2024年山东烟台德州高三一模高考数学试题答案详解

2024年高考诊断性测试

数学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹

清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合。=R,集合A={X|X2+2X-3<0},8={X|0WX42},则图中阴影部分表示

的集合为（）

A.（-3,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（2,3）

2

2.若（1-2尤了=a0+arx+a2x++,则出+4=（）

A.100B.110C.120D.130

3.若点A（l,2）在抛物线_/=2px上，足为抛物线的焦点，则IA尸|=

A.1B.2C.3D.4

4.若85（戊一:）二；,则sin2a=（

）

A.二B1D.L

c.--

9999

5.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2

个小球，则不同放法的种数为（）

A.3B.6C.10D.15

6.设。力为两条不同的直线，①£为两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若"//a,b11a,则a//6

B.若a乃与a所成的角相等，则。//匕

C.若a工（3,a11a,b11B,则

D.若C_L"Q_L%>_L/7,则；_L，

7.已知定义在R上的奇函数/Xx）满足了（2-x）寸（x）,当OMxWl时,/（x）=2J-l,则

/（log212）=（）

A.—B.—C.—D.g

3432

8.在平面直角坐标系xOy中，点A（-1,0）,B（2,3）,向量oc=mOA+nOB，且租-〃-4=0.

2

若尸为椭圆/+匕=1上一点，则pc|的最小值为（）

A..痴B.回C.-710D.2M

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分.

9.已知4/2为复数，下列结论正确的有（）

A.Z1+Z2=%+2

B*•22—Z],Z?

C.若Z「Z2WR,则4=是

D.若z「Z2=0,则4=0或Z2=0

10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y,设事件A="log3”y

为整数"，B="x+y为偶数"，C="x+2y为奇数”，贝u（）

A.P（A）=1B.P（A3）=:

o12

7

C.事件B与事件C相互独立D.P（A|C）=—

lo

11.给定数列｛%｝，定义差分运算：△%=--4,6%=八％一阳,“€?<若数列｛4｝

满足%=1+〃，数列｛2｝的首项为1,且儆,=（"+2>2"T,〃WN*,则（）

A.存在M>0,使得A%恒成立

B.存在M>0,使得1%<加恒成立

C.对任意">0,总存在〃eN*,使得或

试卷第2页，共4页

Nb

D.对任意M>0,总存在“eN*,使得

b“

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若圆(x-m)2+(y-l)2=l关于直线y=x对称的圆恰好过点(0,4),则实数加的值

为.

13.在三棱锥「一ABC中，PB=PCfPA=2,且/4网=/8尸。=/。上4,瓦/分别

是尸C,AC的中点，ZBEF=90,则三棱锥尸-ABC外接球的表面积为,该三

棱锥外接球与内切球的半径之比为.

14.若函数/(无)=sins+限oss-l在［。,2兀］上恰有5个零点，且在［-：,自上单调递

增，则正实数。的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.已如曲线/(彳)=依2+x-21nx+6(a,6eR)在x=2处的切线与直线无+2y+l=。垂直.

⑴求”的值；

(2)若7(x)20恒成立，求匕的取值范围.

16.如图，在三棱柱ABC-AAG中，ABlAC,AB=y/3AC=3,AD=2DB,。为2C的

中点，4。，平面ABC.

⑴求证：AA1±OD-

(2)若用=26，求二面角8-e-。的余弦值.

17.联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华

文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决

赛分为必答、抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分、40分，否

则记。分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得

15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛

41

结束.已知甲、乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别二力，乙答对

两道题的概率分别为gq,在抢答环节，任意一题甲、乙两人抢到的概率都为甲答

对任意一题的概率为二5，乙答对任意一题的概率为3:，假定甲、乙两人在各环节、各道

题中答题相互独立.

(1)在必答环节中，求甲、乙两人得分之和大于100分的概率；

(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；

(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛

结束，求随机变量X的分布列及数学期望.

22

18.已知双曲线C:十%=1(〃>0,10)经过点A(-2,0),离心率为右，直线/过点0(3,0)

且与双曲线C交于两点P,Q(异于点A).

(1)求证：直线AP与直线AQ的斜率之积为定值.并求出该定值；

(2)过点。分别作直线AP,4。的垂线，垂足分别为记.AZMf,一ADN的面积分别

为立邑，求$2的最大值.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点

M为圆A上一个定点，其初始位置为原点。，/为AM绕点A转过的角度(单位：弧度,

⑴用力表示点M的横坐标x和纵坐标y；

l+cos2^

⑵设点/的轨迹在点/。(%,%)(%工。)处的切线存在，且倾斜角为内求证：-------

%

为定值；

(3)若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为,则该光滑

曲线长度为尸(6)-F(«)，其中函数F(t)满足p(/)=⑺f+[y'⑺f.当点/自点。滚

动到点E时，其轨迹0E为一条光滑曲线，求的长度.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】

解不等式化简集合A,再结合韦恩图，利用交集的定义求解即得.

【详解】解不等式f+2x-3<0,得一3<x<l,即A=(—3,1),

由3=[0,2],得毛8=(-8,0)」(2,+8),

所以图中阴影部分表示的集合为Ai(^B)=(-3,0).

故选：A

2.C

【分析】

利用二项式定理分别求出。2,即可计算得解.

24

【详解】在(1-2x)5=4+牛+。21+中，a2=C5x2=40,a4=X2=80,

所以出+%=120.

故选：C

3.B

【解析】由抛物线的定义转化即可求值.

【详解】因为点41,2)在抛物线尸=2夕苫上，即2?=2p,所以。=2,

故尸

|A\=XA+^=1+1=2

故选：B

【点睛】本题考查由抛物线的定义转化求值问题，属于基础题.

4.C

【分析】

根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.

【详解】由cos[a-：=-pT^cosf2a-1-k2cos2L-^j-l=--

故cos(2a-1-=sin2a=--

9

故选：C

5.B

【分析】

答案第1页，共13页

对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.

【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有C；种方法，放入

两个盒子有C；种方法，

所以不同放法的种数为C；+C；=6.

故选：B

6.D

【分析】

根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误，

对于B,与a所成的角相等，则6可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，

对于C,a^/3,aHa,bHp,则a1可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错

误，

对于D,aV[3,aVa,bVP,贝!|；_L力，D正确，

故选：D

7.A

【分析】

根据给定条件，探讨函数Ax)的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.

【详解】在R上的寄函数的©满足f(2-x)=/(x),则/(尤)=-/(尤-2),

于是/'(*)=-/(尤-2)=-[-/(尤-4)]=/(*-4),即函数/⑴的周期为4,

x

而8<12<16,则3<logzl2<4,-l<log212-4<0,又当时,/(x)=2-l,

34iog9-1

所以/(log212)=/(log212-4)=/(log2-)=-/(log2§)=一(23—1)=—§.

故选：A

8.A

【分析】根据给定条件，求出点。的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.

【详解】设点C(x,y),由A(-L0),3(2,3)及oc=〃?OA+“02,得(x,y)=(-m+2”,3〃)，

[x=—m+2n.,,

即《，Wm—n—4=0f消去加，〃得：3x—y+12-0,

[y=3n

答案第2页，共13页

|3COS0-A/7sin^+12|12-4sin(6+0)

则点尸到直线3元-y+12=0的距离”=，其中锐角。

2(-If710

，3…

由tan°=F确定,

当sin的+夕)=1时，6Zmn=^Vi0,而pCpd,所以|PC|的最小值为1亚.

故选：A

【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上

的点到直线距离有最小值解决.

9.ABD

【分析】设出复数的代数形式，结合共朝复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C.

【详解】设复数Z=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,deR),

对于A,Zj+z2—(a+c')+(b+d)i—(a+c)—(b+d)i=(a—bi)+(c—(K)=z1+z2,A正确;

对于B,Z[z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,ziz2={ac-bd)-{ad+bc)i,

Zj-z2-(a-bi)(c-£)=(ac-bd)-(ad+bc)i,zx-z2='zl-z2,B正确；

对于C,取z=i,Z2=2i,满足Z[Z2=-2eR,而4片马，C错误;

\ac-bd=0

对于D,由Z[Z2=0,得(ac-bd)+(ad+bc)i=。,即《,

ad+Z?c=0

2222

则a2cz+62d2+a2d2+b2c2=Q,即(a+b)(c+d)=0,

因止匕a=6=0或c=d=0,即Z]=0或Z2=0,D正确.

故选：ABD

10.BCD

【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率

的概率公式计算可得.

【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x,y,

则基本事件总数为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

答案第3页，共13页

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1)(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种情况,

满足事件A的有（LD,(1,2),(1,4),(2,3),(2,1),(3,1),(3,4),(4,1),(4,5),

191

(5,6),(5,1),(6,1)共12种,其概率P（A）=9=g故A错误;

363

满足事件8的有(LI),(L3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),

1Q1

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个，故尸(8)=整=：；

362

31

满足事件4B的有(U),(3,1),(5,1)共3个，所以网4?)=弓=(，故B正确;

满足事件C的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

共个,故尸)；,

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),18(C=.=

JO2

满足事件BC的有(1,1),(L3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),

a1

(5,1),(5,3),(5,5),共9个，所以P(BC)=5=a=尸(B)P(C),

所以事件B与事件C相互独立，故C正确;

满足事件AC的有(U),(1,2),(1,4),(3,1),(3,4),(5,6),(5,1),共7种,

所以尸（AC）=（，贝i]P（A|C）=萼?=平="，故D正确.

30r（CIlo

故选：BCD

11.BC

【分析】

由已知求出A%,A%”及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出或及范围判断C；

求出勿及—*的范围判断D.

【详解】对于A由4=/+〃，=(n+l)2+(n+l)-(n2+n)=2n+2,显然有最小

值4,无最大值,

答案第4页，共13页

因此不存在M>0,使得△见<M恒成立，A错误；

对于B,由选项A知,Aa“=2〃+2,则=2(〃+1)+2-(2〃+2)=2,

显然当Af>2时，恒成立，B正确；

对于C,由AanS+Z)2-,得加-2=5+2)?1,

当“22时，bn=bx+(b2—bx)+(b3—b2)+(b4—b3)++(b”-bQ

即2=1+3X20+4X2'+5X22++(n+l)x2n~2,

于是2〃=2x20+3x2i+4X22++«X2,,-2+(«+1)X2"-1,

1_

两式相减得-6.=1+1+2,+2?++2"~2-(〃+1)x2"-1=1+-----------(；7+1)x2^=-nx2"^,

1—2

因此或="-2"T,显然4=1满足上式，则或=加2"1,由6"+]_£=(〃+2).2力>0,

得数列｛2｝是递增数列，久有最小值1,无最大值，

从而对任意">0,总存在〃cN*,使得C正确；

A2A4

对于D,A2b„=(n+3).2--(n+2)-2'^=(n+4)-2"-1,由选项C得一^=1+-,

bnn

44A2/?

显然数列｛1+-｝是递减数列，0<1+?<5,因此对任意M>0,不存在〃eN*，使得—>加

nnbn

成立，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合

新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.

12.4

【分析】利用轴对称列式求出点(。，4)关于直线y=x的对称点的坐标，再代入圆方程即得.

【详解】依题意，点(。，4)关于直线y=x的对称点(“㈤在圆(尤-m)2+(y-l)2=l上，

b+4_a

则J2,解得q=41=0,因此点(4,0)在圆(x-附2+(iy=i上，

b—4

------=-1

、。-0

贝|(4一7")2+(0-1)2=1,解得%=4,

答案第5页，共13页

所以实数优的值为4.

故答案为：4

13.107tV10+—

2

【分析】

第一空作出辅助线，证明三三垂直，将三棱锥放入长方体中求解外接球半径即可，第二空利

用体积相等求出内切球半径，再求比值即可.

【详解】如图，ZAPB=ZBPC=NCPA,5.PB=PC=y/2PA=2,故=

可得三△B4C,则AC=AB,取3c中点£）,连接A£）,PO,

则AOLBCPDLBC,又ADIPD=D,ARPOu面公叱，可得面ADP

又PAu面TWP,则3cl7U,又E,歹分别是尸C,AC的中点，连接EF,则〃所

由题意得/BEF=90，故跖1.3£,PA±BE,又2臼BC=B,

BE,BCu面BEC,故m_1_面8£。，又PALBP,则ZAP3=90,

可得ZAPB=/BPC=ZCPA=90,则PA,BP,PC两两垂直，

故以PABP,尸C作长方体，如图所示，

则该长方体外接球即为所求三棱锥P-ABC的外接球，连接PM,

其中点。为所求外接球的球心，设其半径为R,

可得（2尺）2=22+22+（立）2,故4代=10,解得R=巫，而5=4兀叱=10兀，

2

设该三棱锥内切球半径为「，球心为。一连接。氏。［4。。,。尸,，

答案第6页，共13页

则^P-ABC=-ABC+Vo「PAC+%-PBC+V0]_PAB，

可得gxPAxSPBc^^rxSABC+^xrxSPAB+|xrxSPAC+^rxSPBC,

(

故PAxSPBC=sABC+SPA5+SPAC+sPBC)「，

而A8=万+（扬2=底,CB=V22+22=272，AC=万+（何=#,

易知。1是CB的中点，由CB=AB,得C8，A01,故得Bq=g8C=0,

而由勾股定理得AOI=2,贝|/诋=3'2*2夜=2&,

故可将PAXSPBC=(SABC+sPAB+SPAC+SPBC)「一式化为

—x2x2x,\/2—H—x2xH—x2x5/2H—x2x2)r,

2222

Vw

解得r=¥—,而半径比为'=T^=M+恪，

272+1r,22

2V2+1

故答案为：1加；加+好

2

【点睛】关键点点睛：本题考查内切球和外接球的半径问题，解题关键是构造出长方体，将

三棱锥放入其中，然后求出外接球半径，得到面积，进而由体积关系转化得到所要求的内切

球半径，再求比值即可.

95

-<-<-

4.4-2

【分析】

根据给定条件，利用辅助角公式化简函数/（X）,再利用正弦函数的性质求解即得.

【详解】依题意，函数/(元)=2sin3无+攵一1,由/(x)=o,得sin(s+g)=g,

贝!Ja>x+—=2foi+—sj(,tyx+—=2kK+—,keZ,

3636

由xe[0,2?t],(yx+-|e[j,27t®+-|],由广。)在[0,2兀]上恰有5个零点,

/口29KJC兀37K5/日9,35

得-----<2TICD+—<——,解得一一,

636412

由一屋。尤+gq,得一当《尤即函数了⑺在上咨刍上单调递增，

2326696G6co6。

,-j-i।r兀兀i5兀71口口57171j-.7T71左刀/日八,5

因此［r一777］之［r一二，丁］，即一二〈一:，且尸＞77，解得0＜口＜不，

4156a）6a）6co46a）152

答案第7页，共13页

所以正实数外的取值范围为9:《外工5匕

42

95

故答案为：—<co<—

42

【点睛】方法点睛：求函数y=Asin(@x+协(A>0⑷>0)的单调区间时，可把看成

一个整体，由5+2也48+。44+2版(左eZ)求得函数的单调递减区间，由

+++(左eZ)求得函数的单调递增区间.

15.⑴”g

3

⑵q-万

【分析】

(1)根据斜率关系，即可求导求解，

(2)求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.

【详解】(1)由于x+2y+l=0的斜率为-；，所以/(2)=2,

291

又1⑴=2.+1—,故-⑵=4Q+1；=2,解得〃=彳，

x22

(2)由(1)知。=(，所以尸⑺=x+l-2=.+A2=(X+2)(XT),

故当x>l时，_f(x)>0J(x)单调递增,

当0<x<l时，/(x)<0,〃x)单调递减，

故当x=l时，取最小值〃l)=g+l+6,

13

要使恒成立，^/(1)=-+1+&>0,解得

3

故6的取值范围为62-彳

"16.屈(1)证明见解析；

【分析】

(1)根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得再利用线面垂直的

答案第8页，共13页

判定、性质推理即得.

（2）由（1）的信息以。为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.

【详解】（1）

在三棱柱ABC-A与G中，ABLAC,AB=y/3AC^3,则ZAC3=60°,0A==班，

由AB=3,AD=2OB,得£）3=1,在，D3O中，ZDBO=30°,DB=1,OB=^,

由余弦定理。。？=『+（石＞-2xlx石xcos30°=1,得。£）=1,QA2+OD1=4=AD2,

于是AO_LOZ）,由4。，平面ABC,。。u平面ABC,得AQ_L。。，

而4。4。=0,40,4。匚平面4。4，因此ODL平面4。4，又A41U平面AOA，

所以441。，

(2)

由（1）知，OA,。。,OA两两垂直，以。为原点，直线分别为％%z轴建立空间

直角坐标系。-呼z,

由A4,=AO=,得4。=3,

于是刚=（乎,-1,3）,明=（乎，-1,0）,设机=（x,y,z）为平面ABA的一个法向量,

-x--y+3z=0

22

则＜取x=6，得根=（出,3,1）显然n=（0,1,0）为平面A的一个法向

3右3.

---x——y=0

I22)

量,

因此cos〈私〃〉==今=呼，显然二面角B-AA,-0的大小为锐角,

\m\\n\y/1313

所以二面角B-AA.-O的余弦值为士叵.

13

答案第9页，共13页

7

17.⑴后

(2)|;

⑶分布列见解析，学

O1

【分析】

(I)把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算

即得.

(2)甲获得15分的事件是甲抢到答正确与乙抢到答错的事件和，再列式求出概率.

(3)求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.

【详解】(1)

两人得分之和大于1。。分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70

分、乙得70分三种情况，

所以得分大于100分的概率P=1121+4111+4121=白7.

53325332533245

(2)

抢答环节任意一题甲得15分的概率p=：x：+；x；=；.

(3)

X的可能取值为2,3,4,5,

由抢答任意一题甲得15分的概率为21,得抢答任意一题乙得15分的概率为2:，

111714

尸(X=2)=(―/=—,尸(X=3)=C；x—x—x—=一,

39233327

尸(X=4)=C0■+守嗡

33

P(X=5)=Cix|x(|)xl+C：x(|)x|x|=j1,

所以X的分布列为：

X2345

]_42832

P

9278181

数学期望E(X)=2x^+3xH+4x型+5、卫=当.

927818181

答案第10页，共13页

4

18.(1)证明见解析，-不

3125

⑵

81

【分析】

(1)由已知求出双曲线C,设出直线/的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合斜率

坐标公式计算即得.

(2)设出直线AP的方程，求出点的纵坐标，再建立面积积的函数关系，借助基本不

等式求出最大值即得.

【详解】(1)

令双曲线半焦距为c,依题意，a=2；=后,

a

由c2=々2+〃2,解得b=4,

22

则双曲线C的方程为宁-%=1,显然直线/不垂直于y轴，设直线/的方程为X=〃沙+3,

R_£4m2-1w0

由<416=1消去工得，(4m2-l)y2+24my+20=0,

A=256m2+80>0

x=my+3

设P(M，%)，。(々，％)，则M+%=,%%=।2;,

4m-14m-1

直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ,

20

所以左k一％为一_____________________=__________4/一1_________=_i

APAQ224m

%]+2X2+2加2%%+5皿%+%)+25m.一^—+5m-~+25

4m2-