四川省成都石室重点学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试卷（含答案）

四川省成都石室重点学校2023-2024学年九年级（上）月考数学试卷（12月

份）

一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

1.（4分）下列方程中是一元二次方程的是（）

A，x2+^?r=0B.x2+l^=0

X2X

C.x2-x-3=0D.ax1+bx+c=0

2.（4分）如右图所示，该几何体的左视图是（）

3.（4分）已知点M（-4,-1）,则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是（）

A.（2,2）B.（-1,-4）C.（-4,1）D.（-2,-2）

4.（4分）已知AB=2,DE=4,则△ABC与△£）跖的周长比值是（）

A.2B.4C.AD.A

32

5.（4分）下列说法正确的是（）

A.相似图形一定是位似图形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D.有一组邻角相等的平行四边形是矩形

6.（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△0A2以原点。为位似中心放大后得到△OCO,若A（l,—C

3

（3,2）,则△Q4B与△OCD的面积的比是（）

1

A.1：2B.1：3C.1：9D.9：1

7.（4分）在边长为3cM的正方形健康码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在

0.6左右，据此估计黑色部分的总面积约为（）

A.0.6cm2B.1.8cm2C.5.4cm2D.3.6cm2

8.（4分）已知反比例函数y=」，下列结论正确的是（）

x

A.y值随着x值的增大而减小

B.图象关于原点中心对称

C.当尤>1时，0<yCl

D.图象可能与坐标轴相交

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9.（4分）已知点C是线段A8的黄金分割点，且AC>BC,AB=200,则AC的长度是

10.（4分）如图，AD//BE//FC,它们依次交直线A,/2于点A,B,C和点。，E,F.若A8=4,BC=5,

11.（4分）若关于x的一元二次方程7+2尤-8=0的两个实数根分别为a,b,则ab-2a-2b的值是.

12.（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABC。中，对角

线AC=6,BD=8,则纸条重叠部分的面积为.

2

13.（4分）RtzXAOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，ZAOB=90°,N8=30°,点A在反比例函数

y/＞（X＜0）的图象上，则上的值是

X

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14.（12分）解下列方程:

（1）x（x-5）=2x70；

（2）X2+2X-4=0.

15.（8分）如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼C。的底部。，视线正好经过小树的顶端E,

又从楼A3的底部B处观望楼CD的顶部C,视线也正好经过小树的顶端E,楼C£＞的层数为9层.已知这

两幢楼每层楼的高度均为2.8米，B、F、。位于同一水平直线上，且48、EF、CD均与2。垂直.求小树

的高度EF.

DDDDDO

□DODDD

DOnDDD

□□□000

□DDDDD

□DDOOD

OODDDO

DaDDDD

lOUUWll

BFD

16.（8分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学校为了解学

生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中

的信息，解答下列问题:

3

各类社团人数条形统计图

各类社团人数扇形统计图

（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；

（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有

等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率.

17.（10分）如图，口中，AE_LBC于点E,点p在的延长线上，且连接AC,DF.

（1）求证：四边形AEFD是矩形:

(2)若/ACZ)=90°,AE=4,CF=3,求:一幽■的值.

如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点4（2,。），过点4作反比例函数

y支（X>O）的图象.

X

（1）求。的值及反比例函数的表达式；

（2）点P为反比例函数y上（x>0）图象上的一点，若SAPOB=2SAAOB,求点尸的坐标.

X

（3）在x轴是否存在点°,使得/8。4=/。4。若存在请求出点。的坐标，若不存在请说明理由.

4

每小题4分，共20分）

19.（4分）已知包上襄一^,b+d+f=3,那么i+c+e的值是

bdf6

20.（4分）从1,2,-3,-6这四个数中任选两数，分别记作（m,n）,那么点（加，n）在函数＞=二3图象

X

上的概率是

21.（4分）如图在矩形纸片ABC。中，AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠，使点8与点。重合，则折痕斯的

22.（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形0A8C边取点E,使BE=2CE,连接AE,。3交于点D

已知△A。。的面积3.若反比例函数y=K的图象恰好经过点。，则仁

23.（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=6,E是上的一点，且AE=2,F,G是4B,上的动点,

且BE=FG,BE±FG,连接跖，BG,当E尸+FG+BG的值最小时，CG的长为

5

二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上)

24.(8分)某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃,加热到100℃时，停止加热，水温开始下降.此时

水温y(℃)是通电时间x(min)的反比例函数.若在水温为20℃时开始加热，水温y(℃)与通电时间x

Gnin)之间的函数关系如图所示.

(1)在水温下降的过程中，求水温y(℃)关于通电时间尤(而〃)的函数表达式；

(2)若水温从20℃开始加热至100℃,然后下降至20℃,在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？

y/℃

如图，在正方形A8CD中，E是边8C上一点，连接AE,于点凡连接。尸G_LD尸交于点

G.

(1)求证：△ADFsABGF.

(2)若E为的中点.

①求证：DF=AD.

②连接CR若CF=4,求正方形48C。的边长.

26.(12分)如图1,在平面直角坐标系中，矩形。48c的边OC,0A分别在x轴和y轴正半轴上，连接08.将

△OCB绕点0逆时针旋转，得到△OBG,点C的对应点为点F,点、B的对应点为点G,且点G在y轴正

6

半轴上，。尸与48相交于点。，反比例函数y=K的图象经过点。，交BC于点E,点。的坐标是（2,4）.

图2备用图

（1）如图1,k=，点E的坐标为

（2）若尸为第三象限反比例函数图象上一点，连接尸口，当线段尸。被y轴分成长度比为1：2的两部分时,

求点P的横坐标;

（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）.设

M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接。E,当四边形。ENM是“完美筝形”时,

直接写出N两点的坐标.

参考答案与解析

一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

1.（4分）下列方程中是一元二次方程的是（）

A-x2B.x2+l'n。

X，X

C./-尤-3=0D.ax2+bx+c=0

【解答】解：A.x?T=0,不是整式方程，不符合题意;

B.2不是整式方程，不符合题意;

X+1A=0,

C.J?-x-3=0,符合题意;

D.ax1+bx+c=0,不一定是一元二次方程，不符合题意;

故选：C

2.（4分）如右图所示，该几何体的左视图是（）

7

【解答】解：从左边看，可得选项C的图形.

故选：C.

3.(4分)已知点M(-4,-1),则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是(

A.(2,2)B.(-1,-4)C.(-4,1)D.(-2,-2)

【解答】解::点k的图象上,

M(-4,-1)在反比例函数yq

.".k—xy—4,

A、2X2=4,不符合题意，

B、(-1)X(-4)=4,不符合题意,

C、(-4)Xl=-4,符合题意，

D、(-2)X(-2)—4,不符合题意,

故选：C.

4.(4分)已知AB=2,DE=4,则△ABC与△。斯的周长比值是(

A.2B.4C.AD.A

32

【解答】解：由题意得：△ABC与△。斯的相似比为：屈■二•△,

DE42

故周长比为：1

2

故选：D.

5.(4分)下列说法正确的是()

A.相似图形一定是位似图形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D.有一组邻角相等的平行四边形是矩形

【解答】解：A、相似图形不一定是位似图形，故错误，不符合题意；

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；

8

C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，不符合题意;

。、有一组邻角相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意.

故选：D.

6.（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△042以原点。为位似中心放大后得到△0C£>,若A（l,2），C

3

（3,2）,则4。43与△OCQ的面积的比是（）

A.1：2B.1：3C.1：9D.9：1

【解答】解：：A(l，。(3,2),

3

二OA=^l2+(y)='^~,0C=V32+22=V13，

:ZXOAB以原点。为位似中心放大后得到△OCD,

...△048与△OCZ）的相似比是：OA：0C=迎2：713=1：3>

3

...△042与△0C£）的面积的比是1：9,

故选：C.

7.（4分）在边长为3a〃的正方形健康码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在

0.6左右，据此估计黑色部分的总面积约为（）

C.5.4c优2D.3.6cm2

【解答】解：：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右,

...估计点落入黑色部分的概率为0.6,

估计黑色部分的总面积约为3X3X0.6=54（cm2）.

故选：C.

9

8.（4分）已知反比例函数y=」，下列结论正确的是（）

x

A.y值随着尤值的增大而减小

B.图象关于原点中心对称

C.当x>l时，0<y<l

D.图象可能与坐标轴相交

【解答】解：A、因为反比例函数在二、四象限内，所以在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误,

不符合题意；

2、反比例函数是双曲线，所以是中心对称图形，正确，符合题意；

C、当x>l时，y<0,原说法错误，不符合题意；

。、x和y均不等于0,故图象不可能与坐标轴相交，原说法错误，不符合题意.

故选：B.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9.（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AO8C,48=200,则AC的长度是lOoJW-100

【解答】解：：点C是线段AB的黄金分制点，5.AOBC,48=200,

AC==100V5-100.

2

故答案为：100泥-100.

10.（4分）如图，AD//BE//FC,它们依次交直线A,/2于点A,B,C和点。，E,F.若AB=4,BC=5,

DE=3,则。E的长为21

【解答】解：,：AD//BE//FC,AB=4,BC=5,DE=3,

；.AC=AB+BC=9,

•AB_ACpn49

DEDF3DF

•*-DF

与4

故答案为：27.

4

11.（4分）若关于%的一元二次方程f+2x-8=0的两个实数根分别为b,则4。-2〃-2。的值是-4

10

【解答】解：..•关于X的一元二次方程x2+2x-8=0的两个实数根分别为a,b,

•・〃+/?=-2,ctb~~-8,

ab-2a-2b=ab-2（a+Z?）=-8-2义（-2）=-4.

故答案为：-4.

12.（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABC。中，对角

线AC=6,BD=8,则纸条重叠部分的面积为24.

【解答】解：如图，连接AC,BD,过A作AE_L8C于E,作AF_LC£）于尸,

由纸条的对边平行可得：AD//BC,AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形，

••S/\ABC=S/\ADCJ

：.1BC'AE=1.CD'AF,

22

:纸条等宽，则AE=AF,

:,BC=CD,

四边形ABC。为菱形，

菱形ABCD的面积=.AC・8O=』X6X8=24,

22

故答案为：24.

13.（4分）RtZXAQB在平面直角坐标系中的位置如图所示，ZAOB=90°,ZB=30°，点A在反比例函数

11

y2(x<0)的图象上，贝殊的值是*

X

【解答】解：过点A,8作ACLx轴，BD±x^,分别于C,D.

设点A的坐标是(m,n),则AC=小OC=m.

VZAOB=90°,

AZAOC+ZBOD=90°.

•：NDBO+NBOD=90°,

：.ZDBO=ZAOC.

ZBDO=ZACO=90°,

:.ABDOSAOCA.

・毁=毁=毁，

**0CAC0A，

VZAOB=90°,ZABO=30°,

.•屈=«,

OA

•BD=QD=OB

"OCACOA，

设A(m,n),则5(-

•・•点A在反比例函数y=2的图象上，

x

••inn.~~2,

•..点B在反比例函数y=K的图象上，

X

：.k=-近n・Mm=-3X2=-6,

故答案为：-6.

12

y

三、解答题(本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上)

14.(12分)解下列方程：

(1)x(x-5)—2x-10；

(2)/+2x-4=0.

【解答】解：(1)无(尤-5)=2尤-10,

x(x-5)-2(x-5)=0,

(x-2)(x-5)=0,

.*.%-2=0或％-5=0,

解得：xi=2,%2=5；

(2)7+2%-4=0,

4=1,b=2,c=-4,

b2-4。。=4+16=20>0,

方程有两个不相等的实数根，

...-2±V20=-2±2V5

x22v

解得：遥，=--

X[=T+X21V5-

15.(8分)如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼CO的底部。，视线正好经过小树的顶端E,

又从楼AB的底部8处观望楼CD的顶部C,视线也正好经过小树的顶端E,楼CD的层数为9层.已知这

两幢楼每层楼的高度均为2.8米，B、F、。位于同一水平直线上，且A8、EF、CO均与80垂直.求小树

的高度EF.

DDDDDD

DDDDDQ

□DDDQD

DDDDDO

DDDDDD

DDDDDn

DDDDDD

DDDDDD

mmioiil

BFD

13

【解答】解：：跖〃A8,

:.丛DEFs丛DAB,

此①①，

DBAB

'：EF//CD,

:ABEFsABCD,

.•图5②，

BDCD

①+②得此反再WL

DBDBABCD

由题意得42=5X2.8=14（米）,8=9X2.8=25.2（米），

,•,-E-F+--E-F-=1,

1425.2

：.EF=9（米）.

答：小树所的高度为9米.

16.（8分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学校为了解学

生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中

的信息，解答下列问题：

各类社团人数条形统计图

各类社团人数扇形统计图

（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；

（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有

等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率.

【解答】解：⑴本次调查的学生人数为：80940%=200（人），

则科普类的学生人数为：200-40-50-80=30（人），

补全条形统计图如下：

14

各类社团人数条形统计图

(3)把阅读、美术、劳动社团分别记为4B、C,

画出树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，

，甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为3」.

93

17.(10分)如图，DABCO中，于点E,点b在的延长线上，且CF=BE,连接AC,DF.

(1)求证：四边形AEFD是矩形：

(2)若/AC£)=90°,AE=4,CF=3,求——些的值.

,△DFC

CF+EC^BE+EC.

即EF=BC.

在口ABC。中，AD//BCS.AD^BC,

：.AD//EFSLAD=EF.

二四边形AEFD是平行四边形.

15

VAE±BC,

AZAEF=90°.

J四边形AE尸。是矩形；

（2）解：・・•四边形AEfD是矩形，

AZAEC=ZDFC=90°,AE=DF=4,

：.ZEAC-^ZECA=90°,

VZAC£）=90°,

•••NECA+NZ）。尸=90°,

：.ZEAC=ZDCF,

：.AAEC^ACFD,

•・•AE一_CF_3,

ECDF4

/.£C=2AE=-li,

3

q-^XAEXEC[x4X要

...SAAEC^2__________23

SACFD-yXCFXDFyxsx-^9

18.（10分）综合运用

如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A（2,a）,过点A作反比例函数

y=K（X>。）的图象.

（1）求。的值及反比例函数的表达式；

（2）点P为反比例函数y支（x>0）图象上的一点，S^POB=2SAAOB,求点P的坐标.

（3）在x轴是否存在点°,使得/B0A=/0A。,若存在请求出点。的坐标，若不存在请说明理由.

【解答】解：（1）把A（2,a）代入y=2x+2得,

a=2X2+2=6,

16

AA(2,6),

把A(2,6)代入y=K,

X

得k=12,

反比例函数的函数表达式为y』；

X

(2)当x=0时，

y=2x+2=2,

：.B(0,2),

J08=2,

•\SAAOB=—OB9XA

2

=AX2X2

2

=2,

••S/\POB=2SAAOB=A,

又SAPOB=1.OB'XP

2

=JiX2X尤p

2

=4,

解得：xp=4,

•••点尸坐标为(4,3)；

(3)存在；理由如下：

①当点。在左轴正半轴上时，

如图，过点A作AQ〃y轴交x轴于。1,

17

・•・点。（2,0）；

②当点。在x轴负半轴上时，

如上图，设A0与y轴交于点。（0,b）,

9：ZBOA=ZOAQ2,

：・OD=AD,

则22+(6-b)2—b2,

解得：b号,

二D（0，丹〉

设直线A02表达式为〃，代入得:

2m+n=6

<10，

FT

（4

m=T

解得V

io)

n^3~

直线AQ2的表达式为y.x+■四，

33

当y=0时，X=4，

即点。2的坐标为（一0）>

综上所述，点。的坐标为（2,0）或（一Q）.

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19.（4分）已知包益工力，b+d+f=3,那么a+c+e的值是5.

bdf6-2一

【解答】解：•.•包各屋/，b+d+f=3,

bdf6

・a+c+日=5

・・b+d+fT

〃+c+e=*,

2

故答案为：1.

2

20.（4分）从1,2,-3,-6这四个数中任选两数，分别记作（m,n）,那么点（m,〃）在函数y=心图象

X

上的概率是1.

-3-

18

【解答】解：画树状图得:

始

m12—3—6

/K/N/N/N

n2-3-61-3-612-612-3

•.•共有12种等可能的结果，点（偌，〃）恰好在反比例函数>==殳图象上的有：（1,-6）,（-6,1）,（2,

X

-3）,（-3,2）,

...点（m,限）在函数>=二且图象上的概率是：—.

x123

故答案为：1.

3

21.（4分）如图在矩形纸片ABC。中，AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠，使点2与点。重合，则折痕所的

长是生

【解答】解：连接BE,BD,设EF与8。相交于点。，如图,

♦..矩形ABCD纸片折叠，使点。与点8重合，

EF垂直平分BD,NBFE=ZDFE,

：.ED=EB,FD=FB,EFLBD,

:./EDB=NEBD,

'：AD//BC,

：./DEF=ZBFE,

：.ZDEF=ZDFE,

:.DF=DE,

：.DE=EB=BF=FD,

.•.四边形。EBP为菱形，

在RtAABD中，2。=7AB2+AD2=V36+64=10,

19

设BE=x,贝!JDE=x,AE=8-%,

在RtZkA5月中，AB2+AE2=Z)E2,

62+(8-X)2=7,

解得x=空，

4

•A下—25

4

菱形£>EBF=S=角形DEB,

2

XXIEF-DB=1.DE'AB,

222

.•0X£FX10=6X至，

24

;在=工.

2

故答案为：

22.（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形O48C边BC取点E,使BE=2CE,连接AE,0B交于点D,

已知△A。。的面积3.若反比例函数ynK的图象恰好经过点。，贝醍=_卫_.

【解答】解：过点。作。49于尸，设b）,

20

・・•四边形ABC。是矩形，

•:BE=2CE,ZBAO=90°,

・・BE=2a,BC=

:・CO=AB=b,BC//AO,BC=AO=3a,

：.XBDEsXODA,

•BEBDpnBD2a2

AOODOD3a3

・

••—OD=—3，

BD5

ZBAO=ZDFO=90°,ZDOF=ZBOA,

:•△ODFsXQBh,

.・•强MM,即"FJF

OBOAAB53ab

*'•DF^f-b'

bb

D

DD

ZVI。。的面积3,

.1R

••《X3aX《b=3,

又反比例函数y国的图象恰好经过点D,

•••k4ax|

bboD

故答案为：18

5

23.（4分）如图，在正方形ABC。中，A8=6,E是上的一点，且AE=2,F,G是AB,C。上的动点,

且BE=BG,BELFG,连接EEBG,当跖+FG+BG的值最小时，CG的长为3

21

【解答】解：过点G作G7UA5于1则四边形3CGT是矩形,

•・•四边形A3CO是正方形，

：.AB=BC,ZA=ZABC=ZC=90°,

CTLAB,

：.ZGHB=90°,

・•・四边形BCGT是矩形，

:・BC=GT,

•：BE=GF,ZA=ZGTF=90°

：.AABE^△TGF(ASA),

：.AE=FT=2f

设CG=BT=x,则AF=AB-FT-BT=6-2-x=4-x

：.EF+BG=V22+(4-X)2+V62+X2,

欲求422+(4-x)2+1$2+x2的最小值，相当于在x轴上寻找一点尸(x,0),使得点尸到M(0,6),N

(4,2)的距离和最小.

如图，作点M关于x轴的对称点(0,-6),连接MW'交x轴于尸，连接此时PM+PN的值最

小.

22

M

\

\

X、

\/N

07Px

,：N(4,2),M'(0,-6),

直线N的解析式为y=2x-6,

：.P(3,0),

；.x=3时，EF+BG的值最小，

•.•BE=PG=定值,

当CG=3时，EF+FG+BG的值最小.

故答案为：3.

二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上)

24.(8分)某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃,加热到100℃时，停止加热，水温开始下降.此时

水温y(℃)是通电时间x(min)的反比例函数.若在水温为20℃时开始加热，水温y(℃)与通电时间x

(mm)之间的函数关系如图所示.

(1)在水温下降的过程中，求水温y(℃)关于通电时间尤(min)的函数表达式;

(2)若水温从20℃开始加热至100℃,然后下降至20℃,在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长?

y/℃

y与尤的函数关系式为Y=^~,

X

由题意得，点(4,100)在反比例函数y上的图象上,

k

100

解得：左=400,

23

•••水温下降过程中，y与X的函数关系式是y=%；

X

(2)解：在加热过程中，水温为40℃时，20x+20=40,

解得：x=l,

在降温过程中，水温为40℃时，40="我，

X

解得：x=10,

V1O-1=9,

二・一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min.

25.(10分)综合与探究

如图，在正方形ABCD中，E是边5C上一点，连接AE,B厂，AE于点R连接。尸，尸GJLO厂交A5于点

G.

(1)求证：AADFsABGF.

(2)若E为8C的中点.

①求证：DF=AD.

②连接CR若。尸=4,求正方形ABC。的边长.

【解答】（1）证明：•・,四边形A3CD为正方形，

：.ZBAD=9Q°,AB^BC=AD.

VBF±AE,

AZBFG+ZAFG=90°,

■:FGLDF,

・・・NAbG+NAfZ>=90°,

：.ZBFG=ZAFD.

•・•四边形的内角和为360°,ZBAD=ZGFD=90°,

AZAGF+ZADF=1SO°.

VZAGF+ZBGF=\S0°,

24

:./BGF=/ADF,

：.LADFs4BGF；

(2)①证明：为BC中点，

.11

•/…BFBE1

,，tanZBAE=AF^ABT

由(1)知：AADF^ABGF,

•ADDFAFn

BG"GF'BF'

：.AD=2BG,DF=2GF,

C.AB^IBG,

・・・G为A3的中点，

VAFXBF,

•*,GF=-^AB,

：.AD=2GF,

：.DF=AD；

②解：过点尸作于点〃，如图,

设正方形的边长为2%,贝1jA8=8C=2x,BE=EC=x,

../BF1

,tan/BAE=7^7,，

AF2

设BF=a,贝!]AF=2a,

VAF2+BF2=AB2,

(2a)2+〃2=⑵)2,

*.*a>0,x>0,

25

同理求得：EF巫X，

5

•空」

,,而N

"EA"5"

■:FHLBC,AB±BC,

J.FH//AB,

：./\EFH^/\EAB,

•FH_EH^EF_1；

"AB"EB"EA"5，

••邛共而春，EH-j-BE-|x'

.6

・・CH=CE+EH」x・

b

•：FH_LBC,

:.FH2+CH2=CF2,

•x-V10'

：.正方形ABCD的边长为2710.

26.（12分）如图1,在平面直角坐标系中，矩形0ABe的边。C,0A分别在x轴和y轴正半轴上，连接03.将

△OCB绕点0逆时针旋转，得到△OEG,点C的对应点为点F,点B的对应点为点G,且点G在y轴正

半轴上，。尸与AB相交于点。，反比例函数>=上的图象经过点。，交BC于点E,点。的坐标是（2,4）.

y1