2023-2024学年北京市丰台区高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，所以不一定成立，故A错误；对于B，，显然不一定成立，故B错误；对于C，，则，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.2.已知向量满足，则（）A. B.0 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.3.已知向量满足，且，则（）A.12 B. C.4 D.2〖答案〗B〖解析〗.

故选：B.4.各棱长均为的三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即.

故选：C.5.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在复平面内，复数，对应的点分别为，，则，，得，所以复数的虚部为.故选：D.6.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，故体积为.故选：A7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，则角B的值为（）A. B. C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗由余弦定理和及已知条件得，所以，又，所以.故选：A.8.在中，若．则一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C等腰直角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗因为，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，则，即，故为等腰三角形.故选：A.9.设是非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，故成立，故“”是“”的充分条件；当，时，，当不符合，故“”不是“”的必要条件；故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.10.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（）A.9 B.12 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以，设，则，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故选：B.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.12.已知单位向量满足，则向量与向量的夹角的大小为__________.〖答案〗〖解析〗设单位向量的夹角为，由，可得，因为，所以.故〖答案〗为：.13.体积为的球的表面积是__________.〖答案〗〖解析〗设球的半径为R，则，故球的表面积是.故〖答案〗为：.14.在梯形ABCD中，AD中点，若，则__________..〖答案〗〖解析〗因为为AD中点，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.15.已知非零向量，其中是一组不共线的向量.能使得与的方向相反的一组实数的值为__________，__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，）1〖解析〗因为与的方向相反，则，即，可得，又因为是一组不共线的向量，则，消去可得，取，可得.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一，）1.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步㵵或证明过程.16.复数.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若复数是纯虚数，求实数的值；（3）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.解：（1）因为复数是实数，所以，解得或.（2）因为复数是纯虚数，所以，所以，解得.（3）因为复数对应的点位于第三象限，所以，所以，解得的取值范围是.17.已知向量.（1）求和值；（2）若向量与互相垂直，求的值.解：（1）由题意得，.（2），因为向量与互相垂直，所以，所以，解得.18.已知向量满足：，夹角为.（1）求；（2）求；（3）若与方向相同的单位向量为，直接写出在上的投影向量.解：（1）.（2）.（3）在上的投影向量为.19.在中，，，．（1）求的面积；（2）求及的值．解：（1）因为在中，，，结合平方关系，可知，从而由三角形面积公式，可知的面积为.（2）因在中，，，，所以由余弦定理有，又，所以解得，由（1）可知，所以由正弦定理有，即，解得.20.在△中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）在中，因为，又，所以，因为，所以，因为，所以．（2）选择条件②：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中，因为，所以，所以，设点为线段的中点，在中，，因为中，，所以，即边上的中线的长度为．选择条件③：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中，因为的面积为，即，所以，设点为线段的中点，在中，，因为中，，所以，即边上的中线的长度为．由题可知，故①不合题意.21.对于任意实数，引入记号表示算式，即，称记号为二阶行列式.是上述行列式的展开式，其计算的结果叫做行列式的值.（1）求下列行列式的值：①；②；（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；（3）讨论关于的二元一次方程组有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.解：（1）①.②.（2）若向量与向量共线，则有，即，所以必要性得证，若，即，当不全为0时，即时，不妨设，则，所以，因为，所以，所以与共线，当且时，，所以与共线，充分性得证；综上，向量与向量共线充要条件是.（3）由，则有，消去得：，①由，则有，消去得：，②所以当时，即时，由①②得：，，所以当时，关于的二元一次方程组有唯一解，且.北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，所以不一定成立，故A错误；对于B，，显然不一定成立，故B错误；对于C，，则，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.2.已知向量满足，则（）A. B.0 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.3.已知向量满足，且，则（）A.12 B. C.4 D.2〖答案〗B〖解析〗.

故选：B.4.各棱长均为的三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即.

故选：C.5.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在复平面内，复数，对应的点分别为，，则，，得，所以复数的虚部为.故选：D.6.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，故体积为.故选：A7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，则角B的值为（）A. B. C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗由余弦定理和及已知条件得，所以，又，所以.故选：A.8.在中，若．则一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C等腰直角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗因为，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，则，即，故为等腰三角形.故选：A.9.设是非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，故成立，故“”是“”的充分条件；当，时，，当不符合，故“”不是“”的必要条件；故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.10.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（）A.9 B.12 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以，设，则，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故选：B.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.12.已知单位向量满足，则向量与向量的夹角的大小为__________.〖答案〗〖解析〗设单位向量的夹角为，由，可得，因为，所以.故〖答案〗为：.13.体积为的球的表面积是__________.〖答案〗〖解析〗设球的半径为R，则，故球的表面积是.故〖答案〗为：.14.在梯形ABCD中，AD中点，若，则__________..〖答案〗〖解析〗因为为AD中点，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.15.已知非零向量，其中是一组不共线的向量.能使得与的方向相反的一组实数的值为__________，__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，）1〖解析〗因为与的方向相反，则，即，可得，又因为是一组不共线的向量，则，消去可得，取，可得.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一，）1.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步㵵或证明过程.16.复数.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若复数是纯虚数，求实数的值；（3）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.解：（1）因为复数是实数，所以，解得或.（2）因为复数是纯虚数，所以，所以，解得.（3）因为复数对应的点位于第三象限，所以，所以，解得的取值范围是.17.已知向量.（1）求和值；（2）若向量与互相垂直，求的值.解：（1）由题意得，.（2），因为向量与互相垂直，所以，所以，解得.18.已知向量满足：，夹角为.（1）求；（2）求；（3）若与方向相同的单位向量为，直接写出在上的投影向量.解：（1）.（2）.（3）在上的投影向量为.19.在中，，，．（1）求的面积；（2）求及的值．解：（1）因为在中，，，结合平方关系，可知，从而由三角形面积公式，可知的面积为.（2）因在中，，，，所以由余弦定理有，又，所以解得，由（1）可知，所以由正弦定理有，即，解得.20.在△中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）在中，因为，又，所以，因为，所以，因为，所以．（2）选择条件②：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中，因为，所以，所以，设点为线段的中点，在中，，因为中，，所以，即边上的中线的长度为．选择条件③：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中，因为的面积为，即，所以，设点为线段的中点，在中，，因为中，，所以，即边上的中线的长度为．由题可知，故①不合题意.21.对于任意实数，引入记号表示算式，即，称记号为二阶行列式