．（2013•十堰模拟）如图所示，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度i=1：0.5，则山的高度为米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，由题意，已知DA=200，∠CDB=30°，CB：AB=1：0.5，∠CBD=90°，求CB．设AB=x，则CB=2x，由三角函数得：=tan30°，即=，求出x，从求出CB．即求出山的高度．【解答】解：已知山坡AC的坡度i=1：0.5，∴设AB=x，则CB=2x，又某人在D处测得山顶C的仰角为30°，即，∠CDB=30°，∴=tan30°，即=，解得：x=，∴CB=2x=，故答案为：．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，由山坡AC的坡度得出CB和AB的关系，再由三角函数求出AB，继而求出CB．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】此题乘电梯从点B到点C上升的高度h，即为过点C到AB延长线的垂线段CE的长，则由已知求得CE的长．【解答】解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°，∴CE=BC•sin∠CBE=5•sin45°=5•=5．所以h=5，故答案为：5．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是把实际问题转化为解直角三角形问题．（2010•鞍山）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m杆的影子长为2m，则电线杆的高度约为8.7m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；近似数和有效数字．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据CD的长以及坡角求出落在斜坡上的影长在地面上的实际长度，即可知AB的总影长，然后根据1m杆的影子长为2m，求解电线杆的高度．【解答】解：作DE⊥BC于E．则电线杆的高度分3部分进行求解．BC对应的电线杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2=5；在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE=2．再根据勾股定理，得CE=2；因为DE⊥BC，则DE对应的电线杆高度和DE相等，CE对应的电线杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，是2÷2=．故电线杆的高度是5+2+≈8.7．【点评】注意：影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据同一时刻物高与影长成比例进行计算．（2010•虹口区一模）如图，一辆汽车沿着坡度为i=1：的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直高度下降了25米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2=502．解得x=25，即它距离地面的垂直高度下降了25米．【点评】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．（2010•邯郸一模）如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=，则AC的长度是240cm．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】过B作AC的垂线，根据坡面BC的坡度和铅直高度，可求出坡面BC的水平宽，进而可求出AC的长．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则AD=30+30=60．Rt△BCD中，tan∠BCD=i=，BD=60．∴CD=BD÷i=300，∴AC=CD﹣AD=240（cm）．【点评】在坡度坡角问题中，需注意的是坡度是坡角的正切值，是坡面铅直高度和水平宽度的比．（2010•黄埔区二模）某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，河堤的高BE为4米，tan∠BAE=2，则迎水坡AB长为4.5米．（结果精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】在Rt△ABE中，已知了∠BAE的正切值（即坡面AB的坡度）以及河堤高BE（即坡面AB的铅直高度）的长，通过解直角三角形可求出水平宽度AE的长，进而可根据勾股定理求得坡面AB的长．【解答】解：Rt△ABE中，tan∠BAE=2，BE=4米，∴AE=BE÷tan∠BAE=2米；由勾股定理得：AB==2≈4.5（米）．即迎水坡AB长为4.5米．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可．【解答】解：由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．平滑后高为4•sin60°=4•=．∴升高了2（）m．故答案为：2（）【点评】本题重点考查了三角函数定义的应用．（2009•沈阳）如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为10m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】∠ACB的正弦值=垂直高度：坡面距离，据此可直接求解．【解答】解：在Rt△ABC中，sin∠ACB=，AB=6m，所以AC=m．故答案为：10【点评】本题考查锐角三角函数正弦值的应用．（2009•西宁）如图，某建筑物直立于水平地面，BC=9米，∠B=30°，要建造楼梯，使每阶台阶高度不超过20厘米，那么此楼梯至少要建26阶（最后一阶不足20厘米按一阶计算，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用30°的正切值求得楼梯高度AC即可．【解答】解：所有台阶高度和为AC的长．设此楼梯至少要建x阶，可得tan30°==，∴x=15≈26（阶）．【点评】此题由图得出“所有台阶高度和为AC的长”是关键，还要注意统一单位．（2009•莆田质检）某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端现有一个长6米的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上米高的墙．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】当角度是60度时，用梯子可以爬的高度最高，根据三角函数即可求解．【解答】解：高度是：6sin60°=6×=3米．故答案是：3．【点评】本题主要考查了三角函数的应用，正确理解三角函数的定义是解题关键．（2008•沈阳）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为12米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在Rt△ABE中，根据tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．【解答】解：因为tan∠BAE=，设BE=12x，则AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股定理知：AB2=BE2+AE2，即：132=（12x）2+（5x）2，169=169x2，解得：x=1或﹣1（负值舍去）；所以BE=12x=12（米）．故答案为：12．【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用．（2008•鄂尔多斯）如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树，高AB，当太阳光与水平线成60°时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为6m，则树高AB=6m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】延长AC交OE于点F，则可得∠OCF=∠ACB=30°，再确定∠BAC=30°，利用等腰三角形的性质可得AB=BC=6m．【解答】解：∠BAC=90°﹣60°=30°，延长AC交OE于点F，则∠AFE=60°=∠0+∠OCF，∵∠O=30°，∴∠OCF=30°，∴∠ACB=30°，∴∠ACB=∠BAC=30°，∴BC=AB=6m．故答案为：6．【点评】对于此类问题常常转化成直角三角形，可利用三角函数知识、勾股定理或相似三角形的知识来解决．（2008•聊城）为支援四川灾区，绿野橡胶篷布厂承接了一批活动房式帐篷的生产任务，蓬面使用的是PVC双面涂塑蓬布，帐蓬的外部结构和规格尺寸如图所示（帐蓬顶部两个斜面的坡度相同，顶部最高点到地面的距离为2.65米）．制作一顶这样的帐蓬，至少需要47平方米的PVC双面涂塑蓬布．（帐蓬的门、窗都需要蓬布．接缝等忽略不计，计算结果精确到1平方米）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】帐篷一共有8个面，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得顶部坡长后即可表示出所有面积．【解答】解：由图可知：帐篷的顶部坡长=≈1.64，那么帐篷顶部的面积是两个三角形和两个长方形的面积和即：1.64×2×4.5+2××3×0.65，帐篷下面的面积是四个矩形的面积和，即：3×2×2+4.5×2×2，因此帐篷的面积总和为：1.64×2×4.5+3×0.65+3×2×2+4.5×2×2=46.71≈47平方米，因此，制作这样一顶帐篷至少需要47平方米．【点评】本题中求得帐篷顶部的坡长是关键，计算帐篷面积时不要遗漏任何一个面．（2007•连云港）如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为30m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解．【解答】解：设A、A′到谷底的水平距离为AC=m，A′C=n．∴m+n=15．根据题意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA=1，OB=3，O′A′=0.5，O′B′=3．∴==3，==6．∴（+）×h=15．解得h=30（m）．【点评】本题考查坡度的定义及其应用．（2007•泰安）如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山破BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD等于（300+100）m．（结果用根号表示）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】解此题时需两次用到三角函数，即求出ED和CE后相加即可．【解答】解：过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图，∵在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，∴△BEC为等腰直角三角形，而BC=200m，∴CE=BC=100m；∵∠A=30°，AB=600m，∴BF=AB=300m，∴CD=CE+ED=（100+300）m．故答案为：100+300．【点评】本题是组合图形，应先分解图形；认清图形间的关系，并解直角三角形；利用其关系求解．（2007•龙岩）当太阳光与地面成55°角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16m，则玲玲的身高约为1.66m．（精确到0.01m）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】身高、影长和光线构成直角三角形，根据tan55°=身高：影长即可解答．【解答】解：玲玲的身高=影长×tan55°=1.16×1.428=1.656≈1.66（m）．【点评】本题考查了正切的概念、计算器的使用．（2007•湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道1.28m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据余弦函数分别求出两次拖把距墙根的距离，求差得解．【解答】解：∵AB=1.8，∠A=15°，∠FEC=75°，∴AC=AB•cos15°=1.746（米）；EC=EF•cos75°=AB•sin15°=0.468（米）．则AE=AC﹣EC=1.746﹣0.468≈1.28（米）．所以小明拓宽了行路通道1.28米．【点评】此题主要考查三角函数的运用能力．（2007•宁波校级模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB=20m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】构造矩形，把塔高的影长分为平地上的BD与斜坡上的DE的和．然后根据在平地和在斜坡上的影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．【解答】解：作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G，可得矩形BDFG．由题意得：=∴DF==14.4（m）；∵GF=BD=CD=7（m），同理可得：=，∴AG=1.6÷2×7=5.6（m），∴AB=14.4+5.6=20（m）．∴铁塔的高度为20m．故答案为：20．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．（2006•济南）如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1.2m，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为2.1m．（精确到0.1m，参考数据：=1.414，=1.732）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】作BE∥CD，则形成一个平行四边形，得BE=CD；然后利用60°角的正切函数进行解答．【解答】解：作BE∥CD，则有平行四边形CDBE．∴BE=CD=1.2，∠AEB=∠ACD=60°．∵tan60°=AB：BE，∴AB=tan60°×BE=×1.2≈2.1．【点评】本题考查锐角三角函数的应用．（2006•湘西州）如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA=90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要5.5米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取=1.414，=1.732）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．BC为已知，只需要借助于坡角的正弦值求出斜边长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，∠C=90°．∵tanA=，∴=2．∴AC+BC=2+2≈2×1.73+2=5.46≈5.5（m）．即地毯的长度至少需5.5m．【点评】解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．（2003•宁夏）在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用所给角的余弦函数求解．【解答】解：如图，∠C=90°，∠A=30°，AC=3．∴AB=AC÷cos30°=2（米）．【点评】本题考查了余弦定义的应用．（2003•陕西）如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是③．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用勾股定理求得AB长，进而求得CB′求解．【解答】解：由勾股定理得：梯子AB=，CB′=．∴BB′=7﹣＜1，故选③．【点评】本题主要利用了勾股定理求解．（2015•淄博模拟）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）．参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）根据坡角的定义直接代入数值解答即可．（2）在△ACD中先求出AD长，AB=AD﹣BD．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD=BCsin12°≈10×0.21=2.1米．（2）在Rt△BCD中，BD=BCcos12°≈10×0.98=9.8米；在Rt△ACD中，米，AB=AD﹣BD≈23.33﹣9.8=13.53≈13.5米．答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．【点评】本题主要考查坡度坡角的定义，这两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．（2015•三亚校级模拟）如图是一座人行天桥，天桥的高12米，坡面的坡比为=1：1，为了方便行人推车过天桥，市政府决定降低坡度，使新的斜坡的坡角为30°，问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】由原来的坡比求出CF的长度，然后根据新坡比求出FG，继而根据BG=FG﹣FB可得出BG的长度，与8米进行比较即可作出判断．【解答】解：∵坡面的坡比为1：1，∴∠CBF=45°，又∵CF=12米，则FB=12米，由于新的斜坡的坡角为30°，如果坡底用字母G表示，则CG=24米，FG=12米，故可得：BG=12﹣12=8.784米＞8米，所以广告牌M要拆除．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，理解坡比所表示的含义，求出线段BG的长度是解答本题的关键，难度一般，（2013•锦州）如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求出AE，由AC=AE﹣CE，可得出答案；（2）在Rt△ABE中，求出BE，即可计算每级台阶的高度h．【解答】解：如右图，过点B作BE⊥AC于点E，（1）在Rt△ABE中，AB=3m，cos12°≈0.9781，AE=ABcos12°≈2.934m=293.4cm，∴AC=AE﹣CE=293.4﹣60=233.4cm．答：AC的长度约为233.4cm．（2）h=BE=ABsin12°=×300×0.2079=20.79≈20.8cm．答：每级台阶的高度h约为20.8cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，并解直角三角形．（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．【解答】解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10（米）．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（3+10﹣7）×10×500=25000﹣10000（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．（2013•鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】在Rt△ABC中，根据AB=5米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=5，∠ABC=45°，∴AC=ABsin45°=5×=，在Rt△ADC中，∠ADC=30°，∴AD==5=5×1.414=7.07，AD﹣AB=7.07﹣5=2.07（米）．答：改善后滑滑板约会加长2.07米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．（2013•成都模拟）如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡面点A处10米的建筑物EF是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】由已知天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°，易求得AB的长；又由新坡面的坡度为1：，根据坡度的定义，可求得BD的长，从而求得AD的长，然后将AD+3与10进行比较，若大于则需拆除，反之不用拆除．【解答】解：根据题意得：∠CAB=45°，BC=10米．∴AB=BC=10米．∵i=1：，即：=，∴BD=10米，∴AD=10﹣10≈7.32（米），∵7.32+3＞10．答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．【点评】此题主要考查学生坡度坡角问题．此题难度适中，解此题的关键是掌握坡度与坡角的定义，注意解直角三角形的应用．（2013•安徽模拟）六一儿童节前夕，儿童乐园准备将如图所示的滑梯重新油漆一遍．已知滑梯左侧是1米宽的滑道，右侧是1米宽的台阶，顶部是边长为1米的正方形平台（油漆部分为右侧台阶朝上和朝右的表面、顶部平台和滑梯上表面）．现量得滑梯的高AC为2米，∠ABC=30°，∠EDC=45°，求需要油漆的总面积．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数可求AB的长，作EF⊥BD于F，根据梯形的性质和等腰直角三角形的性质可求FD=EF=2，再根据长方形的面积公式即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=AC÷sin30°=2÷=4，作EF⊥BD于F，则EF=AC=2，∵∠EDC=45°，∴FD=EF=2，∴需要油漆的总面积为：（AB+AE+EF+FD﹣）×1=（4+1+2+2﹣）×1=（m2）．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，本题需要油漆的总面积为：（AB+AE+EF+FD）×宽度．（2013•徐州模拟）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）．（参考数据：）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】在Rt△ABF中求出BF，在Rt△CDE中求出DE、EC，从而可得出坝高和坝底宽．【解答】解：如图，作DE垂直BC于点E，AF垂直BC于点F，在Rt△DEC中，∵CD=14m，∠DCE=30°，∴（m），∴（m），由梯形性质，得AF=DE=7m，EF=AD=6m，Rt△AFB中，∵∠ABF=45°，∴BF=AF=7m，∴BC=BF+EF+CE=7+6+7=13+7=13+7×1.73≈25.1（m）．答：坝高为7m，坝底约为25.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的知识得出有关线段的长度，难度一般．（2012•郴州）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF﹣AE，即可得出AF的长度．【解答】解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=20米．∴AE=BE=20米，Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20．∴AF=EF﹣AE=20﹣20≈15即AF的长约为15米．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．（2012•盐都区校级模拟）九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是72°；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）BF与BE的长度相等，则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和，得到∠α的度数．（2）由于竿长1米时离地面的高度为0.6米，则有AG：AH=1：0.6，可求得AH的长．（3）由题意知，△CPD∽△PHA，根据相似三角形的对应边相等可求得AH的长．【解答】解：（1）∵BF=BE．∴∠BFE=∠FEB．∴∠α=2∠EFB=72°．（2）∵竿长1米时离地面的高度为0.6米，MN∥AH．∴AG：AH=1：0.6∴AH=3米．（3）在Rt△ABH中，BH=AH÷tan72°=AH÷3=．由题意知，△CPD∽△PHA．∴DP：CP=AH：PH=AH：（PB+BH）=AH：（PB+）．即：a：b=AH：（c+）．解得：AH=．【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和；平行线的性质，正切的概念，相似三角形的性质等知识点求解．（2012•南关区校级模拟）某风景管理区为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面）．求改善后的台阶坡面大约加长多少？（，结果精确到0.1m）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】在直角三角形ABC中利用三角函数即可求得AC、然后在直角三角形ADC中求得AD的长，AD﹣AB即是所求的解．【解答】解：∵在直角三角形ABC中，AC=AB．sin45°=（m）在直角三角形ADC中，AD==÷=5（米），∴AD﹣AB=（5﹣5）（米）≈5×（1.414﹣1）=2.07≈2.1（米）．答：改善后的台阶坡面加长约2.1米．【点评】本题考查了解直角三角形，理解两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．（2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）首先由已知AB=6m，∠ABC=45°求出AC和BC，再由∠ADC=30°求出AD=2AC；（2）根据勾股定理求出CD，从而求出BD．【解答】解：（1）已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB•sin45°=6×=3，已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6．答：调整后楼梯AD的长为6m；（2）CD=AD•cos30°=6×=3，∴BD=CD﹣BC=3﹣3．答：BD的长为3﹣3（m）．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是运用直角三角形函数求解．（2011•凉山州）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；等腰梯形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中解得AF，AB的值．（2）过点E作EG⊥AD于G．延长EC至点M，AD至点N，连接MN，由S△ABE=S梯形CMND从而解得DN的值．【解答】解：（1）过点B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵i==，且BF=10m．∴AF=6m，．答：此大坝迎水坡AB的长是2m；（2）过点E作EG⊥AD于G．在Rt△AEG中，∵，且EG=BF=10m∴AG=12m，∵AF=6m，∴BE=GF=AG﹣AF=6m，如图，延长EC至点M，AD至点N，连接MN，∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．S△ABE=S梯形CMND，∴即BE=MC+ND．DN=BE﹣MC=6﹣2.7=3.3（m）．答：坝底将会沿AD方向加宽3.3m．【点评】本题考查了直角三角形的应用，（1）过点B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中从而解得AF，AB的长度；（2）作辅助线，面积不变，由S△ABE=S梯形CMND，解方程组得到ND．（2011•抚顺）如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°，测得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．求树高BD的长是多少米？（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题；探究型．【分析】延长DB交AE于F，由∠ABD是直角可知BD⊥AB，在Rt△ABF中由锐角三角函数的定义可求出BF、AF的长，再判断出△CDF的形状，由DB=DF﹣BF即可得出结论．【解答】解：延长DB交AE于F，由题可得BD⊥AB，在Rt△ABF中∠BAF=30°，AB=6，∴BF=AB•tan∠BAF=2．∴cos30°=．∴AF=4．∠DFC=60°．∵∠C=60°，∴∠C=∠CFD=∠D=60°．∴△CDF是等边三角形．∴DF=CF．∴DB=DF﹣BF=2+4．答：树高BD的长是（2+4）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义及等边三角形的性质进行解答．（2011•清远）如图，小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点．己知点B到山脚的垂直距离BC为24米．且山坡坡角∠A的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到0.1）（参考数据：sin28°=0.46，cos28°=0.87，tan28°=0.53）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】由∠C=90°，∠A=28°，利用sin∠A=，即可求得AB的值，又由小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点，即可求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=28°，∴sinA=，∵BC=24米，∴AB===≈52.17，∵小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点，∴52.17÷3≈17.4（s）．答：小明从山脚爬上山顶约需要17.4s．【点评】此题考查了坡度坡角问题．解题的关键是注意三角函数的应用．（2010•遵义）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：1.414，1.732）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】过B作DF的垂线，设垂足为E；可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF﹣AE，即可得出AF的长度．【解答】解：过B作BE⊥DF于E．Rt△ABE中，AB=20m，∠BAE=60°，∴BE=AB•sin60°=20×=30，AE=AB•cos60°=20×=10．Rt△BEF中，BE=30，∠F=45°，∴EF=BE=30．∴AF=EF﹣AE=30﹣10≈13，即AF的长约为13米．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．（2010•乐山）水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为10米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积；（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．【解答】解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．在Rt△ABF中，AB=10米，∠B=60°，sin∠B=，∴AF=10×=5，DG=5．∴S△DCE=．需要填方：100×（立方米）；（2）在直角三角形DGC中，DC=10，∴GC=，∴GE=GC+CE=20，坡度i=．答：（1）需要土石方1250立方米．（2）背水坡坡度为．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．（2010•新密市自主招生）某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，大灯A离地面距离1m．（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少（不考虑其它因素）？（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车，从60km/h到摩托车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由．（参考数据：，，，）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）本题可通过构造直角三角形来解答，过A作AD⊥MN于D，就有了∠ABN、∠ACN的度数，又已知了AE的长，可在直角三角形ABE、ACE中分别求出BE、CE的长，BC就能求出了．（2）本题可先计算出最小安全距离是多少，然后于大灯的照明范围进行比较，然后得出是否合格的结论．【解答】解：（1）过A作AD⊥MN于点D，在Rt△ACD中，tan∠ACD==，CD=5.6（m），在Rt△ABD中，tan∠ABD==，BD=7（m），∴BC=7﹣5.6=1.4（m）．答：该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m；（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．理由如下：∵以60km/h的速度驾驶，∴速度还可以化为：m/s，最小安全距离为：×0.2+=8（m），大灯能照到的最远距离是BD=7m，∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．（2008•泰州）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）为1：1.2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少土方？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；二元一次方程组的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）欲求完成该工程需要多少土方，根据体积公式，在本题中，必须求出四边形AFED的面积，上底、高为已知，只需用两次坡度比求出AF的长．（2）根据题中两个等量关系列方程组解答即可．【解答】解：（1）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H，∴EH∥DG，∠EHG=∠DGB=90°，又∵CD∥AB，∴四边形EHGD是矩形，∴EH=DG=5米，∵，∴AG=6米，∵，∴FH=7米，∴FA=FH+GH﹣AG=7+1﹣6=2（米）∴SADEF=（ED+AF）•EH=（1+2）×5=7.5（平方米）V=7.5×4000=30000（立方米）；答：需要30000立方米土方．（2）设甲队原计划每天完成x立方米土方，乙队原计划每天完成y立方米土方．根据题意，得，化简，得，解之，得，答：甲队原计划每天完成1000立方米土方，乙队原计划每天完成500立方米土方．（9分）【点评】此题考查了三角函数、分式方程、方程组的解答以及梯形面积的计算，难易程度适中．（2008•广东）如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中i=1：是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字．参考数据：≈1．732，≈1.414）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，利用三角函数求得BF、AF、EC的长，从而求得下底BC的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F．在Rt△ABF中，∠B=60°，AB=6，∴AF=ABsin∠B=6sin60°=3．BF=ABcos∠B=6cos60°=3．∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四边形AFED是矩形，∴DE=AF=3，FE=AD=4．在Rt△CDE中，i=，∴EC=ED=×3=9，∴BC=BF+FE+EC=3+4+9=16．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DE=（4+16）×3≈52.0．答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0面积单位．【点评】此题主要考查了学生对坡度坡角的理解，三角函数的运用及梯形面积公式的掌握情况．（2008•遵义）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】BE=FG，应根据三角函数值先求得斜坡的高度，再得到AF、AG的值，进而求解．【解答】解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，则在Rt△ABG中，∠BAD=60°，AB=40，所以就有BG=AB•Sin60°=20，AG=AB•Cos60°=20，同理在Rt△AEF中，∠EAD=45°，则有AF=EF=BG=20，所以BE=FG=AF﹣AG=20（﹣1）米．故BE至少是20（﹣1）米．【点评】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法．（2008•昆明）某住宅小区为了美化环境，增加绿地面积，决定在坡地上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地，如图，已知两楼的水平距离为15米，距离甲楼2米（即AB=2米）开始修建坡角为30°的斜坡，斜坡的顶端距离乙楼4米（即CD=4米），求斜坡BC的长度（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】本题可通过构建直角三角形来求解．如果过C作CE⊥AB于E，那么BE=15﹣AB﹣CD=9，直角三角形CBE中，有了∠CBE的度数，有了BE的长度，那么BC便可求出来了．【解答】解：过点C作CE⊥地面于点E∵两楼水平距离为15米，且AB=2米，CD=4米∴BE=15﹣2﹣4=9米在Rt△BCE中，cos30°=BC=BE•==（米）答：斜坡BC的长度为米．【点评】可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．（2007•长沙）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】作CE⊥AC交AB于E，在Rt△ACE中，根据正切值求出CE的值，比较即可．【解答】解：姚明乘此电梯会有碰头危险．（1分）理由：由题意可知：AC∥BD，∴∠CAB=∠ABD=27°．（2分）过点C作CE⊥AC交AB于点E，（3分）在Rt△ACE中，tan∠CAE=，（4分）∴CE=AC•tan∠CAE=4×tan27°≈4×0.51=2.04＜2.29．∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78，∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．（2007•娄底）去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC=60°．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接BE，过E作EN⊥BC于N，则四边形AEND是矩形，有NE=AD，AE=DN，在Rt△ADB和Rt△BEN中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AD和BD、AE的长．【解答】解：在Rt△ADB中，AB=30米∠ABC=60°AD=AB•sin∠ABC=30×sin60°=15≈25.98≈26.0（米），DB=AB•cos∠ABC=30×cos60°=15米．连接BE，过E作EN⊥BC于N∵AE∥BC∴四边形AEND是矩形NE=AD≈26米在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当∠EBN=45°时，BN=EN=26.0米∴AE=DN=BN﹣BD=26.0﹣15=11米答：AE至少是11.0米．【点评】本题通过构造直角三角形和矩形，利用直角三角形和矩形的性质，锐角三角函数的概念求解．（2006•绍兴）某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin68°=0.9272，cos68°=0.3746，tan68°=2.4751，sin50°=0.766O，cos50°=0.6428，tan50°=1.1918）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】已知AB=22，∠BAD=68°利用sin68°可求出BE=AB•sin68°=20.40≈20.4；作FG⊥AD，G为垂足，连FA，则FG=BE利用tan50°求出AG的长17.12m，利用cos68°求出AE长，让AG减AE即可．【解答】解：（1）作BE⊥AD，E为垂足，则BE=AB•sin68°=22×0.9272=20.40≈20.4（m）．（2）作FG⊥AD，G为垂足，连FA，则FG=BE．∵AG===17.12．∴AE=AB•cos68°=22×0.3746=8.24，∴BF=AG﹣AE=8.88≈8.9（m），即BF至少是8.9米．【点评】主要考查分析问题，综合利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．（2007•恩施州）州政府投资3个亿拟建的恩施民族高中，它位于北纬31°，教学楼窗户朝南，窗户高度为h米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（如图）．根据测量测得∠α=32.6°，∠β=82.5°，h=2.2米．请你求出直角形遮阳蓬BCD中BC与CD的长各是多少？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin32.6°=0.54，sin82.5°=0.99，tan32.6°=0.64，tan82.5°=7.60）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】在Rt△BCD和Rt△ADC中，已知两个锐角和公共边CD，及CB=AC﹣AB，可以利用边角关系，建立方程组求解．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC=α，∠ADC=β．在Rt△BCD中，tanα=．①在Rt△ADC中，tanβ=．②由①、②可得：．把h=2.2，tan32.6°=0.64，tan82.5°=7.60代入上式，得：BC≈0.2（米），CD≈0.3（米）．所以直角遮阳蓬BCD中BC与CD的长分别是0.2米和0.3米．【点评】如何利用AB，α，β表示BC，CD是解题的关键，往往利用建立方程组的方法求解．（2005•宿迁）某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）可根据正切值求出树高AB；（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，求出AE的值即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°∵tanC=（2分）∴AB=AC•tanC（3分）=9×（4分）≈5.2（米）（5分）（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图）（7分）在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD（9分）=2×5.2=10.4（米）（10分）答