2024届福建省漳州市平和县中考三模数学试题含解析

2024届福建省漳州市平和县重点中学中考三模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平,

并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF=50cm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,

CD-20m,则树高AB为()

B

A.12mB.13.5mC.15mD.16.5m

2.关于了的一元二次方程3x+m=o有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围是（）

9999

A.m<—B.m,,—C.m>—D.m...—

4444

3.若分式,有意义，则x的取值范围是（）

x-2

A.%=2；B.x/2；C.x>2；D.x<2.

4.如图，已知N1=N2,要使AABD^^ACD,需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）

C.AB=ACD.DB=DC

5.如图，直线a〃b,NABC的顶点B在直线a上，两边分别交b于A,C两点，若NABC=90。，Nl=40。，则N2

的度数为（）

ab

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.已知一次函数y=kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-2x+kb+l=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.有一个根是0

7.如图，AABC中，AO是中线，BC=S,ZB^ZDAC,则线段AC的长为()

A.4GB.4&C.6D.4

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△4夕。由4ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为()

A.(0,1)B.(1,-1)C.(0,-1)D.(1,0)

9.如图直线〉=皿与双曲线丫=8交于点4、5,过A作AMLx轴于M点，连接3M,若SAAMB=2,则#的值是()

X

A.1B.2C.3D.4

10.下列长度的三条线段能组成三角形的是

A.2,3,5B.7,4,2

C.3,4,8D.3,3,4

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若/DBC=56。，则Nl='

12.已知，直接y=kx+b(k>0,b>0)与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线丫=一(x>0)交于第一象限点C,若

x

BC=2AB,则SAAOB=.

13.若y=Jx-3+13-x+4,贝11x+y=

14.一个不透明的口袋中有5个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出

的是红球的概率是.

15.如图，在梯形中，AD//BC,BC^2AD,E、F分别是边A。、5C的中点，设AD=a,AB=b,那

么EF等于(结果用以匕的线性组合表示).

16.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=6,在AC上取一点。，使AZ>=4,将线段绕点A按顺时

针方向旋转，点。的对应点是点P,连接BP,取5P的中点F,连接当点P旋转至CA的延长线上时，C尸的长

是,在旋转过程中，C尸的最大长度是.

17.有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接:

方式1：如图1；

方式2：如图2；

若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是.有〃个边长均为1的正六边

形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18,则九的最大值为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，

使其由45。改为30。.已知原传送带AB长为4米.

（1）求新传送带AC的长度；

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理

由.（说明：⑴⑵的计算结果精确到04米，参考数据：,2-1.41,.=1.73,=2.24,.-■-2.45）

19.（5分）某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图,

请结合图中相关数据解答下列问题：

A*三等奖

小包，二等奖］

25%

/\./请将条形统计图补全；获得一等奖的同学中

*鼓励奖y

获奖人数扇形统计图

图i图2

有L来自七年级，有L来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书

44

法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.

20.（8分）如图，ZAOB=45°,点M,N在边OA上，点P是边OB上的点.

（1）利用直尺和圆规在图1确定点P,使得PM=PN；

（2）设OM=x,ON=x+4,

①若x=0时，使P、M、N构成等腰三角形的点P有个；

②若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是.

22.（10分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有

一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB」行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知

BC=80千米，NA=」45。，NB=30。.开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到

B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：V2-1.4L73=1.73）

23.（12分）阅读与应用:

阅读1：a、5为实数，且a>0,b>0,因为（6一JF）>0,所以。一2«^+620,从而a+Z?N2«F（当a=5

时取等号）.

阅读2：函数y=x+'（常数机>0,x>0）,由阅读1结论可知：x+—>2.%•—=2诟，所以当x='即x=而

XX\XX

时，函数y=x+2的最小值为2标.

x

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为周长为2（x+d],求当x=__________时，

X<X）

周长的最小值为.

问题2：已知函数以=x+l（x>—1）与函数以=必+2*+17（*>—1）,当*=时，区的最小值为.

弘

问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三

是其他费用.其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.L当学校学生人数为多少时，该校每天生均投

入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用十学生人数）

（4、a-2

24.（14分）先化简，再求值：Q-------------,其中a满足〃2+2。-1=1.

IaJa

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.

【详解】

VZDEF=ZBCD=90°,ZD=ZD,

.,.△DEF<^ADCB,

.BCDC

••=9

EFDE

VDF=50cm=0.5m,EF=30cm=0.3m,AC=1.5m,CD=20m,

由勾股定理求得DE=40cm,

.BC_20

**03-o7,

.\BC=15米，

/.AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）.

故答案为16.5m.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

2、A

【解析】

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

【详解】

••・关于x的一元二次方程x2-3r+m=0有两个不相等的实数根，

；.△="-4ac=（-3）2-4xlxm>0,

••f

4

故选A.

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（l）A>0地程有

两个不相等的实数根；（2）△=00方程有两个相等的实数根；（3）△V0历程没有实数根.

3、B

【解析】

分式的分母不为零，即x-2#l.

【详解】

•••分式,有意义，

x-2'''

；.x-2Kl,

xw2.

故选：B.

【点睛】

考查了分式有意义的条件，（1）分式无意义=分母为零；（2）分式有意义=分母不为零；（3）分式值为零u分子为零且

分母不为零.

4、D

【解析】

由全等三角形的判定方法ASA证出△ABDg4ACD,得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出

△ABD^AACD,得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD丝AACD,得出C正确.由全等三角形的

判定方法得出D不正确；

【详解】

A正确；理由：

在4ABDfllAACD中，

VZ1=Z2,AD=AD,NADB=NADC,

/.△ABD^AACD(ASA)；

B正确；理由：

在小ABD^DAACD中，

VZ1=Z2,NB=NC,AD=AD

/.△ABD^AACD(AAS)；

C正确；理由：

在4ABD^DAACD中，

VAB=AC,Z1=Z2,AD=AD,

/.△ABD^AACD(SAS)；

D不正确，由这些条件不能判定三角形全等；

故选：D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的

关键.

5、C

【解析】

依据平行线的性质，可得NBAC的度数，再根据三角形内和定理，即可得到N2的度数.

【详解】

解：Va^b,

.*.Nl=NBAC=40。，

又ABC=90。，

.•.N2=90°-40°=50°,

故选c.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等.

6、A

【解析】

判断根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.

【详解】

•.•一次函数y=kx+b的图像经过第一、三、四象限

k>0,b<0

A=b2-4ac=(-2)2-4(kb+1)=-4kb>0,

，方程X2-2x+kb+l=0有两个不等的实数根，故选A.

【点睛】

根的判别式

7、B

【解析】

由已知条件可得ABC〜ZMC,可得出釜=臂,可求出AC的长.

【详解】

四ACBC

解：由题意得：ZB-ZDAC,ZACB=ZACD,W_ABC-^DAC,根据“相似三角形对应边成比例”,得一=—

DCAC

又40是中线，BC=8,得DC=4,代入可得AC=40\

故选B.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质.灵活运用相似的性质可得出解答.

8、B

【解析】

试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.

试题解析：由图形可知，

对应点的连线CC，、AA，的垂直平分线过点（0,-1）,根据旋转变换的性质，点（1,-1）即为旋转中心.

故旋转中心坐标是P（1,-1）

故选B.

考点：坐标与图形变化一旋转.

9^B

【解析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由SAABM=1SAAOM并结合反比例函数系数k的

几何意义得到k的值.

【详解】

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则SAABM=1SAAOM=1,S^AOM=-\k\=l,

2

则4=±1.又由于反比例函数图象位于一三象限，4>0,所以《=L

故选形

【点睛】

本题主要考查了反比例函数y=&中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|,

x

是经常考查的一个知识点.

10、D

【解析】

试题解析：A.V3+2=5,：.2,3,5不能组成三角形，故A错误；

B.V4+2<7,/.7,4,2不能组成三角形，故B错误；

C.；4+3<8,二3,4,8不能组成三角形，故C错误；

D.；3+3>4,，3,3,4能组成三角形，故D正确；

故选D.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11>62

【解析】

根据折叠的性质得出N2=NABD,利用平角的定义解答即可.

【详解】

解:如图所示：

由折叠可得：N2=NABD,

,.,ZDBC=56°,

.,.Z2+ZABD+56°=180°,

解得：Z2=62°,

VAE//BC,

.*.Z1=Z2=62°,

故答案为62.

【点睛】

本题考查了折叠变换的知识以及平行线的性质的运用，根据折叠的性质得出N2=NABD是关键.

4

12、一

3

【解析】

根据题意可设出点C的坐标，从而得到OA和OB的长，进而得到△AOB的面积即可.

【详解】

•••直接y=kx+b与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=3交于第一象限点C,若BC=2AB,设点C的坐标为化,3）

XC

・11616

••OA=0.5c,OB=—x—=—,

3c3c

SAAOB=—OA,OB=—x0.5cx—=—

223c3

【点睛】

此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意设出c点坐标进行求解.

13、1.

【解析】

试题解析：•••原二次根式有意义,

.*.x-3>0,3-x>0,

/.x=3,y=4,

:.x+y=l.

考点：二次根式有意义的条件.

8

【解析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【详解】

解：由于共有8个球，其中红球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，.

8

故答案为3.

8

【点睛】

本题考查了概率的求法，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现7"种结果，那么事

件A的概率尸(A)=—.

n

,1

15、bH—a.

2

【解析】

作AH〃E歹交5c于首先证明四边形EflM是平行四边形，再利用三角形法则计算即可.

【详解】

作AH//EF交BC于H.

,JAE//FH,二四边形ERHA是平行四边形，：.AE=HF,AH=EF.

;AE=ED=HF,：.HF=-a.

2

'：BC^2AD,:.BC=?a.

'：BF=FC,：.BF=a，BH=^a.

,:EF=AH=AB+BH=b+-a.

故答案为：b+—a.

2

【点睛】

本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

16、426,V10+2.

【解析】

当点尸旋转至CA的延长线上时，C尸=20,BC=2,利用勾股定理求出3P,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半，可得CF的长；取A5的中点M,连接MF和CM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM

的长，利用三角形中位线定理，可得尸M的长，再根据当且仅当M、F、C三点共线且M在线段C尸上时CF最大，

即可得到结论.

【详解】

当点尸旋转至CA的延长线上时，如图2.

,在直角ABC产中，ZBCP=90°,CP=AC+AP=6+4=20,BC=2,

•**BP=7CP2+BC2=A/102+22=2726>

•••3尸的中点是尸，

：.CF=^BP=yf26.

取48的中点M,连接M尸和CM,如图2.

\•在直角AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=2,

•••45=VAC2+BC2=2710•

•.•拉为A3中点，

:.CM=,

•.,将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P,

：.AP=AD=4,

为A5中点，尸为5P中点，

1

：.FM=-AP=2.

2

当且仅当M、尸、C三点共线且M在线段C歹上时C尸最大，

此时CF=CM+FM=710+2.

故答案为亚，710+2.

【点睛】

考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图

形全等.也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理.根据题意正确画出对应图形是解题的关键.

17、181

【解析】

有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，利用4n+2的规律计算；把六个正六边形围着一个正六边按照方式2

进行拼接可使周长为8,六边形的个数最多.

【详解】

解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4x4+2=18；

按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18,此时正六边形的个数最多，即〃的最大值为L

故答案为：18；1.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，以及图形的变化类规律总结问题，根据题意，得出规律是解决此题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)5.6

(2)货物MNQP应挪走，理由见解析.

【解析】

(1)如图，作ADLBC于点D

在RtAACD中，,:ZACD=30°

.•.AC=2AD=4拒。5.6

即新传送带AC的长度约为5.6米.

（2）结论：货物MNQP应挪走.

在RtAABD中，BD=ABcos45°=4x—=272

2

在RtAACD中，CD=ACcos30°=472x—=276

2

/.CB=CD—BD=2而2行=2（迷-012.1

VPC=PB—CB-4—2.1=1.9<2

二货物MNQP应挪走.

19、（1）答案见解析；（2）1.

【解析】

【分析】（1）根据参与奖有10人，占比25%可求得获奖的总人数，用总人数减去二等奖、三等奖、鼓励奖、参与奖

的人数可求得一等奖的人数，据此补全条形图即可；

（2）根据题意分别求出七年级、八年级、九年级获得一等奖的人数，然后通过列表或画树状图法进行求解即可得.

【详解】（1）104-25%=40（人），

获一等奖人数：40-8-6-12-10=4（人），

补全条形图如图所示：

八年级获一等奖人痴4xl=1(A),

，九年级获一等奖人数：4-1-1=2(人),

七年级获一等奖的同学用M表示，八年级获一等奖的同学用N表示,

九年级获一等奖的同学用Pi、P2表示，树状图如下：

开始

MN尸2

z1\z1\z1\Zl\

N尸iP2M尸iPzMNPzMNP\

共有12种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4种，

41

则所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率P=—=-.

123

【点评】此题考查了统计与概率综合，理解扇形统计图与条形统计图的意义及列表法或树状图法是解题关键.

20、(1)见解析；(2)①1；②：x=O或x=4后-4或4<xV4后；

【解析】

(D分别以M、N为圆心，以大于』MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的垂直平分线;

2

(2)①分为PM=PN,MP=MN,NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1,构建腰长为4的等腰直角△OMC,和

半径为4的。M,发现M在点D的位置时，满足条件；如图4,根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆

心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P,再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x

取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可.

【详解】

解：(1)如图所示：

故答案为1.

②如图1,以M为圆心，以4为半径画圆，当。M与OB相切时，设切点为C,0M与OA交于D,

图3

/.MC±OB,

■:ZAOB=45°,

.,.△MCO是等腰直角三角形,

/.MC=OC=4,

**,0M=4A/2,

当M与D重合时，即x=后-4时，同理可知：点P恰好有三个;

如图4,取OM=4,以M为圆心，以OM为半径画圆.

A

/；\M*、\J

图4

则。M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4,即以NPMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆

心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以NPNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有

一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到Mi时，发现。Mi与直线OB有一个交点；

.•.当4<x<4夜时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；

综上所述，若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或》=4拒-4或4<x<4"

故答案为x=0或x=4后-4或4<x<4①

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等

腰三角形的画法.

工11

21、原式二^—7,当m=l时，原式二一

3叫加+3)12

【解析】

先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-l=0的根，那么m2+3m・l=0,可得m2+3m

的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可.

m—3m2—4—5m—3m—21

，、工3m(m—2)m—23m(m—2)+—3)3m(m+3)

VX2+2X-3=0,/.XI=-3,X2=1

6m是方程x2+2x-3=0的根，/•m=-3或m=l

Vm+3^0,/..m^-3,/.m=l

t(11_1

当m=l时，原式：-—7m=—i—Zi,

3m(m+3)3xlx(l+3)12

“点睛”本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体

代入.

22、（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千

米

【解析】

（1）过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角AACD中，解直角三角形求出CD,进而解答即可;

（2）在直角ACBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程.

【详解】

解：（1）过点C作AB的垂线CD,垂足为D,

痔£（千米）,

2

AC+BC=80+40叵=40x1,41+80=136.4（千米）,

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米;

5D

（2）Vcos30°=——，BC=80（千米）,

BC

.,.BD=BC・cos30o=80x1=40j^（千米）,

2,

CD

Vtan45°=——，CD=40（千米）,

AD

CD40

/.AD=----------y=40（千米）,

tan45°

/.AB=AD+BD=40+40^-40+40x1.73=109.2（千米）,

汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2（千米）.

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决

的方法就是作高线.

23、问题1：28问题2：38问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得:

6400+10x+0.01x2x6400,

y=------------------------=—+-------+10,因为x>0,所以

x100x

x64001(6400002“