重庆市2024届高三一诊数学试卷（康德卷）（含答案）

2024年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测数学

数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分告中。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在旬小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={1,2,3,4,5},8={x|2x2-llx+12<0},则/05=

A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{4,5}

2.已知复数2=。+M，若N=i-z,贝!]

A.a+6=0B.a-b=0C.ab=0D.ab=\

3.对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则a,6可以分别大致反映

这组数据的

A.平均数，中位数B.平均数，众数

C.中位数，平均数D.中位数，众数

4.若4cos2a+sin（7i+2a）=2,则tan2a=

A.—2B.--C.1

2

5.在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款作度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：

0-0.97+。.127工

P（x）=-__0.97+0127工,其中x是客户年收入（单位：万元），尸（X）是按时还款概率的预测值•如果某人年

1+e

收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约力（参考数据：lnl.35«0.3）

A.0.35B.0.46C.0.57D.0.68

6.已知/（幻二111（1+刈一111（。一法）是奇函数，则/'GO在点（o,/（o））处的切线方程为

A.y=2xB.y=xC.y=QD.y=-2x

7.将一副三角板拼接成平面四边形4BCD（如图），BC=\,将其沿8。折起，使得面48。_1面38,若

三棱锥Z-8CD的顶点都在球。的球面上，则球O的表面积为

7K

A.2兀B.一

3

8兀

C.—D.3兀

3

已知函数/（X）满足/（x+y）=/（x）+/（V）-2,/•（1）=4且当工〉0时,/(x)>2,若存在xe[1,2],

使得"-4x)4-〃2x)=1，则a的取值范围是

/C"n「15,「52_,

A.(0,-]B.弓,-]C.[-,-]

第一次联合诊断检测（教学）第1页共4页

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列函数中，其图象关于点（二，0）对称的是

兀

A.j/=sin(2x+y)B.j>=sin(2x-1)

71兀

C.y=cos(2x+—)D.y=tan(2x+—)

6

22222

已知椭圆耳：x+4/=a(a>0)和E2：y+4x=4a(a>0),贝(j

A.耳与心的长轴长相等B.用的长轴长与弓的短轴长相等

C.用与心的离心率相等D.耳与心有4个公共点

已知三棱柱4BC-4丹£,D,E,尸分别是棱48,BC,C4的中点，记三棱柱4BC-4与G的体积为

V,则

A.棱锥郎的体积为

24

B.棱锥4-4DE尸的体积为工厂

6

C.多面体431HB昉的体积为9%

12

2

D.多面体耳qCQE尸的体积为5P

12.若不相等的两个正数ab满足/+=。+6,则

.4

A.a+b>\B.a+b<.—

3

,1„,1

C.ab>—D.ab<—

32

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1,2的黑球和编号为1,2,3的白球，从中随机取出两个球,

在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为.

14.若向量a,A满足|a|=1,\b\=2,若分与a的夹角为锐角，则a•（口+。）的取值范围是.

15.记数列｛%｝的前〃项和为S,,,若S“=2%+/1,且£=252,贝”=.

16.已知耳弓分别是双曲线C：/一/=/5〉0）的左、右焦点，过心作一直线交c于"，N两点，若

NMFE=120。,且△儿鹤的周长为1,则C的焦距为.

第一次联合诊断检测（数学）第2页共4页

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知数列｛q｝是等差数列，且%=1，%+%）=一2.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵[x]表示不超过x的最大整数，如口.7]=川=1,[-1,5]=[-2]=-2.若.=2㈤,7；是数列色｝的

前〃项和，求[7J.

18.(12分)

2024年1月18日是中国传统的“腊八节"，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天.腊八

节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式,后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方.为调查不同年龄人群对“腊八节”

民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群.

（1）在100名受调人群中，得到如下数据:

了解程度

年龄

不了解.了解

30岁以下1624

50岁以上1644

根据小概率值a=0.1的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异;

（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个.受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回

答，填空题随机抽取3个进行问答.某位受调者选择题每题答对的概率为0.8,知道其中3个填空题的答案，但

不知道另外2个的答案.求该受调者答对题目数量的期望.

_______________________

参考公式:①/=

(a+b)(c+4)(。+c)(6+d)

独立性检验常用小概率值和相应临界值:

a0.10.050.010.0050.001

X"2.7063.8416.6357.87910.828

②随机变量x,y的期望满足：E（x+v）=E（x）+E（y）

第一次联合诊断检测（数学）第3页共4页

19.（12分）

a1sin5sinC

在△Z3C中，内角4B,C的对边分别为％6，c,已知△45C的面积S

cosA

（1）求tan/；

（2）若cosBcosC=-心■,a=1>求

5

20.（12分）

如图，四棱锥P—中，底面45CD为平行四边形，AB=^2,BC

(1)证明：PBLBC；

(2)若尸4=3,PC=V13,求二面角4一尸8-。的余弦值.

21.（12分）

已知1(2,2),B,C是抛物线E：》2=2必，上的三点，且直线45与直线ZC的斜率之和为0.

(1)求直线8c的斜率;

(2)若直线48,NC均与圆M：，+8-2)2=/(0<厂<百)相切，且直线BC被圆M截得的线段

长为2叵，求r的值.

5

22.（12分）

己知函数/(x)=e*+(1-a)x-In办.(e为自然对数的底数)

(1)当4=1时，证明/(x)存在唯一的极小值点/，且/(%)>2；

(2)若函数/(x)存在两个零点，记较小的零点为玉，s是关于x的方程ln(l+x)-3S》=亦1-2的根,

证明：s>xt.

第一次联合诊断检测(数学)第4页共4页

2024年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测数学参考答案

一、单选题

1~8BAADCACD

8题解析：易证/(x)是增函数，f(ax2-4x)+/(2x)=f[(ax2-4x)+2x]+2=f(ax2-2x)+2=1,所以

/(办2-2丫)=-1.令》=^=0,得/(0)=2；令x=l,y=-l,得/(-l)=0：令x=-l,歹=-l,

33

得/(-2)=-2；令工=-2,»=-1,得〃-3)=-4：令%=»=-5，得/(_])=一1,所以

ax2-2x=~,原问题即2。=士?在[L2]有解.令1=,，则2。=一3『+々在Z1]时有

412・

解，从而2aw[l,y]>aE[->—].

二、多选题

9.BCD10.BC11.BC12.ABD

12题解析：\\\a2-^-b2+ab=a+b,得(a+b)?—'+-方.内为a,b是正数，所以ab〉0,从而

(a+6)2-(a+b)>0,解得々喳也#b,所以,

4

,2,J；44

从而(a+b)~—(。+6、------,解得Q+b<—.因为1va+6<—,

-33

41

所以ab=(a+«r，+/>)e(0,—),从而。6<万.故选ABD.

三、填空题

13.-14.(1,3)15.—416.----

26

16题解析：设双曲线的焦距为2c,点〃区，必)，Ng，%)，则|MN|=|MK|+|N居|=£(X]+X,)—2Q

a

=y/2(x}+x2)-2a.由题意，直线MN的方程为y=百(x-c),代入x?一/=/得

2/一6a0¥+7。2=0,所以玉+9=3缶，从而|MN|=4a.4MNF1的周长为

\MFl\+\NF[\+\MN\=4a+2\MN\=\2a,由题意，a=—.所以焦距2c=2缶=

126

第一次联7之版归・数学）第5页共9页

四、解答题

17.（10分）

解：（1）设｛册｝的公差为d,由题意，得q+4d=1,2al+16J=-2.

所以q=3,故=3—g（"—........5分

（2）由题意,[q]=3,[%]=[%]=2,[%]=[%]=1，.......•[«io]=[aiil=-2-

T”="+b,+bj+b&+T—•+a。+b”=2,+2（2〜+2+…+2"）=23—.

所以[%]=23.……10分

18.（12分）

解：（1）零假设”。：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立.

由题意’得上方黑受黑7=等＜2.706.

根据小概率值a=0.1的独立性检依,没仃充分证据推板和不成工

即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异/……5分

（2）设选择题部分和填空题部分答对题目分部生1和丫“

因为X服从8（5,0.8）,所以EX=5x0.8=".

由题意，丫的可能取值为1,2,3.■

3°31

P（Y=l）=-^=--”=2）——mP（r=3）=-V=-.

Vz«IU-f1U

所以Ey=3+2x3+3x-

105,

：方答对题目数*:知4£/i（X+y）=+EY=4+1.8=5.8个.……12分

19.（12分）

a2sin5sinC1,.〃

解：（1）由题意，S=------------------=-adsinC,

cosJ2

因为QHO,sinC/0,所以asin8=」6cos/.

2

由正弦定理,得sin彳sin5=-sinSeos/,

2

因为sin8w0,所以sin4=-cosA,故tan力=1.

5分

22

（2）由（1）得sin/二弓，cosA=,所以85（8+。）=-8$/=-2^,

由cos（8+C）=cos8cosc—sinBsinC,及cos6cosc=-（，得sinBsinC=^

•y第一次联合诊断检测（数学）第6页共9页

得』

由正弦定理,,所以尻=布.

sin2A

由余弦定理，得〃+C?=/+2bccos/=5.12分

20.(12分)

解：取力。中点。，连接。8,OP.

(1)△尸/。中，因为PA=PD,所以。尸，力。.

△408中，因为48=0,AO=-BC=l,Z.BAD=45°,

2

由余弦定理，得。8=1,所以082+/。2=/82,OBLAD.

因为OP,OB是T-iiiiBOP上的两条相交直线,所以40_L平面BOP.

因为PBu平面BOP,所以4DJ.PB.

因为4O〃8C,所以P81.8C.5分

(2)由(1)知，PB1BC,所以尸82=PC2-8C2,WkfP.T

乂产。=2应，PO2+OB2=9=PS2,所以:巴〉'人用则尸。，面488.

如图，建立空间直角坐标系。一平,

则4(1,0,0),5(0,1,0),C(-2W,尸(0,0,2&).

则'AB=(-1,1,0),~PB=(0“.z124-BC=(-2,0,0)

设平面P/8的法向也”、，“”,z),M

ABnt=0,'M0,1-l

\_即取，”.

PBm=0.17iiV2z=0.

设r\\\\PBC的法向量为“=(x,y,z)，则

BC•"i=0,-2x=0,i-

_即,lflZw=(0,—25/2,—1).

PBni=0.y-2>J2z=Q.

-93后

COS〈”,，〃)=

Im||n|>/?7X317

所以,湎角4-P8-C的余弦值为一豆口.

12分

17

21.(12分)

第一次联：•诊断检测(数学)第7页共9页

2

解：因为点4(2,2)在抛物线E：x=2py±f所以p=L

E的方程为：x2=2y.

(1)设8区，今)，C(x2»玉工2,々工2且玉工w

X2V2

1L-2玄.2

由题总，2—+上一二0,化筒得2十七=-4.

X1-29一2

所以，直线8c的斜率为-2—2_=小玉=_2.……5分

Xj-x22

(2)由(1),设直线8c的方程为y=-2x+m,代入x?=2y,

消去y得：x2+4x-2m=0.则A=16+8/n>0,X)+x2=—•.i,x2=-2m.

因为门：线8c被园M献句的线为独©,「门J上旦=/_(我>,

化简得：(加-2)2=5,一6。.由0：4/，则一1<〃?<5

直线"的方程为歹-2=百二二「•.H|l(X|+2)x-2^-2x,=0.

因为直线与圆儿—・•侪戈JT-Zxj=八化简得(+2f=_±二.

必+2>+44f2

同理，氏+2)'p-.

.2»2

4f

X［，A>2是方程J+4X+4-1」=0的两根，所以再%2=~4—

故—2m=4—

4^7。.

由①①解得m=Q(m=±>/26舍)，则尸=血.12分

22.（12分）

解：（I）当a=l时，/（x）=ex-Inx,x>0.

因为/(不)=廿-：在(0,+8)上单调递增，且/'(；)<0,/(1)>0,