2022-2023学年陕西省西安市大联考高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省西安市大联考2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗在方向的投影为.故选：A.2.在中，已知是边上一点，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故选：A.3.设，是两条不同直线，，是两个不同的平面（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或者或者相交，故A错误；对于B，若，，则或者或者相交，故B错误；对于C，若，，则，又，所以，故C正确；对于D，若，，，则或者或者相交，故D错误.故选：C.4.在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为100π，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的半径为，因为三棱锥外接球的表面积为100π，所以，三角形ABC的外接圆半径为，三棱锥体积取最大值时，平面，此时，最大值为：.故选：B.5.已知复数，则的值为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因此，.故选：D.6.下列说法正确的有（）A.已知，，若与共线，则B.若，，则C.若，，为锐角，则实数的范围是D.若，则一定不与共线〖答案〗C〖解析〗对于A，，，与共线，则，解得，A错误；对于B，当时，满足，，而向量与可以不共线，B错误；对于C，，，为锐角，则，且与不共线，即且，解得，C正确；对于D，若，，满足，而与共线，D错误.故选：C.7.所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，设为正三角形的中心，连接，根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，连接，设正四面体的棱长为，则，故，设外接球的半径为，则，故，解得，故内切球的半径为，所以，故内切球与外接球的体积之比为.故选：A．8.已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法一：由题可得，，所以要求的最小值，需求的最小值，因为，与的夹角为，所以的最小值为，所以，即的最小值为.解法二：如图，设，，，则，，由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值，由正弦定理得：，所以，故的最小值为.故选：A.9.在复平面内，下列说法正确的是（）A. B.C.若，则 D.若复数满足，则是实数〖答案〗B〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，两个虚数不能比较大小，故C错误；对于D，设，则，，则，解得，故是虚数，故D错误.故选：B.10.如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（）A. B.与异面C.平面 D平面平面〖答案〗A〖解析〗如下图所示，连接，根据题意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A错误；易知与不平行，且不相交，由异面直线定义可知，与异面，即B正确；在长方体中，所以，即四边形为平行四边形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正确；由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正确.故选：A.11.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，，则棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是矩形，，，所以，因此矩形的外接圆的直径为，半径为，设棱锥的高为，根据勾股定理可得：，棱锥的体积为：.故选：B.12.设为向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗为向量，，向量的夹角为或则“”是”的充分必要条件.故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知与互相垂直，与互相垂直，则与的夹角为______．〖答案〗0〖解析〗，，①，又，，②；由①②组成方程组，解得，，向量与的夹角的余弦值为，所以向量与的夹角为0.故〖答案〗为：0.14.如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为_____________．〖答案〗〖解析〗如图，过N，C作AB的垂线，垂足分别为M，E，由平面向量数量积知识得：，当N与C重合时取等号，的最大值为8.故〖答案〗为：8.15.已知复数的虚部减去它的实部所得的差为，则__________.〖答案〗或〖解析〗因为，所以，所以，解得或，所以或，所以或.故〖答案〗为：或.16.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.〖答案〗〖解析〗正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．故〖答案〗为：.三、解答题（本大题共5小题，共70分.）17.已知向量.（1）若，求实数m的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．解：（1）得到或2.（2）由已知得不平行，得到，所以且.18.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.（1）求的值；（2）判断的值是否为一个常数，并说明理由．解：法1：（1）由已知可得，，.（2）的值为一个常数，为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故.法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，.（2）设E点坐标为，，常数．19.如图，三棱柱ABC–A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D为BB1的中点．（1）求证：A1D⊥平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的体积．解：（1）如图，连接AC1，因为为正三角形，H为棱CC1的中点，所以AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，又A1D⊂平面ABB1A1，所以AH⊥A1D，①设AB=a，因为AC=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，，因为AB⊥AA1，所以平行四边形ABB1A1为矩形，所以∠DB1A1=∠B1A1A=90°，所以，所以∠B1AA1=∠DA1B1，又∠DA1B1+∠AA1D=90°，所以∠B1AA1+∠AA1D=90°，故A1D⊥AB1，②由①②及AB1∩AH=A，可得A1D⊥平面AB1H．（2）方法一：取A1C1的中点G，连接AG，因为为正三角形，所以AG⊥A1C1，因为平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1B1⊥AA1，所以A1B1⊥平面AA1C1C，又AG⊂平面AA1C1C，所以A1B1⊥AG，又A1C1∩A1B1=A1，所以AG⊥平面A1B1C1，所以AG为三棱柱ABC–A1B1C1的高，经计算AG=，A1B1·A1C1=×2=，所以三棱柱ABC–A1B1C1的体积V=·AG=．方法二：取AA1的中点M，连接C1M，则C1M∥AH，所以C1M⊥平面ABB1A1，因为AB=，所以AC=AA1=2，C1M=A1C1sin60°=2×，所以·C1M=×2×，所以三棱柱ABC–A1B1C1的体积V=3．20.如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．（1）证明：平面；（2）若，，证明：平面平面．解：（1）连接交于点，则为中点，连接，又是中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）∵是直三棱柱，∴平面，又平面，∴，由且为的中点，即，又，∴平面，又平面，∴，由，，得，，，∴，即，又，∴平面，又平面，∴平面平面.21.已知复数在复平面内对应的点分别为．（1）若，求a的值；（2）若复数对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．解：（1），解得或.（2），由于z对应的点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.陕西省西安市大联考2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗在方向的投影为.故选：A.2.在中，已知是边上一点，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故选：A.3.设，是两条不同直线，，是两个不同的平面（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或者或者相交，故A错误；对于B，若，，则或者或者相交，故B错误；对于C，若，，则，又，所以，故C正确；对于D，若，，，则或者或者相交，故D错误.故选：C.4.在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为100π，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的半径为，因为三棱锥外接球的表面积为100π，所以，三角形ABC的外接圆半径为，三棱锥体积取最大值时，平面，此时，最大值为：.故选：B.5.已知复数，则的值为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因此，.故选：D.6.下列说法正确的有（）A.已知，，若与共线，则B.若，，则C.若，，为锐角，则实数的范围是D.若，则一定不与共线〖答案〗C〖解析〗对于A，，，与共线，则，解得，A错误；对于B，当时，满足，，而向量与可以不共线，B错误；对于C，，，为锐角，则，且与不共线，即且，解得，C正确；对于D，若，，满足，而与共线，D错误.故选：C.7.所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，设为正三角形的中心，连接，根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，连接，设正四面体的棱长为，则，故，设外接球的半径为，则，故，解得，故内切球的半径为，所以，故内切球与外接球的体积之比为.故选：A．8.已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法一：由题可得，，所以要求的最小值，需求的最小值，因为，与的夹角为，所以的最小值为，所以，即的最小值为.解法二：如图，设，，，则，，由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值，由正弦定理得：，所以，故的最小值为.故选：A.9.在复平面内，下列说法正确的是（）A. B.C.若，则 D.若复数满足，则是实数〖答案〗B〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，两个虚数不能比较大小，故C错误；对于D，设，则，，则，解得，故是虚数，故D错误.故选：B.10.如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（）A. B.与异面C.平面 D平面平面〖答案〗A〖解析〗如下图所示，连接，根据题意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A错误；易知与不平行，且不相交，由异面直线定义可知，与异面，即B正确；在长方体中，所以，即四边形为平行四边形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正确；由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正确.故选：A.11.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，，则棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是矩形，，，所以，因此矩形的外接圆的直径为，半径为，设棱锥的高为，根据勾股定理可得：，棱锥的体积为：.故选：B.12.设为向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗为向量，，向量的夹角为或则“”是”的充分必要条件.故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知与互相垂直，与互相垂直，则与的夹角为______．〖答案〗0〖解析〗，，①，又，，②；由①②组成方程组，解得，，向量与的夹角的余弦值为，所以向量与的夹角为0.故〖答案〗为：0.14.如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为_____________．〖答案〗〖解析〗如图，过N，C作AB的垂线，垂足分别为M，E，由平面向量数量积知识得：，当N与C重合时取等号，的最大值为8.故〖答案〗为：8.15.已知复数的虚部减去它的实部所得的差为，则__________.〖答案〗或〖解析〗因为，所以，所以，解得或，所以或，所以或.故〖答案〗为：或.16.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.〖答案〗〖解析〗正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．故〖答案〗为：.三、解答题（本大题共5小题，共70分.）17.已知向量.（1）若，求实数m的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．解：（1）得到或2.（2）由已知得不平行，得到，所以且.18.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.（1）求的值；（2）判断的值是否为一个常数，并说明理由．解：法1：（1）由已知可得，，.（2）的值为一个常数，为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故.法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，.（2）设E点坐标为，，常数．19.如图，三棱柱ABC–A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D为BB1的中点．（1）求证：A1D⊥平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的体积．解：（1）如图，连接AC1，因为为正三角形，H为棱CC1的中点，所以AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，又A1D⊂平面ABB1A1，所以AH⊥A1D，①设AB=a，因为AC=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，，因为AB⊥AA1，所以平行四边形ABB1A1为矩形