河北省衡水市景县中学2022年高三六校第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=(〃z,l),6=(-1,2),若(a—20),6,则。与b夹角的余弦值为()

A2713口2岳「6A/13_6^/13

13136565

2.定义在［-2,2］上的函数/(%)与其导函数7''(%)的图象如图所示，设。为坐标原点，A、B、。、。四点的横坐

标依次为-L、1、则函数丁=/(。的单调递减区间是()

263/

3.已知i是虚数单位，若3=2，+1,则|z|=()

1-z

A.V2B.2C.710D.10

等比数列的各项均为正数，且%/+%%

4.｛4｝=18,贝!|log3%+log3a2++log3=()

A.12B.10C.8D.2+log35

5.已知a=(1,3)/=(2,2),c=(",一1),若(a-c)J_Z?,则〃等于()

A.3B.4C.5D.6

设O贝的大小关系是

6.a=log73,b=log",C=3.7；|]a,b,c()

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

i7

已知正项等比数列｛%｝的前〃项和为,邑=药，

7.g,S3=则axa2。〃的最小值为（)

/4、243/4、4

A.(—)B.(z——)3C.(—)4D.(―)5

27272727

8.已知等差数列伍“｝的公差为2前〃项和为S“，若的,应，应为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120。,

则S”的最大值为()

A.5B.11C.20D.25

9.设全集U=R,集合A={x|log2(4—x)Wl},B={x|(x-3)(%-5)>0},贝!|@可1人=()

A.[2,5]B.[2,3]C.[2,4)D.[3,4)

10.在AABC中，BD=DC,AP=2PD,BP=AAB+^AC,贝(1彳+〃=()

1111

A.一一B.-C.一一D.-

3322

11.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()

A.2兀—B.2^—1C.2乃一2D.2^—4

2

12.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六

在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各

取一数，则其差的绝对值为5的概率为

00-0-0-0-0-0

82

C.—D.

255

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数f(x)=(靖一唱付Tnx),若在定义域内恒有/■(%)<0,则实数"的取值范围是

In%-at

14.某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安

排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有种.

15.已知数列｛a“｝的前几项满足4+202+343++叫=2C：+2(neN*),则a“=.

;2；!1+r

16.若函数/(x)=C52"T—C%2"+G；X2“+1—+c；；(-l)x-+C：(—其中，""十且”22,则

r(i)=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/。)=G2+奴+i_e2"

(1)若函数g(x)=/'(%),试讨论g(%)的单调性;

(2)若Vxe(0,+8),/(x)<0,求。的取值范围.

18.(12分)如图，三棱柱A3C—4片£中，胡，平面ABC,NAC5=90,AC=C5=2,M,N分别为AB,

1

4。的中点.

（1）求证：MV//平面55CC；

（2）若平面QVW，平面4MN,求直线与平面4MN所成角的正弦值.

19.（12分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为

P，选择错误的概率为g,若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完〃道题后总得分为S“”.

（1）当P=q=g时，记&=邑，求自的分布列及数学期望；

12

⑵当p=§,£=§时，求Sg=2且S20（i=l,2,3,4）的概率.

20.（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据

所测量的零件尺寸（单位：mm）,得到如下的频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01)；

(2)若从这80个零件中尺寸位于［62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在［64.5,65］上的零件个数,

求X的分布列及数学期望EX；

(3)已知尺寸在［63.0,64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产

线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已

知每个零件的检验费用为99元.若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，

企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了H个，结果有1个二等品，以整箱检验

费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

21.(12分)已知a>0,b>0,c>0设函数f(x)=|x-b|+|x+c|+。，xeR.

(1)若a=b=c=l,求不等式/(x)>5的解集；

⑵若函数“X)的最小值为1,证明：忘+麻>18(a+6+c).

22.(10分)车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行

统计，结果如下：

加工1个零件用时X(分钟)20253035

频数(个)15304015

以加工这100个零件用时的频率代替概率.

(1)求X的分布列与数学期望EX;

(2)刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零

件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量;-21的坐标，利用（"26）/=0求得参数”，再用85〈a,力=」也计算即可.

|。||加

【详解】

依题意，a-2b=（m+2,-3）,而（。一2。）•0=（）,即一相—2—6=0,解得m二一8,则

a-b_10_2A/13

cos〈a,Z?〉

\a\\b\~45-465~13

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

2.B

【解析】

先辨别出图象中实线部分为函数y=/（x）的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数y=4。的导数为

y/（x）-〃x）,由y，＜。，得出r（x）＜〃x）,只需在图中找出满足不等式/'（%）＜/（可对应的x的取值范围

ex

即可.

【详解】

若虚线部分为函数y=/（x）的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x轴有三个交点，不合乎

题意；

若实线部分为函数y=/（x）的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x轴恰好也只有两个交点,

合乎题意.

对函数y=求导得y=1'(x)—/(X),由y'<0得/'(x)</(x),

exex

由图象可知，满足不等式/'(x)</(x)的X的取值范围是

因此，函数y=的单调递减区间为

ex

故选：B.

【点睛】

本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等

题.

3.C

【解析】

根据复数模的性质计算即可.

【详解】

因为—=21+1,

1-z

所以z=(J)⑵+1),

|z|=|l—z1|万+11=71x7?=9，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.

4.B

【解析】

由等比数列的性质求得。吗0，再由对数运算法则可得结论.

【详解】

•数列｛a,,｝是等比数列，,a3a&+%%==18,aYaw=9,

=5=

log3+log3a2++log3alo=log3gq之«i0)1°§3(01^10)51og39=10.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键.

5.C

【解析】

先求出a-c=(1-”,4),再由(a-c)J_Z?,利用向量数量积等于0,从而求得〃.

【详解】

由题可知a—c=(l—〃,4),

因为(a—所以有(1—〃)x2+2x4=0,得〃=5,

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

6.D

【解析】

l>«=log73>0,八腕〃々，C=3°7>1得解.

3

【详解】

l>a=log73>0,^=logi7<0>C=3°7>1,所以A<a<c,故选D

3

【点睛】

比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法.

7.D

【解析】

17

由52=6应=丁，可求出等比数列也｝的通项公式4=—,进而可知当时，4<1；当“26时，an>\,

92727

从而可知％为an的最小值为>求解即可.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为4,则4>0,

谓Ff]

41CL---

由题意得，a3=S3-S2=­f得<aA+a1q=—,解得,27,

n<7=2

<7>01

r\n-l

得%=J.

n27

当时，«„<1；当“26时，。“〉1,

4

a55

则q%n的最小值为01a2a3a4a5=(/)=(—)-

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

8.D

【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.

【详解】

等差数列｛4｝的公差为-2,可知数列单调递减，则的，%，％中生最大，%最小，

又生,%，%为三角形的三边长，且最大内角为120。，

由余弦定理得蜡=抬+蜡+%。4，设首项为％，

即(q_2『二⑶—4J+⑶—6)2+⑶—4)囱—6)=0得(q—4)(%—9)=0,

所以q=4或4=9,又%=2]-6>0,即a】>6,q=4舍去，故％=9,d=-2

前n项和sn=9n+“GJx(一2)=—(〃一57+25.

故"的最大值为$5=25.

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.

9.D

【解析】

求解不等式，得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解

【详解】

由于log2(4-x)<1/.2<x<4

故集合A=[2,4)

(x-3)(x-5)>0/.x<3^x>5

故集合6=(TX),3)D(5,+8)

(^B)n|A=[3,4)

故选：D

【点睛】

本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

10.A

【解析】

先根据3。=。。,4/3=2/5。得到「为人45。的重心，^AP=-AB+-AC,故可得AP=工43+工AC,利用

3333

BP=AP-AJB^BP=-^AB+AC,故可计算九+〃的值.

【详解】

因为5。=DC,AP=2PD,所以P为AABC的重心，

所以AD=LAB+LAC,...3AP=LAB+LAC,

22222

所以+

33

21

所以BP=AP—AB=——AB+—AC,因为BP=AAB+piAC,

211

所以4二---,〃=一,.二2+〃=—,故选A.

333

【点睛】

对于AABC,一般地，如果G为AABC的重心，那么AG=；(A3+AC),反之，如果G为平面上一点，且满足

AG=1(AB+AC),那么6为AABC的重心.

11.C

【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.

【详解】

由几何体的三视图可得，

几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为&的等腰直角三角形、高为2的棱

柱，

故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,

即v=〃■•产・2—」・Ji・&・2=2〃一2,

2

故选C.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据

几何体的结构求出其体积.

12.A

【解析】

阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.

【详解】

因为阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5义5=25个，满足差的绝

对值为5的有：（1,6）,（3,8）,（5,10）,（7,2）,（9,4）共5个，则

故选：A.

【点睛】

目标事件的个数

本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：尸=善所］；；士爹诉.

基本3本:事件的总个数

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

⑶卜］

【解析】

根据指数函数y=与对数函数y=lnx图象可将原题转化为（，-ax）（in尤-ax）<0恒成立问题，凑而可知V=◎

的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零

的条件可最终确定。的取值范围.

【详解】

x

由指数函数y=产与对数函数y=Inx图象可知：e>lnx，

.・./（%）<0恒成立可转化为‘'—ax<0恒成立,即ax）（lnx—词<0恒成立，.、―以〉］!!%，即尸⑪是

Inx-ax

夹在函数y=e'与y=Inx的图象之间,

■■■y^ax的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.

设过原点且与y=lnx相切的直线与函数相切于点(相,lnw),

\m-e

]In相

则切线斜率尢=—=—■,解得：,1;

mmk、=一

、e

设过原点且与v=e'相切的直线与函数相切于点(n,e"),

则切线斜率女2=e〃=J,解得：7；

TIk?=e

当]二—时，In九—%00,又Inx—依wO,...〃=—满足题意；

eee

综上所述：实数a的取值范围为

【点睛】

本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数

函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得

的讨论.

14.156

【解析】

先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可

得到不同安排的方案数.

【详解】

安排6名老师到4个班则每班老师人数为1,1,2,2,共有=180种，

刘老师和王老师分配到一个班，共有C'CX=24种，

所以180—24=156种.

故答案为：156.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过“正难

则反”的思想进行分析.

15.n+1

【解析】

由已知写出用72-1代替〃的等式，两式相减后可得结论，同时要注意对的求解方法.

【详解】

Q]+2。2+3。3++〃〃〃=2c：+2①，

〃22时，a1+2a2+3/++(〃—=2C：+]②，

3=

①一②得nan=2(C3-C：+1)=2cn(n+1),

：.an=n+l,

又6=2C；=2,

an=n+l(neN*).

故答案为：n+1.

【点睛】

本题考查求数列通项公式，由已知条件.类比已知"求4的解题方法求解.

16.0

【解析】

先化简函数/(龙)的解析式，在求出了‘(龙),从而求得r(i)的值.

【详解】

C?X2"T—C*2"+-r2，，1+，3，!1

由题意，函数/(X)=C%2〃++C；；(-l)X-+.C；；(-1)"X-

可化简为/(X)=/T[端—c%+C,>2—…+C；(—1)4+…+CX]=0T(ir)"，

所以/(x)=(2n-l)%2"-2(l-%),!-x2,!-1n(l-x)"-1-x2"-2(l-x)n-'[2n-l-(3n-l)x],

所以/'(1)=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解

导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)答案不唯一，具体见解析(2)(-8,2]

【解析】

(1)由于函数g(x)=/'(x)=2以+a—2e2',得出g'(x)=-zQe?、—a),分类讨论当aWO和。>0时，g'(x)的正

负，进而得出g(x)的单调性；

Z,、

(2)求出_f(x)=(2x+l)。―=二，令尸(©=0,得。=主二，设/?(x)=2上二，通过导函数〃'(x),可得出

''I2x+lJ2x+l2x+l

//⑺在(0,+s)上的单调性和值域，再分类讨论aW2和a>2时，/'3的单调性，再结合Vxe(0,+8),/(x)<0恒

成立，即可求出a的取值范围.

【详解】

解：(1)因为g(%)=ff(x)=2ax+a-2e2A,

所以g'(尤)=2a-^x=-2(2e2x-«),

①当a4。时，g\x)<0,g(x)在R上单调递减.

②当a〉0时，令g'(x)>0,则x<，ln«；令g'(x)<0,则

2222

所以g«)在［-单调递增，在；ln?,+oo］上单调递减.

\乙乙J乙乙)

综上所述，当。4。时，g(x)在R上单调递减；

当a>0时，g(x)在卜上单调递增，在；lnT，+s］上单调递减.

(2)因为/(%)=1=2+依+1一匕2%,可知/(0)=。，

(2e2x、

f\x)-2ux+a—2e2A—ci(2x+1)—2e2A=(2x+1)a---------,

2x+l?

r

当x>0时，h(x)>09川元)在(0,+s)上单调递增,

所以以X)在(0,+8)上的值域是(2,+8),即2匚〉2.

2x+l

当a«2时,((%)=0没有实根,且/(%)<0,

Ax)在(0,+8)上单调递减，/(x)</(0)=0,符合题意.

当〃>2时，/z(0)=2<af

所以h(x)=主二=a有唯一实根无。，

2x+l

当％€(0,/)时，/'(x)>0,在(0,%)上单调递增，/(%)>/(0)=0,不符合题意.

综上，a<2,即"的取值范围为(—8,2].

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计

算能力，属于难题.

18.(1)详见解析；(2)旦

6

【解析】

(1)连接AG，BG，则NeAG且N为AG的中点，

又为AB的中点，BC],

又BC[u平面5与C。，MNU平面BBgC,

故MN〃平面5月GC.

(2)由AN，平面ABC,得ACLCC],BC±CQ.

以C为原点，分别以CB,CG，C4所在直线为x轴，y轴，二轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设CC]=22(2>0),

则,(1,0,1),N(0,2,1),4(2,24,0),

皿=(1,0,1),MN=(-1,2,0),NB1=(2,2,-1).

取平面CMN的一个法向量为机=(x,y,z),

由CM•〃/=€)，MN得:

x+z=0

,令y=l,得加=(%1,—X)

-x+Ay=0

同理可得平面B[MN的一个法向量为n=（2,L32）

,/平面CMN，平面4MN,二7%.n=分+1—3%=o

解得力=乎，得〃=4，1，半，又AB=（2,0,—2）,

设直线AB与平面gMN所成角为凡则

sin^=|coszz,AB|

L同丽—6

所以，直线与平面gMN所成角的正弦值是好.

6

QQ

19.(1)见解析，0(2)3所

【解析】

(1)J=S3即该选手答完3道题后总得分，可能出现的情况为3道题都答对，答对2道答错1道，答对1道答错2道,3道

题都答错，进而求解即可;

(2)当工=2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题，又S,>0。=1,2,3,4),则第一题答对，第二题第三

题至少有一道答对，进而求解.

【详解】

解：(1)J的取值可能为—3,—1,1,3,又因为p=q=；,

故P(J=_3)=

所以自的分布列为:

-3-113

1331

P

8888

1331

所以石©=(—3)Xd+(—l)Xd+G+3xG=0

OOOO

(2)当工=2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,

又已知5,.>0。=1,2,3,4),第一题答对,

若第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；

若第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题,

m72Y_30x8_80旦

此时的概率为P=(C；+C；)bJbJ-38-372187

【点睛】

本题考查二项分布的分布列及期望，考查数据处理能力，考查分类讨论思想.

20.(1)63.47；(2)分布列见详解，期望为3；(3)余下所有零件不用检验，理由见详解.

7

【解析】

(1)计算［62.0,63.0),［630,63.5)的频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法,

可得结果.

(2)计算位于［62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分

布列，计算期望，可得结果.

(3)计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿

费用之和的期望值，进行比较，可得结果.

【详解】

(1)尺寸在［62.0,63.0)的频率：

0.5x(0.075+0.225)=0.15

尺寸在［63.0,63.5)的频率：0.5x0.750=0.375

且0.15<0.5<0.15+0.375

所以可知尺寸的中位数落在［63.0,63.5)

假设尺寸中位数为x

所以0.15+(X-63.0)x0.750=0.5=>xu63.47

所以这80个零件尺寸的中位数63.47

(2)尺寸在［62.0,62.5)的个数为80x0.075x0.5=3

尺寸在［64.5,65.0］的个数为80x0.100x0.5=4

X的所有可能取值为1,2,3,4

则P(X=1)=等P(X=2)=詈=||

P"=3)=*C3cl=茅尸”=4)系总

所以X的分布列为

X1234

418121

p

35353535

“，4c18c12,116

EX=1x---1-2x---1-3x---1-4x—=—

353535357